b. Perkalian skalar terhadap matriks - Matriks dan Determinan Matriks

MATRIKS

• b

A =

  1 =

  3

  3

  1

  2

  2

A + B =

•   

    

  3

  7

  5

  3

  2

  b. Perkalian skalar terhadap matriks

  Jika  suatu skalar dan A =

    _{ij a maka matriks A = (a} ij

  ) Contoh :

    

    

    

  1 maka 2A =   

  3

  4

          

         

  a a a a a a a a A a a a a a a a a

  ... ^{n n n} _{m m m mn}

  ... ... ... ... ... ... ...

  Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB  BA. ^{11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3} ...

  c. Perkalian Matriks

  2

  6

  2

  6

    

    

  2 =

  2 1 .

  2 2 .

  2 3 .

     3 .

  3

     

  4

  Jika A =

  ij untuk setiap i dan j.

  ij

  = a

  ij

  , di mana c

    _ij c

  matriks C =

    _{ij a dan B =}   _{ij b , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu}

  

a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran

sama ).

    

  Operasi Pada Matriks

  b. Semua elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama.

  Matriks A dan matrik B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika : a. Ordo kedua matriks sama.

  Kesamaan Matriks

  adalah elemen pada baris ke i kolom ke j

  A =   _{ij a , dimana a} ij

  Notasi Matriks :

  

m×n

).

  Matriks A dengan m baris dan n kolom (A

  Contoh :

    

    

  3

    

  2 =

  1

  2

  4

    

  1

  2

  3

    

  3

    

  2 maka

  1

  2

  4

    

  1 dan B =   

  2

  3

A =

  Syarat Perkalian Matriks : Banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Definisi :

  Misal A =   a berukuran (m × n) dan B =   b berukuran (n × p) . Maka perkalian _{ij ij}

  ij b b

A × B adalah suatu matriks C =   = a i1 1j + a i2 2j

c berukuran (m × p) di mana c ij in nj b + ….. + a untuk setiap i = 1,2,...,m dan j = 1,2,….,p.

  Contoh :  2   

  

  1

  2 3 

  1. A = dan B = maka    

  1  

   

  A × B = 1.2 2.0 3.1

  = 5  1 0 2   2 2     

     

  A 2 2 1 B 1 3

  2. dan maka        

   1 3 1 0 1

                  

   1 2 (0 1) (2 0)   1 2 (0 3) (2 1)  

  2 4  

                     

  A B  2 2 (2 1) (1 0)   2 2 (2 3) (1 1)  6 3

     

    

                

  

 1 2 (3 1) ( 1 0)   1 2 (3 3) ( 1 1)  1 10

    

  

  T  

  Misal A = a berukuran (m × n) maka transpose dari A adalah matriks A ij berukuran

  T   (n × m) maka A = a . _ji

  Beberapa Sifat matriks transpose :

  T T T

  (i) (A + B) = A + B

  T T

  (ii) (A ) = A

  T T

  (iii) ( A ) = (A)

  T T T A

  (iv) (AB) = B Catatan :

   

  Bila Matriks A = a adalah suatu matriks kompleks, maka Transpose Hermitian ij _{  T _}    

  H a 

  ( Conjugate Transpose) yaitu A =  =  a , jika z = x – yi maka  z = x + yi _{ij ji}    

  Contoh :    

   3 i 1 i   3 i i 

  H

  A = maka A =  

    

  i

  3 1 i

  3    

  Beberapa Jenis Matriks Khusus (1) Matriks Bujur Sangkar Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

  Contoh :

  1

  3   A = adalah matriks bujur sangkar ordo 2.

   

  2

  4  

  (2) Matriks Nol Adalah matriks yang semua elemennya nol. (3) Matriks Diagonal

  Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol. Contoh :

   1   

  2    

  3  

  (4) Matriks Identity ( Satuan )

  Adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal utamanya semua sama dengan 1. Contoh :

   1    1  

   

  1   (5) Matriks Skalar

  Adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k. Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1 Contoh :

  2    

  2    

  2  

  (6) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular )

  Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol. Contoh :

   2   

  1

  3    

  4

  2  

  (7) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular )

  Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol.

  Contoh : 

  2 1   

  3

  5    

  2  

  (8) Matriks Simetris

  Adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan

  T lain A = A dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar.

  Contoh : 

  1 2  

  1 2     

  T

  2

  3

  1

  2

  3

  1 A =   dan A =      

  1

  1

  1

  1    

  (9) Matriks Antisimetris T = -

  Adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya. Dengan perkataan lain A A. Contoh :

     

  1

  1 2  

  1

  1 2     

    

  1

  3

  4

  1

  3

  4    

  T

  A= , A =    

    

  1

  3

  1

  1

  3

  1    

    

  2

  4

  1

  2

  4

  1    

  (10) Matriks Hermitian Adalah matriks dengan transpose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri. H = - A

  Dengan perkataan lain A Contoh

    

  3 2 i  

  3 2 i 

  H

  A = dan A =    

    2 i 4 2 i

  4    

  (11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :

  Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA + I maka

• -1

  dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A sebaliknya A adalah invers dari B

• -1 dan ditulis A = B . (12) Matriks Komutatif.

  Adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlaku AB = BA.

Anti Komutatif jika AB = -BA. (13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten - Matriks Idempoten

  2 Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A = A.

• - Matriks Periodik
• - Matriks Nilpoten

  Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAA…A = A

  (A) Contoh :

      

  1 maka K 1(3) (A)=     

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

      

  A =     

  )

  8

  1 (2b) Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar   0, ditulis K j(

  2

  3

  8

  10

  12

  7

  8

  9

      

  1 maka H 2(2) (A)=     

  2

  3

  9

  21

  5

  4

  2

  3

  5

  7

  9

  7

  8

  9

      

  1 maka H 21(1) (A)=     

  2

  3

  5

  6

  6

  7

  8

  9

      

      

  (A) A =

  )

  3 (3a) Menambah baris ke-i dengan skalar   0 kali baris ke -j, ditulis H ij(

  2

  3

  12

  5

  4

  6

  p

  3

  6

  1

  2

  3

  7

  8

  9

      

      

  12 (A)=

  1 maka H

  2

  4

  4 (1b ) Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j ditulis K ij (A).

  5

  6

  7

  8

  9

      

      

  Contoh : A =

  Transformasi Elementer (1a ) Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j ditulis H ij (A).

  = 0, dikatakan Nilpoten dengan indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.

  r

  Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku A

  = A dikatakan periodik dengan periode p-1.

  5

  Contoh : A =

  7

  7

  8

  9

      

  A =     

  (A) Contoh :

  )

  2 (2a) Memperkalikan baris ke-i dengan skalar   0, ditulis H i(

  1

  3

  5

  4

  6

  8

  9

      

      

      

  12 (A)=

  1 maka K

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

      

  1 Baris 1 kali 1 tambahkan dengan baris 2 diletakkan di baris 2

        

  

                         

    Jadi, r(A) = 2.

  Cara 2 _{( 3) 2 ( 1) 21 32 ( 5) 2 31} 2 4 1

  2

  4

  1

  2

  4

  1 3 0 2 12 1 12 1 5 4 3 12 1 ^{H H H   }

             

               

        

   Jadi, r(A) = 2.

        

  Determinan Matriks

  a b A c d

      

    maka det(A) = |A|= ad - bc. Contoh:

  1

  2

  4

  3 A  

      

    maka |A|= (-1)(3) - (4)(-2) = -3 + 8 = 5

  a. Metode Sarrus

  a b c A d e f g h i

     

  Cara 1 _{( 1) ( 1) 31 32} 2 4 1 2 4 1 2 4 1 3 0 2 3 0 2 3 0 2 5 4 3 3 0 2 0 0 0 ^{H H        }

     

  (3b) Menambah kolom ke-i dengan skalar   0 kali kolom ke -j, ditulis K ij(

  31(2)

  )

  (A) A =

      

      

  9

  8

  7

  6

  5

  4

  3

  2

  1 maka K

  (A)=     

  A

      

  23

  8

  7

  14

  7

  5

  5

  2

  1 Kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3

  Rank Matriks

  Rank adalah banyaknya maksimum baris atau kolom yang tidak dapat dinolkan Contoh: 2 4 1

  3 0 2 5 4 3

• Matriks 2×2
• Matriks 3×3

   a b c a b   

  A d e f d e

      

  g h i g h

   

• - + + + - -

  maka |A|= aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi Contoh:

   1 3  1 1 3   

  A   1 2 2  1 2

      2 4 3 2 4   maka |A|= (1)(2)(3) + (3)(2)(2) + (-1)(-1)(4) - (-1)(2)(2) - (1)(2)(4) - (3)(-1)(3)

  = 6 + 12 +4 + 4 - 8 + 9 = 27

  b. Ekspansi Baris atau Kolom

• Minor

  ij M yaitu matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke i dan kolom ke j.

  Contoh: kolom 3  

   1 3 1   1 3 1     

     

  A 1 2 2 A 1 2 2

  baris 2         2 4 3 2 4 3    

   1 3 

  M 23 (A) =

    2 4  

• Kofaktor

  i+j ij ij C

  = (-1) | M | 1 3 ₅

  2+3 C   ( 1) (1)(4) (3)(2)      (4 6) 2

  23

  (A) = (-1)   2 4 Mencari determinan dari A dengan ekspansi baris 1

   1 3

  1  

  A 1 2 2

  2 4 3 2 2  1 2  1 2  1  3 

  1 4 3 2 3 2 4         (6 8) 3( 3 4) ( 4 4)    2 21 8 27  

  Mencari determinan dari A dengan ekspansi kolom 2

• -

   1 3

  1

• +  

  A 1 2 2

• - 2 4 3

  1 1 

  1    

   1 2 1 

  3

  2

  4 2 3 2 3  1 2      3( 3 4) 2(3 2) 4(2 1)     21 10 4 27   