Sejarah Bilangan dan Perkembangannya

Sejarah Bilangan dan Perkembangannya
Sejarah Angka di Dunia
Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya
mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmu
matematika. Sulit dibayangkan, andai tak ditemukan angka-angka tersebut. Dalam berbagai
literatur yang ada, tak disebutkan siapa orang yang pertama kali menemukan angka-angka atau
bilangan tersebut. Yang pasti, menurut Abah Salma Alif Sampayya, dalam bukunya
Keseimbangan Matematika dalam Al-qur’an, catatan angka pertama kali ditemukan pada
selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggal didaerah Mesopotamia sekitar tahun
3.000 SM. Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yang
dilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan ke atas untuk puluhan, lengkungan
setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan
dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan tangan.Sistem ini kemudian
dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik.
Bangsa Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D,
dan M, yang dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad
pertengahan. Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yang digunakan oleh para
ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orang
Arab. Sehingga, angka tersebut disebut dengan angka Arab. Dibandingkan dari seluruh angka
yang ada (1-9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Bahkan,
angka nol pernah ditolak keberadaannya oleh kalangan gereja Kristen. Orang yang paling berjasa

memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslim
terkenal. Dia memperkenalkan angka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa alMuqbala atau yang lebih dikenal dengan nama Aljabar. Angka nol ini kemudian dibawa ke
Eropa oleh Leonardo Fibonacci dalam karyanya Liber Abaci, dan semakin dikenal luas pada
zaman Renaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan Rene Descartes.
Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang di India disebut
dengan sunya (kosong, hampa). Hingga kini, angka nol memiliki makna yang sangat khas dan
memudahkan seseorang dalam berhitung. Namun, ada kalanya keberadaan angka nol ini dapat
menimbulkan kekacauan logika. ''Jika suatu bilangan dibagi dengan nol, hasilnya tidak dapat
didefinisikan. Bahkan,komputer sekalipun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan

pembagi angka nol,'' jelas Sampayya. Komputer diperintahkan berhenti berpikir bila bertemu
dengan sang divisor nol. Hasil yang tertera pada komputer angka menunjukkan #DIV/0!.
Bilangan dan angka
Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap
sebagai dua h a l y a n g s a m a . S e b e n a r n y a , a n g k a d a n b i l a n g a n m e m p u n y a i
pengertian yang berbeda. B i l a n g a n a d a l a h s u a t u k o n s e p m a t e m a t i k a
y a n g d i g u n a k a n u n t u k p e n c a c a h a n d a n pengukuran. Sedangkan angka
adalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk m e w a k i l i

satu


bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan dengan angka
5 maupun menggunakan angka romawi V. Lambang ”5” dan ”V” yang
digunakan

u n t u k melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi,

sebenarnya benda apakah yang b i a s a k i t a s e b u t d e n g a n b i l a n g a n i t u ?
S e t i a p b i l a n g a n , m i s a l n y a b i l a n g a n y a n g k i t a lambangkan dengan
angka 1, sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia,
tetapi bersifat universal. Misalnya, tulisan atau ketikan 1. Yang anda liat di kertas dan
sedang anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang
dari bilangan satu yang tertangkap oleh indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya
dari kertas ke mata anda. Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di
papan tulis, yang anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan tinta dari spidol yang membentuk
lambang dari bilangan 1. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun
telah diperluas u n t u k m e l i p u t i b i l a n g a n n o l , b i l a n g a n a s l i , b i l a n g a n b u l a t ,
b i l a n g a n r a s i o n a l , b i l a n g a n irasional, dan lain-lain.
Bilangan


asli

merupakan

salah

satu

k o n s e p matematika

yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti
oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera besar juga
bisa menggunakannya. Bilangan asli terdiri dari bilangan bulat positif yang bukan nol (1,
2, 3, 4,....). Wa j a r b i l a j e n i s p e r t a m a d a r i b i l a n g a n y a n g d i g u n a k a n u n t u k
menghitung
kehidupan
Seperti

ini


tidak

menggunakan

sehari-hari

dalam

kita

menghitung apel

nol.

Karena s e b e n a r n y a

t i d a k membutuhkan
pada

gambar


di

dalam

bilangan

bawah,

kita

nol.
tidak

m e n g h i t u n g n y a dengan cara menghitung dari nol (nol apel, satu apel, dua apel, ....)
melainkan dengan menghitung dari satu. Atau saat ditanya berapa apel yang kamu punya,
kita

akan


lebih c e n d e r u n g

menjawab

tidak

punya

apel

k e t i m b a n g menjawab saya punya nol apel.

Perkembangan Angka dari berbagi tempat
Kemungkinan

terbesar

manusia

mulai


menghitung

adalah

setelah

bahasa

berkembang. Saat itu jari-jari tangan merupakan alat hitung yang paling alami. Itulah
sebabnya mengapa sistem perhitungan yang kita gunakan saat ini menggunakan
bilangan berbasis 10. Untuk mencari bukti sejarah, ukiran pada batu atau kayu adalah solusi
yang paling alami. Dari bukti sejarah, sistem hitung yang paling awal terdiri dari simbol
berulang yang masing-masing terdiri dari sepuluh, yang diikuti oleh pengulangan
simbol untuk satu. Untuk contoh pada angka-angka yang digunakan saat ini seperti 1
sampai 10, kemudian 11 (simbol bilangan satu diulang pada simbol bilangan sebelas sebagai
penanda 11 adalah 10 + 1). Atau pada bilangan romawi, bilangan dua puluh satu dilambangkan
menjadi XXI (simbol angka sepuluh diulang kemudian dimulai lagi dari satu sebagai penanda 20
adalah 10 + 10 +1)


Angka Mesir (3000-1600 SM)
Di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum masehi, bukti sejarah yang
ditemukan menyebutkan bahwa satu disimbolkan sebagai garis vertikal, sedangkan 10
diwakilkan oleh lambang ^. Orang mesir menulis dari kanan ke kiri, jadi bilangan dua puluh tiga
disimbolkan menjadi |||^^. Bila anda sulit mengartikannya menjadi 23, bandingkanlah
dengan angka romawi XXIII. Angka romawi tersebut pada dasarnya adalah sistem
Mesir, diadaptasi oleh Roma dan sampai sekarang masih kita gunakan setelah
kemunculan pertamanya yaitu lebih dari 5000 tahun yang lalu.
Para juru tulis Fir'aun (yang hartanya sangat sulit untuk dihitung) menggunakan suatu
sistem untuk menghitung angka-angka besar. Memang sulit digunakan, tapi tidak diragukan lagi
itu yang mereka pakai. Membaca versi tertulis dari angka-angka besar mesir sama seperti
menghitung total nilai dari koin-koin judi di Las Vegas. Orang-orang mesir kuno
meletakan a n g k a y a n g b e s a r d i k a n a n , d a n y a n g k e c i l d i k i r i . J a d i , u n t u k
k e p e r l u a n d e m o n s t r a s i , bayangkanlah koin A bernilai 100.000, koin B bernilai 10.000,
koin C bernilai 1.000, koin D bernilai 100, koin E bernilai 10, dan koin F bernilai 1.
dengan nilai-nilai itu, angka Mesir FEEEDDDDDDCCCCBBBAA bisa mewakilkan
angka 234.641. Dan angka-angka besar seperti ini berperan dalam dokumen yang
mendeskripsikan harta-harta milik firaun. Simbol Mesir untuk angka besar seperti
100.000, adalah suatu simbol yang seperti burung, tetapi angka-angka yang lebih kecil
dilambangkan dengan garis lurus dan melengkung.

Angka Babylonia (1750 SM)
Orang-orang Babylonia, menggunakan sistem bilangan berbasis 60. Sistem ini
benar- b e n a r

sulit

digunakan,

karena

secara

logika

seharusnya membutuhkan 59 simbol yang b e r b e d a ( s a m a s e p e r t i
sistem desimal
berbeda s a m p a i

9).


berbasis

10

Sebaliknya,

saat
angka

dengan k e l o m p o k - k e l o m p o k s e p u l u h .

ini

mempunyai simbol yang

d i bawah

60

dilambangkan


Angka Babylonia
Yang menyebabkan bentuk tertulisnya sangan aneh jika dibandingkan dengan
composisi aritmatika manapun.
Melalui keunggulan orang Babylonia pada bidang astronomi, sistem
p e r h i t u n g a n berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang pada 60 detik dalam
satu menit, dan pada pengukuran sudut, 180 derajat pada jumlah sudut segitiga dan
360 derajat pada sudut satu lingkaran. Dan jauh setelah itu, saat waktu bisa diukur dengan
akurat, sistem yang sama juga digunakan dalam 60 menit dalam 1 jam.
Orang Babylonia mengambil langkah krusial menuju suatu sistem perhitungan
yang l e b i h e f e k t i f . M e r e k a m e m p e r k e n a l k a n k o n s e p n i l a i t e m p a t , y a i t u
a n g k a y a n g s a m a b i s a mempunyai nilai yang berbeda tergantung letak angka pada
urutan. Untuk lebih jelas, kita ambil contoh angka 222. Pada angka tersebut terdapat
tiga angka 2 yang mempunyai nilai yang berbeda-beda, yaitu 200, 20, dan 2. Tapi konsep
ini baru dan merupakan langkah yang sangat berani bagi orang Babylonia. Untuk mereka,
dengan sistem perhitungan berbasis 60, sistem nilai tempat lebih sulit untuk digunakan.
Untuk mereka angka simpel seperti 222 mempunyai nilai 7322 bila menggunakan
sistem hitung berbasis 10 yang kita gunakan (2 x 60 kuadrat + 2 x 60 + 2)
Sistem nilai tempat membutuhkan suatu tanda yang bermakna ”kosong”, untuk saat-saat
dimana jumlah nilai pada satu kolom sama dengan kelipatan 60. Dari sinilah awal mula angka
0. Meskipun bilangan nol itu sendiri belum ada, dan angka 0 tidak mempunyai
nilai numerik tersendiri.

Angka Suku Maya

Suku maya, sama seperti suku Aztec, menggunakan sistem bilangan berbasis
20.Seperti orang Babylonia, suku Maya menggunakan sistem nilai tempat, dan tentu saja,
angka n o l .

Mereka

menggunakan

3

set

mewakili angka:
a) Dengan titik dan garis,
b) Dengan figur antropomorfik, dan
c) dengan simbol.

Angka suku Maya

Figur di atas melambangkan angka 0-10 untuk suku Maya

Angka Romawi 300 SM

g r a f i k notasi yang berbeda untuk

Angka romawi menggunakan sistem bilangan berbasis 5. Angka I dan V dalam
angkaromawi terinspirasi dari bentuk tangan, yang merupakan alat hitung alami. Sedangkan
angka X/ lambang dari 10, adalah gabungan dua garis miring yang melambangkan 5. Dan L, C,
D,dan M, yang secara urut mewakili 50, 100, 500, dan 1.000, merupakan modifikasi dari simbol
V d a n

X

Garis yang miring mewakili jempol, yang kemudian menjadi simbol limaX(10) adalah gabungan
dua garis miring

Symbol L, C, D, & M merupakanmmodifikasi dari simbol V & X
Untuk

menulis

angka,

orang

R o m a w i menggunakan sistem

penjumlahan : V + I = VI (6) a t a u C + X + X + I = C X X I ( 1 2 1 ) ,
d a n s i s t e m pengurangan : IX (I sebelum X =9) atau XCIV (X sebelum C = 90, I
sebelum V = 4)

Nol, Sistem Desimal , dan Angka Hindu-Arab (300 SM – sekarang)

Pada sistem perhitungan Babylonia dan Maya, bentuk angka tertulisnya masih
sangan rumit untuk perhitungan aritmatika yang efisien. Selain itu, angka nol belum
berfungsi penuh.
Agar angka nol bisa memenuhi potensinya dalam matematika, setiap bilangan
harus m e m p u n y a i s i m b o l s e n d i r i a t a u p a l i n g t i d a k a n g k a - a n g k a d a s a r d a l a m
basis

h i t u n g a n mempunyai simbol sendiri. Sistem ini kemungkinan muncul

pertama kali di India. Angka- angka yang dipakai saat ini mengalami perubahan-perubahan
bertahap sejak 3 abad sebelum masehi.

Orang-orang India menggunakan lingkaran kecil saat tempat pada
a n g k a t i d a k mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil tersebut dengan nama sunya,
diambil dari bahasa sansekerta yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang
penuh sekitar tahun 8 0 0 M a s e h i , s a a t s i s t e m i n i j u g a d i a d a p t a s i d i B a g h d a d .
O r a n g a r a b m e n g g u n a k a n t i t i k sebagai simbol ”kosong”, dan memberi nama dengan arti
yang sama dalam bahasa arab, sifr.
Sekitar dua abad kemudian angka India masuk ke Eropa dalam manuskrip Arab, dan
dikenal dengan nama angka Hindu-Arab. Dan angka Arab sifr berubah menjadi ”zero”
dalam bahasa Eropa modern, atau dalam bahasa Indonesia, ”nol”. Tetapi masih perlu berabadabad lagi sebelum ke-sepuluh angka Hindu-Arab secara bertahap menggantikan angka romawi di
Eropa, yang diwarisi dari masa kekaisaran Roma.
Tokoh-tokoh matematika
Leonardo Pisano/Fibonacci (1170-1250)

Lenardo Pisano Bogolo, juga dikenal dengan nama Leonardo of Pisa, L e o n a r d o
P i s a n o , L e o n a r d o B o n a c c i , a t a u y a n g p a l i n g s e r i n g d i s e b u t dengan nama
Fibonacci, adalah seorang ahli matematika dari Itali. Beberapa orang menyebutnya “ahli
matematika dari barat yang paling berbakat pada abad pertengahan”.
Fibonacci
s i s t e m perhitungan

dikenal

oleh

Hindu-Arab

di

dunia
Eropa.

karena
Terutama

menyebarkan
melalui

publikasi

bukunya pada awal abad ke 13 yaitu Book of Calculation atau Liber Abaci.
Lahir sekitar tahun 1170, anak dari Guglielmo Fibonacci, seorang p e d a g a n g
k a y a i t a l i a . G u g l i e l m o m e m i m p i n s e b u a h p o s p e r d a g a n g a n (beberapa catatan
menyebutkan ia adalah konsultan untuk Pisa) di Bugia, sebuah pelabuhan di sebelah
timur Algiers Muwahidun kesultanan dinasti diAfrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair).
Sebagai anak muda, Leonardo berpergian dengan ayahnya untuk membantu ayahnya,
disanalah dia belajar tentang sistem perhitungan Hindu-Arab.
Menyadari bahwa berhitung dengan angka Hindu-Arab lebih sederhana dan
lebih e f i s i e n
menjelajahi

dibandingkan
seluruh

dengan

angka

d u n i a Mediterania

Romawi,

untuk

belajar

Fibonacci
di

bawah

p e n g a w a s a n m a t e m a t i k a w a n A r a b t e r k e m u k a s a a t itu. Leonardo kembali dari
perjalanannya sekitar 1200. Pada 1202, saat ia berusia 32 tahun, ia menuangkan semua yang ia

pelajari kedalam buku Liber Abaci (Kitab Abacus atau Book of Calculatiaon), dan dengan
demikian memperkenalkan angka-angka Hindu-Arab ke Eropa
Al-khawarizmi

Nama Asli dari al-Khawarizmi ialah Muhammad Ibn Musa alK h a w a r i z m i . S e l a i n i t u b e l i a u d i k e n a l i s e b a g a i A b u Abdullah Muhammad bin
Ahmad

bin

Yusoff.

Al-Khawarizmi d i k e n a l

di

Barat

sebagai

Al-

K h a w a r i z m i , A l - C o w a r i z m i , A l - Ahawizmi, Al-Karismi, Al-Goritmi, Al-Gorismi
dan beberapa cara ejaan lagi.
Beliau dilahirkan di Bukhara. Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan AlKhawarizmi. Al-Khawarizmi telah wafat a n t a r a t a h u n 2 2 0 d a n 2 3 0 M . A d a
yang

mengatakan

A l - Khawarizmi

hidup

sekitar

awal

pertengahan abad ke-9M.
Sumber lain menegaskan beliau hidup di Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/ 780M
dan meninggal tahun 266H/ 850M di Baghdad.
Dalam pendidikan telah dibuktikan bahwa Al-Khawarizmi adalah seorang
tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya
dalam bidang syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu
hitung, sejarah Islam dan kimia.
Beliau telah menciptakan pemakaian Sinus dan Tangen dalam
p e n y e l i d i k a n trigonometri

dan

astronomi.

Dalam

usia

muda

beliau

b e k e r j a d i b a w a h p e m e r i n t a h a n Khalifah al-Ma’mun, bekerja di Bayt al-Hikmah
di Baghdad.

Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan
astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau
pernah memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia
Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai disiplin.
Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar
dan hisab (ilmu hitung Islam). Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari
dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu populer
yang masih digunakan sampai sekarang.
Kepribadian al-Khawarizmi telah diakui oleh orang Islam maupun dunia
Barat. Inidapat dibuktikan bahwa G.Sarton mengatakan bahwa “pencapaian-pencapaian yang
tertinggi t e l a h d i p e r o l e h o l e h o r a n g - o r a n g T i m u r … . ” D a l a m h a l i n i A l K h a w a r i z m i . T o k o h l a i n , Wiedmann berkata…." Al-Khawarizmi mempunyai kepribadian
yang teguh dan seorang yang mengabdikan hidupnya untuk dunia sains". Beberapa
cabang ilmu dalam Matematika yang diperkenalkan oleh Al-Khawarizmi seperti: geometri,
aljabar, aritmatika dan lain-lain.
Pythagoras

Pythagoras of Samos adalah seorang filsuf YunaniIonia dan
p e n d i r i g e r a k a n keagamaan disebut Pythagoreanism. Sebagian besar informasi
tentang Pythagoras ditulis b e r a b a d - a b a d s e t e l a h i a h i d u p , d a n s e d i k i t n y a

i n f o r m a s i y a n g d a p a t d i p e r c a y a s e h i n g g a sangat sedikit yang diketahui tentang
dia.
Ia lahir di pulau Samos, dan mungkin bepergian secara luas di masa mudanya,
mengunjungi Mesir dan tempat-tempat lain untuk mencari pengetahuan. Sekitar 530
SM, ia pindah ke Croton, sebuah koloni Yunani di Italia selatan, disana dia mendirikan sebuah
sekte keagamaan. pengikut-nya mengejar ritual keagamaan dan praktek yang dikembangkan oleh
Pythagoras, dan mempelajari teori filosofisnya.
Masyarakat m e n g a m b i l

peran

aktif

dalam

politik

Croton,

tapi

ini

akhirnya menyebabkan kejatuhan mereka. Tempat pertemuan Pythagoras
d i b a k a r , d a n P y t h a g o r a s t e r p a k s a m e l a r i k a n d i r i . Dia dikatakan telah mengakhiri
hari-harinya

di

Metapontum. P y t h a g o r a s

memberikan

kontribusi

b e r p e n g a r u h t e r h a d a p f i l s a f a t d a n a j a r a n keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Ia sering dipuja sebagai matematikawan besar, mistik dan ilmuwan, dan dia terkenal karena
teorema Pythagoras yang diambil dari namanya.

Perkembangan Bilangan

Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat
menyusun

ulang

sejarah

bilangan

berdasarkan

solusi

persamaan,

yaitu

persamaan

linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita
akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat,
dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai
pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks. Secara sederhana,
sejarah

bilangan

dapat

kita

mulai

dengan

bilangan

Asli.

Bilangan

Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara
alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan
tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,
saudara,

dan

lain-lain.

Untuk

menghitung

benda-benda

tersebut

bilangan

yang

digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan
yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan
tersebut

dilakukan

setelah

jaman

modern

untuk

keperluan

pengembangan

ilmu

pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah
bilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N..Anggota
bilangan asli adalah N={1,2,3,…}. Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi
dengan

suatu

mengoperasikan

bilangan

aturan

tersebut.

Operasi

untuk

tersebut

adalah

penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli
bersifat

tertutup

terhadap

penjumlahan.

Artinya,

penjumlahan

dua

bilangan

asli

akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita
akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli
hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan
anggota
dengan

bilangan

asli.

menyertakan

0

Oleh
sebagai

karena

itu,

anggota.

sistem
Perluasan

bilangan
ini

asli

kemudian

harus
dikenal

diperluas
sebagai

bilangan Cacah.
Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan
nol menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki
notasi yang sama. Desa adanya bilangan nol, penulisan bilangan –bilangan yang besarpun
menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India tetapi kemudian

dipopulerkan

oleh

Perkembangan

bangsa

selanjutnya,

Arab

bilangan

pada

Cacah

era

pun

ternyata

keemasan

tidak

dapat

Islam.

sepenuhnya

merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang
memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang
memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan
keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang
ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan
membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.
Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan
bulat.

Dengan

operasi

pengurangan,

ternyata

diketahui

bahwa

jika

dua

bilangan

cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4
= 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya
dalam

bilangan

cacah.

Selanjutnya

digunakan

bilangan

negatif

untuk

menyatakan

hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 =
-2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk
bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah , dan anggota bilangan Z bulat adalah
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 - 6, tetapi dapat juga
dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal
tersebut,

setiap

bilangan

bulat

mewakili

suatu

hasil

pengurangan

dalam

cacah.

Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}.
Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti
anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan
asli.
Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk
struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah,
terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif
(grup

abelian).

tertutup,
komutatif,.
komutatif,

Hal

asosiatif,

ini

memiliki

Terhadap
asosiatif,

berarti

unsur

perkalian,
dan

terhadap

penjumlahan

identitas,
bilangan

mempunyai

unsur

bilangan

memiliki
bulat

identitas.

invers

memiliki
Dengan

bulat

bersifat

(lawan)
sifat,
demikian

dan

tertutup,
sistem

bilangan

bulat

memiliki

sifat

yang

lebih

lengkap

daripada

sistem

bilangan

sebelumnya.
Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat
tertutup.

Dalam

kehidupan

sehari-hari

kita

sering

harus

membagi

suatu

objek

menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh.
Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak,
maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh).
Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak
mendapat

setengah apel.

Tidak ada bilangan

bulat yang dapat digunakan

untuk

menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.
Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional.
Bilangan

rasional

didefinisikan

sebagai

bilangan

yang

dapat

ditulis

sebagai

m/n

dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka
persoalan

tentang

pembagian

dapat

diselesaikan.

Jika

sistem

bilangan

bulat

membentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan
(Field).
Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga
siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi
miringnya (hypotenusa) adalah √2. Namun, √2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis
real).

Ini

tersebut
bilangan

berarti
dikenal

ada

sebagai

irasional

didefinisikan

bilangan

sebagai

lain

bilangan

membentuk
bilangan

di

irasional.

sistem
yang

luar

sistem

Gabungan

bilangan

dapat

bilangan

real.

digunakan

rasional.

bilangan
Bilangan
untuk

Bilangan

rasional

dan

real

dapat

mengukur.

Sistem

bilangan real membentuk lapangan terurut yang lengkap. Sistem bilangan real dapat
memenuhi kebutuhan manusia tentang bilangan. Meski demikian, sistem bilangan masih
dapat diperluas.