BAB XI Teori Probabilitas - 08Bahan – Statistik dan Probabilitas pert 15 & 16

STATISTIK DAN PROBABILITAS
pertemuan 15 & 16

Oleh :
L1153
Halim Agung,S.Kom

BAB XI Teori Probabilitas
Definisi :
jika terdapat sejumlah n kejadian yang mungkin timbul dan jika kejadian tersebut lengkap
terbatas jumlahnya (exhaustive), saling lepas dan memiliki kesempatan yang sama untuk timbul,
maka jika sejumlah m dari kejadian di atas merupakan peristiwa E, probabilita peristiwa E
tersebut dapat dirumuskan sebagai suatu ratio m/n

m
p( E ) 
n
Ruang sampel
Definisi :
Sebuah ruang sampel S yang berkenaan dengan suatu percobaan aktual maupun
konseptual merupakan sebuah himpunan yang memiliki ketentuan :

1. Tiap unsur dari S menyatakan satu hasil percobaan .
2. Tiap hasil percobaan harus sesuaidengansatu dan hanya satu unsur dari S.

Contoh 1 : Jumlah mata dadu sebagai hasil pelemparan sebutir dadu merah (x) &
sebutir dadu putih (y)
x\y

1

2

3

4

5

6

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

4

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

5

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6

Ruang sampel disamping dapat ditulis
S={(x,y) 1  x  6; 1  y  6
}
Pada pelemparan 2 butir dadu diatas,
seluruh kejadian (hasil) yang mungkin
timbul adalah sebesar 6n=62=36.

Dengan kata lain ruang sampel terdiri atas 36 titik sampel.
Probabilitas terwujudnya tiap titik sampel yang terdapat dalam ruang sampel tersebut
menjadi sebesar 1/36.
Probabilita x=y adalah sebesar 6/36 atau 1/6 yaitu (1,1),(2,2),(3,3),(4,4), (5,5) dan
(6,6). Probabilita x+y=10 adalah sebesar 3/36 atau 1/12 yaitu (4,6),(5,5), dan (6,4)

Contoh 2 :
Probabilita untuk dapat memilih sebuah sampel yang terdiri
dari 3 orang dari sebuah populasi yang terdiri dari 30 orang
adalah sebesar

m
1
1
p ( 3 .orang ) 
 30 
n
C3
4060

Peristiwa (event)
Ruang sampel dapat dianggap sebagai suatu himpunan universal bagi
semua hasil aktual yang mungkin terjadi,karena pada tiap percobaan kita
selalu ingin mengetahui terjadinya pelbagai macam peristiwa atau
kejadian yang berkenaan dengan percobaan
Pada percobaan pelemparan sekeping uang logam sebanyak 3 kali akan
menghasilkan ruang sampel
S={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
Peristiwa timbulnya dua sisi adalah A={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}

Probabilitas suatu peristiwa
Definisi :
jika suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n hasil yang berbeda serta memiliki
kesempatan untuk terwujud yg sama & jika m dari hasil diatas merupakan peristiwa
A,
m

p(A) 

n

Jika semua peristiwa yang bukan A dinyatakan dengan A’ ,

p ( A) 

n m
 1  p ( A)
m

Perumusan diatas harus memenuhi :

m
Probabilita A bukan bilangan negatif p(A) > 0
p ( A)
m
 n

nm
Jumlah prob A harus =1 atau p(A)+p(A’)=1
nm
p ( A)
n
Perumusan diatas membawa konsekuensi prob A dan A’

Contoh :
sebutir dadu yang homogen memiliki 6 sisi, 4 dari keenam sisi dicat merah sedangkan
2 sisinya dicat biru. Jika dadu tersebut dilempar sekali, berapakah probabilita
timbulnya sisi yang bercat merah dan berapa probabilita timbulnya sisi dadu yang
bercat biru.
p(merah) =4/6=2/3=0,667

P(biru)

=2/6=1/3=0,333

Probabilita relative = p(A)/p(A’) = (2/3)/(1/3) = 2/1 atau 2 berbanding 1

Ketentuan :
Jika A merupakan suatu peristiwa, maka kita katakan rasio yang menguntungkan A
adalah a berbanding b jika dan hanya jika

a
p ( A) 
; a  b 1
a b
Dan rasio yang yang merugikan A’ adalah b berbanding a jika dan hanya jika

b
p ( A) 
;a b 1
a b

Peristiwa yang saling lepas (mutually exclusive)
Dua peristiwa merupakan peristiwa yang saling lepas jika kedua peristiwa tersebut
tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Secara matematis, dua himpunan A dan
B dikatakan saling lepas atau terpisah (disjoint) jika dan hanya jika kedua himpunan itu
tidak memiliki unsur yang sama dan AB=

A

B

Teorema : jika A dan B saling lepas dan merupakan peristiwa dalam sebuah ruang
sampel yang terbatas maka
p(A  B) = p(A) + p(B)
dimana A  B =  dan p(A  B) = p() = 0

Contoh 1 : Jika sebuah dadu dilempar sekali , berapakah probabilita trimbulnya mata
dadu 1 atau mata dadu 5
p(A  B) = p(A) + p(B)
= 1/6+1/6 =1/3
Teorema : Jika terdapat beberapa peristiwa yang saling lepas A 1,A2,A3,…,Am dalam
ruang sampel maka
p(A1  A2  A3...  Am)= p(A1)+p(A2)+…+p(Am)
Contoh 2 : pada pelemparan sebuah dadu homogen berapakah probabilita munculnya
mata 1 atau mata 2 atau mata 3 atau mata 4 atau mata 5 atau mata 6.
= p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1/6+ 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 1

Latihan
1.

Sebuah dadu dilempar dua kali . Peluang mendapatkan jumlah mata dadu paling
sedikit 10 adalah ..

2.

Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang
terambilnya kartu bukan As adalah …

3.

Dua dadu dilempar sekali. Besar peluang munculnya jumlah mata kedua dadu = 7
atau 10 adalah …

4.

Suatu kantong berisi 10 kelereng merah dan 20 kelereng putih. Peluang untuk
mengambil 1 kelereng merah adalah …

5.

Pada pelemparan tiga uang logam bersamaan , peluang muncul sekurang –
kurangnya 1 gambar adalah …

Peristiwa yang tidak saling lepas
Definisi : Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas jika kedua peristiwa tidak terpisah

A

B

B

A
C

Teorema : Jika peristiwa A dan B merupakan suatu gabungan (union) dan tidak saling
lepas dan kedua peristiwa tersebut terdapat dalam sebuah ruang sampel yang terbatas
maka probabilita AB adalah
P(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)
Jika peristiwa A,B dan C dan peristiwa tersebut tidak saling lepas maka peristiwa A
atau B atau C
P(ABC) = p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC)

Contoh :
Dalam sebuah populasi yang terdiri dari pembaca koran, persentasi pembaca koran A,B
dan C adalah sebagai berikut :
yang membaca koran A= 9,8%, yang membaca koran B=22,9%, yang membaca koran
C=12,1%, yang membaca koran A dan B =5,1%, yang membaca koran A dan C =3,7% dan
yang membaca koran B dan C=6,0%. Sedangkan yang membaca koran A dan B dan C =
2,4%
Tentukanlah:
a. Berapa persen pembaca yang ternyata membaca paling sedikit satu koran.
p(ABC)=p(A) + p(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - p(B C) + p(ABC)
= 9,8% + 22,9% + 12,1% - 5,1% - 3,7% - 6,0% + 2,4% = 32,4%
b. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca
koran A atau B
p(AB)=p(A)+p(B)-p(A B) =9,8%+22,9%-5,1% = 27,6%
c. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca
koran A atau C
p(AC)=p(A)+p(C)-p(A C) = 9,8%+12,1%-3,7% = 18,2%
d. Berapa probabilita seorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca
koran B atau C
p(BC)=p(B)+p(C)-p(BC) =22,9%+12,1%-6,0% = 29,0%

Peristiwa yang independen
Defenisi : Dua peristiwa dikatakan independenjika dan hanya jika terjadi atau tidak
terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa kedua
p(A  B)=p(A).p(B)
Contoh : Jika dua buah kartu dipilih secara random dan secara berturut-turut dari
setumpuk kartu bridge. Jika kartu pertama dikembalikan sebelum kartu kedua dipilih.
Berapa probabilita kartu pertama kartu keriting dan kartu kedua bukan kartu AS

13 1
p ( A) 

52 4
4 12
p(B)  1 

52 13
maka
p ( A  B )  p ( A ). p ( B ) 

1 12
3
. 
4 13 13

Probabilita bersyarat
Jika p(B) > 0, probabilita bersyarat dari peristiwa A dengan syarat peristiwa B

p( A B)
p( A \ B) 
 p(B)  0
p(B)
Contoh : Tiga bola putih dan satu bola merah dimasukkan kedalam kotak, jika seorang
secara random dan berturut-turut mengambil 2 bola dari dalam kotak. Serta bola
pertama tidak boleh dikembalikan sebelum bola kedua diambil. Berapa probabilita
kedua bola itu putih semua
3
2
 p(B) 
4
3
p( A  B)
p ( B \ A) 
 p ( A  B )  p ( A ). p ( B \ A )
p ( A)
3 2 1
 . 
4 3 2
p ( A) 

Teorema Bayes
Teorema BAYES dikemukakan oleh Thomas Bayes tahun 1763
Teorema 1: Jika {A1,A2,…,An} merupakan suatu peristiwa dari ruang sampel S dan
jika setiap peristiwa {A1,A2,…,An} memiliki probabilita  0 maka
P(A) = p(A1).p(A/A1) + p(A2).p(A/A2) +…+ p(An).p(A/An)
n

p ( A )   p ( A j ). p ( A / A j )
j 1

Teorema 2 : Jika {A1,A2,…,An} merupakan peristiwa dari ruang sampel s dan jika
masing-masing {A1,A2,…,An} memiliki probabilita  0 dan jika tiap sebarang
peristiwa A memiliki probabilita p(A) > 0 maka tiap bilangan bulat k, 1  k  n,
kaedah Bayes dirumuskan

p ( Ak / A ) 

p ( Ak ). p ( A / Ak )

n



j 1

p ( A j ). p ( A / A j )

Contoh 1 :
30% dari keluarga dengan penghasilan kurang dari Rp120.000/bulan, 25 %dari
keluarga dengan penghasilan Rp121.000 – Rp500.000/bulan, 25 % dari keluarga
dengan penghasilan Rp501.000 – Rp2.500.000/bulan, 20 % dari keluarga dengan
penghasilan lebih dari Rp2.500.000/bulan.
50% dari keluarga dengan penghasilan kurang dari Rp120.000/bulan, 30% dari
keluarga dengan penghasilan Rp121.000 – Rp500.000/bulan, 10 % dari keluarga
dengan penghasilan Rp501.000 – Rp2.500.000/bulan, 2 % dari keluarga dengan
penghasilan lebih dari Rp2.500.000/bulan,
telah menerima paket kuesioner tentang pengeluaran keluarga perbulan. Andaikan
secara random kita memilih satu keluarga diatas berapa probabilita keluarga tersebut
yang terpilih sudah menerima paket tersebut
P(A) = p(A1 )p(A/A1)+p(A2).p(A/A2)+p(A3).p(A/A3)+p(A4).p(A/A4)
P(A) = 0,30.0,50+0,25.0,30+0,25.0,10+0,20.0,02
P(A )= 0,254

Contoh 2 :
Dari seluruh penderita TBC yang diuji dengan sinar X, 90% dari seluruh pemeriksaan
membenarkan adanya TBC pada diri penderita, tetapi 10% dari hasil pemeriksaan gagal
menemukan adanya penyakit TBC.
Dari semua orang yang bukan merupakan penderita TBC dan yang diuji melalui sinar
X, 99% hasil pemeriksaan membenarkan bahwa orang-orang tersebut bebas TBC,
tetapi masih ada 1 % yang menunjukkan adanya penyakit TBC. Jika seorang diambil
secara random dimana 0,1 % saja yang menderita TBC dan jika orang tersebut
diperiksa dengan sinar X, ternyata memang ada pada orang tersebut. Berapa probabilita
benar-benar menderita TBC
P(A1) = 0,001 (menderita TBC 0,1%, dipilih secara random)
p(A1’) =1-0,001= 0,999 (tidak menderita TBC)
P(A/A1) =0,90 (menderita TBC 90% , dengan sinar X)
p(A/A1’) =0,01 (menderita TBC 1% , setelah diuji sinar X untuk ke-2 x nya)
p ( A1 / A ) 

p ( A1 ). p ( A / A1 )
0 , 001 . 0 ,90

 0 , 083
p ( A1 ) p ( A / A1 )  p ( A1 ' ). p ( A / A1 ' ) 0 . 001 . 0 ,9  0 ,999 . 0 , 01

Contoh 2 (lanjutan):

Contoh 2 (Lanjutan) :
A
(sinar X positif)

A
(sinar X negatif)

P( A1  A)  0,00090

P( A1  A' )  0,00010

P(A1)
0,001

A1’
(tidak menderita
TBC)

P( A1'A)  0,00999

P ( A1'A' )  0,98901

P(A1’)
0,999

Jumlah

P(A)
0,01089

P(A’)
0,98911

1,000

A1
(menderita TBC)

p ( A1 / A ) 

p ( A1  A ) 0 , 00090

 0 , 083
p ( A)
0 , 01089

Latihan
1.

Peluang seorang laki – laki akan hidup 25 tahun dari sekarang adalah 4/7 dan peluang
istrinya akan hidup 25 tahun dari sekarang adalah 3/5. peluang bahwa 25 tahun dari
sekarang paling sedikit satu orang akan hidup adalah …

2.

Suatu kelas terdiri dari 40 siswa , 25 siswa gemar kalkulus , 21 siswa gemar aljabar , dan 9
siswa gemar kalkulus dan aljabar. Peluang seorang siswa tidak gemar kalkulus maupun
aljabar adalah …

3.

Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu bridge. Peluang bahwa yang terambil
adalah kartu merah atau kartu As adalah …

BAB XII Permutasi dan Kombinasi
Permutasi sejumlah objek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan
tertentu
Permutasi dari n obyek seluruhnya
Definisi : jika n menyatakan bilangan bulat positif maka hasil penggandaan bilangan
tersebut dari 1 sampai n dinamakan faktorial dan diberi tanda n!
Teorema 1 :
Permutasi dari keseluruhan n obyek yang berbeda jumlah permutasi dari suatu
himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda, secara keseluruhan menjadi n! 
nPn= n!
Contoh : jumlah permutasi 3 jilid buku A, B, C adalah 3P3 = 3! = 3.2.1 = 6

Teorema 2 :
Permutasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda. Jumlah permutasi dari suatu
himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda dan yang diambil sekaligus sebanyak
r serta tampa pengulangan
n Pr 

n!
( n  r )!

Contoh : jumlah permutasi 2 huruf yang diambil dari kata LAUT
4P2 

4!
 12
( 4  2 )!

Teorema 3 : Permutasi dari n obyek jika n obyek tersebut membuat sebuah lingkaran.
Sejumlah n obyek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran
dalam (n-1)! Cara.
Contoh : Sekolompok mahasiswa yang terdiri dari 7 orang duduk mengelilingi sebuah
meja bundar. Berapa cara yang dapat dilakukan agar mahasisiwa bisa duduk
disekeliling meja tersebut
(7-1)! = 6x5x4x3x2x1 = 720 cara.

Kombinasi dari sejumlah obyek merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan
tampa menghiraukan urutan obyek tersebut
Teorema : Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda

C

n
r



n!
r ! ( n  r )!

Contoh : Suatu sampel harus terdiri dari 5 orang jika responden tersebut dipilih dari
suatu populasi yang terdiri dari 6 pria dan 3 wanita. Dalam berapa cara sampel diatas
dapat dipilih jika harus memiliki komposisi paling sedikit 3 pria.
3 pria 2 wanita

6!
 20
3!(6  3)!
3!
3
C2 
3
2!.1!
C 36 xC 23  20 x 3  60 cara
C 36 

4 pria 1 wanita

5 pria 0 wanita

6!
C 
 15
4! x 2!
3!
C 13 
3
1! x 2!
C 46 xC 13  15 x 3  45
6
4

6!
C 
6
5! x1!
6!
C 06 
1
0! x 6!
C 56 xC 06  6 x1  6
6
5

Maka total = 60 + 45 + 6 = 111 cara

QUIZ
1.

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah . 4 bola kuning dan 3 bola biru. Jika diambil 3
bola sekaligus secara acak maka peluang yang terambil itu dua bola merah dan satu bola
kuning adalah ..

2.

Pengurus suatu organisasi terdiri dari enam orang. Calon yang tersedia terdiri dari lima pria
dan empat wanita. Tentukan banyaknya susunan pengurus yang dapat dibentuk jika paling
sedikit terpilih tiga pria !

3.

Tersedia 10 gambar yang berbeda , 2 dari gambar itu digantungkan dalam sebuah baris.
Dalam berapa cara hal ini dapat dikerjakan ?

4.

Berapa cara 10 orang dapat duduk pada keliling meja apabila 2 orang yang istimewa harus
duduk selalu bersama ?

5.

Berapa cara suatu pasangan ganda putra bulu tangkis dapat disusun dari 10 pemain putra?

6.

Berapakah banyak diagonal segi-6 ?

7.

Berapa cara suatu tim basket “3 on 3” dapat disusun dari 10 pemain ?

8.

Seorang siswa diperbolehkan memilih 5 dari 10 soal. Dalam berapa cara ia dapat
memilihnya ?