Metode Gauss-Seidel dan Generalisasi Gauss-Seidel untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Kompleks (Contoh Kasus: SPL Kompleks dengan 4 persamaan dan 4 variabel)

  

Metode Gauss-Seidel dan Generalisasi Gauss-Seidel untuk

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Kompleks

(Contoh Kasus: SPL Kompleks dengan 4 persamaan dan 4 variabel)

_{1 2 1,2}

Fitri Aryani , Leni Tri Lestari

  

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sultan Syarif Kasim Riau

Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293

Email

  

ABSTRAK

Sistem Persamaan Linear (SPL) merupakan sistem persamaan yang terdiri dari dua atau lebih persamaan

linear. SPL ada beberapa bentuk, SPL riil dan SPL kompleks. Tujuan dari SPL untuk mendapatkan solusi

yang memenuhi persamaan yang diberikan. Metode Gauss-Seidel dan generalisasi Gauss-Seidel merupakan

salah satu metode yang banyak digunakan untuk memecahkan masalah pada sistem persamaan linear.

  

Penelitian ini menyelesaikan SPL kompleks yang berukuran empat persamaan dan empat variabel dengan

menggunakan metode Gauss-Seidel dan generalisasi Gauss-Seidel. Syarat SPL dapat diselesaikan oleh

metode tersebut memenuhi Strictlly Diagonally Dominant (SDD), bersifat simetris dan definit positif.

Berdasarkan hasil yang diperoleh bahwa SPL kompleks dapat diselesaikan dengan metode Gauss-Seidel dan

generalisasi Gauss-Seidel.

  

Katakunci : Generalisasi Gauss-Seidel, Metode Gauss-Seidel, Sistem Persamaan Linear Kompleks, Strictlly

Diagonally Dominant.

  

ABSTRACT

The System of linear Equations (SPL) is an equation system consisting of two or more linear equations.

  

Gauss-Seidel method and generalized Gauss-Seidel is one of many methods used to solve problems in the

system of linear equations. In this final task, the author completed a complex system of linear equation of

four equation and four variable using Gauss-Seidel method and generalized Gauss-Seidel. The terms of SPL

can be solved by such methods is Strictlly Diagonally Dominant (SDD), positive symmetric and positive

definite. Based on the results that SPL complex can be solved by the Gauss-Seidel methods and generalized

Gauss-Seidel

  .

  

Keywords: Generalized Gauss-Seidel, Gauss-Seidel Methods, Complex Systems of Linear Equations,

Strictlly Diagonally Dominant.

  

Pendahuluan

Penelitian Davod Khojasteh salkuyeh pada Tahun 2007 dengan judul

  “Generalized Jacobi and Gauss- Seidel methods for Solving Linear System of Equations”yang membahas tentang sistem

persamaan linear dengan , dengan matriks non singular dan entri diagonalnya tidak nol

maka matriks diberi pemisah yaitu:

  A  D  E  F (1)

dengan D adalah matriks diagonal dari A, E matriks segitiga bawah dari A, dan F adalah matriks

segitiga atas dari Maka definisi dari metode Gauss-Seidel _{( k  1 )  1 ( k )  1} x  ( D  E ) Fx  ( D  E ) b (2) Dengan syarat adalah matriks simetris.

  Lisa Marlena menyelesaikan tulisannya Pada Tahun 2014 dengan judul “Perbandingan

Solusi Sistem Persamaan Non Linear Menggunakan Metode Titik Tetap dan Metode Gauss-Seidel .

  

Selanjutnya, pada Tahun 2014 Andri Ramadhan, dkk melakukan kajian ulang dari penelitian-

penelitian sebelumnya dengan judul “Generalisasi Metode Gauss-Seidel untuk Menyelesaikan

  

Sistem Persamaan Linear”. Kajian yang dilakukan oleh Andri Ramadhan hanya fokus untuk

menyelesaikan permasalahan sistem persamaan linear dalam bentuk riil dengan menggunakan

metode Gauss-Seidel serta generalisasinya yang akan diberikan contoh.

  Adapun bentuk generalisasi metode Gauss-Seidel yang dimaksud penulis adalah : A  D  E  F (3) _{m m m} dengan a a

    _{1 , 1  1 , m  1}  

        a a 

  D  _{m m 1 , 1  n m , n}  

      

     

  a a _{n , n m  n , n} 

   

  dan

          a 

  E  _{m m  2 , 1}

     

     

   a  a _{n , 1  n  m  1 , n}  

   a  a  ^{1 , m 2 1 , n }

   

     

   

  

F    a 

_{m n m 1 , n}  

         

  dengan untuk Generalisasi Gauss-Seidel untuk Persamaan (3) dapat didefinisikan sebagai berikut : _{( k 1 ) 1 ( k ) 1}

     x  ( D  E ) F x  ( D  E ) b (4) _{m m m m m}

  Berdasarkan tulisan-tulisan tersebut yang membahas pada sistem persamaan linear dengan

bilangan riil, sistem persamaan non linear, maka penulis tertarik untuk membuat beberapa contoh

kasus menggunakan metode yang sama dengan menggunakan sistem persamaan linear kompleks.

  

Bahan dan Metode Penelitian

Berikut langkah-langkah metodologi penelitian untuk penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dengan invers matriks menggunakan metode Faddeev adalah sebagai berikut:

  1. Diberikan sistem persamaan linear kompleks.

  2. Mengubah sistem persamaan linear kompleks dalam bentuk persamaan matriks

  

3. Memeriksa apakah matriks A memenuhi syarat untuk diselesaikan dengan menggunakan

metode Gauss-Saidel dan generalisasi Gauss-Saidel, yaitu matriks A bersifat non singular, Strictly Dioganally Dominant (SDD) dan bersifat simetris. Jika A tidak memenuhi syarat sesuai definisi maka SPL tidak dapat diselesaikan dengan metode Gauss-Seidel dan generalisasi Gauss-Seidel.

  4. Penyelesaian SPL kompleks dengan metode Gauss-Seidel a.

  Menjabarkan matriks D, E, F pada metode Gauss-Seidel.

    

  1

  1

  1

  b. ( D  E ) , ( D  E ) F dan ( D  E ) b . Serta Kemudian mendapatkan bentuk matriks

T

diberikan tebakan awal x  [ , , , ]

.

_{( k 1 ) 1 ( k ) 1}

     c.

  Menggunakan persamaan metode Gauss-Seidel x  ( D  E ) Fx  ( D  E ) b untuk melakukan iterasi. _{n n}  ₁ d. x  x  , 0002 , maka iterasi dihentikan.

  Setelah dilakukan iterasi hingga _{i i}

  5. Penyelesaian SPL kompleks dengan Generalisasi Gauss-Seidel Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan SPL kompleks pada generalisasi Gauss-Seidel untuk m 1 , 2 ,... n 1 yaitu :  

a. D , E , F ,pada generalisasi Gauss-Seidel.

  Menjabarkan matriks _{m m m 1 1}   b.

  ( D  E ) , ( D  E ) F dan

  Kemudian mendapatkan bentuk matriks _{1 m m m m m} T

   ( D  E ) b . Serta diberikan tebakan awal x  [ , , , ] . _{m m} c. persamaan generalisasi Gauss-Seidel Menggunakan _{( k 1 ) 1 ( k ) 1}

     x  ( D  E ) F x  ( D  E ) b untuk melakukan iterasi. _{m m m m m n n  1} d.   , maka iterasi dihentikan. x x , 0002

  Setelah dilakukan iterasi hingga _{i i}

Hasil dan Pembahasan

  

Pembahasan yang dilakukan pada penelitian ini adalah memberikan contoh kasus untuk

penyelesaian SPL kompleks yang sesuai dengan metodologi penelitian.

  Contoh:

Diberikan sitem persamaan linier kompleks empat persamaan dan empat variabel sebagai berikut

dan akan diselesaikan dengan metode Gauss-Siedel dan generalisasi Gauss-Siedel.

  ( 10  4 i ) x  ( ₁ 1  i ) x  (  ₂ 2  3 i ) x  ( ₃ 2  2 i ) x  ₄ 6  2 i ( 1  i ) x  ( ₁ 10  4 i ) x  ( ₂ 1  i ) x  ( ₃ 2  2 i ) x 4  3  i

  (  2  3 i ) x  ( ₁ 1  i ) x  ( ₂ 10  4 i ) x  (  ₃ 2  3 i ) x   ₄ 4  3 i ( 2  2 i ) x  ( ₁ 2  2 i ) x  (  ₂ 2  3 i ) x  ( ₃ 10  4 i ) x   ₄ 7  5 i

  Sistem persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk Ax  b

  10  4 i 1  i  2  3 i 2  2 i x 6  2 i    ^{1   }    

   

  1  i 10  4 i 1  i 2  2 i x ₂ 3  i      

  A  x  b 

         2  3 i 1  i 10  4 i  2  3 i x  ₃ 4  3 i

        2  2 i 2  2 i  2  3 i 10  4 i x  ₄ 7  5 i

       

  

Akan diperiksa apakah matriks A memenuhi syarat untuk diselesaikan dengan menggunakan

metode Gauss-Seidel dan generalisasi Gauss-Seidel.

  1. Matriks A non singular Akan diperiksa matriks A bersifat singular atau non singular dengan mencari determinan matriksnya.

       

  2

  4

  10

  1

  3

  2

  2

  1

  3

  4

  10

  1

  2

  2

  3

  2

  2

  1

  

  3. Matriks A bersifat Simetris Matriks A bersifat simetris karena ^T A A  , dimana _{ji ij}

   a a untuk setiap n i ,..., 2 , 1  dan n j ,...,

  2 , 1       

       

            

          

  i i i i i i i i i i i i i i i i

  2

  A

  4

  10

  3

  2

  2

  2

  2

  4

  maka diperoleh _{14 13 12 11}  a a a a   _{24 23 21 22}  a a a a   _{34 32 31 33}  a a a a   _{43 41 41 44} a a a a

  10

  3

  2

  2

  2

  1

  4

  1

  10

  2

  2

  3

  2

  1

  4

  1

  4

  10      

  4

       

            

          

  

  i i i i i i i i i i i i i i i i

  A ^T

  10

  2

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  3

     Berdasarkan hasil diatas bahwa matriks A bersifat SDD.

  10

       

  1

  2

  2

  2

  1

  4

  10

  2

  1

  2

  3

  2

  1

  4

  10 A i 15842  48 det 

  3

  10

  2. Matriks A bersifat Strictlly Diagonally Dominant (SDD) Akan diperiksa apakah matriks A bersifat SDD. A bersifat SDD jika memenuhi 

  10

            

          

  

  i i i i i i i i i i i i i i i i

  A

  4

  3

  4

  2

  2

  2

  2

  2

  3

  2

  Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka dapat disimpulkan bahwa matriks A bersifat non singular. Terbukti bahwa . det  A

     ⁴ _{1 i j j ij ii} a a 4 ,....

  4

  1

  10

  1

  3

  2

  2

  2

  4

  2

  10

  1

  2

  2

  3

  2

  1

  4

  3

  2 , i 1 

  i i i i i i i i i i i i i i i i

  Berdasarkan matriks

       

       

            

          

  

  A

  2

  4

  10

  3

  2

  2

  2

  2

  10

  T karena A  A . Sehingga maka matriks A memenuhi semua syarat untuk diselesaikan dengan menggunakan metode Gauss-Seidel dan generalisasi Gauss-Seidel.

  a. Metode Gauss-Seidel: Sistem persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk Ax  dengan b

  10  4 i 1  i  2  3 i 2  2 i x 6  2 i       ₁

     

   

  1  i 10  4 i 1  i 2  2 i x ₂ 3  i      

  A  x  b 

       2  3 i 1  i 10  4 i  2  3 i  x   ₃ 4  3 i

        2  2 i 2  2 i  2  3 i 10  4 i x  ₄ 7  5 i

       

  Akan dijabarkan matriks D, E dan F pada metode Gauss-Seidel, yaitu :

  10  4 i         10 

  4 i  1  i    

  D  , E  ,

   10  4 i   2  3 i  1  i      10 

  4 i  2  2 i  2  2 i 2  3 i     1 i

  2 3 i 2 i          1 i

  2 2 i    

   

  F 

  

  2 3 i  

     

   ^{1  1 .  1 .}

  

Selanjutnya akan dicari dan dengan menggunakan program

( D  E ) , ( D  E ) F , ( D  E ) b Maple 13.

  , 08621  , 03448 i     ₁  , 0002973  , 01219 i , 08621  , 03448 i

   

   ( D  E ) 

  , 004684  , 03207  , 01219  , 0002973 , 08621  , 03448 

i i i

   

 , 03812  , 002605 i  , 001532  , 02835 i  , 005351  , 03062 i , 08621  , 03448 i

   

   .  , i  , 052  , 12 i , 070  , 33 i  , 24  , 10 i          

  . , i , 012 , 012 i , 085 , 027 i , 075 , 22 i  ¹

     

  ( D E ) . F        . . i , 037 , 027 i , 098 , 038 i , 040 , 28 i 

   .  , i , 041  , 035 i  , 054  , 084 i  , 082  , 024 i 

    , 58622  , 03446 i    , 19799  , 11710 i

   ¹    

  ( D E ) . b     , 44911 , 31120 i  

   , 70129  , 80565 i  

Berikut hasil iterasi yang diperoleh menggunakan program Maple 13 dengan persamaan

• , 3112 i 4491 , 
• , 8056 i 7013 , 

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  3

  2 ,

  4

  10

  3

  2

  2

  2

  4

  10

  1

  1

  4

  10

  1

  1

  4

  10

  1

¹

¹ i i i

  F i i i

  3

  2

  Tabel 1 Iterasi Kasus Menggunakan Metode Gauss-Seidel n 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

  4 ^{3 2 1}

  1 , 03446 i 5862 ,  i 1171 , 1980 , 

  2 0,7048-0,00146i 0,09939-0,2942i -0,2089-0,0340i -0,5701+0,7237i 3 0,7997-0,05737i 0,0936-0,2859i -0,2385-0,1195i -0,6293+0,7287i 4 0,7834-0,05002i 0,0974-0,2913i -0,2402-0,093i -0,6155+0,7324i 5 0,7896-0,04907i 0,0962-0,2907i -0,2371-0,0995i -0,6187+0,7298i 6 0,7882-0,04982i 0,0966-0,2907i -0,2386-0,0982i -0,6181+0,7308i 7 0,7884-0,04949i 0,0966-0,2908i -0,2381-0,0984i -0,6182+0,7305i 8 0,7883-0,04957i 0,0966-0,2908i -0,2383-0,0984i -0,6182+0,7306i 9 0,7883-0,04950i 0,0966-0,2908i -0,2383-0,0984i -0,6182+0,7305i

  

Berdasarkan Tabel 1 dapat disimpulkan bahwa proses iterasi dihentikan setelah iterasi sebanyak 9

kali, bahwa

  . 4 , 3 ,

  2 , , 0002 1 , ^{) ) 8 ( 9 (}     i x x _{i i}

  Sehingga nilai x yang diperoleh :       

        

      

       

        i i i i x x x x

  , 6182 7305 , , 2383 0984 , , 0966 2908 , , 7883 04950 ,

  b. Generalisasi Gauss-Seidel Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan generalisasi Gauss-Seidel, dapat dipilih nilai dari parameter } 1 ..,

  2

  3 , 2 ,  1 {  n m sedemikian sehingga : untuk

  1  m dengan

       

       

       

       

       

      





       

         

           

  2

  E i i i i i i i i i i D

       

  

Berdasarkan Tabel 2 dapat disimpulkan bahwa proses iterasi dihentikan setelah iterasi sebanyak 6

kali, bahwa

  2 i

  , 8040 0526 ,  i , 0947 2892 ,  i

  , 2413 1040 ,   i , 6213 7266 ,  

  3 , 04637 i 7906 ,

   , 2924 i 1015 ,

   , 1008 i 2403 ,

    , 7283 i 6162 ,

   

  4

, 0476 i 7906 ,  i 2912 , 1007 ,  i 1008 , 2405 ,   i 7284 , 6165 ,  

  5

, 0474 i 7907 ,  i 2913 , 1007 ,  i 1008 , 2405 ,   i 7283 , 6165 ,  

  6

, 0474 i 7907 ,  i 2913 , 1007 ,  i 1008 , 2405 ,   i 7283 , 6165 ,  

  . 4 , 3 ,

    , 7490 i 6083 ,

  2 , , 0002 1 , ^{) ) 5 ( 6 (}     i x x _{i i}

  Sehingga nilai x yang diperoleh :

       

       

     

   

        

       

  i i i i x x x x

  , 6165 7283 , , 2405 1008 ,

  , 1008 2913 , , 7907 0474 ,

   

   , 0616 i 2370 , untuk

       

  . ) (

       

         

       

            

             

    i i i i

  E b D i i i i i i i i i i i i i i i i F E D

  , 60832 74903 , 023697 06158 , , 21954 099030 , . 58677 0028515 ,

  . ) ( , 02179 03085 , 1030 , 07192 , . , .

  , 02748 05086 , 01827 , 07670 , , . , .

  , 06907 2112 , 03052 , 04413 , , . , . , 2633 1227 , 328 , 06300 , , . , .

  1 _{1 1} ^{1 1 1 1} Selanjutnya akan dicari , ) ( , ) ( ₁ ^.

¹

_{1 1} ¹ _{1 1} F E D E D

   , 0990 i 2195 ,

      dan

  E b D ^{. 1} _{1 1} ) ( 

   dengan menggunakan program Maple 13.

       

       

  

     

      

      

           i i i i i i i i i i i i i i i i E D

  , 07602 03484 , 03000 , 005232 , 02168 , 001517 , 0007482 , 03484 , , 006019 02759 , 03458 , 07695 , 001740 , 0009249 , 02051 , 007583 , , 0006480 003607 , 0003253 , 01094 , 03529 , 08496 , 01488 , 0002542 ,

  , 0004018 0002648 , 001337 , 0005267 , 01208 , 0001357 , 03528 , 08442 , ) ( ¹ _{1 1} Berikut hasil iterasi yang diperoleh menggunakan program Maple 13.

  Tabel 2 Iterasi Kasus Menggunakan Metode Gauss-Seidel m=1 N

  0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

  1 , 029 i 5868 ,

  4 ^{3 2 1}

  2  m

E b D x F E D x

^{k k . 1} _{2 2} ^{) (}

₂

¹ _{2 2} ^{) 1 (} ) ( ) (

       

  E b D i i i i i i i i i i i i i i i i

      i i i i

                   

       

         

       

       

  

, 0009005 02361 , 001157 , 001472 , 03676 , 07975 , 006295 , 002814 ,

, 01180 0008258 , 02573 , 006071 , 01188 , 0007807 , 03337 , 07865 ,

) ( ¹ _{2 2}

  , 0918 3076 , , 5866 05978 , ) ( , 064 060 , , . , . , .

  

, 07428 03500 , 01913 , 007331 , 02045 , 002132 , 001047 , 03090 ,

, 06315 02584 , 03325 , 07082 , 001587 , 0007341 , 01878 , 007310 ,

   i i i i i i i i i i i i i i i i E D

              

              

       

       

   dengan menggunakan program Maple 13.

  

  F E D , 5337 7186 , , 2165 050 ,

  , 023 053 , , . , . , . , 0070 018 , , . , . , . , 22 , . . . , . 092 , . ) (

    dan b E D ^{. 1} _{2 2}

   , 2930 i 1010 ,

    , 7288 i 6168 ,

   , 1012 i 2413 ,

   , 2915 i 1007 ,

  3 , 04522 i 7884 ,

   

    , 7326 i 6110 ,

   , 09681 i 2423 ,

  2 , 04922 i 7701 ,

  . ¹ _{2 2} ^{2 1 2 2} Berikut hasil iterasi menggunakan program Maple 13.

   

    , 7186 i 5337 ,

   , 0520 i 02165

   , 3076 i 0918 ,

  1 , 05978 i 5866 ,

  0,0000

  0,0000 0,0000 0000 ,

  Tabel 3 Iterasi Kasus Menggunakan Generalisasi Gauss-Seidel m=2 n ¹ x ₂ x ₃ x ₄ x

  ) (

  Selanjutnya akan dicari , ) ( , ) ( ₂ ^{. 1} _{2 2} ¹ _{2 2} F E D E D  

  

  

    dengan

  3

  2

  2

  3

  1

  10

  41

  2

  2

  1

  2

  2

  3

  10

  4

  2 ,

  2

  ,

  2

  4

   i F

       

        

  2 ₂       

  2

  D ,

  i E i i i i i i i i i i i i i

  

         

           

       

  10

    

       

  10 _{2 2}      

  4

  1

  2

  3

  1

   

  4 , 04382 i 7893 ,

  3

  2

  41

  10

  1

  3

  2

  2

  2

  1

  4

  10

  1

  2

  2

  2

  2

  1

  4

  10 _{3 3 3}      

       

        

       

        

       

            

          

  

  F E i i i i i i i i i i i i i i i D

  Selanjutnya akan dicari , ) ( , ) ( ₃

^.

¹

_{3 3} ¹ _{3 3} F E D E D  

    dan E b D ^{. 1} _{3 3} ) (

  3

  2

   , 2914 i 1006 ,

       

   , 1014 i 2409 ,

    , 7282 i 6169 ,

   

  5 , 04362 i 7893 ,

   , 2914 i 1006 ,

   , 1014 i 2409 ,

    , 7282 i 6169 ,

   

  6 , 04362 i 7893 ,  i 2914 , 1006 ,  i 1014 , 2409 ,   i 7282 , 6169 ,  

  

Berdasarkan Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa proses iterasi dihentikan setelah iterasi sebanyak 6

kali, bahwa

  . 4 , 3 ,

  2 , , 0002 1 , ^{) ) 4 ( 5 (}     i x x _{i i}

  Sehingga nilai x yang diperoleh :

       

     

  2

  

  

    dengan

  2

  2

  3

  10

  4

  , , ,

  3  m

E b D x F E D x

^{k k . 1} _{3 3} ^{) (}

₃

¹ _{3 3} ^{) 1 (} ) ( ) (

   

  4 ^{3 2 1} untuk

  , 1006 2914 , , 7893 04362 ,

  , 6169 7282 , , 2409 1014 ,

  i i i i x x x x

       

        

    dengan program Maple 13.

  , 08594  , 03016 i , 002567  , 006888 i  , 006503  , 02047 i  , 03295  , 0009836 i     , 002567  , 006888 , 08015  , 03662  , 001897  , , 001130 , 0008805  , 02191 i i i i

   ¹ 

   ( D  E )  _{3 3}    , 006503  , 02047 i  , 001897  , 001130 i , 07206  , 03311 i  , 006502  , 02085 i

   

     

  , 03295 , 0009836 i , 0008805 , 02191 i , 006502 , 02085 i , 08140 , 03220 i   .  , i .  , i .  , i .  , i

      .  , i .  , i .  , i .  , i

   ¹   ( D  E ) . F  _{3 3 3}  .  , i .  , i .  , i .  , i 

    .  , i .  , i .  , i .  , i   , 7908  , 0475 i

      ₁ , 1007  , 2913 i 

    ( D  E ) . b  _{3 3}   , 2404  , 1008 i     , 6165  , 7284 i _{( k 1 )}   _{1 ( k ) 1 .}

     x  ( D  E ) F x  ( D  E ) b _{( k 1 ) 3 3 3 1 3 3}

    x   ( D  E ) . b _{( k  1 )  1 3 3} x  A . b

   ^{1 ( k )} F    karena sehingga nilai ( D E ) F x solusi dihasilkan tanpa proses iterasi.

  3 ^{3 3 3} Sehingga nilai x yang diperoleh : x

    , 7908  , 0475 i _{1  }    

  x , 1007  , 2913 i ₂

     

      

  x  , 2404  , 1008 i ₃

     

  x  , 6165  , 7284 i ₄

     

  

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan sebelumnya maka dapat diperoleh kesimpulan, yaitu:

1. Penyelesaian SPL kompleks dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks menggunakan metode Gauss-Seidel dan generalisasi Gauss-Seidel.

  

2. Penyelesaian sistem persamaan linier kompleks dan Hermit pada penelitian ini merupakan

contoh kasus untuk matriks ukuran solusinya berupa bilangan kompleks.

  

Daftar Pustaka

[1] Anton, Howard.“Aljabar Linear Elementer”, Edisi Ketiga. Jakarta : Penerbit Erlangga.

  1985.

[2] Anton, Howard,” Dasar-dasar Aljabar Linear”, Edisi Ketujuh, Batam : Penerbit

Interaksara. 2000.

  [3] Anton, Howard. “Elementary Linear Algebra”, Nine Edition. John Wiley, New York.

  2010. [4] Hadley, G. “Aljabar Linear”, Jakarta : Penerbit Erlangga. 1983.

  [5]

Lipschutz, Seymour. “Aljabar linear”, Edisi ketiga. Jakarta : Penerbit Erlangga. 2006.

[6] Marlena, Lisa. “Perbandingan Solusi Sistem Persamaan Non Linear Menggunakan Metode

  Titik Tetap dan Metode Gauss- Seidel”. Tugas Akhir Mahasiswa Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau. Pekanbaru. 2014.

[7] Nicholson, W. Keith. “Elementary Linear Algebra”, First Edition McGraw-Hill,

Singapore. 2001. [8] Paliouras, Johan. D. “Peubah Kompleks”. Surabaya : Penerbit Erlangga.1987. [9] Ramadhan, Andri, dkk. “Generalisasi Metode Gauss-Seidel untuk Menyelesaikan Sistem

  Persamaan Linear”. JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober 2014 2014. [10] Salkuyeh, D.k. “Generalized Jacobi and Gauss-Seidel Methods for solving Linear Sistem of Equations”. Numerical Mathematics, A journal of Chinese Universities, 16 : 164-170. 2007. [11] Spiegel, Murray G. “Peubah Kompleks”, Bandung : Penerbit Erlangga. 1964.