Sifat Linear Transformasi Laplace: Dengan menggumakan definisi (1.1), didapat bahwa Transformasi Laplace mempunyai

  

Oleh:

Kelompok IV

CICI NARTIKA 2007 121 159 RELA SEPTIANI 2007 121 433 RIKA OCTALISA 2007 121 447 ULPA ARISANDI 2007 121 450 RIRIN BRILLIANTI 2007 121 467 KELAS : 6.L

MATA KULIAH : MATEMATIKA LANJUTAN

DOSEN PENGASUH : FADLI, S.Si

  

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2010 Transformasi Laplace merupakan klas dari transformasi integral yang dimanfaatkan :

• • Untuk merubah bentuk persamaan diferensial biasa menjadi bentuk persamaan

  aljabar.

• • Untuk merubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa.

1. Definisi

  Misal fungsi f(t) terdefinisi untuk t ≥

  0. Maka transformasi Laplace (satu sisi atau unilateral) dari f(t) didefinisikan sebagai:

  ∞

• st

  L(f(t)) = e f(t) dt ............................................................................(1.1)

  ∫

  Integral (1.1) merupakan fungsi dalam parameter s, maka notasi lain yang biasa digunakan adalah F(s) = L (f(t)). Sedangkan fungsi asal f(t) dapat diperoleh dari

  Transformasi invers ₁ − f(t) = (F(s)).

  L

  Agar transformasi Laplace F(s) ada maka integral tak wajar (1.1) haruslah konvergen dan ini dapat dicetak dengan mencari limit : _b

  ∞

• st -st

  e f(t) dt = e f(t) dt ...........................................................(1.2)

  ∫ ∫ lim _b → ∞

  Bila kita coba untuk beberapa nilai bilangan bulat n, secara induktif didapatkan

  n

  transformasi Laplace untuk f(t) = t yaitu :

  n !

  F(s) = (s >0) ...................................................................................(1.3) ^{n 1}

• s
_{n 1} − ₁  

  −

  1  

  t

  Maka didapatkan transformasi invers,

_n

=

  L  

  ( n − 1 )!  

  

s

Contoh : at Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = e .

  Jawab : Dengan menggunakan definisi (1.1) didapatkan, _{b b}

  1

  (-s + a) t

  1 (-s + a) t = F(S) = e dt = e (s > a) ....(1.4)

  ∫ s a lim lim − ^{b s a b} +

  → ∞ − → ∞

  Dari bentuk (1.4) didapatkan transformasi invers, _{1  }

  −

  1

  at

   

  = e L

   s − a 

  Beberapa sifat :

  Sifat keberadaan transformasi, sifat ketunggalan dan sifat linear dari transfomasi Laplace namun sebelumnya, perhatikan beberapa definisi berikut. Fungsi f(t) disebut kontinu bagian demi bagian pada interval [a,b] bila : i. Interval [a,b] dapat dibagi menjadi sub-sub interval yang berhingga banyaknya yang menyebabkan f(t) kontinu pada sub-sub interval tersebut. ii. Limit dari f(t) pada setiap ujung sub interval bernilai hingga. Fungsi f(t) disebut terbatas eksponensial pada interval [a,b] bila terdapat bilangan real

  rt M dan r sehingga berlaku ( ) e untuk setiap t [a,b]. f t ≤ M ∈

  Sifat Keberadaan Transformasi Laplace :

  Transformasi Laplace dari f(t) dengan t 0 ada bila f(t) kontinu bagian demi bagian dan

  ≥

  terbatas eksponensial untuk t ≥ 0.

  Sifat Ketunggalan Transformasi Laplace :

  Transformasi lalace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila F

  1 (s) dan F 2 (s) merupakan

  transformasi Laplace dari f(t) maka F

  1 (s) = F 2 (s) .

  Sifat Linear Transformasi Laplace :

  Dengan menggumakan definisi (1.1), didapat bahwa Transformasi Laplace mempunyai sifat linear,

  ∞ _st −

  L af ( t ) bg ( t ) af ( t ) bg ( t ) dt

  ( ) = ( ) + + ∫ e

  ∞ ∞ _{st st} − −

• = a f ( t ) dt b g ( t ) dt ...........................................(1.5)

  ∫ ∫ e e

• = aF ( s ) bG ( s )

  Invers dari transformasi Laplace juga mempunyai sifat linear, karena : _{1 1}

  − −

  (c F(s) + d G(s)) = (L(cf(t) + dg(t) ))

  L L

  = cf(t) + dg(t) ...............................(1.6)

  − ^{1 − 1}

  = c (F(s)) + d (G(s))

  L L Contoh :

  2 Tentukan transfomasi Laplace dari f(t) = (t + 2)

  Jawab : Dengan menggunakan sifat (1.5) dan rumus umum untuk transformasi Laplace dari fungsi polinom (1.3) didapatkan transformasi Laplace dari fungsi

  2

  2

  f(t) = (t + 2) = t + 4 t + 4 , yaitu : ₂

  s

  2

  4

  4

  2

  4

  4

  s

  F(s) = ₃ + + ₂ = ₃

  s s s s

2. Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi Tingkat – n

  Misal f(t) dan turunannya f ‘ (t) kontinu dan terbatas eksponensial, maka f(t) dan f ‘ (t) mempunyai transformasi Laplace. Dengan menggunakan integral parsial dan sifat terbatas eksponensial dari f(t) maka diperoleh :

  ∞ ∞ ∞ − − ^{st st} +

• st

  L(f ‘ (t)) = f ‘ (t) dt = e f(t) s f ( t ) dt .............................................(1.7)

  ∫ ∫ e e

  Dengan menggunakn notasi (1.7) didapatkan transformasi Laplace dari turunan orde 2 dan orde 3 dari fungsi f(t) yaitu:

2 L(f ‘ “(t)) = s F(s) – sf (0) – f ‘ (0)

  Dan

  3

2 L(f ‘ “(t)) = s F(s) – s f (0) – sf ‘ (0) – f (0)

  Secara induktif dapat diperoleh transformasi Laplace dari turunan orde n fungsi f (t),

  (n) n n -1 n – 2 (n – 1)

  L(f (t)) = s F(s) – s f(0) – s f ‘ (0) - ... – f (0) .................................(1.8) Metode penurunan fungsi (1.8) akan lebih mudah diterapkan untuk menentukan transformasi Laplace dari fungsi yang apabila diturunkan sampai tingkat-n akan kembali ke bentuk semula. Untuk jelasnya diberikan contoh berikut. Tentukan transformasi Laplace dari f (t) = sin at Jawab : Dilakukan penurunan sampai tingkat ke-2 didapatkan, f(t) = sin at f (0) = 0 f ‘ (t) = a cos at f ‘ (0) = a

  2

  f “ (t) = -a sin at f “ (0) = 0 Pada penurunan tingkat-2 sudah dihasilkan bentuk asal, sehingga digunakan :

2 L(f “(t)) = s F(s) – sf (0) – f ‘ (0)

  2

2 L(-a sin at) = s L(sin at) – sf (0) – f ‘ (0)

  a

  L(sin at) = ^{2 2}

• s a

  Dari hasil yang didapatkan pada contoh (1.5) didapatkan transformasi invers, _{1 at}  

  −

  1 sin   _{2 2} =

  L  

• a

   

  s a

3. Transformasi Laplace dari Integral Fungsi

  Pada metode penurunan fungsi (1.8) diperlihatkan bahwa transformasi Laplace dari turunan fungsi didapatkan dengan mengalikan hasil transformasi fungsi dengan s. Karena integral merupakan anti turunan maka dapat diturunkan transformasi Laplace dari integral fungsi yang merupakan pembagian dari hasil transformasi fungsi oleh s. Misal F(s) = L (f(t)) ada. Maka : _t

   

  1 L f x dx F s  ( )  = ( ) .................................................................................(1.15)

  ∫ s

    Dengan s > 0. Sedang dengan menggunakan transformasi invers didapatkan : _{1  F s  t}

  − ( )

   

  = f ( x ) dx ...................................................................................(1.16) ∫

  L s

    Contoh :

  4 Tentukan invers dari : G(s) = ₂

• 2 s

  s

  Jawab :

  F s

  ( ) Menggunakan sifat (1.11), G(s) dapat dituliskan sebagai : G(s) = dengan

  s

  4

  

2t

F(s) = . Invers dari F(s) adalah f(t) = 4e . s

  −

  2 Oleh karena itu, invers dari G(s) adalah _t

  2x 2t

  g(t) = 4e dx = 2(e - 1)

  ∫

  Berikut diberikan tabel pasangan transformasi Laplace untuk beberapa fungsi yang bisa diselesaikan menggunakan metode yang diberikan sebelumnya.

Tabel 1.1 Transformasi Laplace

  f(t) F(s) = L(f(t)) Domain dari F(s)

  n

  !

• n
• n
^{1 S > 0}

  T (n ∈ )

  B s

  1

  at

  e S > a

  s a − b

  Sin bt ^{2 2 S > 0}

• s b
₂ s

₂

Cos bt S &
• s b

  b

  Sinh bt ^{2 2 S > b}

  − s b

  ₂ s _{2 S > b}

  Cosh bt

  − s b

4. Pergeseran Terhadap Sumbu S

  Misal fungsi f(t) mempunyai transformasi Laplace, F(s) = L (f(t)). Maka grafik

  at

  hasil transformasi Laplace dari g(t) = e f(t), dengan menggeser grafik hasil transformasi dari f(t) atau grafik F(s) sepanjang a satuan kea rah kanan (bila a>0) atau kea rah kiri (bila a<0).Maka didapatkan transformasi Laplace : _{at −} ∞ _{st at}

  e f

  L (t ) = e e f ( t ) dt

  ( ) ( ) ∫ ∞ _{( s a ) t} − −

  = e f ( t ) dt ………………1.17

  ∫

  =F(s – a) Sehingga transformasi invers

• 1 at

  L (F(s- a)) = e f(t) …….1.18 Contoh 1.

  

2t

  Tentukan transformasi Laplace dari : g(t) = e sin 3t Penyelesaiaian :

  2t

  Misal f(t) = sin 3t. Maka g(t) = e f(t)

  3 Transformasi laplace dari f(t) yaitu F(s) = .Oleh karena itu,

²

+

  s

  9

  3 G(s) = F(s – 2) = ² + ( s − 2 )

  9 Contoh 2.

  s

  Tentukan invers Dari G(s) = ₂

  s s

  2

  2

  Penyelesaian :

  1

  1

  s

• s

  G(S) = = − + _{2 2 2}

  s

  2 s

  2

  1 1 s

  1

  1

  ( ) ( ) s

  s + + + + + +

  −

  1 Misal F

  1 (s) = dan F ₂ 2 (s) = , maka keduanya mempunyai invers berturut – ₂ s

  1 s

  1

  turut f

  1 (t) = cost t dan f 2 (t) = -sint, sehingga G(s) = F1 (s+1) + F2(s+1). Oleh karena itu

• t

  invers dari G(s) adalah g(t) = e (cost – sint)

  5. Pergeseran terhadap sumbu t _{; t a} <

  Misal F(s) = L(f(t)) ada dan didefinisikan fungsi tangga g (t) = dengan

  { f ( t − a ) _{; t > a}

  a

  0. Untuk mencari transformasi laplace dari fungsi tangga g(t) yang terdefinisi

  ≥

  untuk t>0 dapat diselesaikan dengan memperkenalakan fungsi tangga satuan Fungsi tangga satuan atau fungsi Heaviside didefinisikan sebagai berikut

   , t < a

  U (t-a) = .......... .......... .......... .......... .......... .........( 1 , 19 )  1 , t > a 

  Dengan a > 0 Garafik fungsi tangga satuan (1,19) ditunjukan pada gambar 1.2 berikut

  1 a Gambar 12

  L(g(T)) = L (f(t-a)u(t-a)

  ω − st

  = e f ( t a ) u ( t a ) dt

  − − ∫ ω _st

  −

  = e f ( y a ) u ( y a ) dy

  − − ∫ _a

  ω − st − st

• = e f ( y a ) dy e f ( y a ) dy

  − − ∫ ∫ _a ω _st

  −

  = e f ( y a ) dy

  − ∫ _a ω

  − ^{s ( A T )} +

  = e f ( t ) dt

  ∫ _a ∞ _st −

• as

  e f (t ) ∫

  = e

• as

  = e F (s) Sehingga diperoleh transformasi laplace untuk g(t) = f(t – a) u ( t – a)

• as

  L(g(t)) = L(f(t – a)u(t – a)) = e F(s) …………………1.20 Sedangkan transformasi invers _as

  −

• 1

  e F (s ) ( )

  L = f(t – a)u(t – a) = g(t) …………………..1.21

  1 Misal f(t – a) = 1 maka f(t) = 1 dan F(s) = , maka didapatkan transformasi Laplace dari

  S

  fungsi tangga satuan

  − as e

  L u t − a = ……………………………1.22

  ( ) [ ] s

  Dan Transformasi Invers : _as

  −

   

  e

• 1 =

    L u(t – a) ……………………………1.23

  s

   

  Contoh :

  Tentukan transformasi Laplace dari fungsi g(t) = t u(t – 2) Penyelesaian : Bila kita padankan dengan pasangan transformasi Laplace, g(t) = f(t – a)u(t – a) ↔ G(s)

• as

  = e F(s), maka dimisalkan f ( t- 2) = t. Oleh karena itu, f(t) = t + 2 dan F(s) =

  1

  2

• 2as -2as

  1

  2 _{2 2} + + .Jadi Transformasi Laplace dari fungsi g(t) adalah G(s) = e F(s) = e

  s s s s

  Contoh : − π s

e

  Tentukan Invers dari transformasi, G(s) =

²

+

  s

  4 Penyelesaian :

  1 Misal : F(s) = ² +

  s

  4

  1

  t

  Maka invers dari F(s) adalah f(t) = sin

  2

  2 Dengan menggunakan bentuk 1.21 maka didapatkan invers dari G(s), g(t) =

  1

  t u t

  sin 2 − ( − )

  π π ( )

  2

6. Transformasi Laplace dari Fungsi Tangga

  Misal diberikan fungsi f(t) = 2 u(t) + (3t – 2) u (t – 1) – 5t u (t – 2). Maka nilai fungsi f(t) untuk beberapa interval :

• Interval t< 0,

  Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 1) = u (t – 2) = 0, sehingga f(t) = 0

• Interval 0< t <1

  Pada interval ini, nilai u (t) =1 dan u (t – 1) = u (t – 2) = 0, sehingga f(t) =2

• Interval 1 < t < 2

  Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 1) =1 dan u (t – 2) = 0, sehingga f(t) =2 + (3t – 2) = 3t

• Interval t > 2

  Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 2) = 1, sehingga f(t) =2 + (3t – 2)- 5t = 2t Grafik fungsi f(t) ditunjukan pada gambar 1.3. Sehingga bila fungsi f(t) dinyatakan dalam fungsi tangga maka f(t) : ;t < 0

   

  ; 0 < t < 1 

  2 F(t) = ;1 < t < 2  3 t 

  ; t > 2 

  −

  2 t 

  Bila dikaitkan dengan transformasi laplace, maka hanya akan di perhatikan nilai fungsi f(t) untuk t 0, sehingga fungsi f(t) :

  ≥

  ; 0 < t < 1 

  2 

  ;1 < t < 2  3 t

  F(t)= ; t > 2 

  −

  2 t

• ) dan untuk t < a diambil tanda negative (-) (ii) Transformasikan masing –masing suku yang didapatkan dari (i) menggunakan metode 1.20.

  1. Nyatakan g(t) ke dalam susku – suku dari u(t – a)

  ≤

  t

  ≤

  ’’

  Contoh masalah nilai awal yang berkaitan dengan pemakaian fungsi tangga satuan diberikan contoh berikut : ; t < 0 y

  − −

  s e s e s ^{s s}

  1

  G(t) = ₂ ^{2 2}

  2. Dengan menerapakan bentuk 1.15 didapatkan transformasi Laplace dari g(t) yaitu :

  1. Batas sub interval dari g(t) adalah 0 dan 2, sehingga g(t) dapat dinyatakan dalam suku- suku dengan factor u(t) dan (t – 2) jadi : G(t) = u(t) – u(t – 2) + t.u (t – 2) = 1 + u ( t – 2) + (t -2) u (t – 2)

  2. Tentukan transformasi Laplace dari g(t) Penyelesaian :

  ; t < 0 Dik : g(t) = ; 0 < t < 2 ; t > 2

  Contoh :

  b) Nilai suatu suku dari g(t) akan merupakan perkalian antara u(t – a) dan nilai fungsi bersesuaian dengan a yang diambil tanda positif dan tanda negative ditentukan dari perbandingan antara t dan a. Untuk a < t diambil tanda positif (

  (i) Ubahlah g(t) ke dalam bentuk suku – suku dengan factor fungsi tangga satuan u (t – a) dengan cara berikut : a) Nilai a pada u(t – a) diambil dari batas masing – masing sub interval fungsi g(t).

  ; 0 < t < 1 U (t – 2) dan fungsi f(t) = ; 1 < t < 2 ; t > 2 Langkah – langkah untuk menentukan transformasi laplace dari fungsi tangga g(t) :

  Misal dihadapkan permasalahan untuk mendapatkan trnsformasi Laplace terhadap dua fungsi yang sama yaitu fungsi : F(t) = 2 u(t) + (3t – 2) u ( t – 1 ) – 5t

  1      2 t

  t

  2     

  3

  2

  − t t

      

• 4y’ + 4y = r(t) ; r(t) = 0

  1 ; y(0) = y’ (0) = 0 ; t > 1

  1. Tentukan transformasi laplace r(t) 2. Tentukan solusi masalah nilai awal tersebut. Penyelesaian :

  1. Batas sub interval dari fungsi r(t) adalah 0 dan 1, maka bentuk fungsi tangga satuan yang akan menjadi factor di dalam tiap suku dari fungsi r(t) adalah u(t) dan u(t -!), jadi r (t) = 2t – 2 t.u (t – 1) = 2t – 2 (t-1)u (t – 1) – 2u (t – 1) diperoleh hasil transformasinya :

  2

  2

•  s 

  2 _s

  − r t e

  L = −

  ( ) [ ] ^{2 2} s  s 

  2. Dengan memisahkan L ( y(t)) = Y (s) dan dengan mengambil transformasi pada kedua ruas didapatkan :

  2

  2 2 s

•  

  − s

  Y(s) = − e _{2 2}   _{2 2}

  2 ) s ( s 2 )  

  s ( s + + +

  Misal

  s s −

  1

  3

  2

  2

  2

  2

  3

• F(s) = =
^{2 2 2 2}

  ( 2 ) s

  2 Dan  

• s s s

  ( )

  1

  1

  2 2 s s s

•  

  − −

  2

  2  

  G(s) = e = − e   _{2 2 2 2}

   

  2 ) s ( s 2 )  

  s ( s + +

    Maka berturut – turut invers dari F(s) dan G(s) adalah _{2 t}

  − t e

  −

  1 F(t) = t ( 1 )

  2

  2

  2 Dan   1 t

  1

  1

  − ( )

  − − ^{2 ( t −}

• +

  G(t) = u (t – 1) te e
^{1 ) − 2 t − 1 )}  

  2

  2

  2

  2 Oleh karena itu solusi masalah nilai awal adalah : Y(t) = f(t) – g(t) _{2 t}

  −

   

  −

  1 t e 1 t

  1 ^{2 ( t 1 )}

  1 ^{2 t 1 )}

  − − − − ( )

  = ( 1 t ) - u (t – 1) − te − e

  2

  2 2 

  2

  2

  2 2 

7. Fungsi Delta Diract

  Diperkenalkan fungsi impuls satuan atau fungsi delta direct. Fungsi delta direct atau fungsi impuls satuan didefinisikan : ,t = a

  

  1

  t a δ − = 

  ( )

  t a

  ≠

   Transformasi laplace dari fungsi delta direct diperoleh dari perhitungan langsung atau menggunakan fakta bahwa fungsi delta direct merupakan turunan dari fungsi tangga :

  L δ t − a = L u ' t − a

  ( ) ( ) [ ] [ ]

  = sL u ' t a - u(0)

  − [ ( ) ]

• as

  = e Sedangakan transformasi invers

• 1 as

  − δ

  ( ) ( )

  Contoh : Tentukan nilai masalah awal : y; + 2y’ + 2y = δ t − π ; y(0) = y’ (0) = 0

  ( )

  Penyelesaian : Dengan melakukan transformasi pada kedua ruas dan menggunakn (1.119) didapatkan,

  π s − e

  Y(s) = .Solusi masalah nilai awal merupakan invers dari y(s) yaitu y(t) = ₂ ( s

  1 )

  1

  − ( t − π ) e sin( t ) u ( t )

  − π − π

  Diberikan table Dario pasangan transformasi laplace yang berkaitan dengan pergeseran sumbu dan fungsi tangga satuan.

Tabel 1.2 Pasangan Transformasi Laplace Berkaitan Dengan Pergeseran Sumbu

  f(t) f (s) = L (f(t)) Domain dari F(s) ^{n at} + S > a

  n ! t e n ∈ B ( )

• + n

¹ s a

  − (

)

at

  e sin bt S > a

  b

₂

₂ s − a b ( )

• +

  at

  e cos bt S >a

  s − a

²

²

  − ( ) at

• +

  s a b

  e sinh bt b _{2 2} S > a + b

  s − a − b ( ) at

  e cosh bt s a

  − _{2 2} S > a + b s a b

  − − ( )

Tabel 1.3 Pasangan Transformasi Laplace Berkaitan dengan Fungsi Tangga Satuan

  No F(t) F(s)

  1 Au(t – a) A _as

  − e s

  2 Atu (t – a)  

  

A Aa

− ^as

• +

   
₂ e  

  

s s

  2 ₂

  3 A t u(t – a)  

  2 A

  2 A Aa ^as

  −

• e

   ^{3 2 }

  s

s s

   

  bt

_ba

−

  4 Ae u (t – a)

  Ae _as − e

• s b

  5 A cos bt u(t – a)  

  A cos ba s Ab (sin ba ) as ( ) −

  − e

   

  s b s b

• +

  +

  6 A sin bt u(t – a)  Ab ba 

  A ba b (sin )

  cos as

  

( )

−
• e

   ^{2 2 2 2 }  s b s b 

• ct

  7 Ae cos bt u (t – a)  

  A ba s c Ab ba

  cos (sin )

• − a ( s c )

  ( )( )

  e −

    _{2 2 2 2}

  s c b s c b

  ( ) ( )

   

• ct

  8 Ae sin bt u (t – a)  

  (sin )( )

  A cos ba b A ba s c ( + ) −

    _{2 2 2 2}  ( s c ) b ( s c ) b 

  e ^{a ( s c )}

8. Metode Penurunan dan Integrasi Transformasi

a. Penurunan Transformasi

  ∞ _st −

  Misal L f t = e f t dt . Bila F(s) diturunkan terhadap s maka ruas kanan juga

  [ ] ( ) ( ) ∫

  diturunkan terhadap s yaitu integran diturunkan terhadap s dengan memandang peubah lain (t) sebagai konstanta.

  ∞ − st

  Turunan Pertama : F ' s = e − tf t dt = − L tf t

  ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ∫

  ∞ − st

²

² Turunan Kedua : F ' ' s e t f t dt L t f t

= =

  ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) _{( 3 ) − st} ∞ _{3 3} Turunan Ketiga : t f t dt L t f t

• F s = e = −

  ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

  Maka secara induktif dapat diperoleh transformasi dari turunan fungsi tingkat-n yaitu: _{n n n}

  ( ) L t f t = −

  1 F s .......................................................... (1)

  ( ( ) ) ( ) ( )

  Sedang transformasi invers, _{1 n n n}

  − L F s t f t

  = −

  1 .......................................................... (2)

  ( ) ( ) ( )

  Contoh:

   

  1  

  Tentukan transformasi Laplace dari fungsi g t t sin t − π !

  

( )

   

  4 Jawab: Misal:

   

  1

  1

  π f t  t  t t

  = sin − = sin − cos ( )

   

  4

  2

  2 Maka didapatkan hasil transformasi dari f(t), 1 s

  F s = − ( ) _{2 2}

  2 s

  1 2 s

  1

  ( ) ( )

  Sehingga transformasi laplace dari g(t) yaitu: ₂

  2 s

  1 G s = − F ' s =

  s + − +

  ( ) ( )

• s
² ( )

b. Pengintegralan Transformasi

  f t ( ) lim

  Misal L(f(t)) = F(s) dan ada, maka:

• t

  → t

  ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

      _{xt xt}

  − −

     

  F x dx e f t dt dx f t e dx dt = =

  ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ _{s s    s }    

  ∞ ∞ ∞

   

  −

  1 xt st f t

  − ( )

   

  = f t e dt = e dt ................................. (3) ( )

  ∫ ∫

   t  t _s  

  f t ( )

   

  = L

   t  Transformasi Laplace invers.

  ∞

    ₁ f t

  − ( )

  .......................................................... (4)

  L  F x dx  = ( )

  ∫ t

   s  Metode pengintegralan transformasi akan lebih mudah diterapkan untuk menentukan invers transformasi bila bentuk transformasi berupa fungsi logaritma atau fungsi invers trigonometri. Misal diberikan transformasi G(s). Maka dapat dituliskan:

  ∞ G s F x dx .

  = ( ) ( )

  ∫ _s

f t

  ( )

  Sehingga G’(s) dan invers dari G(s) . g(t) =

  

t

Contoh:
•  s a 

  G s  

  Tentukan invers dari = ln !

  ( )

   

• a b
Jawab: Fungsi G(s) dapat dinyatakan, G(s) = ln (s + a) – ln (s + b). hasil turunan pertama dari

  1

  1

• G(s), G’(s) =

  s a s b

  1

  1

• Misal F(x) = - G’ (s) = - , maka invers dari F(s) adalah:

  s a s b

  at bt − − f t e e

  = − + .

  ( ) − bt − at e e

  − g t

  =

  Didapatkan invers: ( )

  t

9. Konvolusi Definisi:

  Konvolusi dari dua fungsi f(x) dan g(t) didefinisikan sebagai berikut:

  f t g t = f g t = f x g t − x dx ......................................... (1)

  ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∫

  Sifat-sifat dasar (aljabar) dari konvolusi fungsi antara lain: komutatif, distributif, dan asosiatif. 1. f * g = g * f (komutatif) 2. f * (g + h) = f * g + f * h (distributif) 3. (f * g) * h = f * (g * h) (asosiatif) 4. f * 0 = 0 * f = 0

  Contoh:

  Tentukan f(t) * g (t) bila : 1. f (t) = t ; g (t) = sin t 2. f (t) = 1 ; g (t) = sin t Jawab: _{t t t} 1. f g t = f x g t − x dx = x sin t − x dx = xd cos t − x _t

• x t x t x t x t t

  ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ∫ ∫ ∫

  = cos − sin − sin − = − sin + + _t ( ) ( ) ( ) _t ( )( )

  f xdx x t g t

  2. = sin = − cos = − cos

  1

  ∫ Metode Konvolusi

  Kadang-kadang hasil transformasi Laplace H(s) dapat dinyatakans ebagai hasil kali dua buah transformasi F(s) dan G(s) yang bersesuaian dengan transformasi invers f(t) dan g(t). invers dari H(s), h(t) dapat diperoleh dari konvolusi f(t) dan g(t), sebagaimana dijelaskan berikut.

  Misal : L (f(t)) = F(s) L (h(t)) = H(s) dan H (s) = F(s). G(s),

  Maka :

  ∞ ∞ _xy − F s G s = f x dx . e g y dy

  ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫

  ∞ ∞

   

  − ^{s x y} ( )

• f x e g y dy dx

   

  = ( ) ( )

  ∫ ∫

     

  ∞ ∞

    _st

  −

   

  f x e g t x dt dx = −

  ( ) ( ) ∫  ∫ 

   s  _t

  ∞

     

  f x f x g t x dx dt = −

  ( ) ( ) ( ) ∫  ∫  _t  s 

     

  L f x g t x dx L f t g t = − =

  ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ∫

•    

  Jadi diperoleh pasangan transformasi Laplace,

  h t = f t g t ↔ H s = F s G s .............................................. 1.30 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

• Contoh:

  1 H s Tentukan invers dari transformasi: =

  ( )

⁴

²

• s s

  Jawab:

  1

  1 Misal H(s) = F (s) G(s) dengan F(s) = dan G(s) = ^{2 2} +

  s s

  1 Maka didapatkan berturut-turut invers dari F(s) dan G(s) yaitu f(t) = t dan G(t) = sin t. Kemudian didapatkan h(t) = f(t) * g(t) = t – sin t.

10. Gerak Harmonik

  Trayektori x(t) dari gerak harmonik suatu benda dengan massa m yang tergantung pada talu dengan konstanta tli k dan b sebgai damping term serta gaya yang bekerja pada benda adalah f(t) dinyatakan dengan persaamaan diferensial tidak homogen.

  mx t bx t kx t f t

  '' ( ) ' ( ) ( ) = ( ) .......................................................... 1.31

  Transformasi Laplace ₂

  [ ] [ ] ( ) ( ) Bila benda mulai dari diam maka x(0) = 0 dam x’(0) = 0.

  m s x s − sx − x ' b sx s − x kx s = f s ..................... 1.32 + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  Sehingga persamaan 1.32 dituliskan menjadi

  f s

  ( )

  x s

  ( ) .......................................................... 1.33

  = ₂ ms bs k

  b k ²

²

Misal ; dan maka persamaan 1.33 menjadi: α = ω = ω = ω − α ₁ m

  2 m

  f ( s )

  1

  x ( s ) = × ₂ b k m s s + + m m f s

  ( )

  1

  = × _{2 2} m s s

  2

  α ω + + f ( s )

  1

  = × − α ω − α

• m s
^{2 2 2} ( ) f ( s )

  1

  = × ^{1 s − α ω} + m

  ω ² ( ) ¹ Dengan metode konvolusi didapatkan solusi persamaan diferensial (1.34) , yaitu:

  1

  − α t x ( t ) f t e sin t ₁

• m ω
₁

  = ω ( )

  [ ]

11. Persamaan Integral

  Bentuk persamaan integral diberikan sebagai berikut: _t

  y ( t ) = + f ( t ) g x y t − x dx ( ) ( )

  ∫

  Dengan fungsi f(t) dan g(t) diberkan. Bentuk integral di ruas kanan dapat diubah menjadi bentuk konvolusi antara fungsi g(t) dan y(t), sehingga persamaa integral dapat dituliska: y (t) = f (t) + g (t) * y (t) solusi persamaan integral dapat dicari dengan mengambil transformasi Laplace untuk kedua ruas sehingga didapatkan fungsi y(t) merupakan transformasi invers dari Y(s).

  contoh: _{2 t x t t} −

  carilah solusi persamaan integral − + y ( t ) = e t − y t y x e dx

  ( ) ( ) ∫

  jawab: dengan menggunakan notasi konvolusi fungsi y(t) dapat dituliskan menjadi

• −

  y ( t ) = e * t − y t e ^{2 t 1} ( )

  Transformasikan kedua ruas, didapatkan:

  1

  1 Y ( s )

• Y ( s ) = −
² + s −

  2 s s

  1 Dinyatakan secara eksplisit fungsi Y(s) ^{3 2} +

  s

  1

  3

  s

• 2 s − s −

  2

  4

  2

  4 _{2 2 2} + Y ( s ) = =

  s ( s −

  4 ) s s −

  2 Solusi persamaan integral merupakan invers dari Y(s) yaitu:

  1

  1

  3 _{2 t} ( )

  y t = e + +

  4

  2

  4 Tabel 1.4

  Sifat Transformasi Laplace No Sifat Transformasi

  1 Linear

  L af t bg t = aF s bG s + • + ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

₁

  − L cF t dG t = cf t dg t

+ + •

  ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) _as −

  2 Pergeseran sumbu t

  L f t − a = e f s ( ( ) ) ( ) _at

  3 Pergeseran sumbu s

  L e f t = F s − a ( ) ( )

  

( )

  4 Skala  s 

  1 L f at F  

  = ( ( ) ) a a

   

  5 Turunan  df 

  L   sF s f = −

•  dt 
₂  

  ( ) ( )

  d f

• '

  L = s F s − sf − f ² ( ) ( ) ( )

   ^{2 }

  dt

    _n  

  d f −

• L s F s s f ... f n

  = − − − − ^{n n 1}

  1

  ( ) ( ) ( )( )

   n 

  dt _t  

  6 Integral  

  F s ( )

   

  L f x dx f x dx =

•  

  ( ) ( ) ∫ ∫

  s

   

  − ∞ − ∞

  7 Perkalian dengan t dF s

  ( )

• L tf t

  = −

( ) ( )

ds ₂

₂

d F s

  ( ) L t f t = − ₂

• _{n d F s}

  ( ) ( )

  ds _n ( )

ⁿ

• L t f t

  = − ( ) ( )

  ( ) n ds

  ∞

  8 Pembagian oleh t  f t 

  

( )

L F y dy

   

  = ( )

  ∫

   t  _s

  L f t g t F s G s =

  ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

LATIHAN KERJA MAHASISWA

  Tentukan transformasi Laplace dari :

  2

  1. f(t) = t + 1

  2t + 1

  2. f(t) = e Carilah invers dari :

  s

  3. F(s) = ₂