Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

!"#$%&"'()$"*

!"#"$%&'%()'%("$%&"""
*!"#+,-./

01223&045647428&'9#:9
*;4564742;/

?@AB@%'&#(C0"&!"#"$%
!%$CD(%#&'%()'%("$%&E&"D'C&?)FB)(%GC%F&%D%'
CF"H)@#"(%#&F)B)@"&IABI%$%@(%

∗

z = x + iy

x

y
i=

i
i2

= −1

√

−1

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
u(x, y)

v(x, y)
x

f (z) = z 2
u(x, y) = x2 − y 2

y

f (z) = z 2 = (x + iy)2 = x2 − y 2 + i2xy

v(x, y) = 2xy

f (z)
f (z)
f � (z) = lim

∆z→0

∆z = ∆x + i∆y

f (z)
∗

f (z + ∆z) − f (z)
∆z
∆z

f (z)

z = a

f (z)

z =

f (z)

a

f (z)

f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

∂u
∂x
∂u
∂y

u(x, y)

∂v
∂y
∂v
= −
∂x
=

v(x, y)

x

y

f (x)

f (z) = z 3
f (z) = z 3 = (x + iy)3 = x3 + 3x2 iy + 3x(iy)2 + (iy)3 = x3 − 3xy 2 + i(3x2 y − y 3 )
u(x, y) = x3 − 3xy 2

v(x, y) = 3x2 y − y 3

∂u
= 3x2 − 3y 2 ;
∂x

∂u
= −6xy ;
∂y

∂v
∂u
=
∂x
∂y

∂v
= 6xy ;
∂x

∂v
= 3x2 − 3y 2
∂y

∂v
∂u
=−
∂y
∂x
f (z) = z 3

u

v

x

y

∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y

∂2v
∂2v
+ 2 =0
2
∂x
∂y

∇2 u = 0

f (z) = u + iv

u

v
u

v
f (z)

z
f (z)

u(x, y) = x2 − y 2
∇2 u =

∂2u ∂2u
+ 2 =2−2=0
∂x2
∂y
u + iv

v(x, y)

z

∂u
∂v
=
= 2x
∂y
∂x
y
v(x, y) = 2xy + g(x)
g(x)

x

x

dg
∂u
∂v
= 2y +
=−
= 2y

∂x
dx
∂y
dg
= 0,
dx

g=

f (z) = u + iv = x2 − y 2 + i(2xy +

)

f (z)
�

� z2
z1

� z2

z1

f (z)dz = 0
C

f (z)dz
F � (z) = f (z)

f (z)dz = F (z2 ) − F (z1 )

f (z)

f (z) = 2z
�
� 1+i
2i

2z dz = 0
C

2
2
2z dz = z 2 |1+i
2i = (1 + i) − (2i) = 2i + 4

f (z)

a
�

C

f (z)
dz = 2πi f (a)
z−a
a

a

�

f (n) (z)

C

2πi (n)
f (z)
dz =
f (a)
(z − a)n+1
n!
f (z)

n

�

C

sin z
dz
2z − π

|z| = 1

|z| = 2

�

C

a=

π
2

sin z
dz =
2z − π

�

C

1
sin z
π dz =
2(z − 2 )
2

�

C

sin z
dz
z − π2

= 1, 57

a
a
1
2

�

C

π
1
sin z
= iπ
π dz = 2πi sin
z− 2
2
2

f (z)

z=a
a

f (z) = f (a) + f � (a)(z − a) +

f (z)

f ��� (a)
f �� (a)
(z − a)2 +
(z − a)3 + · · ·
2!
3!

f (z)
f (z)

f (z)

f (z)

z = a

C1

C2

f (z)

z0
f (z)

R

f (z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · +

an =

1
2πi

�

C

f (z) dz
(z − z0 )n+1

;

bn =

b2
b1
+
+ ···
z − z0 (z − z0 )2

1
2πi

�

C

f (z) dz
(z − z0 )−n+1
z0

R

R.
b

•

f (z)

b
b �= 0

•

b
z = z0

•

z = z0

z0
f (z)

bn
n = 1 f (z)

f (z)

b
z = z0

•

1
z−z0

b1

f (z)

z = z0

�

f (z)

z0
C
�

C

z0

f (z)dz = 2πi ·

f (z)

f (z)dz
z0

C

C

C
z2 , . . .
C2 . . .

z0 , z1 ,
C0 , C1

f (z)
�

C

f (z)dz = 2πi ·

f (z)

C

C

C
f (z)

f (z)
R(z0 )

f (z) =

b1

z = z0

1
(z−z0 )

ez
z−1

z=1
�

�

(z − 1)2
e · ez−1
e
e
e
ez
1 + (z − 1) +
=
=
+ ... =
+ e + (z − 1) + . . .
z−1
z−1
z−1
2!
z−1
2
1
z−1

R(1) = e

f (z)

z = z0

f (z)

(z − z0 )

f (z) =

z=

R(− 21 )

z = z0

R(− 21 )

z
(2z+1)(5−z)

f (z)

− 12

(z + 12 )

R(5)
(2z + 1)

1
z
z
1
=
(z + )f (z) = (z + )
2
2 (2z + 1)(5 − z)
2(5 − z)

− 21
1
1
R(− ) =
=−
1
2
22
2(5 + 2 )
R(5)
(z − 5)f (z) = (z − 5)

z
z
=−
(2z + 1)(5 − z)
2z + 1

5
R(5) = − 11

f (z)
h(z0 ) = 0

g(z)
h(z)

h� (z

0)

z = z0

g(z)

�= 0
R(z0 ) =

h� (z0 )

g(z0 )
h� (z0 )

h(z)

z
f (z) = (2z+1)(5−z)
h� (z) = 2(5 − z) + (2z + 1)(−1) = −4z + 9

R(z0 ) =

z = z0 .

g(z) = z
z0
−4z0 + 9

− 21
1
1
R(− ) =
=−
2
2+9
22

R(5) =

5
5
=−
−20 + 9
11

h(z) = (2z + 1)(5 − z)

f (z)

n
f (z)

(z − z0

)m

m
(m − 1)

n
(m − 1)!

z = z0
�

�
1
dm−1
�
m
R(z0 ) =
(z
−
z
)
f
(z)
�
0
m−1
�
(m − 1)! dz
z=z
z sin z
(z−π)2

f (z) =

z=π

m=3

(m − 1) = 2

�
�
1 d2
�
R(π) =
z
sin
z
�
2
�
2! dz

z=π

�
1
= (−z sin z + 2 cos z)��
= −1
2
z=π

� 2π
0

�

dθ
5 + 4 cos θ

z = eiθ
|z| = 1

z

cos θ =

z = eiθ
dz = ieiθ dθ = izdθ
1
+ e−iθ ) = 2 (z + z1 )

I=

0

C
z = −2
z = − 12

dθ
=
5 + 4 cos θ

1
iz dz

�

1
1 = i
5 + 2(z + z )

z=

− 21

C

0

θ

dθ =

1 iθ
2 (e

� 2π

0

�

C

1
iz dz

dz
1
=
2
5z + 2z + 2
i

�

C

dz
(2z + 1)(z + 2)
z = − 21
f (z)

f (z)
C

�
1
1 ��
1
1
�
R(− ) =
=
=
�
2
(2z + 1) + 2(z + 2) z=− 1
4z + 5 �z=− 21
3
�

�

2

I = 1i 2πiR(− 12 ) = 32 π
0
π

2π

1
3π