PENENTUAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON- LINEAR BLACK- SCHOLES.

OPEN JOURNAL SYSTEMS

Flag Counter

NOTIFICATIONS View

Subscribe / Unsubscribe

JOU RNAL CONTENT Search

All

Search

Brows e By Issue By Author By Title Other Journals

E - J u r n a l M a t e m a t i k a

FO NT SIZE

INFO RMATION For Readers For Authors For Librarians

KEY W O RDS

ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger causality test Heteroscedasticity Joint Life Insurance Median Quantile Regression Monte Carlo

Multicollinearity OLSOptimization OutlierOverdispersion

Poisson Regression

Portmanteau testValue at Risk Vector Autoregressionbiplot multicollinearityoptimal lag test stationary test

HOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES EDITORIAL

TEAM CONTACT

Home

>

Vol 5, No 1 (2016)

E-Jurnal Matematika

E-Jurnal Matematika is one of the electronic journal at Udayana University, as a medium of communication among enthusiasts in the field of mathematics and its application, such as statistics, financial mathematics, teaching mathematics and other sciences in the field of applied mathematics. This journal was born as one of the real role of the Department of Mathematics UNUD to support the acceleration of the achievement of quality targets UNUD, besides this journal issue is driven by the Director General of Higher Education circular on requirements for the publication of scientific papers in the journal Science Degree program. E-journal Mathematics also received the results of research that is not directly related to the students' final assignment involves research or articles that are scholarly study.

Vol 5, No 1 (2016)

Table of Contents

Articles

PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON-RAPHSON, METODE SECANT, DAN METODE BISECTION DALAM MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILIT IES SAHAM

PDF

IDA AYU EGA RAHAYUNI, KOMANG DHARMAWAN, LUH PUTU IDA HARINI 1-6

ANALISIS PRIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE ANALY TIC NETWORK PROCESS

PDF

NI WAYAN NINING ISMIRANTI, I PUTU EKA N. KENCANA, I KOMANG GDE SUKARSA

7-13

PENENTUAN MODEL PREMI TIDAK KONSTAN PADA ASURANSI DANA PENSIUN PDF

LIA JENITA, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI 14-21

PENERAPAN BOOTSTRAP DALAM METODE MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT (MCD) DAN LEAST MEDIAN OF SQUARES (LMS) PADA ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA

PDF

NI PUTU IIN VINNY DAYANTI, NI LUH PUTU SUCIPTAWATI, MADE SUSILAWATI 22-26

PENENTUAN HARGA OPSI DAN NILAI HEDGE MENGGUNAKAN PERSAMAAN NON-LINEAR BLACK-SCHOLES PDF

PUTU AYU DENI, KOMANG DHARMAWAN, G. K. GANDHIADI 27-31

PENENTUAN CADANGAN PREMI UNTUK ASURANSI JOINT LIFE PDF

NI LUH PUTU RATNA DEWI, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI

32-37

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International Lic ense. ISSN: 2303-1751

OPEN JOURNAL SYSTEMS

Flag Counter

NOTIFICATIONS

View

Subscribe / Unsubscribe

JOU RNAL CONTENT Search

All Search Brows e

By Issue By Author By Title

Other Journals

E - J u r n a l M a t e m a t i k a

INFO RMATION

For Readers For Authors For Librarians

KEY W O RDS

ANFIS Chernoff Faces GWPR Granger causality test Heteroscedasticity Joint Life Insurance Median Quantile Regression Monte Carlo

Multicollinearity OLSOptimization OutlierOverdispersion

Poisson Regression

Portmanteau testValue at Risk Vector Autoregressionbiplot multicollinearityoptimal lag test stationary test

HOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES EDITORIAL

TEAM CONTACT

Home

>

About the Journal

>

Editorial Team

Chief-in-Editor

Desak Putu Eka Nilakusumawati, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Indonesia

Associate Editor

I Made Eka Dwipayana, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia

Editorial Board

Dr. Tjokorda Bagus Oka, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Dr. Komang Dharmawan, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Drs. GK Gandhiadi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Ir. I Komang Gde Sukarsa, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Ir. I Putu Eka Nila Kenc ana, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia I Gusti Ayu Made Srinadi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia Made Susilawati, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Udayana, Bali-Indonesia

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International Lic ense. ISSN: 2303-1751

1

PERBANDINGAN KEEFISIENAN METODE NEWTON-RAPHSON,

METODE SECANT, DAN METODE BISECTION DALAM

MENGESTIMASI IMPLIED VOLATILITIES SAHAM

Ida Ayu Ega Rahayuni§1

, Komang Dharmawan2, Luh Putu Ida Harini3

1

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: egaidaayu@gmail.com]

2_{Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: dharmawan.komang@gmail.com]} 3_{Jurusan Matematika, Fakultas MIPA - Universitas Udayana [Email: ballidah@gmail.com]}

§

Corresponding Author

ABSTRACT

Black-Scholes model suggests that volatility is constant or fixed during the life time of the option certainly known. However, this does not fit with what happen in the real market. Therefore, the volatility has to be estimated. Implied Volatility is the etimated volatility from a market mechanism that is considered as a reasonable way to assess the volatility's value. This study was aimed to compare the Newton-Raphson, Secant, and Bisection method, in estimating the stock volatility value of PT Telkom Indonesia Tbk (TLK). It found that the three methods have the same Implied Volatilities, where Newton-Raphson method gained roots more rapidly than the two others, and it has the smallest relative error greater than Secant and Bisection methods.

Keywords: Black-Scholes, Implied Volatility,Newton-Raphson Method, Secant Method, Bisection Method

1. PENDAHULUAN

alah satu alternatif instrumen investasi yang dapat ditawarkan kepada investor didalam pasar modal adalah opsi (option). Pada tahun 1973, model Black-Scholes dikembangkan oleh Myron Scholes dan Fischer Black. Model ini memberikan solusi untuk penilaian call option dan put option yang tidak memberikan dividen. Pada model Black-Scholes, volatilitas bersifat konstan atau tetap selama usia opsi diketahui pasti. Namun, hal ini tidak sesuai dengan apa yang terjadi pada pasar sebenarnya. Oleh karena volatilitas bergerak secara random dan tidak dapat diobservasi secara langsung, maka harus dilakukan penaksiran nilai volatilitas (Dharmawan & Widana [2]). Nilai volatilitas dapat ditaksir menggunakan Implied Volatility. Implied Volatility adalah volatilitas yang diestimasi dari mekanisme pasar dengan memilih kontrak opsi dengan expiration date yang sama. Berdasarkan keadaan persaingan pasar, Black dan Scholes menunjukkan bahwa harga saham

mengikuti gerak Brown geometrik pada suku bunga dan volatilitas tertentu. Pergerakan harga saham tersebut dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut

dengan

: perubahan harga saham yang mengikuti gerak Brown geometric : rata-rata dari pengembalian saham

: perubahan waktu : nilai volatilitas : gerak Brownian

Menurut Lee [3], keadaan pasar yang demikian dikatakan tidak ada arbitrase. Dengan kata lain, pelaku pasar modal mengasumsikan bahwa harga opsi di pasar modal sama dengan harga teoritis yang dihitung menggunakan formula Black-Scholes, atau dapat ditulis sebagai

dengan menyatakan harga opsi observasi yang diperoleh dari harga pasar sebenarnya, S

Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection…

dimana strike price dan masa jatuh tempo opsi sama dengan dan saham induk. Dalam hal ini, menyatakan harga opsi teoritis dari formula Black-Scholes yang didefinisikan oleh:

dengan

√ √

dengan adalah fungsi distribusi normal kumulatif standar.

Nilai volatilitas selalu positif karena adalah konstan dan monoton naik pada

[ (Dharmawan & Widana [2]).

Pada penelitian ini, solusi dari volatilitas akan diselesaikan menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bagi Dua (Bisection). Penurunan rumus metode Newton Raphson dapat dilakukan secara geometris dan dengan bantuan deret Taylor. Jika adalah hampiran saat ini, maka hampiran selanjutnya adalah yang dapat ditulis sebagai berikut.

sampai | | , dengan

| | | _| dan .

Metode Secant merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson, yaitu dengan mengganti fungsi turunan yang digunakan pada metode Newton-Raphson menjadi bentuk lain yang ekuivalen. Metode ini dimulai dengan hampiran awal dan untuk solusi . Selanjutnya dihitung sebagai hampiran baru untuk , yaitu

sampai | | .

Metode Bagi Dua (Bisection) dimulai dengan sebuah interval [ , ], dimana dan

berbeda tanda (Mathews [4]). Secara sistematis metode Bisection adalah metode pencarian akar dengan mengurangi separuh interval pertama untuk memilih titik

dan kemudian menganalisa kemungkinan yang akan timbul:

(i) Jika dan berbeda tanda, akar terletak di [ ]

(ii) Jika dan berbeda tanda, akar terletak di [ ]

(iii)Jika , diperoleh bahwa akar pada

Jika salah satu dari kasus (i) atau kasus (ii) terjadi, diperoleh interval yang merupakan setengah bagian dari interval pertama yang mengurung akar dan mengurangi separuh interval tersebut dengan proses yang sama. Pada proses selanjutnya, separuh interval baru tersebut dinamai [ , ] dan proses diulang sampai | | . Jika kasus (iii) terjadi, maka akar adalah .

Selanjutnya membandingkan perhitungan antara metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection dalam mengestimasi nilai volatilitas saham.

2. METODE PENELITIAN A. Jenis dan Sumber Data

Jenis data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder yang berupa data numerik. Adapun data yang digunakan terdiri dari strike price, dan harga saham sekarang (15 Mei 2015) dari saham PT Telekomunikasi Indonesia Tbk (TLK) dengan masa jatuh tempo opsi selama tiga bulan yang diperoleh dari http://finance.yahoo.com, data harga observasi call option diperoleh dari http://optiondata.net.

3

B. Algoritma untuk Menaksir Implied

Volatility

Tahapan-tahapan yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mencari harga observasi call option yang memiliki masa jatuh tempo dan strike price yang sama dengan saham induk, serta mencari harga saham sekarang dari underlying asset.

2. Menentukan fungsi volatilitas dan mencari turunan pertamanya.

3. Menyelesaikan persamaan dari fungsi volatilitas menggunakan metode numerik, yakni metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection.

a.Penyelesaian Menggunakan Metode Newton-Raphson

Langkah 1: Tetapkan hampiran awal

, , iterasi

maksimum

Langkah 2: Menghitung nilai dan turunan pertama fungsinya

Langkah 3: Menentukan nilai hampiran kedua yang terletak pada perpotongan garis singgung di ) dengan sumbu , dapat dihitung menggunakan persamaan (6) Langkah 4: Menghitung | | dengan

persamaan (7)

Langkah 5: Melakukan pengecekan: (i) Jika | | , maka iterasi

selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas

(ii) Jika | | , maka kembali ke langkah 1.

b.Penyelesaian menggunakan metode Secant

Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan , ,

.

Langkah 2: Mengitung nilai dan

Langkah 3: Menentukan hampiran baru

dengan persamaan (8)

Langkah 4: Menghitung | | dengan persamaan (7)

Langkah 5: Melakukan pengecekan (i) Jika | | , maka iterasi

selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas

(ii) Jika | | , maka kembali ke langkah 1 dengan menjadikan sebagai dan sebagai .

c.Penyelesaian menggunakan metode Bisection

Langkah 1: Tetapkan hampiran awal dan , ,

.

Langkah 2: Hitung nilai dan

.

Langkah 3: Memeriksa bahwa fungsi berubah tanda sepanjang interval [ ], ini dapat

diperiksa dengan:

. Jika

terpenuhi, hampiran awal dapat digunakan untuk iterasi berikutnya, namun jika tidak terpenuhi, pilih hampiran awal baru.

Langkah 4: Hampiran ketiga dapat ditentukan menggunakan persamaan (9).

Langkah 5: Hitung nilai

Langkah 6: Lakukan evaluasi sebagai berikut untuk menentukan di dalam subinterval mana akar fungsi terletak:

(i) Jika , maka

Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection…

(ii) Jika , maka

Langkah 7: Menghitung | | dengan persamaan (7)

Langkah 8: Melakukan pengecekan. (i) Jika | | , dengan

, maka iterasi selesai dengan sebagai solusi dari fungsi volatilitas

(ii) Jika | | , dengan

, maka kembali ke langkah 4.

4.Membandingkan nilai taksiran Implied Volatility, kecepatan iterasi, serta membandingkan keakuratan masing-masing metode dengan membandingkan nilai error relatif | | dari masing-masing metode.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Fungsi volatilitas dapat didefinisikan sebagai

atau

adalah kontinu dan memiliki turunan sebagai berikut:

√

√

adalah kontinu.

Teorema Eksistensi dan Ketunggalan (Waluya [5]), “Misalkan dan kontinu,

maka solusinya ada dan tunggal”. Dalam hal ini, diperoleh bahwa dan

kontinu,

maka Teorema Eksistensi dan Ketunggalan terpenuhi, yaitu terdapat solusi tunggal dari persamaan (11).

Tabel 1 Iterasi dengan Menggunakan Metode Newton-Raphson

| |

1 0.060000 0.055815 -6.529788 0.068548 1.246985e-001

2 0.068548 -0.002051 -6.984392 0.068254 4.301345e-003

3 0.068254 -0.000002 -6.971129 0.068254 4.084282e-006

Tabel 2 Iterasi dengan Menggunakan Metode Secant

| |

1 0.060000 0.055815 0.100000 -0.237620 0.067609 4.791029e-001 2 0.100000 -0.237620 0.067609 0.004490 0.068209 8.806070e-003 3 0.067609 0.004490 0.068209 0.000312 0.068254 6.568799e-004 4 0.068209 0.000312 0.068254 -0.000001 0.068254 1.393661e-006

5

Tabel 3 Iterasi dengan Menggunakan Metode Bisection

| |

1 0.060000 0.055815 0.100000 -0.237620 0.080000 -0.084613 2.500000e-001 2 0.060000 0.055815 0.080000 -0.084613 0.070000 -0.012240 1.428571e-001 3 0.060000 0.055815 0.070000 -0.012240 0.065000 0.022433 7.692308e-002 4 0.065000 0.022433 0.070000 -0.012240 0.067500 0.005243 3.703704e-002 5 0.067500 0.005243 0.070000 -0.012240 0.068750 -0.003464 1.818182e-002 6 0.067500 0.005243 0.068750 -0.003464 0.068125 0.000899 9.174312e-003 7 0.068125 0.000899 0.068750 -0.003464 0.068438 -0.001280 4.566210e-003 8 0.068125 0.000899 0.068438 -0.001280 0.068281 -0.000190 2.288330e-003 9 0.068125 0.000899 0.068281 -0.000190 0.068203 0.000354 1.145475e-003 10 0.068203 0.000354 0.068281 -0.000190 0.068242 0.000082 5.724098e-004 11 0.068242 0.000082 0.068281 -0.000190 0.068262 -0.000054 2.861230e-004 12 0.068242 0.000082 0.068262 -0.000054 0.068252 0.000014 1.430820e-004 13 0.068252 0.000014 0.068262 -0.000054 0.068257 -0.000020 7.153588e-005 14 0.068252 0.000014 0.068257 -0.000020 0.068254 -0.000003 3.576922e-005 15 0.068252 0.000014 0.068254 -0.000003 0.068253 0.000005 1.788493e-005 16 0.068253 0.000005 0.068254 -0.000003 0.068254 0.000001 8.942384e-006

Tabel 4 Perbandingan Nilai Volatilitas, Error Relatif dan Kecepatan Iterasi dari Metode Newton-Raphson, Metode Secant dan Metode Bisection

Metode

Newton-Raphson Secant Bisection

Implied Volatility 6,8254% 6,8254% 6,8254%

Berhenti pada Iterasi ke- 3 4 16

Error Relatif | | 4,084282e-006 1,393661e-006 8,942384e-006

Berdasarkan Tabel 1, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-3 yaitu dengan nilai

dan error relatif

| | . Berdasarkan Tabel 2, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-4 yaitu dengan nilai dan error relatif | | . Berdasarkan Tabel 3, dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai volatilitas diperoleh pada iterasi ke-16 yaitu dengan nilai

% dan error relatif | |

. Berdasarkan Tabel 4 diperoleh hasil simulasi menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant, dan metode Bisection dengan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254%. Simulasi berhenti secara berturut-turut pada iterasi ke-3; 4; 16 dengan nilai error

relatif secara berturut-turut sebesar 4,084282e-006; 1,393661e-4,084282e-006; 8,942384e-006. Implied Volatility yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson, Secant, dan Bisection memiliki nilai yang lebih besar dari nilai Implied Volatility di pasar modal, yaitu sebesar 6,25%. Berdasarkan pemaparan pada bab II, Implied Volatility yang tinggi mengakibatkan harga opsi menjadi mahal dan berlaku sebaliknya.

Berdasarkan tabel 1, 2, dan 3, diperoleh bahwa pada iterasi ke-3 metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bisection secara berturut-turut memiliki error relatif sebesar 4,084282e-006; 6,568799e-004; 7,692308e-002. Dalam hal ini, metode Newton-Raphson memiliki error relatif terkecil pada iterasi ke-3 yaitu sebesar 4,084282e-006. Artinya, metode Newton-Raphson lebih akurat

Rahayuni, I.A.E., Dharmawan, K., Harini, L.P.I Perbandingan Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection…

dibandingkan metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode Newton-Raphson konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection.

4. KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, estimasi Implied Volatility saham menggunakan metode Newton-Raphson, metode Secant dan metode Bisection dengan hampiran awal 0,06 dan hampiran kedua 0,1 untuk metode Secant dan metode Bisection memiliki perolehan nilai Implied Volatility yang sama, yaitu 6,8254% yang nilainya lebih tinggi dari Implied Volatility di pasar modal, yaitu 6,25%. Implied Volatility yang tinggi akan mengakibatkan harga opsi menjadi mahal. Metode Newton-Raphson lebih cepat konvergen, yaitu pada iterasi ke-3 dan menghasilkan nilai error relatif yang lebih kecil dari pada metode Secant dan metode Bisection. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa metode Newton-Raphson adalah metode terbaik dalam menaksir Implied Volatility saham, karena metode ini konvergen paling cepat dan paling akurat dibandingkan metode Secant dan metode Bisection..

B. Saran

Metode Newton-Raphson, Secant dan Bisection tidak dapat memberikan keputusan di dalam pasar modal, metode ini hanya dapat menaksir nilai Implied Volatility, yang dapat digunakan sebagai gambaran/acuan dalam melakukan suatu keputusan. Implied Volatility juga dapat ditaksir menggunakan metode GARCH (conditional volatility), Monte Carlo dengan simulasi, dan Model Heston dengan stokastik volatilitas.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Black, F. & Scholes, M., 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81(3), PP. 637-659.

[2] Dharmawan, Komang & Widana, I Nyoman., 2011. Aplikasi Algoritma Biseksi dan Newon-Raphson dalam Menaksir Nilai Volatilitas Implied. Jurnal Matematika Vol. 2 No. 1, Desember 2011. ISSN: 1693-1394.

[3] Lee, Roger. W., 2002. Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilitic Interpretation. Recant Advances in Applied Probability 2005, pp. 241-268.

[4] Mathews, John H., 1992. Numerical Methods. For Mathematics, Science, and Engineering. Second edition. USA: Prentice-Hall International, Inc.

[5] Waluya, St. Budi., 2006. Buku Ajar Persamaan Diferensial, 21-23.

7

ANALISIS PRIORITAS SOLUSI KEMACETAN LALU LINTAS

DI KOTA DENPASAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE

ANALYTIC NETWORK PROCESS

Ni Wayan Nining Ismiranti§1,I Putu Eka N. Kencana2, I Komang Gde Sukarsa3

1

Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana[email: ning.ismiranti@gmail.com] 2_{Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana[email: i.putu.enk@gmail.com]}

3_{Jurusan Matematika Fakultas MIPA- Universitas Udayana[email: sukarsakomang@yahoo.com]} §_{Corresponding Author}

ABSTRACT

The aim of this research is to find the alternative solutions that could be used to handle the traffic congestions in the Denpasar City and the priorities of each alternative. The main problem of this research is determining the appropriateness of alternatives and its criterias that could be used to set the priorities of the alternatives. Based on the interview with the transport experts of Denpasar City, there are three main factors that affect the traffic congestion i.e (1) the ratio of the volume of vehicles on the road capacity, (2) the existing traffic management, and the traffic regulation . The interviewee also suggest that there are six alternatives that can be used to handle traffic congestion. These alternatives are (1)improve the public transport system, (2) use technology to monitor and enforce the rules,(3) create a 3 in 1 rule, (4) create road pricing rule,(5) optimize the existing management in the road, and (6) create rule of road zoning. Based on the calculations by Analytic Network Process (ANP) method, improving the public transport system is the best alternative among others that is appropriate to handle traffic congestion in the Denpasar City.

Keywords: Analytic Network Process, Traffic Congestion, Priorities, Denpasar

1. PENDAHULUAN

Metode ANP (Analytic Network Process) merupakan pengembangan dari Analytic Hierarcy Process (AHP) yang dikembangkan oleh Thomas L. Saaty yang digunakan untuk memilih alternatif terbaik dari sejumlah alternatif yang ada berdasarkan beberapa kriteria. Metode ANP menguraikan suatu masalah kedalam bentuk jaringan tanpa membuat asumsi elemen yang tingkatnya lebih tinggi dan elemen yang tingkatnya lebih rendah seperti yang terdapat pada AHP (Saaty & Vargas [3]).

Pada penelitian ini metode ANP akan digunakan untuk mencari prioritas alternatif-alternatif solusi yang bisa digunakan untuk menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar. Alternatif-alternatif solusi serta kriteria-kriteria yang akan digunakan diperoleh dari para narasumber yang merupakan para pengamat transportasi di Kota Denpasar.

Adapun alternatif-alternatif solusi yang akan dipaparkan merupakan alternatif solusi yang termasuk ke dalam manajemen lalu lintas tanpa pembangunan atau perluasan jalan.

ANP merupakan suatu teori pengukuran multycriteria yang digunakan untuk mendapat skala prioritas dari suatu penilaian individu yang termasuk ke dalam sebuah skala fundamental (Saaty [1]), seperti yang terdapat pada Tabel 1.

Tabel 1. Skala Fundamental

Intensitas Kepentingan

1 Dua aktivitas berkontribusi secara sama besar 3 Kontribusi suatu aktivitas sedikit lebih besar

dibandingkan yang lain

5 Kontribusi suatu aktivitas lebih besar dibandingkan yang lain

7

Kontribusi suatu aktivitas jauh lebih besar dibandingkan yang lain, aktivitas ini lebih dominan dilakukan dalam kenyataan

9

Fakta menunjukkan bahwa suatu aktivitas merupakan urutan tertinggi yang mungkin dalam suatu penegasan

2,4,6,8 Untuk kompromi nilai-nilai di atas Penjelasan

Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. _{Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…}

Langkah awal dari penggunaan metode ANP adalah dengan membentuk suatu model yang berbentuk sebuah jaringan yang saling dihubungkan dengan tanda panah. Jaringan tersebut menggambarkan hubungan saling ketergantungan antara komponen satu dan komponen yang lain dimana komponen yang berada di pangkal tanda panah memberikan pengaruh kepada komponen yang berada di ujung tanda panah, seperti Gambar 1.

Jaringan timbal balik yang memiliki ketergantungan dari dalam dan luar elemen

Tanda panah dari C4 ke C2 menunjukkan ketergantungan elemen C2 pada elemen yang terdapat pada C4

C4 ..

C3 ..

C2 .. C1 ..

feedback

Putaran dalam komponen menunjukan ketergantungan dari elemen elemen dalam suatu

komponen

Gambar 1. Ilustrasi Jaringan ANP

Selain dengan menggunakan jaringan, hubungan saling ketergantungan juga bisa digambarkan dengan menggunakan matriks seperti matriks berikut:



























 nn n n n n n n

c

c

c

c

c

c

c

c

c

C















2 1 2 22 21 1 12 11

Ketergantungan setiap komponen pada suatu sistem dapat dibentuk dalam suatu matriks nol-satu

C

dengan sifat nilai 1 pada matriks diberikan apabila terdapat pengaruh yang diberikan komponen

c

_i terhadap komponen c_jdan nilai 0 diberikan apabila tidak ada pengaruh yang diberikan komponen

c

_i terhadap komponen cj. Dalam hal ini cijadalah nilai ketergantungan komponen cj terhadap komponen

c

_i yang berisi nilai 0 atau 1,

c

_i adalah komponen yang memberikan pengaruh dan cj adalah komponen yang dipengaruhi.

Pada penelitian menggunakan ANP seringkali digunakan lebih dari satu narasumber sebagai acuan. Hal ini akan memungkinkan diperolehnya pendapat yang berbeda mengenai bobot dari suatu perbandingan, akan tetapi metode ANP hanya memerlukan satu bobot untuk satu perbandingan dalam membentuk suatu matriks perbandingan berpasangan. Apabila hal ini terjadi maka bobot-bobot dari para narasumber harus dirata-ratakan dengan menggunakan persamaan geometric mean (Saaty & Vargas [3]).

n n ij

z

z

z

a

1 2

1

.

.

.

)

(





(1)

Dengan

ij

a : nilai rata-rata perbandingan berpasangan kriteria

A

_i dengan A _j

k

Z

: nilai perbandingan yang diberikan narasumberke

k

,

k

=1,2,..., n

n : banyak narasumber

Matriks perbandingan berpasangan merupakan matriks berukuran nn yang berisikan bobot perbandingan yang dilakukan terhadap elemen-elemen dalam suatu komponen dimana elemen-elemen ini memengaruhi suatu elemen lainnya. Misalkan terdapat suatu komponen

C

₁ yang berisi elemen

1

1 12 11

,

e

,...,

e

n

e

dan elemen-elemen tersebut

memberikan pengaruh terhadap elemen

e

₂₁

pada komponen

C

₂ , maka matriks perbandingan yang terbentuk adalah seperti berikut:



























1

1

1

2 1 2 21 1 12















n n n n

a

a

a

a

a

a

A

Nilai a pada perbandingan berpasangan _ij merepresentasikan nilai kepentingan dari elemen ke i terhadap elemen ke

j

pada komponen

C

₁ berkaitan dengan

e

₂₁sebagai faktor kontrol. Nilai yang dimasukkan ke

9

dalam perbandingan merupakan nilai yang terdapat pada Tabel 1 dan pengisiannya dilakukan dengan prinsip resiprokal. Maksud dari resiprokal adalah jika diketahui nilai dari

ij

a maka secara otomatis nilai dari a akan _ji sama dengan kebalikan dari a _ij .

Setelah membentuk suatu matriks perbandingan A , selanjutnya akan dilakukan suatu proses pencarian eigen vector. Eigen vector diperoleh dari persamaan (Saaty & Vargas [3]):

w

w

A

.





_max

.

(2)

dengan

w

: eigen vector

max



: eigen value terbesar

A : matriks perbandingan berpasangan Eigen vector yang diperoleh dari proses ini akan menjadi vektor prioritas dari elemen-elemen yang dibandingkan dalam matriks A .

Konsistensi dari setiap perbandingan berpasangan harus diuji, berikut adalah persamaan untuk menguji konsistensi dari matriks perbandingan berpasangan (Saaty & Vargas [3]). .

RI

CI

CR





(

3

)

Keterangan:

CR

: rasio konsistensi

CI

: index konsistensi

RI : random consistency index

Index konsistensi diperoleh dengan rumus (Saaty & Vargas [3]):

1

)

(

_max







n

n

CI



(4)

Nilai-nilai dari RI dapat dilihat pada Tabel 2 Tabel 2. Tabel Random Consistency Index

Orde 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RI 0 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49

Sumber: Saaty & Vargas, 2001, hal.9. [2]

Setiap matriks perbandingan dikatakan konsisten apabila nilai

CR

tidak lebih dari 10%. Setelah memastikan bahwa setiap matriks perbandingan berpasangan cukup konsisten,

langkah selanjutnya adalah membuat suatu supermatriks. Supermatriks berisikan vektor-vektor prioritas dari setiap perbandingan. Misalkan suatu sistem memiliki

N

komponen yaitu

C

₁

,

C

₂

,



,

C

_N dan setiap komponen memiliki beberapa elemen. Komponen-komponen tersebut dihubungkan satu sama lain hingga terbentuk suatu model jaringan dari sistem yang diinginkan. Dari model tersebut akan dibentuk matriks-matriks perbandingan berpasangan yang masing-masing akan menghasilkan vektor prioritas. Nilai vektor prioritas dari setiap perbandingan dimasukkan pada kolom blok supermatriks yang bersesuaian. Blok-blok supermatriks tersebut akan disusun menjadi satu supermatriks seperti supermatriks berikut:



























NN N N N N

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W















2 1 2 22 21 1 12 11 Keterangan:

W

: supermatriks yang terbentuk

ij

W

: matriks yang berisi bobot prioritas

elemen-elemen dalam komponen ke i terhadap elemen-elemen dalam komponen ke

j

.

Submatriks W yang terdapat dalam _ij supermatriks disebut blok supermatriks.

ij

W merupakan sebuah matriks berukuran

j i n

n  seperti yang ditampilkan pada matriks berikut:                ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 1 2 1 2 1 j n i i i j n j n j in j in j in j i j i j i j i j i j i ij w w w w w w w w w W       Keterangan: ) (jl

ik

w

: nilai prioritas elemen ke

k

dari komponen ke i terhadap elemen ke

l

komponen ke

j

.

Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. _{Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…}

Setiap perhitungan yang dilakukan pada penelitian ini akan dilakukan dengan bantuan software super decision. Perangkat lunak super decision merupakan perangkat lunak yang digunakan untuk membantu pengambilan keputusan yang mengimplementasikan metode ANP.

2. METODE PENELITIAN

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data primer yang diperoleh melalui proses wawancara yang dilakukan terhadap para narasumber. Adapun narasumber yang menjadi acuan dalam penelitian ini adalah anggota satuan lalu lintas, dinas perhubungan serta para pengamat transportasi yang terdapat di Kota Denpasar.

Langkah-langkah penelitian yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut (Santoso, et al [4]):

1. Tentukan narasumber yang akan diwawancarai.

2. Melakukan wawancara terhadap narasumber untuk memperoleh kriteria dan alternatif solusi yang sesuai untuk menangani kemacetan yang terjadi di Kota Denpasar.

3. Membentuk model jaringan beradasarkan hasil wawancara yang di peroleh pada poin ke-2 serta menyusun angket beradasarkan model jaringan yang terbentuk.

4. Melakukan wawancara terhadap narasumber untuk mengetahui bobot dari masing-masing kriteria dan alternatif. Wawancara ini merupakan wawancara terstruktur dengan menggunakan angket yang telah dibuat.

5. Membuat matriks perbandingan berpasangan yang menggambarkan pengaruh setiap elemen terhadap kriteria. 6. Setelah semua bobot perbandingan

terkumpul, masukkan nilai-nilai kebalikannya serta nilai di diagonal utama kedalam matriks perbandingan berpasangan, cari prioritas masing-masing kriteria dan uji konsistensinya.

7. Cari vektor prioritas dari matriks yang dibuat pada langkah ke-6.

8. Ulangi langkah 5, 6, dan 7 pada semua kriteria

9. Buat unweighted supermatrix

10. Buat weighted supermatrix 11. Buat limmiting supermatrix.

12. Ambil nilai dari alternatif yang dibandingkan untuk mengetahui hasil akhir perhitungan.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Tahap awal dari penelitian ini adalah pengambilan data yang menggunakan metode wawancara. Wawancara dilakukan untuk memperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan lalu lintas serta solusinya.Wawancara ini dilakukan terhadap para narasumber yang merupakan para pengamat transportasi yang juga merupakan anggota Masyarakat Transportasi Indonesia (MTI) yang berada di Kota Denpasar. Setelah melakukan wawancara terhadap para pengamat transportasi maka diperoleh faktor-faktor penyebab kemacetan serta alternatif solusi yang bisa digunakan untuk menanganinya. Faktor-faktor serta alternatif solusi ini kemudian disusun menjadi suatu jaringan ANP seperti Gambar 2.

Gambar 2. Jaringan ANP yang terbentuk

Hubungan inner dependence dan outer dependence pada jaringan yang terdapat dalam Gambar 2 akan di ilustrasikan dalam matriks pada Gambar 3.

11

A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP

JK

P JKU JP D PP A1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1

A2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1

A3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1

A4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1

A5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1

A6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1

MJ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 MP 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 JKP 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 JKU 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 JP 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 PP 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 Alternatif Manajemen Rasio Regulasi

Gambar 3. Tabel yang Berisi Matriks Ketergantungan

Dari matriks pada Gambar 3 akan dibentuk sebuah angket perbandingan. Angket tersebut digunakan sebagai alat bantu melakukan wawancara untuk memperoleh bobot dari setiap perbandingan. Bobot-bobot tersebut kemudian disusun menjadi matriks-matriks

perbandingan berpasangan sesuai dengan item pertanyaan yang terdapat pada angket. Setiap bobot dimasukkan ke dalam matriks perbandingan berpasangan dengan prinsip resiprokal yang kemudian dicari vektor prioritasnya.

Vektor-vektor prioritas tersebut kemudian disusun menjadi sebuah supermatriks. Dalam hal ini terdapat tiga buah supermatriks yang akan terbentuk yaitu: unweighted supermatrix, weighted supermatrix, dan limiting supermatrix. Unweighted supermatrix merupakan supermatriks yang dibuat dengan menyusun setiap vektor prioritas pada kolom yang sesuai, seperti Gambar 4.

A1 A2 A3 A4 A5 A6 MJ MP JKP JKU JP D PP

A 1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.206 0.477 0.000 0.047 0.050 A 2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.073 0.047 0.000 0.308 0.355 A 3 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.065 0.093 0.000 0.103 0.091 A 4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.166 0.122 0.000 0.224 0.201 A 5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.223 0.111 0.000 0.119 0.155 A 6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.267 0.150 0.000 0.199 0.150

MJ 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 0.000 0.000 0.000 0.000

MP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 0.000 0.000 0.000 0.000

JKP 0.333 0.833 0.833 0.833 0.833 0.750 0.800 0.800 0.000 0.000 0.000 0.500 0.800 JKU 0.667 0.167 0.167 0.167 0.167 0.250 0.200 0.200 0.250 0.000 0.000 0.500 0.200

JP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.750 0.000 0.000 0.000 0.000

D 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.750 0.000 0.000 0.000 0.000

PP 0.500 0.50000.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.250 0.000 0.000 1.000 0.000

Gambar 4. Unwiehted Supermatrix

Tabel ini menunjukan prioritas tiap alternatif terhadap masing masing faktor. Dari tabel pada Gambar 4 diperoleh bahwa berdasarkan faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,267, berdasarkan faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu

0,308 dan 0,355. Gambar 4 ini hanya berisikan bobot perbandingan antar elemen, belum mencangkup perbandingan antar cluster (komponen). Oleh karena itu nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 4 harus dikalikan dengan nilai-nilai pada perbandingan cluster untuk membentuk supermatiks baru yang disebut weighted

supermatrix.

Ismiranti, N.W.N., Kencana, I P.E.N., Sukarsa, I K.G. Analisis Prioritas Solusi Kemacetan Lalu Lintas…

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 MJ MP JKP JKU JP D PP A 1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.031 0.477 0.000 0.004 0.018 A 2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.011 0.047 0.000 0.029 0.128 A 3 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.010 0.093 0.000 0.010 0.033 A 4 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.025 0.122 0.000 0.021 0.072 A 5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.034 0.111 0.000 0.011 0.056 A 6 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.041 0.150 0.000 0.019 0.054 MJ 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.136 0.000 0.000 0.000 0.000 MP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.136 0.000 0.000 0.000 0.000 JKP 0.278 0.694 0.694 0.694 0.694 0.625 0.533 0.533 0.000 0.000 0.000 0.083 0.512 JKU 0.556 0.139 0.139 0.139 0.139 0.208 0.133 0.133 0.118 0.000 0.000 0.083 0.128 JP 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.354 0.000 0.000 0.000 0.000 D 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.167 0.167 0.077 0.000 0.000 0.000 0.000 PP 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.167 0.167 0.026 0.000 0.000 0.740 0.000

Gambar 5. Weighted Supermatrix

Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5 merupakan nilai prioritas yang diperoleh dengan menggabungkan hasil perbandingan elemen dan perbandingan clutser. Gambar 5 memperlihatkan bahwa berdasarkan faktor JKP alternatif 6 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,041, berdasarkan faktor JKU alternatif 1 mendapat bobot prioritas tertinggi yaitu 0,477, berdasarkan faktor disiplin dan faktor pengawasan alternatif 2 mendapat bobot tertinggi yaitu 0,029 dan 0,128. Nilai-nilai yang terdapat pada Gambar 5 digunakan untuk memeperoleh sepermatriks baru yang disebut limitting supermatrix.

Pada weighted supermatrix yang terdapat pada Gambar 5, alternatif yang mendapat prioritas tertinggi pada setiap faktor masih berbeda beda. Oleh karena itu supermatriks ini terus dipangkatkan sampai setiap kolom yang terdapat pada satu baris yang sama memiliki nilai yang sama dan membentuk supermatriks baru yang disebut limitting supermatrix. Supermatriks pada Gambar 5 dipangkatkan dengan tujuan untuk mencangkup semua hubungan saling memengaruhi yang mungkin terjadi pada setiap elemen dan alternatif, baik itu pengaruh langsung maupun pengaruh tak langsung.

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 MJ MP JKP JKU JP D PP

A 1 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.091 0.000 0.091 0.091 A 2 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.027 0.000 0.027 0.027 A 3 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.023 0.000 0.023 0.023 A 4 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.037 0.000 0.037 0.037 A 5 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.035 0.000 0.035 0.035 A 6 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.044 0.000 0.044 0.044 MJ 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.000 0.039 0.039 MP 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 0.000 0.039 0.039 JKP 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.259 0.000 0.259 0.259 JKU 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.000 0.150 0.150 JP 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.102 0.000 0.102 0.102 D 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.061 0.000 0.061 0.061 PP _{0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.000 0.096 0.096}

Gambar 6. Limiting Supermatrix

Limiting supermatrix akan memperlihatkan prioritas dari masing-masing alternatif beradasarkan seluruh kriteria yang ada. Langkah selanjutnya adalah menyusun alternatif-alternatif tersebut beradasarkan

prioritas yang diperoleh dari limiting supermatrix, seperti Tabel 3.

13

Tabel 3. Prioritas Alternatif Alternatif Nilai Prioritas Alternatif 1 0,091 1 Alternatif 6 0,044 2 Alternatif 4 0,037 3 Alternatif 5 0,035 4 Alternatif 2 0,027 5 Alternatif 3 0,023 6 Keterangan:

Alternatif 1: Memperbaiki sistem angkutan umum

Alternatif 2: Menggunakan teknologi untuk mengawasi dan menegakkan aturan

Alternatif 3: Membuat aturan

Alternatif 4: Membuat aturan road pricing Alternatif 5: Mengoptimalkan manajemen jalan

Alternatif 6: membuat aturan zonasi jalan 4. KESIMPULAN DAN SARAN

Beradasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulan bahwa alternatif-alternatif solusi yang dapat digunakan dalam menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah memperbaiki sistem angkutan umum, menggunakan teknologi untuk mengawasi dan menegakkan aturan, membuat aturan 3 in 1,

membuat aturan road pricing,

mengoptimalkan manajemen jalan, membuat aturan zonasi jalan. Berdasarkan perhitungan menggunakan Metode ANP, dari keenam alternatif tersebut, alternatif terbaik yang bisa digunakan untuk menangani kemacetan lalu lintas di Kota Denpasar adalah alternatif memperbaiki sistem angkutan umum.

Dalam penelitian ini masih terdapat beberapa kekurangan salah satunya adalah analisis yang digunakan hanya menggunakan aspek traffic management analysis. Oleh karena itu pada penelitian selanjutnya bisa ditambahkan aspek-aspek lain dalam melakukan analisisnya misalnya aspek sosial dan budaya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Saaty. 2004. Fundamental of The Analytic Network Process Dependence and Feedback in Decision Making With a Singel Network. Journal of System Science and System Engineering, 129-157.

[2] Saaty, T.L., & Vargas, L. G. 2001. Models, Methods, Concepts and Applications of the Analytic Hierarchy Process. New York: Springer Science+Business Media New York. [3] Saaty, T.L., & Vargas, L. G. 2006.

Decision Making With The Analytic Network Process Economic Political, Social and Technological Applications with Benefits, Opportunities, Cost and Risk (2 ed.). New York: Springer Science+Business Media, LLC.

[4] Santoso, Leo Willyanto, Alexander Setiawan & Januar R. Stanley. 2009. Pembuatan Aplikasi Sistem Seleksi Calon Pegawai dengan Metode Analytic Network Process (ANP) di PT X. Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri

E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21 ISSN: 2303-1751

PENENTUAN MODEL PREMI TIDAK KONSTAN

PADA ASURANSI DANA PENSIUN

Lia Jenita§1, I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3

1_{Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:liajenitat@gmail.com]} 2_{Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:nwidana@yahoo.com]} 3_{Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Udayana [Email:nilakusmawati@unud.ac.id]}

§_{Corresponding Author}

ABSTRACT

Pension plan is an effort to anticipate the life of old on the day. In the pension program, there are two methods of normal due’s calculation to be paid by the insured each year, the Entry Age Normal method, namely calculation of normal dues with constant premiums and projected unit credit method, namely calculation of normal dues with Premium Increases Each year or is not constant. This paper wants to develop an inconstant premium calculation method with constant premium increase

annually. Where the pension plan participants’ age when he joined the pension plan is 19 years and

the retirement age on this contract is 55 years, with premium increases of 5% of the normal dues early. The large ratio of premiums is, for dues normal at the age of 19 years until the age of 28 years, but for dues normal at the age of 29 years to the age of 33 years and to normal dues at the age of 34 years old until the age of one year before retirement.

Keyword: Entry Age Normal, futures contract, Premium Increases Each, constant premium increase annually

1. PENDAHULUAN

Asuransi dana pensiun merupakan salah satu bentuk upaya perencanaan masa tua dengan tujuan menjamin kesejahteraan hidup pada saat memasuki usia pensiun. Program Asuransi adalah suatu program yang mengupayakan sejumlah pertanggungan dengan pihak-pihak yang terlibat, yaitu pihak penanggung (perusahaan asuransi) dan pihak tertanggung (individual atau kelompok sebagai pemegang polis). Pihak penanggung memberikan jaminan suatu pengganti kerugian yang dialami atau diderita tertanggung sesuai perjanjian dan kesepakatan kedua belah pihak. Pihak tertanggung memiliki kewajiban untuk membayarkan sejumlah uang yang disebut dengan premi sesuai polis yang disepakati kedua belah pihak pada awal perjanjian asuransi.

Oleh karena itu, Dana pensiun atau sering disebut asuransi hari tua adalah asuransi yang mengupayakan sejumlah nilai manfaat (benefit)

pensiun bagi pesertanya yang bertujuan membentuk sejumlah dana untuk dapat dipergunakan nantinya di hari tua setelah mereka tidak bekerja lagi.

Menurut UU No.11 Tahun 1992 yang berisikan tentang hal-hal yang menyangkut tentang dana pensiun. Selain sebagai bentuk jaminan masa tua para pegawai yang bekerja di perusahaannya, dana pensiun juga merupakan salah satu tanggung jawab perusahaan terhadap semua pegawai yang telah bekerja keras selama masa kerjanya di perusahaan itu.

Pada asuransi dana pensiun, ada beberapa kesepakatan yang harus disetujui oleh pihak tertanggung dan pihak penanggung. Kesepakatan itu adalah premi dan aktuaria, dimana besar premi yang akan dibayarkan oleh pihak tertanggung (pegawai) asuransi dana pensiun harus disesuaikan dengan penghasilan yang didapatkan, sehingga besar iuran premi yang akan dibayarkan tidak membebani tertanggung. Pembayaran premi akan dilakukan

15

dalam bentuk pembayaran iuran normal dilakukan dalam bentuk pemotongan gaji pegawai. Gaji yang dipotong menjadi investasi selama masa kerja dan akumulasi dana untuk pembayaran manfaat pensiun dalam memelihara kesinambungan penghasilan peserta pada hari tua (Futami [2]).

Dalam melakukan perhitungan premi, penulis menggunakan formula baru yaitu perhitungan premi tidak konstan dengan kenaikan premi tiap tahunnya konstan. Metode ini adalah metode perhitungan normal cost dengan mengalokasikan total manfaat pensiun secara merata sejak tanggal perhitungan aktuaria. Metode tersebut menggunakan asumsi skala gaji yang akan diestimasi pada masa depan (future value) dan diasumsikan bahwa gaji mengalami peningkatan.

Menurut Futami [3], jika seseorang berinvestasi sebesar Rp.1,- pada saat sekarang dan tingkat bunga yang berlaku sebesar maka total pokok besar bunga sebesar bunga setelah tahun adalah:

. (1) Besar total manfaat yang didapatkan selama tertanggung aktif bekerja dari umur tahun sampai dengan tahun, dinotasikan sehingga besar manfaat yang akan diterima oleh tertanggung pada tahun dinotasikan (Sembiring [5]).

(2) Manfaat yang didapatkan oleh peserta pensiun merupakan proporsi gaji sebesar persen yang kemudian diakumulasikan sesuai waktu yang telah ditentukan selama dan berdasarkan skala gaji berikut:

a. Asumsi Gaji Terakhir

Gaji terakhir pada usia tahun yang diharapkan dinotasikan dengan

_{. (3)} b. Asumsi Rata-Rata Gaji Selama Bekerja

Rata-rata gaji yang diharapkan selama bekerja adalah

[ ]

[

_{] (4)} Nilai akhir anuitas yang dilakukan selama

tahun dengan peningkatan sebesar dinotasikan dengan | sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi:

| . (5) Sehingga diperoleh manfaat pensiun

tertanggung sampai berusia tahun adalah

[ | ] (6) Present Value of Future Benefit adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan diterima oleh tertanggung saat memasuki usia pensiunnya atau tahun. Sistem pembayaran manfaat pensiun yang dilakukan tiap tahun sampai tertanggung meninggal.

r ̈ r-x [6] (7)

Gambar 1. Skema Pembayaran

Keterangan:

r

= nilai sekarang dari manfaat pensiun normal di usia x tahun;

= besar manfaat pensiun normal; ̈ = nilai sekarang dari anuitas

seumur hidup di usia pensiun tahun;

_{= faktor diskonto selama} tahun; dan

r-x = tingkat penyusutan aktuaria total

di usia x tahun hingga usia tahun

E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21 ISSN: 2303-1751

Present value of future normal cost adalah nilai sekarang dari iuran normal yang dibayarkan secara berkala oleh peserta dimulai dari peserta berusia tahun sampai memasuki usia pensiun berusia – tahun, yang dinotasikan dengan r . Besar pembayaran berkala iuran normal yang dilakukan setiap awal tahun sebesar dimulai dari peserta masuk program pensiun (usia tahun) sampai memasuki usia pensiun selang waktu usia tahun dapat dijelaskan dengan skema pembayaran tampak pada Gambar 2.

Gambar 2. Skema Pembayaran Iuran Normal Selama Masa Kerja

Berdasarkan skema pada Gambar 2 pembayaran iuran normal selama masa kerja tertanggung selang waktu usia tahun sampai dengan berusia tahun adalah

2 r-1-a .

Sehingga nilai sekarang iuran normal pada saat tertanggung berusia tahun yang dinotasikan dengan r dan dirumuskan sebagai berikut

r ∑ (8) 2. Metode Perhitungan Premi

Metode Entry Age Normal adalah nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan datang akan sama dengan nilai sekarang iuran normal (premi) yang akan datang pada saat berusia pensiun .

Pada dasarnya, iuran normal yang akan dibayarkan oleh tertanggung secara berkala (PVFNC) pada selang usia tahun sampai tahun, dipergunakan untuk melakukan pembayaran manfaat (PVFB) yang nantinya akan diberikan kepada tertanggung pada saat pensiun. Nilai sekarang dari iuran normal saat

peserta berusia tahun adalah r sedangkan nilainya akan sama dengan nilai sekarang manfaat pensiun saat tertanggung berusia tahun yaitu r (Nurcahyani & Endang [4]), sehingga diperoleh persamaan:

r r Sehingga berdasarkan persamaan (7) dan (8), maka nilai NC dapat dirumuskan sebagai berikut:

̈ _{r-x ∑}

∑ ̈ r-x ∑

̈ r-x

EAN ̈ ∑

EAN ̈ ̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅ (9) Metode Projected Unit Credit

Metode Projected Unit Credit (PUC) adalah merupakan metode perhitungan iuran normal yang membagi total manfaat pensiun pada saat usia pensiun. Dimana total dari masa kerja peserta pensiun menjadi suatu unit manfaat pensiun yang kemudian dialokasikan pada setiap tahun pada masa kerja (Bower,et al. [7]).

Iuran normal (NC) seorang peserta yang berusia dan pensiun pada usia didefinisikan sebagai nilai sekarang dari manfaat yang akan terima peserta pensiun dimasa yang akan datang dan akan menyebar secara merata setiap tahunnya selama masa kerja (Futami [3]). Sehingga iuran normal untuk metode ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

PUC ̈ r-x

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Model (formula) Premi Tidak Konstan Pada tahapan ini akan dicari formula premi tidak konstan dengan kenaikan yang konstan setiap tahunnya sebesar . Adapun rincian kontrak dalam program asuransi adalah sebagai berikut, mulai menjadi peserta program pensiun

17

saat berusia tahun dan akan terhitung pensiun pada usia tahun.

Misalkan adalah nilai tunai yang harus di bayarkan tertanggung setiap tahunnya. Pada tahun pertama tertanggung membayarkan iuran sebasar dan tahun kedua sebesar dan seterusnya mengalami peningkatan sebesar setiap tahunnya sampai mencapai usia pensiun satu tahun sebelum. Sehingga besar iuran terakhir yang akan dibayarkan tertangngung adalah . Sebaliknya sebagai hak yang akan didapatkan peserta pensiun bila hidup sampai usia , akan mendapatkan tanggungan (uang pensiun) mulai usia tahun sebesar seumur hidup. Apabila peserta pensiun meninggal sebelum mencapai usia

, maka peserta pensiun tidak mendapatkan uang tanggungan apapun. Dari kontrak ini maka nilai tunai dari premi yang akan dibayarkan peserta pensiun adalah:

[

]

[

]

[ {

}

]

[

] [

]

[

]

[

]

Sehingga diperoleh nilai sekarang dari iuran normal (premi) yang dibayarkan peserta pensiun adalah :

[

] (11) Sedangkan untuk nilai tunai dari manfaat pensiun yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi pensiun bagi peserta pensiun adalah:

̈ Berdasarkan prinsip ekuivalensi yang telah dijelaskan terlebih dahulu pada persamaan (9) dimana nilai uang yang masuk kedalam perusahaan harus sama dengan nilai uang yang dikeluarkan perusahaan. Sehingga dengan mengunakan persamaan ekuivalensi dari persamaan (11) dan (12) maka akan diperoleh persamaan:

[ ]

̈

[ ]

̈

[ ] ̈

[ ] ̈

Dimana [ ] menyatakan besar iuran normal pada tahun pertama , sehingga besar premi pada tahun ke_ adalah:

[ ] Contoh Kasus Penerapan

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, maka akan diberikan contoh kasus yang berkaitan dengan permasalahan pada penelitian ini (Nurcahyani & Endang [4]). Dalam hal ini, bila seorang karyawan mulai menjadi peserta pensiun semenjak berusia 19 tahun dan akan terhitung pensiun pada usia 56 tahun , dengan gaji pokok terakhir yang diterima karyawan yang diakumulasikan dalam satu tahun adalah sebesar -. Perhitungan (valuasi) dilakukan pada saat peserta berusia 24 tahun. Kemudian untuk tahun berikutnya iuran normal yang akan dibayar ditambahkan dengan sebesar 5% dari besar manfaat pensiun dengan tingkat suku bunga sebesar 11% dan sebesar 2,5% adalah:

a. Perhitungan Manfaat Pensiun

Seperti yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, pada penelitian ini perhitungan

E-Jurnal Matematika Vol. 5 (1), Januari 2016, pp. 14-21 ISSN: 2303-1751

manfaat pensiun untuk premi tindak konstan dengan peningkatan secara konstan, digunakan asumsi rata-rata gaji yang diperoleh karyawan selama masih aktif bekerja sebagai berikut: Pada contoh kasus yang disajikan telah di ketahui gaji pokok terakhir yang diterima karyawan yaitu sebesar - maka selanjutnya untuk menentukan besar manfaat pensiun berdasarkan besar gaji terakhir dapat menggunakan persamaan(2) sehingga diperoleh:

,-

b. Perhitungan Nilai Sekarang Manfaat Pensiun (Present Value of Future Benefit) Pada kasus perhitungan nilai iuran premi tidak konstan dengan kenaikan konstan, pada penelitian ini menggunakan asumsi skala rata rata gaji selama pegawai (peserta pensiun) selama masih aktif bekerja sebagai berikut:

56

_56-23

̈ 56-23

( )

(1) Jadi, diperoleh nilai sekarang total manfaat pensiun yang akan di peroleh peserta program pensiun saat mencapai usia 23 tahun sebesar Rp. ,-.

Sehingga diperoleh nilai adalah: ( )

c. Perhitungan Iuran Normal (Premi) Perhitunan Iuran Normal Metode Entry Age Normal

Berdasarkan persamaan (9) diperoleh iuran normal yang akan dibayarkan peserta program dana pensiun adalah:

EAN ̈ ̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅

Perhitunan Iuran Normal Metode Projected Unit Credit

Berdasarkan persamaan (10) diperoleh iuran normal yang akan dibayarkan peserta program dana pensiun adalah:

PUC

Perhitungan Nilai Iuran Normal dengan Formula Baru

Perhitungan iuran yang harus dibayarkan oleh peserta pensiun pada penelitian ini, dimana pada setiap tahunnya premi yang wajib dibayarkan peserta pensiun bertambah sebesar . Seperti yang telah dijelaskan pada persamaan (12), perhitungan nilai premi yang harus dibayarkan adalah:

[ ]

̈

(

)

Sedangkan untuk perhitungan iuran normal pada usia 24 tahun menggunakan persamaan sehingga diperoleh:

[ ]

Berdasarkan perhitungan yang dilakukan pada sub bab sebelumnya, penggunaan asumsi skala gaji terakhir yang diperoleh oleh peserta pensiun digunakan untuk melakukan perhitungan nilai sekarang manfaat pensiun tiap tahun dan disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar 3.

19

0 50000000 100000000 150000000

24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 Gaji Terakhir

0.00 200000.00 400000.00 600000.00 800000.00 1000000.00 1200000.00 1400000.00

24 26 28 30 32 34 36 38 40

PUC ILP formula Baru

Gambar 3. Grafik Nilai Sekarang dari Manfaat Pensiun (Present Value of Future Benefit) dengan Asumsi Skala Gaji Terakhir.

Gambar 3 menunjukkan bahwa penggunaan asumsi gaji terakhir menghasilkan manfaat pensiun yang sangat tinggi. Hal ini menyatakan bahwa penggunaan skala gaji terakhir akan menunjukkan penggunaan asumsi gaji lainnya, mengingat setiap tahun pegawai selalu mendapatkan peningkatan gaji. Tetapi kekurangan saat mengunakan asumsi gaji terakhir adalah perusahaan asuransi dapat saja mengalami kerugian dikarenakan harus melakukan pembayaran kekurangan pembiayaan yang terjadi diawal masa kepesertaan bagi peserta program pensiun yang memperoleh peningkatan penghasilan tiap tahunnya.

Sedangkan untuk perbandingan, perhitungan pembiayaan iuran normal ditunjukkan pada Gambar 4.

Gambar 4. Grafik Pembiayaan Iuran Normal Mengunakan Metode Projected Unit

Credit (PUC), Individual Level Premium (ILP) Berdasarkan Asumsi Gaji Terakhir

Grafik garis berbentuk layang-layang yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukan bahwa

pembiayaan iuran normal (premi) dengan mengunakan metode Projected Unit Credit akan mengalami peningkatan setiap tahunnya. Pada metode ini peningkatan iuran normal yang terjadi setiap tahunnya tidak secara konstan, sehingga pada saat peserta mencapai usia lebih tua peningkatan besar iuran normal yang harus dibayarkan peserta program dana pensiun semakin melonjak tinggi disesuaikan dengan perkiraan besar manfaat yang akan didapatkan peserta pensiun jika membayar iuran normal pada umur tersebut. Peningkatan iuran normal mengunakan metode Projected Unit Credit dapat dilihat dengan grafik garis yang berwarna biru.

Sedangkan grafik garis berbentuk pesegi yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukkan pembiayaan iuran normal dengan mengunakan metode Individual Level Premium. Perhitungan iuran normal (premi) dengan mengunakan metode ini cenderung tetap saat pegawai baru menjadi peserta pensiun sampai pegawai memasuki usia pensiun. Hal ini disebabkan karena perhitungan pembiayaan iuran normal dengan metode Individual Level Premium tidak dipengaruhi oleh usia peserta program dana pensiun saat tahun perhitungan aktuaria (saat peserta berusia x tahun), tetapi dipengaruhi oleh usia peserta program dana pensiun saat memasuki program dana pensiun (saat peserta berusia e tahun).

Sedangkan Grafik garis berbentuk persegi tiga yang ditunjukkan pada gambar 4 menunjukkan, bahwa pembiayaan iuran normal dengan menggunakan formula baru dengan kenaikan yang terjadi secara konstan. Hal ini disebabkan karena kenaikan iuran normal yang terjadi setiap tahunnya adalah sebesar . Dimana dengan menggunakan formula ini didapatkan iuran normal yang harus dibayarkan peserta pensiun saat baru memasuki program dana pensiun sampai akhir usia pembayaran (satu tahun sebelum usia pensiun) berada di tengah-tengah atau diantara perhitungan iuran normal dengan mengunakan perhitungan dengan metode Projected Unit Credit dan Individual Level Premium.

32

PENENTUAN CADANGAN PREMI UNTUK ASURANSI JOINT LIFE

Ni Luh Putu Ratna Dewi§1

, I Nyoman Widana2, Desak Putu Eka Nilakusmawati3

1

Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: ratnadewiputu@gmail.com]

2

Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: nwidana@yahoo.com]

3_{Jurusan Matematika Fakultas MIPA – Universitas Udayana [Email: nilakusmawati@unud.ac.id]} §_{Corresponding Author}

ABSTRACT

Premium reserve is a number of fund that need to be raised by insurance company in preparation for the payment of claims.This study aims to get the formula of premium reserve as well as the value of the premium reserve for joint life insurance by using retrospective calculation method. Joint life insurance participants in this study are limited to 2 people. Calculations in this study is using Indonesian Mortality Table (TMI) 2011, joint life mortality tables, commutation tables, value of annuities, value of single premiums and constant annual premium and using constant interest rates of 5%.The results showed that by using age of the participant insurance joint life of x = 50 and y = 45 years and the premium payment period of t = 10 years, we obtained that the value of premium reserve from the end of the first year until the end of the 11th year has increased every year, while the value of premium reserves from the end of the 12th year and so on until a lifetime has decreased every year.

Keywords:

Joint Life Insurance, Premium Reserve, Retrospective

1. PENDAHULUAN

Asuransi jiwa dilihat dari jumlah tertanggungnya dapat dibagi menjadi dua yaitu asuransi jiwa tunggal dan asuransi jiwa gabungan. Asuransi jiwa gabungan salah satunya adalah asuransi joint life. Asuransi joint life merupakan asuransi yang menanggung dua jiwa atau lebih dalam satu polis asuransi.

Dalam asuransi jiwa, tertanggung akan diberikan sejumlah uang yang disebut santunan atau uang pertanggungan yang akan diberikan oleh perusahaan asuransi. Tertanggung juga mempunyai kewajiban kepada perusahaan asuransi jiwa untuk membayar premi.

Premi yang telah terkumpul di perusahaan asuransi jiwa nantinya akan digunakan oleh perusahaan asuransi jiwa untuk membayar uang pertanggungan. Dalam jangka waktu tertentu, pendapatan yang diperoleh perusahaan asuransi dari premi beserta bunganya biasanya akan jauh lebih besar dari jumlah uang pertanggungan yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pihak tertanggung. Kelebihan

dana inilah yang kemudian disimpan sebagai cadangan premi.

Cadangan premi ini nantinya akan

digunakan untuk membayar uang

pertanggungan apabila terjadi klaim dan premi tidak mencukupi untuk membayar uang pertanggungan tersebut sehingga perusahaan asuransi tidak kesulitan untuk membayarnya.

Menurut Destriani & Mara [2], perusahaan asuransi jiwa tidak sedikit yang mengalami kerugian yang disebabkan karena perusahaan tersebut tidak tepat dalam mengatur cadangan preminya. Akibatnya, perusahaan asuransi tidak mampu membayar uang pertanggungan kepada pihak tertanggung ketika jumlah klaim yang diajukan pihak tertanggung ternyata melebihi jumlah klaim yang telah diprediksi sebelumnya. Keadaan ini dapat diantisipasi jika perusahaan asuransi jiwa memiliki dana cadangan premi yang telah disiapkan dan dihitung dengan tepat. Salah satu metode perhitungan cadangan premi bersih adalah metode perhitungan secara retrospektif. Perhitungan secara retrospektif

merupakan perhitungan cadangan premi berdasarkan jumlah total pendapatan di waktu yang lampau sampai dilakukan perhitungan cadangan, dikurangi dengan jumlah pengeluaran di waktu yang lampau (Futami [3]).

Pada penelitian ini, akan dicari formula cadangan premi bersih tahunan pada asuransi joint life dengan menggunakan metode perhitungan cadangan premi secara retrospektif, dan untuk perhitungan premi tahunan pada penelitian ini akan dihitung dengan menggunakan formula premi tahunan konstan untuk asuransi joint life yang telah diteliti oleh (Matvejevs & Matvejevs [5]).

Peluang gabungan dari dua orang yang berusia x dan y tahun akan tetap hidup selama t tahun dinotasikan dengan dirumuskan sebagai berikut:

(1)

Peluang dua orang berusia x dan y yang meninggal dalam jangka waktu t tahun dinotasikan dengan , (Futami [4]) dan dirumuskan sebagai berikut:

Anuitas awal pada anuitas yang ditunda dengan jangka waktu penundaan t tahun, (Futami [3]) dirumuskan sebagai berikut:

| ̈

(3)

Nilai sekarang anuitas awal dari anuitas hidup berjangka joint life apabila x dan y tetap hidup, dalam (Futami [4]) dirumuskan sebagai berikut:

̈ ⌉

∑

Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x tahun dan y tahun, dengan jangka waktu tertanggung t tahun dan besar uang pertanggungan adalah Rp. 1, dalam (Futami [4]) dirumuskan sebagai berikut:

⌉

Premi tunggal asuransi berjangka joint life menurut (Matvejevs & Matvejevs [5]) dirumuskan sebagai berikut:

⌉ ∑ Premi tunggal anuitas menaik pada asuransi joint life dalam (Futami [4]) dirumuskan sebagai berikut:

⌉ ∑

Menurut (Matvejevs & Matvejevs [5]) nilai tunai dari pendapatan premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dirumuskan sebagai berikut:

Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan konstan pada joint life dapat dinyatakan sebagai

( ) ̈ ⌉

Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai

∑ ∑ |

∑ ∑ |

⌉ |̅ | ̈ | ̈ ⌉

Dengan menggunakan prinsip ekivalensi, besar preminya adalah

̈ ⌉ ⌉ | ̈ | ̈

⌉

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

34 sehingga besarnya premi tahunan yang harus

dibayarkan oleh peserta asuransi adalah

|̅̅̅

_{| ̈}

| ̈ ̈ ⌉ ⌉

(10)

2. METODE PENELITIAN

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder yang bersumber dari Matvejevs & Matvejevs [5]. Data sekunder yang digunakan adalah usia awal peserta pada saat mengikuti kontrak asuransi joint life, masa pertanggungan asuransi, tingkat bunga, formula premi tahunan konstan asuransi joint life. Pada penelitian ini juga menggunakan Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011.

Langkah-langkah dalam proses penelitian ini adalah: (1) Menentukan formula cadangan premi tahunan pada asuransi joint life dengan perhitungan cadangan premi secara retrospektif; (2) Menghitung nilai dari tabel mortalitas joint life berdasarkan Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011; (3) Menghitung nilai tunai pembayaran untuk tingkat bunga; (4) Menghitung nilai dari tabel komutasi tunggal; (5) Menghitung nilai anuitas awal dari anuitas hidup yang ditunda; (6) Menghitung nilai premi tunggal pure endowment, nilai premi tunggal asuransi berjangka joint life, nilai premi tunggal anuitas menaik pada asuransi joint life. (7) Menghitung nilai premi tahunan konstan pada asuransi joint life; (8) Menghitung nilai cadangan premi tahunan pada asuransi joint life menggunakan formula yang telah didapat pada langkah pertama.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Formula Cadangan Premi Tahunan

Asuransi Joint Life

Kontrak asuransi joint life ini melibatkan pasangan suami-istri dengan usia berturut-turut x tahun dan y tahun dengan uang pertanggungan sebagai berikut: (a) Apabila kedua peserta asuransi joint life (x dan y)

masih hidup sampai kontrak berakhir maka akan diberikan uang pertanggungan sebesar dan kontrak asuransi berakhir; (b) Apabila salah satu peserta asuransi joint life meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir, misalkan x meninggal, maka pembayaran premi dihentikan dan pada akhir tahun kematian dari x akan diberikan uang sejumlah premi yang telah dibayarkan kepada pasangannya yang masih hidup. Apabila pasangannya yaitu y masih tetap hidup diakhir kontrak, maka y akan diberikan uang sebesar setiap tahunnya selama seumur hidup. Begitu juga sebaliknya, apabila y meninggal dunia maka x yang akan diberikan uang sebesar setiap tahunnya selama seumur hidup. Namun apabila pasangannya juga meninggal sebelum masa kontrak berakhir

maka tidak ada pembayaran uang

pertanggungan lagi; (c) Apabila x dan y kedua-duanya meninggal ditahun yang sama sebelum kontrak berakhir maka uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan akan diberikan kepada ahli warisnya dan kontrak asuransi berakhir.

Berdasarkan kontrak asuransi tersebut maka diperoleh formula cadangan premi untuk asuransi joint life dengan metode perhitungan secara retrospektif adalah sebagai berikut:

Cadangan premi akhir tahun pertama adalah sebagai berikut:

( )

dengan merupakan premi bersih tahunan yang dibayarkan pada permulaan tahun pertama yang dibungakan selama setahun kemudian dikurangi dengan

yang merupakan uang pertanggungan yang dibayarkan pada akhir tahun pertama.

Selanjutnya untuk lebih memudahkan penulisannya, dimisalkan

( ) dengan

dan merupakan lamanya masa

pembayaran premi atau lamanya kontrak asuransi sehingga cadangan premi akhir tahun kedua adalah sebagai berikut:

dengan merupakan seluruh dana yang berasal dari tahun pertama kemudian ditambahkan dengan premi pada tahun kedua yaitu . Keduanya kemudian dibungakan selama setahun lalu dikurangi dengan ( ) yang merupakan uang pertanggungan yang dibayarkan pada akhir tahun kedua. Selisih tersebut kemudian dibagi dengan . Selanjutnya cadangan akhir tahun ketiga sampai akhir tahun ke- menggunakan formula yang sama seperti cadangan akhir kedua.

( )

Selanjutnya cadangan premi akhir tahun

ke- berbeda dengan cadangan premi akhir

tahun ke-t karena pada tahun ke- sudah tidak ada pembayaran premi lagi.

Dimisalkan ( ) dengan sehingga cadangan akhir tahun ke- adalah sebagai berikut

( )

( )

( )

( )

dengan seluruh dana yang berasal dari tahun ke-t kemudian dibungakan selama setahun lalu dikurangi dengan ( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila dan masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- yang dibungakan selama setahun. (

) yaitu uang pertanggungan yang

diberikan apabila meninggal sebelum akhir tahun ke- dan masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- lalu dibungakan selama setahun, ( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila

meninggal sebelum akhir tahun ke- dan masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- lalu dibungakan selama setahun. Selisih tersebut kemudian dibagi dengan .

Selanjutnya cadangan premi akhir tahun ke- adalah sebagai berikut:

( )

( )

( )

dengan merupakan seluruh dana yang berasal dari tahun ke- yang dibungakan selama setahun lalu dikurangi dengan ( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila meninggal sebelum akhir tahun ke- dan masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- lalu dibungakan selama setahun, dan

( ) yaitu uang pertanggungan yang diberikan apabila meninggal sebelum akhir tahun ke- dan masih tetap hidup sampai akhir tahun ke- lalu dibungakan selama setahun. Selisih tersebut kemudian dibagi dengan .

Cadangan premi akhir tahun ke- dan seterusnya sampai seumur hidup dicari dengan menggunakan formula yang sama seperti pada cadangan premi akhir tahun ke- .

3.2 Contoh Kasus

Usia peserta mulai mengikuti asuransi dalam kasus ini yaitu usia suami adalah 50 tahun sedangkan untuk usia istri adalah 45 tahun dengan masa pembayaran premi adalah

tahun. Tingkat suku bunga yang

digunakan dalam kasus ini adalah konstan yaitu sebesar 5%.

Rincian uang pertanggungan yang diberikan perusahaan asuransi kepada peserta asuransi joint life adalah sebagai berikut: (a) Apabila kedua peserta asuransi joint life (x dan y) masih hidup sampai kontrak berakhir maka akan diberikan uang pertanggungan sebesar Rp.1 dan kontrak asuransi berakhir; (b) Apabila salah satu peserta asuransi joint life meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir, misalkan x meninggal, maka

36 pembayaran premi dihentikan dan pada akhir

tahun kematian dari x akan diberikan uang sejumlah premi yang telah dibayarkan kepada pasanganya yang masih hidup. Apabila pasangannya yaitu y masih tetap hidup diakhir kontrak, maka y akan diberikan uang sebesar Rp.1 ( setiap tahunnya selama seumur hidup. Begitu juga sebaliknya, apabila y meninggal dunia maka x yang akan diberikan uang sebesar Rp.1 setiap tahunnya selama seumur hidup. Namun apabila pasangannya juga meninggal sebelum masa kontrak berakhir maka tidak ada pembayaran uang pertanggungan lagi. (c) Apabila x dan y kedua-duanya meninggal ditahun yang sama sebelum kontrak berakhir maka uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan akan diberikan kepada ahli warisnya dan kontrak asuransi berakhir.

Berdasarkan kontrak asuransi tersebut

dan berdasarkan persamaan (10) maka

diperoleh nilai premi tahunan konstan

untuk asuransi joint life adalah sebagai

berikut:

⌉

_{| ̈}

| ̈

̈ ⌉ ⌉

Selanjutnya nilai cadangan premi untuk asuransi joint life dengan menggunakan formula yang telah diperoleh sebelumnya dapat dilihat pada Tabel 3.1.

Dapat dilihat pada Tabel 3.1 hasil perhitungan cadangan premi pada asuransi joint life dengan menggunakan perhitungan secara retrospektif untuk usia peserta dan diperoleh cadangan premi akhir tahun ke-1 sampai dengan akhir tahun ke-11 mengalami peningkatan setiap tahunnya yang disebabkan karena uang yang masuk ke perusahaan asuransi dari pembayaran premi sangat besar dan terus meningkat setiap tahunnya jauh melampaui jumlah uang pertanggungan yang harus dibayarkan

sehingga cadangan premi yang diperoleh juga terus meningkat setiap tahunnya.

Tabel 3.1 Nilai Cadangan Premi Asuransi Jiwa

Joint Life untuk dan

Jangka Waktu (w)

Jangka Waktu (w)

1 0.21957 34 7.12545 2 0.44660 35 6.84150 3 0.68084 36 6.55873 4 0.92203 37 6.28404 5 1.16990 38 6.01835 6 1.42415 39 5.75848 7 1.68452 40 5.50432 8 1.95068 41 5.25641 9 2.22234 42 5.00598 10 2.49927 43 4.76813 11 13.67372 44 4.54290 12 13.42691 45 4.33150 13 13.17482 46 4.12583 14 12.91677 47 3.89479 15 12.65248 48 3.65545 16 12.38185 49 3.42292 17 12.10511 50 3.20895 18 11.82236 51 3.03087 19 11.53587 52 2.88485 20 11.24550 53 2.77982 21 10.95207 54 2.64108 22 10.65609 55 2.49038 23 10.35973 56 2.34529 24 10.06286 57 2.20507 25 9.76568 58 2.07042 26 9.46727 59 1.94229 27 9.16836 60 1.82246 28 8.87004 61 1.71290 29 8.57319 62 1.61176 30 8.27878 63 1.51589 31 7.98680 64 1.41525 32 7.69779 65 1.28223 33 7.41078 66 1.00000

Selanjutnya nilai cadangan premi dari tahun ke-12 dan seterusnya mengalami penurunan yang disebabkan karena dari tahun ke-11 sudah tidak ada lagi pembayaran premi sehingga tidak ada lagi uang yang masuk ke perusahaan asuransi sedangkan perusahaan asuransi harus tetap melakukan pembayaran uang pertanggungan setiap tahunnya sehingga cadangan premi yang terdapat diperusahaan asuransi akan terus menurun setiap tahunnya.

4. KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dijelaskan, maka dapat disimpulkan bahwa rumusan/formula cadangan premi

untuk asuransi joint life dengan perhitungan secara retrospektif adalah sebagai berikut:

( ) ( )

Dimisalkan ( ) dengan dan

merupakan lamanya masa pembayaran premi atau lamanya kontrak asuransi sehingga cadangan premi akhir tahun kedua sampai akhir tahun ke- adalah sebagai berikut:

( )

( )

dengan . Selanjutnya dimisalkan

( ) dengan

, sehingga cadangan akhir tahun ke- sampai seterusnya adalah sebagai berikut:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

dan seterusnya

Berdasarkan formula cadangan premi tersebut serta untuk kasus usia awal peserta laki-laki tahun dan perempuan tahun dan lama pembayaran premi tahun, diperoleh nilai cadangan premi akhir tahun ke-1 sampai akhir tahun ke-11 mengalami peningkatan setiap tahunnya, sedangkan nilai cadangan premi dari akhir tahun ke-12 dan seterusnya sampai seumur hidup mengalami penurunan.

Pada penelitian ini, penulis hanya dapat meneliti bagaimana cara menentukan formula dari cadangan premi tahunan pada asuransi joint life menggunakan metode perhitungan secara retrospektif dengan tingkat suku bunga konstan. Tidak menutup kemungkinan untuk

peneliti selanjutnya dapat menggunakan tingkat suku bunga yang tidak konstan dan menggunakan metode perhitungan cadangan premi bersih lainnya seperti metode perhitungan secara prospektif.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, dan Nesbitt CJ. 1997. Actuarial Mathematics. 2nd ed. Schaumburg : The Society of Actuaries. [2] Destriani, Satyahadewi, N. & Mara,

M.N., 2014. Penentuan Nilai Cadangan Prospektif pada Asuransi Jiwa Seumur Hidup Menggunakan Metode New Jersey. Buletin Ilmiah Mat.Stat dan Terapannya (BIMASTER), 03, pp.7-12. [3] Futami, T., 1993. Matematika Asuransi

Jiwa Bagian I. Herliyanto G, penerjemah. Tokyo (JP): Oriental Life Insurance

Cultural Development Center.

Terjemahan dari: Seime Hoken Sugaku Gekan ("92 Revision).

[4] ,1994. Matematika Asuransi Jiwa Bagian 2. Herliyanto G, penerjemah. Tokyo (JP): Oriental Life Insurance Cultural Development Center. Terjemahan dari: Seime Hoken Sugaku Gekan ("92 Revision).

[5] Matvejevs, A. & Matvejevs, A., 2001. Insurance Models for Joint Life and Last Survivor Benefit. Informatica, 12(4), pp.547-58.