STUDI TENTANG SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK LINIER PADA PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA DAN PERSAMAAN PENDULUM DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE-KUTTA.

STUDI TENTANG SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK LINIER PADA PERSAMAAN LOTKA – VOLTERRA DAN PERSAMAAN

PENDULUM DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE - KUTTA

Oleh

FERNANDUS BOBBY CHANDRA SIMALANGO NIM. 062244510023

Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN 2012

STUDI TENTANG SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK LINIER PADA PERSAMAAN LOTKA – VOLTERRA DAN PERSAMAAN

PENDULUM DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE – KUTTA

Fernandus Bobby Chandra Simalango (062244510023)

ABSTRAK

Penelitian ini membahas mengenai Solusi Persamaan Diferensial Tak Linier pada persamaan Lotka – volterra dan persamaan pendulum dengan menggunakan metode runge – kutta. Persamaan Lotka – volterra membahas mengenai interaksi antara mangsa dan pemangsa yang dirumuskan dalam persamaan = − dan = − +� , sedangkan pada persamaan pendulum membahasa mengenai gerak ayunan sederhana pada persamaan Hukum Newton II:

2

2 = − �sin�.

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini antara lain menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis, pemecahan masalah dan penarikan kesimpulan.

Pada pembahasan dilakukan analisis untuk menentukan solusi persamaan Lotka – Volterra dan persamaan pendulum dengan menggunakan metode runge – kutta orde keempat dengan rumus sebagai berikut:

yi+1 = yi +

1

6 (l1 + 2l2 + 2 l3 +l4 )dengan: l1 =h f(xi, yi),l2 =h f(xi + 1 2h, yi +

1

2 1), l3 =h f(xi +

1

2h, yi + 1

2 2), l4 =h f(xi + h, yi + l3) akan diperoleh hasil dari hampiran penyelesaian persamaan sebagai berikut:

Penyelesaian persamaan Lotka – Volterra pada 0≤ ≤1 _{dengan menggunakan} hampiran Metode Runge – kutta orde Keempat adalah himpunan { (0,2 , 0,595), (0,4 , 0,536), (0,6 , 0,535), (0,8 , 0,5558), (1 , 0,5914)}sedangkan penyelesaian persamaan Pendulum pada 0 ≤ x ≤ 1 dengan menggunakan hampiran Metode Runge – kutta orde keempat adalah himpunan { (0,2 , 0,9983), (0,4 , 0,9931), (0,6 , 0,9843), (0,8 , 0,9722), (1 , 0,9562)}.

THE STUDY OF THE SOLUTION OF NON LINIER DIFFERENTIAL EQUATION TO LOTKA-VOLTERRA EQUATION AND

PENDULUM EQUATION BY USING RUNGE-KUTTA METHOD

Fernandus Bobby Chandra Simalango (062244510023) ABSTRACT

This study discuss about the solution of non linier differential equation to Volterra and Pendulum Equation by using Runge-Kutta Method. Lotka-Volterra Equation discuss about the interaction between prey and predator can be written in the equation = − and = − +� , even in Pendulum Equation discuss about Simple Swing Movement of Second Newton Equation :

2

2 = − �sin�.

The research method that is used in this study is literature. The steps that is done in this research are deciding problem, finding problem, reading the literature, analyzing the problem, problem solving and concluding.

In this discussion was used analyst to divided the solution of Lotka-Volterra and Pendulum Equation by Using the fourth order Runge-Kutta Method with the equation : yi+1 = yi +

1

6 (l1 + 2l2 + 2 l3 +l4 )dengan: l1 =h f(xi, yi),l2 =h f(xi + 1 2h, yi +1₂ 1), l3 =h f(xi +

1 2h, yi +

1

2 2), l4 =h f(xi + h, yi + l3), will be gotten the result of approximation equation:

The finding of Lotka-Volterra equation of 0≤ ≤ 1 _{by using the approximation of} the fourth order Runge-Kutta Method was sets { (0,2 , 0,595), (0,4 , 0,536), (0,6 , 0,535), (0,8 , 0,5558), (1 , 0,5914)}whereas the solution of Pendulum Equation of 0 ≤ x ≤ 1 with using the approximation of the fourth order Runge-Kutta Method was sets { (0,2 , 0,9983), (0,4 , 0,9931), (0,6 , 0,9843), (0,8 , 0,9722), (1 , 0,9562)}.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa oleh karena rahmat, berkat dan anugerah-Nya memberikan kesehatan, hikmat, dan kebijaksanaan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Adapun topik yang dipilih dalam penelitian ini adalah tentang solusi persamaan diferensial tak linier pada persamaan lotka –volterra dan persamaan pendulum yang penelitiannya telah dilaksanakan sejak bulan desember 2011 sampai dengan bulan Januari 2012 dengan judul “Studi Tentang Solusi Persamaan Diferensial Tak Linier Pada Persamaan Lotka –Volterra Dan Persamaan Pendulum Dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta”.

Penulisan skripsi ini bertujuan memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains pada jurusan matematika Sains/S-1 Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak secara materi maupun non materi. Secara khusus penulis mengucapkan terima kasih kepada orang tua penulis: Aiptu. G. Simalango dan R. Napitupulu, S.Pd yang senantiasa membimbing, mengasihi, dan mendukung penulis dalam doa, materi dan moral. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Motlan, M.Sc, Ph.D. selaku dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.

2. Bapak Prof.Dr. Mukhtar selaku ketua jurusan matematika Universitas Negeri Medan

3. Ibu Dra. Nerli khairani, M.Si, selaku ketua program studi matematika Universitas Negeri Medan

4. Ibu Dr. Izwita Dewi, M.Pd, selaku dosen pembimbing skripsi yang telah membantu dan membimbing penulis selama proses penulisan skripsi ini. 5. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku dosen pembimbing akademik penulis.

6. Rekan – rekan seperjuangan di organisasi UK – KMK St. Martinus Unimed dan IKBKM

7. Rekan – rekan seperjuangan di kelas Matematika Nondik Stambuk 2006 8. Sahabat – sahabat saya yang selalu mendukung dan memberikan semangat

kepada penulis, Oriza Satifa Sembiring and her friends, Horasdin Sitindaon, Freddy Marbun, Pelemon Tarigan, Liber Efraim Purba (All My Best Friends). 9. Pihak yang lainnya yang turut memberikan dukungan dan doa kepada penulis,

yang tak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat sebagai bahan perbandingan dan pengembangan skripsi selanjutnya.

Medan, Juli 2012

Fernandus Bobby Chandra Simalango Nim: 062244510023

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Meluasnya penggunaan sirkuit digital, simulasi komputer, dan metode numerik, membuat persamaan diferensial menjadi sangat penting, karena semua itu menggunakan persamaan differensial sebagai konsep dasar.

Dalam masalah rekayasa dibidang fisika, biologi, matematika, dan ilmu terapan lainnya, persamaan diferensial sering ditemui dalam bentuk model matematisnya, di mana dalam masalah-masalah itu ada variabel tak bebas y dan tergantung pada variabel bebas t yang kontinu. Meskipun demikian, dalam banyak penerapannya variabel bebas bisa diambil sebagai nilai-nilai diskrit. Hal inilah yang membawa kepada apa yang dinamakan dengan Persamaan Diferensial.

Model matematis persamaan diferensial tak linier dalam banyak hal menggambarkan keadaan yang lebih mendekati kenyataan dibandingkan dengan model matematis yang digambarkan oleh persamaan diferensial linier. Sebagai contoh persamaan Lotka – Volterra, yang mengkaji mengenai ekosistem yang diperkenalkan sekitar pertengahan tahun 1920. Misalkan x(t) dan y(t) masing – masing menyatakan banyaknya spesies mangsa (x) dan pemangsa (y) pada saat t, persamaan untuk menyatakan interaksi antara mangsa dan pemangsa diberikan sebagai berikut:

= ₍₁₎

= − (2)

Dalam persamaan (1) konstanta a bernilai, a > 0 karena populasi mangsa mempunyai persediaan makanan berlebih dan karena itu jumlah populasi mangsa akan semakin bertambah, sedangkan pada persamaan (2) konstanta c bernilai, c < 0, karena populasi pemangsa tidak mempunyai persediaan

makanan maka jumlah populasi pemangsa akan berkurang jumlahnya. Dalam hal ini dimisalkan bahwa kedua populasi saling berinteraksi sehingga populasi pemangsa (y) memakan populasi mangsa (x). Maka beralasanlah untuk mengandaikan bahwa jumlah yang memangsa besarnya tiap satuan waktu berbanding lurus dengan x (mangsa) dan y (pemangsa), yaitu xy. Jadi populasi mangsa akan berkurang jumlahnya sebesar bxy sedangkan pemangsa akan bertambah jumlahnya sebesar vxy pada laju yang berbanding lurus dengan xy, yang diberikan pada persamaan (3) dan (4) berikut:

= − ₍₃₎

= − +� ₍₄₎

Persamaan di atas mengkaji secara matematis mengenai ekosistem yang lebih dikenal dengan persamaan Lotka - Volterra dalam bidang biologi. (Finizio/Ladas:1982)

Dalam bidang fisika terdapat persamaan mekanika tak linier dari gerak ayunan sederhana terdiri dari sebuah bandul B bermassa m pada sepotong tongkat yang ringan dan kaku sepanjang L diikat pada bagian atasnya sedemikian sehingga sistem itu dapat berayun pada bidang vertikal. Ada dua gaya yang bekerja pada bandul tersebut setiap saat t ketika bandul ditarik dan dilepas sehingga terjadi perpindahan bolak-balik pada bidang vertikal. Menurut hukum newton kedua mengenai gerak, kita peroleh persamaan berikut:

� 22 = −��sin�. (Finizio/Ladas:1982)

Kebanyakan persamaan diferensial tak linier tidak dapat diselesaikan secara eksak. Cara yang tepat dalam mempelajari persamaan tak linier adalah dengan membuat persamaan itu menjadi “ linier “ yaitu dengan cara menghampiri persamaan tersebut oleh persamaan diferensial linier. Masalahnya adalah bagaimana cara menentukan solusi persamaan diferensial tak linier yang telah dilinierkan dengan menggunakan metode Runge-Kutta.

Dalam penulisan ini, penulis hanya membahas persamaan diferensial tak linier dan aplikasinya pada persamaan lotka-voltera dan persamaan pendulum. Selain itu juga akan dibahas salah satu metode yang akan digunakan untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial tak linier yang telah dilinierkan, dengan menggunakan Metode Runge-Kutta. Berdasarkan hal tersebut di atas maka penulis mengambil judul tugas akhir “STUDI TENTANG SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK LINIER PADA PERSAMAAN LOTKA –VOLTERRA DAN PERSAMAAN PENDULUM DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE-KUTTA”.

1.2 Batasan Masalah

1. Persamaan diferensial tak linier yang dibahas hanya mencakup persamaan diferensial tak linier orde pertama dan kedua.

2. Untuk memudahkan pembahasan maka dalam skripsi ini permasalahan dibatasi untuk sistem persamaan diferensial tak linier yang pelinierannya sederhana.

3. Penelitian ini hanya membahas penyelesaian dari masalah persamaan diferensial tak linier pada persamaan lotka-voltera dalam bidang biologi dan persamaan pendulum dalam bidang fisika, dengan menggunakan metode runge-kutta.

4. Aplikasi dalam penelitian ini menyangkut hal bagaimana mengaplikasikan metode Runge-Kutta untuk menentukan solusi numerik dari persamaan diferensial tak linier pada persamaan lotka-voltera dan persamaan pendulum.

1.3 Rumusan Masalah

1. Bagaimana menentukan solusi dari persamaan diferensial tak linier yang telah dilinierkan, pada persamaan Lotka – Volterra dan persamaan Pendulum dengan menggunakan metode runge-kutta? 2. Bagaimana aplikasi persamaan diferensial tak linier pada persamaan

lotka-voltera dan persamaan pendulum ?

1.4 Tujuan Penelitian

1. Mendapatkan solusi dari persamaan diferensial tak linier yang telah dilinierkan dengan menggunakan metode Runge-Kutta

2. Dapat mengaplikasikan persamaan diferensial tak linier dalam persamaan lotka-voltera dan persamaan pendulum serta menyelesaikan permasalahannya dengan menggunakan metode Runge-Kutta

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian ini sebagai berikut:

1. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang persamaan diferensial tak linier serta menentukan solusinya dengan menggunakan metode Runge – Kutta.

2. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang penggunaan persamaan diferensial tak linier dalam setiap bidang yang nyata, khususnya pada contoh persamaan lotka-voltera dan persamaan pendulum.

3. Dapat digunakan sebagai dasar untuk melakukan penelitian yang berkaitan dengan persamaan diferensial tak linier dalam setiap bidang ilmu pengetahuan.

BAB V KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan

Dari uraian pada pembahasan pada bab IV dapat disimpulkan bahwa telah diperoleh penyelesaian dari persamaan Lotka – Volterra dan persamaan Pendulum sebagai berikut:

a. Persamaan Lotka – Volterra

Dengan model persamaan Lotka – Volterra sebagai berikut

= −

= − +�

Kedua persamaan diatas akan saling berinteraksi sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

= . = − +� −

Dengan memberikan nilai pada konstanta – konstanta pada persamaan diatas, a = 2, b = 1, c = ½, dan v = 1, maka persamaan diatas akan menjadi

= − 1 2+ 2−

maka diperoleh nilai hampiran numerik dengan menggunakan metode Runge – Kutta sebagai berikut:

i xi+1 yi+1

0 0,2 0,595 1 0,4 0,536 2 0,6 0,535 3 0,8 0,5558

4 1 0,5914

Tabel 1.2. Hasil penyelesaian persamaan Lotka – Volterra dengan mengunakan metode Runge - Kutta.

Pada tabel 1.2 diatas dapat dilihat bahwa pergerakan pertumbuhan populasi pemangsa seiring bertambah banyaknya populasi mangsa meningkat. Ini dapat dilihat pada iterasi pertama(xi+1 = 0) sampai iterasi ketiga (xi+1 = 0,6) pergerakan populasi mangsa (yi+1) mengalami penurunan akan tetapi pada iterasi keempat pergerakan populasi pemangsa semakin meningkat seiring bertambahnya populasi mangsa. Pemberian nilai pada konstanta a, b, c, dan v dimaksudkan untuk memperoleh banyak sifat dari penyelesaian sistem tersebut dan pada akhirnya peneliti dapat membuat ramalan yang berguna tentang kelakuan kedua spesies tersebut.

b. Persamaan Pendulum

2

2 = − � � � (1)

Dimana s adalah panjang busur AB, dan d2s/dt2 adalah percepatan sepanjang busur itu. Karena L merupakan panjang tongkat, maka diperoleh s = L � dan karena itu.

2

2 = �

2_�

2 (2)

Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) dan menyederhanakan persamaan tersebut dapat diperoleh;

dy dx=

- �2 sin x

Dengan memberikan nilai awal y (0) = 1, dan 0 ≤ x ≤ 1, h = 0,2, g = 10 m/s, l

= 2 sehingga nilai ω2 = �

� =

10

2 = 5

i xi+1 yi+1

1 0,2 0,9983 2 0,4 0,9931 3 0,6 0,9843 4 0,8 0,9722 5 1 0,9562

Tabel 2.2 Hasil dari perhitungan persamaan Pendulum dengan menggunakan metode Runge – Kutta.

Sehingga dengan demikian akan diperoleh hasil seperti pada tabel. Pada tabel (2.2) di atas dapat dilihat pergerakan pendulum dimana pertambahan nilai x diikuti

oleh penurunan dari nilai y pada 0 ≤ x ≤ 1.

Dengan hasil yang diperlihatkan pada kedua tabel di atas dapat disimpulkan bahwa perubahan pertambahan pada nilai x diikuti dengan pertambahan nilai y yang semakin meningkat. Perubahan pada nilai variabel x akan mempengaruhi pada peningkatan dan penurunan nilai variabel y, karena persamaan pendulum memiliki fungsi transenden sinus.

5.2 Saran

1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam mengenai penggunaan metode Runge – Kutta untuk menentukan solusi persamaan Lotka – Volterra dan Persamaan Pendulum khususnya dan persamaan diferensial tak linier pada umumnya, juga penerapannya pada masalah biologi dan fisika.

2. Perlu diadakan pengkajian dan penelitian lebih lanjut mengenai penggunaan metode Runge – Kutta pada semua persamaan diferensial tak linier.

3. Perlu diadakan pengkajian dan penelitian lebih lanjut mengenai proses perhitungan dengan menggunakan metode Runge – Kutta dalam menentukan solusi persamaan diferensial tak linier secara manual tanpa menggunakan program.

1

Daftar Pustaka

Anton, Howard alih bahasa Silaban, P., dkk. (1981). Aljabar Linear Elementer. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga.

Boyce, William E dan Richard C. DiPrima.2001.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems.USA: Von Hoffmann Press.

Bondan, Alit.2007.Kalkulus Lanjut.Yogyakarta:Graha Ilmu.

Farlow, S.J. (1994). An Introduction to Differential Equations and Applications. New York: McGraw-Hill, Inc.

Finizio, N dan G.Ladas.1982.Persamaan diferensial biasa edisi 2.Jakarta:Erlangga.

Goldberg, Jack, Merle C. Potter.1998.differential equations.USA: Prentice-Hall. Herdiana, Heris, dkk.2002.Persamaan diferensial.Bandung:CV.Pustaka Setia. Kartono.1994.Penuntun Belajar Persamaan Diferensial.yogyakarta: ANDI.

Setiawan, Agus.2006.Pengantar Metode Numerik edisi-II.Yogyakarta: ANDI.

Zill, Dennis G.2005.A First Course In Differential Equations With Modelling Applications.Canada:Brooks/Cole.

1.3 Rumusan Masalah

1. Bagaimana menentukan solusi dari persamaan diferensial tak linier yang telah dilinierkan, pada persamaan Lotka – Volterra dan persamaan Pendulum dengan menggunakan metode runge-kutta? 2. Bagaimana aplikasi persamaan diferensial tak linier pada persamaan

lotka-voltera dan persamaan pendulum ?

1.4 Tujuan Penelitian

1. Mendapatkan solusi dari persamaan diferensial tak linier yang telah dilinierkan dengan menggunakan metode Runge-Kutta

2. Dapat mengaplikasikan persamaan diferensial tak linier dalam persamaan lotka-voltera dan persamaan pendulum serta menyelesaikan permasalahannya dengan menggunakan metode Runge-Kutta

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian ini sebagai berikut:

1. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang persamaan diferensial tak linier serta menentukan solusinya dengan menggunakan metode Runge – Kutta.

2. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang penggunaan persamaan diferensial tak linier dalam setiap bidang yang nyata, khususnya pada contoh persamaan lotka-voltera dan persamaan pendulum.

3. Dapat digunakan sebagai dasar untuk melakukan penelitian yang berkaitan dengan persamaan diferensial tak linier dalam setiap bidang ilmu pengetahuan.

BAB V KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan

Dari uraian pada pembahasan pada bab IV dapat disimpulkan bahwa telah diperoleh penyelesaian dari persamaan Lotka – Volterra dan persamaan Pendulum sebagai berikut:

a. Persamaan Lotka – Volterra

Dengan model persamaan Lotka – Volterra sebagai berikut

= −

= − +�

Kedua persamaan diatas akan saling berinteraksi sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

= . = − +�

−

Dengan memberikan nilai pada konstanta – konstanta pada persamaan diatas, a = 2, b = 1, c = ½, dan v = 1, maka persamaan diatas akan menjadi

= − 1 2+

2−

maka diperoleh nilai hampiran numerik dengan menggunakan metode Runge – Kutta sebagai berikut:

i xi+1 yi+1

0 0,2 0,595 1 0,4 0,536 2 0,6 0,535 3 0,8 0,5558

4 1 0,5914

Tabel 1.2. Hasil penyelesaian persamaan Lotka – Volterra dengan mengunakan metode Runge - Kutta.

Pada tabel 1.2 diatas dapat dilihat bahwa pergerakan pertumbuhan populasi pemangsa seiring bertambah banyaknya populasi mangsa meningkat. Ini dapat dilihat pada iterasi pertama(xi+1 = 0) sampai iterasi ketiga (xi+1 = 0,6) pergerakan populasi

mangsa (yi+1) mengalami penurunan akan tetapi pada iterasi keempat pergerakan

populasi pemangsa semakin meningkat seiring bertambahnya populasi mangsa. Pemberian nilai pada konstanta a, b, c, dan v dimaksudkan untuk memperoleh banyak sifat dari penyelesaian sistem tersebut dan pada akhirnya peneliti dapat membuat ramalan yang berguna tentang kelakuan kedua spesies tersebut.

b. Persamaan Pendulum 2

2 = − � � � (1)

Dimana s adalah panjang busur AB, dan d2s/dt2 adalah percepatan sepanjang busur itu. Karena L merupakan panjang tongkat, maka diperoleh s = L � dan karena itu.

2 2 = �

2_�

2 (2)

Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) dan menyederhanakan persamaan tersebut dapat diperoleh;

dy dx=

- �2 sin x

Dengan memberikan nilai awal y (0) = 1, dan 0 ≤ x ≤ 1, h = 0,2, g = 10 m/s, l

= 2 sehingga nilai ω2

= �

� =

10 2 = 5

i xi+1 yi+1

1 0,2 0,9983 2 0,4 0,9931 3 0,6 0,9843 4 0,8 0,9722 5 1 0,9562

Tabel 2.2 Hasil dari perhitungan persamaan Pendulum dengan menggunakan metode Runge – Kutta.

Sehingga dengan demikian akan diperoleh hasil seperti pada tabel. Pada tabel (2.2) di atas dapat dilihat pergerakan pendulum dimana pertambahan nilai x diikuti

oleh penurunan dari nilai y pada 0 ≤ x ≤ 1.

Dengan hasil yang diperlihatkan pada kedua tabel di atas dapat disimpulkan bahwa perubahan pertambahan pada nilai x diikuti dengan pertambahan nilai y yang semakin meningkat. Perubahan pada nilai variabel x akan mempengaruhi pada peningkatan dan penurunan nilai variabel y, karena persamaan pendulum memiliki fungsi transenden sinus.

5.2 Saran

1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam mengenai penggunaan metode Runge – Kutta untuk menentukan solusi persamaan Lotka – Volterra dan Persamaan Pendulum khususnya dan persamaan diferensial tak linier pada umumnya, juga penerapannya pada masalah biologi dan fisika.

2. Perlu diadakan pengkajian dan penelitian lebih lanjut mengenai penggunaan metode Runge – Kutta pada semua persamaan diferensial tak linier.

3. Perlu diadakan pengkajian dan penelitian lebih lanjut mengenai proses perhitungan dengan menggunakan metode Runge – Kutta dalam menentukan solusi persamaan diferensial tak linier secara manual tanpa menggunakan program.

1

Daftar Pustaka

Anton, Howard alih bahasa Silaban, P., dkk. (1981). Aljabar Linear Elementer. Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga.

Boyce, William E dan Richard C. DiPrima.2001.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems.USA: Von Hoffmann Press.

Bondan, Alit.2007.Kalkulus Lanjut.Yogyakarta:Graha Ilmu.

Farlow, S.J. (1994). An Introduction to Differential Equations and Applications. New York: McGraw-Hill, Inc.

Finizio, N dan G.Ladas.1982.Persamaan diferensial biasa edisi 2.Jakarta:Erlangga.

Goldberg, Jack, Merle C. Potter.1998.differential equations.USA: Prentice-Hall. Herdiana, Heris, dkk.2002.Persamaan diferensial.Bandung:CV.Pustaka Setia. Kartono.1994.Penuntun Belajar Persamaan Diferensial.yogyakarta: ANDI.

Setiawan, Agus.2006.Pengantar Metode Numerik edisi-II.Yogyakarta: ANDI.

Zill, Dennis G.2005.A First Course In Differential Equations With Modelling Applications.Canada:Brooks/Cole.