PERBANDINGAN SOLUSI METODE THOMAS DAN METODE RUNGE KUTTA DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL.
PERBANDINGAN SOLUSI METODE THOMAS DAN METODE
RUNGE KUTTA DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL PARSIAL
Oleh:
Daniel Gordon
NIM 072244510023
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2012
ii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk
setiap berkat dan anugrah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan
kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul “
Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode Runge Kutta Dalam
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial”. Disusun untuk memperoleh
gelar Sarjana Sain Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan.
Dalam penyelesaian skripsi ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai
pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu pada
kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar Damanik, M,Si selaku Rektor Universitas
Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D selaku Dekan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
2. Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua Jurusan Matematika dan Ibu
Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika serta
Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA UNIMED
3. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Dosen Pembimbing Akademik
4. Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan, dan saran kepada
penulis
5. Bapak Drs. J.Ambarita, M.Pd, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si, dan Ibu Dra.
Hamidah Nasution, M.Si selaku Dosen Penguji yang telah banyak
memberikan saran dalam penulisan skripsi ini
6. Bapak Lasker Sinaga, S.Si, M,Si, Bapak Drs.Yasifati Hia, M.Si, dan Ibu
Yulita Rangkuti, M.Sc, Ph.D selaku Dosen Matematika
7. Teristimewa buat Orangtuaku tercinta (Ayahanda S. Sihombing dan
Ibunda F. Nababan) yang telah memberikan kasih sayang yang tak ternilai
iii
yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam
segala hal, juga untuk saudara-saudariku (Kak Dora, Kak Lina, Kak
Farida, Kak Lela, Bang Aldo, Bang Orlan, dan Kak Mima) buat kerabat
keluarga (Lae Lando, Lae Lisbon, Lae Jimmi, dan Kak Kembar) atas
semua dukungan dan doanya
8.
Sahabat-sahabatku selama perkuliahan (Irma Yanti, Evi, Jhon, Robby,
Melati, , Fitri Tupa, B’Fernandus, Mahdia, dan teman-teman lainnya),
Teman Kos 107 (Ana, Ruth, Gigin, Muel, Kori,Saut, Anwar, Heri,
Yanwar, Kastro) yang telah banyak membantu dan memotivasi penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi
ini, namun penulis menyadari masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi
maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua
pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga
mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan
pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan dimasa datang
Medan,
September 2012
Penulis
Daniel Gordon
NIM 072244510023
PERBANDINGAN SOLUSI METODE THOMAS DAN METODE
RUNGE KUTTA DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL PARSIAL
Daniel Gordon (NIM 072244510023)
ABSTRAK
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan yang diformulasikan secara matematis dalam perhitungan mencari
solusi persamaan diferensial parsial yang digunakan metode Thomas dan metode
Runge Kutta dengan hasil perhitungan dalam menyelesaiakan persamaan getaran
kabel .
Persamaan Diferensial Parsial pada khususnya persamaan getaran kabel
�2
�2
= �2 2 , 0 < < � dengan ( , �) adalah pergesaran dari setiap titik x pada
�
�� 2
kabel untuk setiap waktu t. Persamaan tersebut diubah kedalam bentuk Matriks
Tridiagonal dan iterasi Runge Kutta.
Hasil perhitungan yang diperoleh pada penggunaan metode Thomas
5 = 3 dan metode Runge Kutta =
3.5 = 4.54813. dan nilai eksak yang
diperoleh adalah y3,3 = 5.10231. Maka dari penelitian yang dilakukan diperoleh
dengan menggunakan metode Runge Kutta lebih mendekati hasil eksak dari
persamaan getaran kabel
Kata kunci: Diferensial Parsial, Metode Thomas, Metode Runge Kutta
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembaran Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar.
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
vi
viii
ix
BAB I :PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian
1
2
3
3
3
BAB II :TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Pengertian Diferensial Parsial
2.2. Persamaan Diferensial dalam Bentuk Beda Hingga
2.3. Syarat Awal dan Syarat Batas
2.4. Pengertian Getaran Kabel
2.5. Pengertian Matriks
2.6. Operasi Matriks
2.7. Jenis-Jenis Matriks
2.8. Metode Thomas
2.9. Algoritma Thomas
2.10. Metode Runge Kutta
2.11. Kriteria Untuk Membandingkan Kedua Metode
4
5
7
8
10
10
11
12
16
19
26
BAB III :METODE PENELITIAN
3.1. Lokasi dan Waktu Penelitian
3.2. Jenis Penelitian
3.3. Prosedur Penelitian
29
29
29
BAB IV :PEMBAHASAN
4.1. Solusi Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Thomas
dan Metode Runge Kutta
4.2. Analisis Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode
Runge Kutta Pada Persamaan Diferensial Parsial
30
44
vii
BAB V :PENUTUP
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
45
45
DAFTAR PUSTAKA
46
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Matematika adalah suatu pengetahuan yang sangat penting dalam
menunjang pengetahuan yang lain. Penulis melihat hal itu misalnya dalam bidang
teknik, ekonomi, ilmu sosial, serta matematika dalam ilmu pengetahuan itu
sendiri . Pada kenyataannya matematika sebagai ilmu eksakta yang sangat erat
dengan rumus dan perhitungan yang dapat dijadikan sebagai alat bantu untuk
menyederhanakan penyajian pembahasan masalah. Dengan menggunakan bahasa
matematika, satu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan,
difahami, dianalisis dan dipecahkan.
Matematika
lebih
banyak
mengajarkan
manusia
mengenal
dan
menjelaskan fenomena di sekelilingnya. Fenomena-fenomena pada perkembangan
sains dan teknologi dapat dirumuskan dalam persamaan diferensial, seperti halnya
dalam persamaan
gelombang, getaran, pegas, pertumbuhan sel dan lain
sebagainya. Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang mengandung
turunan fungsi. Berdasarkan jumlah variabel bebas, persamaan diferensial dibagi
menjadi dua, yaitu (1). Persamaan diferensial biasa (mengandung satu
variabel bebas). Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial biasa diantaranya metode Heun, metode metode Thomas,
metode Adam Bashfort, metode Runge Kutta,dan sebagainya. (2). Persamaan
diferensial
parsial
(mengandung
lebih
dari
satu variabel), metode yang
digunakan adalah metode Karakteristik dan metode Beda Hingga.
Penyelesaian
perhitungan
secara
analitik
diperoleh
dengan menggunakan
secara sistematis dan solusi yang diperoleh berupa nilai eksak.
Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan, ketika
persamaan
tersebut
tidak
bisa
diselesaikan
secara
analitik.
Dalam
penyelesaian secara numerik dapat dilakukan dengan menggunakan salah
satu metode numerik dari bentuk proses perhitungan yang paling efisien dan
2
cepat untuk menyelesaikan persamaan matematis. Sebuah metode numerik
yang biasanya
digunakan
untuk
menyelesaikan
soal
disebut
algoritma.
Algoritma adalah suatu rangkaian prosedur yang lengkap dan mempunyai cara
penyelesaian yang jelas. Dalam analisis numerik dibutuhkan pemilihan dan
penyusunan algoritma yang sesuai dengan penyelesaian soal, maka analisis
numerik harus mempertimbangkan berapa
besar
derajat
ketelitian yang
diperlukan, memperkirakan besarnya kesalahan pembulatan dan kesalahan
diskritisasi, menentukan jumlah langkah atau iterasi yang dibutuhkan algoritma,
supaya hasil analisis numerik sesuai dengan tujuan.
Dalam
kajian
ini,
getaran
pada
kabel
merupakan
persamaan
diferensial parsial yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode
Numerik.Dalam hal ini, penulis menggunakan metode Beda Hingga dikarenakan
persamaan diferensial parsial pada persamaan getaran kabel mengandung variabel
x dan t. Selanjutnya dalam menyederhanakan persamaan diferensial parsial
diselesaikan dengan metode Thomas dan metode Runge Kutta.Metode Thomas
dapat menyelesaikan persamaan linier simultan yang dapat dibentuk menjadi
matriks tridiagonal. Metode Runge Kutta merupakan salah satu metode numerik
yang tidak perhitungan turunan dan memiliki ketelitian yang tinggi. Berdasarkan
uraian di atas, maka diharapkan penggunaan Metode Thomas dan Metode
Runge Kutta memperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial parsial pada
getaran kabel tersebut.(Finizio, 1982)
Untuk itu penulis ingin mengkaji tentang persamaan diferensial
parsial pada getaran kabel dengan menggunakan metode numerik. Maka skripsi
ini akan membahas
tentang “Perbandingan Solusi Metode
Thomas dan
Metode Runge Kutta Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial
”. Bentuk persamaan diferensial parsial orde dua pada getaran kabel adalah
sebagai berikut:
�2
�2
2
=�
� 2
�� 2
3
1.2. Rumusan Masalah:
Permasalahan yang akan dibahas dan diteliti dalam skripsi ini
membandingkan solusi Metode
Thomas dan Metode Runge Kutta dalam
menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial
.
1.3. Batasan Masalah
Adapun batasan masalahnya adalah:
1. Persamaan diferensial yang digunakan orde tingkat dua
2. Penyelesaian persamaan diferensial menggunakan Metode Thomas dan
Metode Runge Kutta
1.4. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini untuk mengetahui perbandingan solusi
Metode Thomas dan Metode Runge Kutta dalam menyelesaikan Persamaan
Diferensial Parsial.
1.5.Manfaat Penelitian
Dalam Penelitian ini diharapkan bermanfaat:
1. Bagi penulis
Sebagai bahan latihan penyelesaian metode numerik dibidang
matematika
Sebagai indikator dalam penyusunan karya ilmiah
2. Bagi pembaca
Membantu bagi pembaca yang sedang mempelajari metode numerik
dalam
menyelesaikan
persamaan
diferensial
parsial
menggunakan Metode Thomas dan Metode Runge Kutta.
dengan
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard, 1987, Aljabar Linear Elementer, Erlangga, Jakarta
Boumahrat, M dan A Gourdin,2002, Applied Numerical Methods, Prentice-Hall of
India Private Limited, New Delhi
Brown, James dan Ruel V Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems,
McGraw-Hill Book Company,New York
Conte,
Samuel,
1993,
Dasar-Dasar
Analisis
Numerik.
Suatu
Pendekatan
Algoritma,Erlangga, Jakarta
Dessai.C,S,1996, Dasar-Dasar Metode Elemen-Hingga, Erlangga, Jakarta
Leon,Steven J, 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta
Lipson Lars dan Lipschutz Seymour,2004, Aljabar Linear, Erlangga, Jakarta
Pipes, A Louis,1962, Applied Mathematics for Engineer and Physicists. McGraw-Hill
Book Company,New York
Saff,
Edward
dan
Kent
Nagle,2003,
Fundamental
of
Differential
Equations,University of South Florida
Spiegel,R, Murray, 1984, Transformasi Laplace, Erlangga, Jakarta
Triatmodjo.Bambang,2002, Metode Numerik, Universitas GajahMada,Yogyakarta
46
i
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Dumai, pada tanggal 04 Mei 1989. Ayah bernama
S. Sihombing dan Ibu bernama F. Nababan, dan merupakan anak kedelapan dari
delapan bersaudara. Pada tahun 1995, penulis masuk SD Negeri 020 Dumai, dan
lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2001, penulis melanjutkan sekolah di SLTPK
Santo Tarcisius II Dumai, dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun 2004, penulis
melanjutkan sekolah di SMA Negeri 2 Dumai dan lulus pada tahun 2007. Pada
tahun 2007, penulis diterima di Program Studi Matematika Jurusan Metematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
ii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk
setiap berkat dan anugrah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan
kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul “
Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode Runge Kutta Dalam
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial”. Disusun untuk memperoleh
gelar Sarjana Sain Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan.
Dalam penyelesaian skripsi ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai
pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu pada
kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar Damanik, M,Si selaku Rektor Universitas
Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D selaku Dekan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
2. Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua Jurusan Matematika dan Ibu
Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika serta
Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA UNIMED
3. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Dosen Pembimbing Akademik
4. Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan, dan saran kepada
penulis
5. Bapak Drs. J.Ambarita, M.Pd, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si, dan Ibu Dra.
Hamidah Nasution, M.Si selaku Dosen Penguji yang telah banyak
memberikan saran dalam penulisan skripsi ini
6. Bapak Lasker Sinaga, S.Si, M,Si, Bapak Drs.Yasifati Hia, M.Si, dan Ibu
Yulita Rangkuti, M.Sc, Ph.D selaku Dosen Matematika
7. Teristimewa buat Orangtuaku tercinta (Ayahanda S. Sihombing dan
Ibunda F. Nababan) yang telah memberikan kasih sayang yang tak ternilai
iii
yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam
segala hal, juga untuk saudara-saudariku (Kak Dora, Kak Lina, Kak
Farida, Kak Lela, Bang Aldo, Bang Orlan, dan Kak Mima) buat kerabat
keluarga (Lae Lando, Lae Lisbon, Lae Jimmi, dan Kak Kembar) atas
semua dukungan dan doanya
8.
Sahabat-sahabatku selama perkuliahan (Irma Yanti, Evi, Jhon, Robby,
Melati, , Fitri Tupa, B’Fernandus, Mahdia, dan teman-teman lainnya),
Teman Kos 107 (Ana, Ruth, Gigin, Muel, Kori,Saut, Anwar, Heri,
Yanwar, Kastro) yang telah banyak membantu dan memotivasi penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi
ini, namun penulis menyadari masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi
maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua
pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga
mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan
pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan dimasa datang
Medan,
September 2012
Penulis
Daniel Gordon
NIM 072244510023
RUNGE KUTTA DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL PARSIAL
Oleh:
Daniel Gordon
NIM 072244510023
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2012
ii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk
setiap berkat dan anugrah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan
kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul “
Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode Runge Kutta Dalam
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial”. Disusun untuk memperoleh
gelar Sarjana Sain Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan.
Dalam penyelesaian skripsi ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai
pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu pada
kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar Damanik, M,Si selaku Rektor Universitas
Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D selaku Dekan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
2. Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua Jurusan Matematika dan Ibu
Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika serta
Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA UNIMED
3. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Dosen Pembimbing Akademik
4. Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan, dan saran kepada
penulis
5. Bapak Drs. J.Ambarita, M.Pd, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si, dan Ibu Dra.
Hamidah Nasution, M.Si selaku Dosen Penguji yang telah banyak
memberikan saran dalam penulisan skripsi ini
6. Bapak Lasker Sinaga, S.Si, M,Si, Bapak Drs.Yasifati Hia, M.Si, dan Ibu
Yulita Rangkuti, M.Sc, Ph.D selaku Dosen Matematika
7. Teristimewa buat Orangtuaku tercinta (Ayahanda S. Sihombing dan
Ibunda F. Nababan) yang telah memberikan kasih sayang yang tak ternilai
iii
yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam
segala hal, juga untuk saudara-saudariku (Kak Dora, Kak Lina, Kak
Farida, Kak Lela, Bang Aldo, Bang Orlan, dan Kak Mima) buat kerabat
keluarga (Lae Lando, Lae Lisbon, Lae Jimmi, dan Kak Kembar) atas
semua dukungan dan doanya
8.
Sahabat-sahabatku selama perkuliahan (Irma Yanti, Evi, Jhon, Robby,
Melati, , Fitri Tupa, B’Fernandus, Mahdia, dan teman-teman lainnya),
Teman Kos 107 (Ana, Ruth, Gigin, Muel, Kori,Saut, Anwar, Heri,
Yanwar, Kastro) yang telah banyak membantu dan memotivasi penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi
ini, namun penulis menyadari masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi
maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua
pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga
mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan
pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan dimasa datang
Medan,
September 2012
Penulis
Daniel Gordon
NIM 072244510023
PERBANDINGAN SOLUSI METODE THOMAS DAN METODE
RUNGE KUTTA DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN
DIFERENSIAL PARSIAL
Daniel Gordon (NIM 072244510023)
ABSTRAK
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan yang diformulasikan secara matematis dalam perhitungan mencari
solusi persamaan diferensial parsial yang digunakan metode Thomas dan metode
Runge Kutta dengan hasil perhitungan dalam menyelesaiakan persamaan getaran
kabel .
Persamaan Diferensial Parsial pada khususnya persamaan getaran kabel
�2
�2
= �2 2 , 0 < < � dengan ( , �) adalah pergesaran dari setiap titik x pada
�
�� 2
kabel untuk setiap waktu t. Persamaan tersebut diubah kedalam bentuk Matriks
Tridiagonal dan iterasi Runge Kutta.
Hasil perhitungan yang diperoleh pada penggunaan metode Thomas
5 = 3 dan metode Runge Kutta =
3.5 = 4.54813. dan nilai eksak yang
diperoleh adalah y3,3 = 5.10231. Maka dari penelitian yang dilakukan diperoleh
dengan menggunakan metode Runge Kutta lebih mendekati hasil eksak dari
persamaan getaran kabel
Kata kunci: Diferensial Parsial, Metode Thomas, Metode Runge Kutta
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembaran Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar.
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
vi
viii
ix
BAB I :PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaat Penelitian
1
2
3
3
3
BAB II :TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Pengertian Diferensial Parsial
2.2. Persamaan Diferensial dalam Bentuk Beda Hingga
2.3. Syarat Awal dan Syarat Batas
2.4. Pengertian Getaran Kabel
2.5. Pengertian Matriks
2.6. Operasi Matriks
2.7. Jenis-Jenis Matriks
2.8. Metode Thomas
2.9. Algoritma Thomas
2.10. Metode Runge Kutta
2.11. Kriteria Untuk Membandingkan Kedua Metode
4
5
7
8
10
10
11
12
16
19
26
BAB III :METODE PENELITIAN
3.1. Lokasi dan Waktu Penelitian
3.2. Jenis Penelitian
3.3. Prosedur Penelitian
29
29
29
BAB IV :PEMBAHASAN
4.1. Solusi Persamaan Diferensial Parsial Dengan Metode Thomas
dan Metode Runge Kutta
4.2. Analisis Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode
Runge Kutta Pada Persamaan Diferensial Parsial
30
44
vii
BAB V :PENUTUP
5.1. Kesimpulan
5.2. Saran
45
45
DAFTAR PUSTAKA
46
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Matematika adalah suatu pengetahuan yang sangat penting dalam
menunjang pengetahuan yang lain. Penulis melihat hal itu misalnya dalam bidang
teknik, ekonomi, ilmu sosial, serta matematika dalam ilmu pengetahuan itu
sendiri . Pada kenyataannya matematika sebagai ilmu eksakta yang sangat erat
dengan rumus dan perhitungan yang dapat dijadikan sebagai alat bantu untuk
menyederhanakan penyajian pembahasan masalah. Dengan menggunakan bahasa
matematika, satu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan,
difahami, dianalisis dan dipecahkan.
Matematika
lebih
banyak
mengajarkan
manusia
mengenal
dan
menjelaskan fenomena di sekelilingnya. Fenomena-fenomena pada perkembangan
sains dan teknologi dapat dirumuskan dalam persamaan diferensial, seperti halnya
dalam persamaan
gelombang, getaran, pegas, pertumbuhan sel dan lain
sebagainya. Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang mengandung
turunan fungsi. Berdasarkan jumlah variabel bebas, persamaan diferensial dibagi
menjadi dua, yaitu (1). Persamaan diferensial biasa (mengandung satu
variabel bebas). Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial biasa diantaranya metode Heun, metode metode Thomas,
metode Adam Bashfort, metode Runge Kutta,dan sebagainya. (2). Persamaan
diferensial
parsial
(mengandung
lebih
dari
satu variabel), metode yang
digunakan adalah metode Karakteristik dan metode Beda Hingga.
Penyelesaian
perhitungan
secara
analitik
diperoleh
dengan menggunakan
secara sistematis dan solusi yang diperoleh berupa nilai eksak.
Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan, ketika
persamaan
tersebut
tidak
bisa
diselesaikan
secara
analitik.
Dalam
penyelesaian secara numerik dapat dilakukan dengan menggunakan salah
satu metode numerik dari bentuk proses perhitungan yang paling efisien dan
2
cepat untuk menyelesaikan persamaan matematis. Sebuah metode numerik
yang biasanya
digunakan
untuk
menyelesaikan
soal
disebut
algoritma.
Algoritma adalah suatu rangkaian prosedur yang lengkap dan mempunyai cara
penyelesaian yang jelas. Dalam analisis numerik dibutuhkan pemilihan dan
penyusunan algoritma yang sesuai dengan penyelesaian soal, maka analisis
numerik harus mempertimbangkan berapa
besar
derajat
ketelitian yang
diperlukan, memperkirakan besarnya kesalahan pembulatan dan kesalahan
diskritisasi, menentukan jumlah langkah atau iterasi yang dibutuhkan algoritma,
supaya hasil analisis numerik sesuai dengan tujuan.
Dalam
kajian
ini,
getaran
pada
kabel
merupakan
persamaan
diferensial parsial yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode
Numerik.Dalam hal ini, penulis menggunakan metode Beda Hingga dikarenakan
persamaan diferensial parsial pada persamaan getaran kabel mengandung variabel
x dan t. Selanjutnya dalam menyederhanakan persamaan diferensial parsial
diselesaikan dengan metode Thomas dan metode Runge Kutta.Metode Thomas
dapat menyelesaikan persamaan linier simultan yang dapat dibentuk menjadi
matriks tridiagonal. Metode Runge Kutta merupakan salah satu metode numerik
yang tidak perhitungan turunan dan memiliki ketelitian yang tinggi. Berdasarkan
uraian di atas, maka diharapkan penggunaan Metode Thomas dan Metode
Runge Kutta memperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial parsial pada
getaran kabel tersebut.(Finizio, 1982)
Untuk itu penulis ingin mengkaji tentang persamaan diferensial
parsial pada getaran kabel dengan menggunakan metode numerik. Maka skripsi
ini akan membahas
tentang “Perbandingan Solusi Metode
Thomas dan
Metode Runge Kutta Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial
”. Bentuk persamaan diferensial parsial orde dua pada getaran kabel adalah
sebagai berikut:
�2
�2
2
=�
� 2
�� 2
3
1.2. Rumusan Masalah:
Permasalahan yang akan dibahas dan diteliti dalam skripsi ini
membandingkan solusi Metode
Thomas dan Metode Runge Kutta dalam
menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial
.
1.3. Batasan Masalah
Adapun batasan masalahnya adalah:
1. Persamaan diferensial yang digunakan orde tingkat dua
2. Penyelesaian persamaan diferensial menggunakan Metode Thomas dan
Metode Runge Kutta
1.4. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini untuk mengetahui perbandingan solusi
Metode Thomas dan Metode Runge Kutta dalam menyelesaikan Persamaan
Diferensial Parsial.
1.5.Manfaat Penelitian
Dalam Penelitian ini diharapkan bermanfaat:
1. Bagi penulis
Sebagai bahan latihan penyelesaian metode numerik dibidang
matematika
Sebagai indikator dalam penyusunan karya ilmiah
2. Bagi pembaca
Membantu bagi pembaca yang sedang mempelajari metode numerik
dalam
menyelesaikan
persamaan
diferensial
parsial
menggunakan Metode Thomas dan Metode Runge Kutta.
dengan
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard, 1987, Aljabar Linear Elementer, Erlangga, Jakarta
Boumahrat, M dan A Gourdin,2002, Applied Numerical Methods, Prentice-Hall of
India Private Limited, New Delhi
Brown, James dan Ruel V Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems,
McGraw-Hill Book Company,New York
Conte,
Samuel,
1993,
Dasar-Dasar
Analisis
Numerik.
Suatu
Pendekatan
Algoritma,Erlangga, Jakarta
Dessai.C,S,1996, Dasar-Dasar Metode Elemen-Hingga, Erlangga, Jakarta
Leon,Steven J, 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta
Lipson Lars dan Lipschutz Seymour,2004, Aljabar Linear, Erlangga, Jakarta
Pipes, A Louis,1962, Applied Mathematics for Engineer and Physicists. McGraw-Hill
Book Company,New York
Saff,
Edward
dan
Kent
Nagle,2003,
Fundamental
of
Differential
Equations,University of South Florida
Spiegel,R, Murray, 1984, Transformasi Laplace, Erlangga, Jakarta
Triatmodjo.Bambang,2002, Metode Numerik, Universitas GajahMada,Yogyakarta
46
i
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Dumai, pada tanggal 04 Mei 1989. Ayah bernama
S. Sihombing dan Ibu bernama F. Nababan, dan merupakan anak kedelapan dari
delapan bersaudara. Pada tahun 1995, penulis masuk SD Negeri 020 Dumai, dan
lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2001, penulis melanjutkan sekolah di SLTPK
Santo Tarcisius II Dumai, dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun 2004, penulis
melanjutkan sekolah di SMA Negeri 2 Dumai dan lulus pada tahun 2007. Pada
tahun 2007, penulis diterima di Program Studi Matematika Jurusan Metematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
ii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk
setiap berkat dan anugrah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan
kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul “
Perbandingan Solusi Metode Thomas dan Metode Runge Kutta Dalam
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial”. Disusun untuk memperoleh
gelar Sarjana Sain Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan.
Dalam penyelesaian skripsi ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai
pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu pada
kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. Ibnu Hajar Damanik, M,Si selaku Rektor Universitas
Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D selaku Dekan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
2. Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua Jurusan Matematika dan Ibu
Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika serta
Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA UNIMED
3. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Dosen Pembimbing Akademik
4. Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan, dan saran kepada
penulis
5. Bapak Drs. J.Ambarita, M.Pd, Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si, dan Ibu Dra.
Hamidah Nasution, M.Si selaku Dosen Penguji yang telah banyak
memberikan saran dalam penulisan skripsi ini
6. Bapak Lasker Sinaga, S.Si, M,Si, Bapak Drs.Yasifati Hia, M.Si, dan Ibu
Yulita Rangkuti, M.Sc, Ph.D selaku Dosen Matematika
7. Teristimewa buat Orangtuaku tercinta (Ayahanda S. Sihombing dan
Ibunda F. Nababan) yang telah memberikan kasih sayang yang tak ternilai
iii
yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam
segala hal, juga untuk saudara-saudariku (Kak Dora, Kak Lina, Kak
Farida, Kak Lela, Bang Aldo, Bang Orlan, dan Kak Mima) buat kerabat
keluarga (Lae Lando, Lae Lisbon, Lae Jimmi, dan Kak Kembar) atas
semua dukungan dan doanya
8.
Sahabat-sahabatku selama perkuliahan (Irma Yanti, Evi, Jhon, Robby,
Melati, , Fitri Tupa, B’Fernandus, Mahdia, dan teman-teman lainnya),
Teman Kos 107 (Ana, Ruth, Gigin, Muel, Kori,Saut, Anwar, Heri,
Yanwar, Kastro) yang telah banyak membantu dan memotivasi penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi
ini, namun penulis menyadari masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi
maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua
pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga
mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan
pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan dimasa datang
Medan,
September 2012
Penulis
Daniel Gordon
NIM 072244510023