Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika (2)
Barisan
Aritmatika
dan
Pengertian
Deret
Aritmatika
Barisan
Matematika
Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan
(berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan
U1,
U2,
U3,
U1 =
…,
Un.
suku
pertama
U2 =
suku
kedua
U3 =
suku
ketiga
Un
=
suku
Contoh
barisan
bilangan
1,
3,
suku
5,
pertaman
(U1)
=
7,
1,
suku
kedua
ke-n
ganjil
9,
(U2)
=
3,
….,
dan
suku
2n-1
ke-n
=
2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita
akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.
Barisan Aritmatika
Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan.
Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus
Un-Un-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...
Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)
Un-Un-1 = b
Contoh
23,
2,
30,
37,
44,
7/4,
3/2,
5/4,
51,
…
1,
…
merupakan
adalah
barisan
barisan
aritmatika
aritmatika
dengan
dengan
beda
beda
7
-1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika
adalah
Un = a + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]
Contoh
soal
Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa
suku ke seratus dari barisan tersebut.
Jawab
U3 =
:
36 ⇔
a
(3-1)
(1)
U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 ……
(2)
persamaan
b
=
36
⇔
…….
eliminasi
+
(1)
a
+
2b
dengan
=
36
persamaan
(2)
a
+
2b
=
36
a
+
5b
=
72
————–
-3b
a
–
=
–
+
36 ⇔
2b
b
=
=
12
36
a
+
2(12)
=
⇔
36
a
+
24
=
36
⇔
a
=
12
suku ke 100, U100 = a + (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200
Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya.
Lalu
bagaimana
cara
menentukan
nilai
dari
suku
tengah
tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah
Ut = 1/2 (U1+Un)
contoh
soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601
Sisipan dalam Barisan Aritmatika
Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut
bilangan
m,
sebanyak
k
m+b,
buah,
maka
m+2b,
akan
m+3b,
diperoleh
m+4b,
bentuk
…,
n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya
hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10,
10+b,
10+2b,
10+3b,
10+4b,
20
pertanyaanya
berapa
nilai
beda
(b)?
Sobat bisa menggunakan rumus Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat sobat bisa menggunakan
b = [n-m]/[k+1]
Deret Aritmatika
Misalkan
sobat
punya
suatu
barisam
aritmatikan
U 1,
U2,
U3,
…. Un
maka jika sobat hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga
suku ke-n, U1 + U2 + U3 + …. + Un itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret
adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan
aritmatika adalah
Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)
karena a+(n-1)b = Un
Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b) = 1/2 n (a+Un)
Contoh soal
Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari
sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang
ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?
Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.
U3 =
15
⇔
a+2b
=
15
….
(i)
U4 =
15
⇔
a+3b
=
19
….
(ii)
…………………………………………….
–
(eliminasi)
– b = -4 ⇔ b = 4
a+2b
=
15
a+8
=
15
a
=
7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.
Aritmatika
dan
Pengertian
Deret
Aritmatika
Barisan
Matematika
Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan
(berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan
U1,
U2,
U3,
U1 =
…,
Un.
suku
pertama
U2 =
suku
kedua
U3 =
suku
ketiga
Un
=
suku
Contoh
barisan
bilangan
1,
3,
suku
5,
pertaman
(U1)
=
7,
1,
suku
kedua
ke-n
ganjil
9,
(U2)
=
3,
….,
dan
suku
2n-1
ke-n
=
2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita
akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.
Barisan Aritmatika
Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan.
Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus
Un-Un-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...
Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)
Un-Un-1 = b
Contoh
23,
2,
30,
37,
44,
7/4,
3/2,
5/4,
51,
…
1,
…
merupakan
adalah
barisan
barisan
aritmatika
aritmatika
dengan
dengan
beda
beda
7
-1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika
adalah
Un = a + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]
Contoh
soal
Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa
suku ke seratus dari barisan tersebut.
Jawab
U3 =
:
36 ⇔
a
(3-1)
(1)
U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 ……
(2)
persamaan
b
=
36
⇔
…….
eliminasi
+
(1)
a
+
2b
dengan
=
36
persamaan
(2)
a
+
2b
=
36
a
+
5b
=
72
————–
-3b
a
–
=
–
+
36 ⇔
2b
b
=
=
12
36
a
+
2(12)
=
⇔
36
a
+
24
=
36
⇔
a
=
12
suku ke 100, U100 = a + (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200
Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya.
Lalu
bagaimana
cara
menentukan
nilai
dari
suku
tengah
tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah
Ut = 1/2 (U1+Un)
contoh
soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601
Sisipan dalam Barisan Aritmatika
Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut
bilangan
m,
sebanyak
k
m+b,
buah,
maka
m+2b,
akan
m+3b,
diperoleh
m+4b,
bentuk
…,
n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya
hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10,
10+b,
10+2b,
10+3b,
10+4b,
20
pertanyaanya
berapa
nilai
beda
(b)?
Sobat bisa menggunakan rumus Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat sobat bisa menggunakan
b = [n-m]/[k+1]
Deret Aritmatika
Misalkan
sobat
punya
suatu
barisam
aritmatikan
U 1,
U2,
U3,
…. Un
maka jika sobat hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga
suku ke-n, U1 + U2 + U3 + …. + Un itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret
adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan
aritmatika adalah
Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)
karena a+(n-1)b = Un
Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b) = 1/2 n (a+Un)
Contoh soal
Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari
sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang
ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?
Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.
U3 =
15
⇔
a+2b
=
15
….
(i)
U4 =
15
⇔
a+3b
=
19
….
(ii)
…………………………………………….
–
(eliminasi)
– b = -4 ⇔ b = 4
a+2b
=
15
a+8
=
15
a
=
7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.