FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA. pdf

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA
Ujian Tengah Semester
Departemen
Pelaksanaan
Waktu
Sifat Ujian
Dosen Pengampu

: Kalkulus Lanjut
: Sipil dan Lingkungan
: Rabu, 1 April 2009
: 120 menit
: Tutup Buku, Tanpa Kalkulator
: 1. Drs. Frederik M.Poyk, M.Kom
2. Dra. Naniek Andiani, M.Kom

Soal 1.
Untuk barisan

{a n } =

Tentukan berapa

2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 ,...

lim a
n→ ∞

n

Soal 2.
Tentukan ke konvergenan deret:

1
1
1
1
+
+
+
+..........

2
6
18
54

Soal 3.
Tentukan interval konvergensi deret:
1+

x
x2
x3
x4
x5
+
+
+
+
+ ..........
2.12

4.2 2
8.32 16.4 2 32.52

Soal 4.
Selesaikan persamaan diferensial
(2y –ex) dx + x dy = 0

Soal 5.
Selesaikan persamaan diferensial
y’’+ 2 y’ + y = x-2 e-x

Kunci Jawaban

Jawab soal 1 (Salah satu cara)
Karena konvergen maka untuk n sangat besar
an = 2 + an
a n2 = 2 + a n
a n2 − a n − 2 = 0
(a n − 2)(a n + 1) = 0 => a n = 2

dan a n = −1

karena a n = 2 + ... > 1 maka a n = 2

Jawab soal 2
1
1
1
1
+
+
+
+..........
2
6
18
54

Un =

1
1 1
= . n
n
2.3
2 3
∞

Sn =

1

∑3

Deret

n =0

n

adalah deret ukur dengan r =

1
3

1 1
1 1
3
.
= .
=
< 1
1
2 1- r
2 1- 3
4

Jadi deret konvergen

Jawab soal 3

1+

x
x2
x3
x4
x5
+
+
+
+
+ ..........
2.12
4.2 2
8.32 16.4 2 32.52
Un =

xn
2 n.n 2

U n +1 =

x n +1
2 n +1.(n +1) 2

U n +1
x n +1
2 2.n 2
x.n 2
= n +1
.
=
Un
2 .( n +1) 2
xn
2(n +1) 2

lim

n →∞

U n +1
x.n 2
1
n2
1
= lim
=
x lim
=
x
2
n →∞ 2( n +1)
n →∞ ( n +1) 2
Un
2
2

Deret konvergen untuk

1
x < 1, Interval: -2 < x < 2
2

Untuk x = 2 deret menjadi 1 + 1 +

1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + .... konvergen
2
2
3
4
5

Untuk x = -2 deret menjadi 1 - 1 +

1

1
1 1
- 2 + 2 - 2 + .... konvergen
2
2
3
4 5

absolut
Jadi Interval konvergensinya adalah: -2 ≤ x ≤ 2
Jawab soal 4
(2y –ex) dx + x dy = 0
x. dy/dx + 2y = ex
y’ + 2/x y = ex/x

(bentuk y’ + P(x) y = Q(x) )

Faktor integrasi u ( x) = e ∫ P ( x ) dx = e ∫ 2 / x dx = e ln x = x 2
2

y =

1
u ( x)

∫u ( x)Q( x)dx +C

= x −2 ∫ x 2

ex
dx +C
x

= x −2 ∫ xe x dx +C
= x −2 ( x −1) e x +C

Jawab soal 5 (salah satu cara)
y”+2y’+ y =x-2e-x
Solusi Homogen yh = C1 ex + C2 x ex
Solusi partikulir yp= A ln x e-x

yp= A ln x e-x
2yp’= 2(A x-1 e-x - A ln x e-x)
yp”= A x-2 e-x - 2A x-1 e-x + A ln x e-x
Substitusi ke dalam persamaan diferensial yp”+2 yp’+ yp = x-2e-x diperoleh
(A x-2 e-x - 2A x-1 e-x + A ln x e-x) + 2(A x-1 e-x - A ln x e-x) + A ln x e-x = x-2e-x
3A x-2 e-x = x-2e-x
3A = 1 atau A = ⅓
yp= ⅓ ln x e-x

Solusi Umum adalah
y(x) = yh+yp = C1 ex + C2 x ex + ⅓ ln x e-x