Soal Pembahasan Eksponen dan Logaritma
Soal Pembahasan Eksponen dan Logaritma
SUMBER Soal:
http://matematika-sma.blogspot.com
Dapatkan Berbagai Konten dan Soal Matematika di
http://matematika100.blogspot.com/
1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3
a. – 2
√2
–3
b. – 2
√2
+5
c. 8
√2
–3
d. 8
√2
+3
e. 8
√2
+5
√2
√ 50
)–(4–
) adalah ….
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
(1+3
√2
=(1+3
)–(4–
√2
√ 50
)–(4– 5
)=(1+3
√2
)=1+3
√2
√2
)–(4–
–4+ 5
2. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….
a.
2
a
b.
2+ab
a(1+b)
c.
a
2
d.
b +1
2 ab+1
e.
a(1+b )
2+ab
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
log 20 3 log(4 x 5)
log 20=3
=
log15 3 log(3 x 5)
3
log 4 + 3 log 5 3 log22 + 3 log 5
¿3
=3
3
log 3+ log 5 log3+ 3 log5
3
2 3
3
3
log 2 + log 5 2. log 2+ log 5
¿3
=3
3
log 3+ log 5
log 3+ 3 log 5
1
2+b
2. +b
a
a
2+b
¿
=
=
1+b
1+b a (1+b)
3
15
r
3. Nilai dari
a. – 15
b. – 5
log
1 q
1 p 1
.
log
. log =.. ..
5
3
q
p
r
√ 25.2
√2
)
=–3+ 8
√2
c. – 3
1
15
d.
e. 5
Soal Ujian Nasional Tahun 2005
1 q 1 p 1 r
. log 3 . log = log p−5 . q logr −3 . p log q−1
5
q
p
r
r
q
p
r
q
p
(−5). log p.(−3) logr .(−1) log q=(−5)(−3)(−1). log p. log r . log q
¿−15 . r log p. p log q. q logr=−15.r log r=−15(1)=−15
r
log
3
−. 6
2
√ y5
7x
5
4
1
3
( x −6 y ) x
4. Nilai dari
−.
a.
( 1+2 √2 ) .9 √2
b.
( 1+2 √2 ) . 9 √3
c.
( 1+2 √2 ) .18 √3
d.
( 1+2 √2 ) . 27 √2
e.
( 1+2 √2 ) .27 √3
−2
untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
3
−. 6
2
√y
7x
5
4
−.
5
7x
=
1
3
3
2
5
4
5
6
.y .
1
3
( x −6 y ) x ( x −6 y ) x
−.
−.
=
7( 4 )
3
2
.(27 )
5
4
−.
5
6
−2
2
7(2 )
=
1
3
−.
5
2 4
3
2
5
3 6
. (3 )
1
3
((4 ) −6(27 ) )( 4 ) ((2 ) −6(3 ) )(2 )
−.
−.3
=
−2
7.2
.3
5
2
−1
5
2
−2
−. 3
(2 −6 . 3 )2
=
7.2
−4
(
2+
2
.3
1
2
2+
−6.
3
−.
2 −2
1
2
. 24 7 . 2 .32 . √ 3 7 .2 . 32 . √ 3
= 2
=
2 ( 2 . √ 2−1 )
(
2
.
2−2
)
√
1
3
)
7 . 32 . √3 2 √2+1 7 . 9 √3 (2 √ 2+1)
=
x
=
=9 √ 3(2 √ 2+1 )
( 8−1 )
( 2 √2−1 ) 2 √2+1
5. Akar – akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …
a. – 5
b. – 1
c. 4
d. 5
e. 7
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
32x.31 – 28.3x + 9 = 0
3.(3x)2 – 28.3x + 9 = 0
Misal : 3x = p
3p2 – 28p + 9 = 0
( 3p – 1 ) ( p – 9 ) = 0
3p – 1 = 0 atau p – 9 = 0
3p = 1 atau p = 9
1
p= 3
atau p = 9
Substitusikan nilai p pada persamaan 3x = p
1
3x = 3
atau 3x = 9
3x = 3–1 atau 3x = 32
x = –1 atau x = 2 ( karena x1 > x2, maka x1 = 2 dan x2 = –1 )
Substitusikan nilai x1 dan x2, maka akan didapat 3(2) – (–1) = 7
6. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
Caranya sama dengan no 5, tetapi yang dimisalkan adalah 32x.
7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ….
a.
2
b.
3
log 3
log 2
c. – 1 atau 3
d. 8 atau ½
e.
log
2
3
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
2
log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x
2
log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x
2
log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2x ( gunakan kesamaan pada logaritma )
2
log (2x+1 + 3) = 2x ( gunakan definisi logaritma sebagai invers eksponen alog b = c ↔ b= ac )
2x+1 + 3 = 22x ( pindahkan semua nilai ke ruas kanan )
22x – 2x+1 – 3 = 0
(2x)2 – 2x.21 – 3 = 0
(2x)2 – 2.2x – 3 = 0
Misal 2x = q
q2 – 2q – 3 = 0
(q–3)(q+1)=0
q – 3 = 0 atau q + 1 = 0
q = 3 atau q = –1
substitusikan nilai q pada 2x = q
2x = 3 atau 2x = –1
x = 2log 3 (untuk 2x = –1 tidak ada nilai x yang memenuhi, sebab hasil dari suatu bilangan yang
dipangkatkan tidak pernah negatif )
8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….
a. x > 6
b. x > 8
c. 4 < x < 6
d. – 8 < x < 6
e. 6 < x < 8
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)
log (x – 4) (x + 8) < log (2x + 16)
log ( x2 + 4x – 32 ) < log ( 2x + 16 ) ( gunakan kesamaan pada logaritma )
( x2 + 4x – 32 ) < ( 2x + 16 )
x2 + 4x – 32 – 2x – 16 < 0
x2 + 2x – 48 < 0
(x+8)(x–6)0
x > 4 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 2 )
Untuk log (x + 8), nilai
x+8>0
x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 3 )
Untk log (2x + 16), nilai 2x + 16 > 0
x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 4 )
Himpunan
Penyelesaian ( HP )
Cat : Untuk mendapatkan daerah positif atau negatif pada HP 1 caranya dengan substitusi nilai yang berada
pada daerah tertentu, misalnya nilai yang kurang dari -8 ( misalnya diambil -9)
Substitusi nilai tersebut pada persamaan x2 + 2x – 48
F(-9) = (-9)2 + 2 (-9) – 48 = 81 – 18 – 48 = 15 ( didapat hasil yang positif )
Ini
merupakan
daerah
Himpunan
penyelesaian karena nilainya < 0
( + + + ) daerah
positif
(– – – ) daerah negatif
–8
Ini
merupakan
( + + + ) daerah HP 1
positif
6
daerah
Himpunan
penyelesaian karena nilainya > 4
HP 2
4
Ini merupakan daerah Himpunan penyelesaian karena nilainya > –8
HP 3 dan 4
–8
Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 4 < x < 6
9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x ¿ log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….
a.
−
5
2
0
x > – 5/2
( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 3 )
Himpunan
Penyelesaian ( HP )
HP 1
–2
10
HP 2
0
HP 3
5
– /2
Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 0 < x ¿
10. Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x – 3x+1 + 1 = 0 adalah ….
a. { ½ , 1 }
b. { –½ , –1 }
c. { –½ , 1 }
d. { 0 , 3log ½ }
e. { ½ , ½log 3 }
Soal Ujian Nasional Tahun 2005
Caranya sama dengan no 5, tetapi yang dimisalkan adalah 32x.
√
3
11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
a. x < –14
b. x < –15
c. x < –16
1 643 x
>
8 2 x 218 x−36
adalah ….
10
d. x < –17
e. x < –18
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
√
3
3x
6 3x
1 64
−2 x (2 )
>
=
8
> 18 x −36 =8
√
8 2 x 218 x−36
2
3
−2 x
3
3
>218 x −18 x +36=2−2 x >236
(2 )
−2 x
3
>2
18 x −( 18 x −36 )
( gunakan kesamaan pada eksponen )
–2x > 36
x < –18 ( tandanya berubah karena kedua ruas dibagi dengan –2 )
12. Himpunan penyelesaian persamaan xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5 adalah ….
a. { 3 }
b. { 1,3 }
c. { 0,1,3 }
d. { –3, –1,1,3 }
e. { –3, –1,0,1,3 }
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
x
log ( 10x3 – 9x ) = xlog x5
( gunakan kesamaan pada logaritma )
10x3 – 9x = x5
x5 – 10x3 + 9x = 0
( faktorkan dengan mengeluarkan variabel x )
x ( x4 – 10x2 + 9 ) = 0
( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )
x ( x2 – 9 ) ( x2 – 1 ) = 0
( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )
x ( x– 3 ) ( x + 3 ) ( x– 1 ) ( x + 1 ) = 0
Cari harga pembuat nol untuk x, ( x – 3 ), ( x + 3 ), ( x – 1 ) dan ( x + 1 ).
Didapat
x=0
x=3
x = –3
x=1
x = –1
Dari kelima jawaban hanya 1 dan 3 yang memenuhi persyaratan jika disubstitusikan kepersamaan ( ingat
kembali syarat dari bilangan pokok logaritma )
2
13. Nilai x yang memenuhi
3 x −3 x +4 1
d. x > 2
e. x > 7
Soal Ujian Nasional Tahun 2002
1
9
1
1− x 6
2 > 243 x−1
()
()
1
32
−2
√
x −1
1
1− x
2 >243 6
(3 )
1
1− x
2
−2+x
3
x −1
(
6 )
>(3 )
5
5 x−5
(
6 )
>3
( gunakan kesamaan pada eksponen )
5 x−5
6
–2 + x >
–12 + 6x > 5x – 5
6x – 5x > –5 + 12
x>7
16. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2log (x2 – 3x + 2 ) < 2log ( 10 – x ), x
a.
{ x |−2
SUMBER Soal:
http://matematika-sma.blogspot.com
Dapatkan Berbagai Konten dan Soal Matematika di
http://matematika100.blogspot.com/
1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3
a. – 2
√2
–3
b. – 2
√2
+5
c. 8
√2
–3
d. 8
√2
+3
e. 8
√2
+5
√2
√ 50
)–(4–
) adalah ….
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
(1+3
√2
=(1+3
)–(4–
√2
√ 50
)–(4– 5
)=(1+3
√2
)=1+3
√2
√2
)–(4–
–4+ 5
2. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….
a.
2
a
b.
2+ab
a(1+b)
c.
a
2
d.
b +1
2 ab+1
e.
a(1+b )
2+ab
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
log 20 3 log(4 x 5)
log 20=3
=
log15 3 log(3 x 5)
3
log 4 + 3 log 5 3 log22 + 3 log 5
¿3
=3
3
log 3+ log 5 log3+ 3 log5
3
2 3
3
3
log 2 + log 5 2. log 2+ log 5
¿3
=3
3
log 3+ log 5
log 3+ 3 log 5
1
2+b
2. +b
a
a
2+b
¿
=
=
1+b
1+b a (1+b)
3
15
r
3. Nilai dari
a. – 15
b. – 5
log
1 q
1 p 1
.
log
. log =.. ..
5
3
q
p
r
√ 25.2
√2
)
=–3+ 8
√2
c. – 3
1
15
d.
e. 5
Soal Ujian Nasional Tahun 2005
1 q 1 p 1 r
. log 3 . log = log p−5 . q logr −3 . p log q−1
5
q
p
r
r
q
p
r
q
p
(−5). log p.(−3) logr .(−1) log q=(−5)(−3)(−1). log p. log r . log q
¿−15 . r log p. p log q. q logr=−15.r log r=−15(1)=−15
r
log
3
−. 6
2
√ y5
7x
5
4
1
3
( x −6 y ) x
4. Nilai dari
−.
a.
( 1+2 √2 ) .9 √2
b.
( 1+2 √2 ) . 9 √3
c.
( 1+2 √2 ) .18 √3
d.
( 1+2 √2 ) . 27 √2
e.
( 1+2 √2 ) .27 √3
−2
untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
3
−. 6
2
√y
7x
5
4
−.
5
7x
=
1
3
3
2
5
4
5
6
.y .
1
3
( x −6 y ) x ( x −6 y ) x
−.
−.
=
7( 4 )
3
2
.(27 )
5
4
−.
5
6
−2
2
7(2 )
=
1
3
−.
5
2 4
3
2
5
3 6
. (3 )
1
3
((4 ) −6(27 ) )( 4 ) ((2 ) −6(3 ) )(2 )
−.
−.3
=
−2
7.2
.3
5
2
−1
5
2
−2
−. 3
(2 −6 . 3 )2
=
7.2
−4
(
2+
2
.3
1
2
2+
−6.
3
−.
2 −2
1
2
. 24 7 . 2 .32 . √ 3 7 .2 . 32 . √ 3
= 2
=
2 ( 2 . √ 2−1 )
(
2
.
2−2
)
√
1
3
)
7 . 32 . √3 2 √2+1 7 . 9 √3 (2 √ 2+1)
=
x
=
=9 √ 3(2 √ 2+1 )
( 8−1 )
( 2 √2−1 ) 2 √2+1
5. Akar – akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …
a. – 5
b. – 1
c. 4
d. 5
e. 7
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
32x.31 – 28.3x + 9 = 0
3.(3x)2 – 28.3x + 9 = 0
Misal : 3x = p
3p2 – 28p + 9 = 0
( 3p – 1 ) ( p – 9 ) = 0
3p – 1 = 0 atau p – 9 = 0
3p = 1 atau p = 9
1
p= 3
atau p = 9
Substitusikan nilai p pada persamaan 3x = p
1
3x = 3
atau 3x = 9
3x = 3–1 atau 3x = 32
x = –1 atau x = 2 ( karena x1 > x2, maka x1 = 2 dan x2 = –1 )
Substitusikan nilai x1 dan x2, maka akan didapat 3(2) – (–1) = 7
6. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
Caranya sama dengan no 5, tetapi yang dimisalkan adalah 32x.
7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ….
a.
2
b.
3
log 3
log 2
c. – 1 atau 3
d. 8 atau ½
e.
log
2
3
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
2
log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x
2
log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x
2
log.2log (2x+1 + 3) = 2log 2x ( gunakan kesamaan pada logaritma )
2
log (2x+1 + 3) = 2x ( gunakan definisi logaritma sebagai invers eksponen alog b = c ↔ b= ac )
2x+1 + 3 = 22x ( pindahkan semua nilai ke ruas kanan )
22x – 2x+1 – 3 = 0
(2x)2 – 2x.21 – 3 = 0
(2x)2 – 2.2x – 3 = 0
Misal 2x = q
q2 – 2q – 3 = 0
(q–3)(q+1)=0
q – 3 = 0 atau q + 1 = 0
q = 3 atau q = –1
substitusikan nilai q pada 2x = q
2x = 3 atau 2x = –1
x = 2log 3 (untuk 2x = –1 tidak ada nilai x yang memenuhi, sebab hasil dari suatu bilangan yang
dipangkatkan tidak pernah negatif )
8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….
a. x > 6
b. x > 8
c. 4 < x < 6
d. – 8 < x < 6
e. 6 < x < 8
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)
log (x – 4) (x + 8) < log (2x + 16)
log ( x2 + 4x – 32 ) < log ( 2x + 16 ) ( gunakan kesamaan pada logaritma )
( x2 + 4x – 32 ) < ( 2x + 16 )
x2 + 4x – 32 – 2x – 16 < 0
x2 + 2x – 48 < 0
(x+8)(x–6)0
x > 4 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 2 )
Untuk log (x + 8), nilai
x+8>0
x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 3 )
Untk log (2x + 16), nilai 2x + 16 > 0
x > –8 ( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 4 )
Himpunan
Penyelesaian ( HP )
Cat : Untuk mendapatkan daerah positif atau negatif pada HP 1 caranya dengan substitusi nilai yang berada
pada daerah tertentu, misalnya nilai yang kurang dari -8 ( misalnya diambil -9)
Substitusi nilai tersebut pada persamaan x2 + 2x – 48
F(-9) = (-9)2 + 2 (-9) – 48 = 81 – 18 – 48 = 15 ( didapat hasil yang positif )
Ini
merupakan
daerah
Himpunan
penyelesaian karena nilainya < 0
( + + + ) daerah
positif
(– – – ) daerah negatif
–8
Ini
merupakan
( + + + ) daerah HP 1
positif
6
daerah
Himpunan
penyelesaian karena nilainya > 4
HP 2
4
Ini merupakan daerah Himpunan penyelesaian karena nilainya > –8
HP 3 dan 4
–8
Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 4 < x < 6
9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x ¿ log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….
a.
−
5
2
0
x > – 5/2
( daerah Himpunan Penyelesaian ke - 3 )
Himpunan
Penyelesaian ( HP )
HP 1
–2
10
HP 2
0
HP 3
5
– /2
Daerah yang memeuhi ketiga HP diatas adalah irisan dari ketiga HP tersebut, yaitu 0 < x ¿
10. Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x – 3x+1 + 1 = 0 adalah ….
a. { ½ , 1 }
b. { –½ , –1 }
c. { –½ , 1 }
d. { 0 , 3log ½ }
e. { ½ , ½log 3 }
Soal Ujian Nasional Tahun 2005
Caranya sama dengan no 5, tetapi yang dimisalkan adalah 32x.
√
3
11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
a. x < –14
b. x < –15
c. x < –16
1 643 x
>
8 2 x 218 x−36
adalah ….
10
d. x < –17
e. x < –18
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
√
3
3x
6 3x
1 64
−2 x (2 )
>
=
8
> 18 x −36 =8
√
8 2 x 218 x−36
2
3
−2 x
3
3
>218 x −18 x +36=2−2 x >236
(2 )
−2 x
3
>2
18 x −( 18 x −36 )
( gunakan kesamaan pada eksponen )
–2x > 36
x < –18 ( tandanya berubah karena kedua ruas dibagi dengan –2 )
12. Himpunan penyelesaian persamaan xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5 adalah ….
a. { 3 }
b. { 1,3 }
c. { 0,1,3 }
d. { –3, –1,1,3 }
e. { –3, –1,0,1,3 }
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
x
log ( 10x3 – 9x ) = xlog x5
( gunakan kesamaan pada logaritma )
10x3 – 9x = x5
x5 – 10x3 + 9x = 0
( faktorkan dengan mengeluarkan variabel x )
x ( x4 – 10x2 + 9 ) = 0
( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )
x ( x2 – 9 ) ( x2 – 1 ) = 0
( faktorkan kembali persamaan yang ada didalam kurung )
x ( x– 3 ) ( x + 3 ) ( x– 1 ) ( x + 1 ) = 0
Cari harga pembuat nol untuk x, ( x – 3 ), ( x + 3 ), ( x – 1 ) dan ( x + 1 ).
Didapat
x=0
x=3
x = –3
x=1
x = –1
Dari kelima jawaban hanya 1 dan 3 yang memenuhi persyaratan jika disubstitusikan kepersamaan ( ingat
kembali syarat dari bilangan pokok logaritma )
2
13. Nilai x yang memenuhi
3 x −3 x +4 1
d. x > 2
e. x > 7
Soal Ujian Nasional Tahun 2002
1
9
1
1− x 6
2 > 243 x−1
()
()
1
32
−2
√
x −1
1
1− x
2 >243 6
(3 )
1
1− x
2
−2+x
3
x −1
(
6 )
>(3 )
5
5 x−5
(
6 )
>3
( gunakan kesamaan pada eksponen )
5 x−5
6
–2 + x >
–12 + 6x > 5x – 5
6x – 5x > –5 + 12
x>7
16. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2log (x2 – 3x + 2 ) < 2log ( 10 – x ), x
a.
{ x |−2