TOPOLOGI (ppt) Retno

TOPOLOGI
Dra. Retno Marsitin, MPd.

TOPOLOGI
 BAB I

SET DAN RELASI

 BAB II

FUNGSI

 BAB III
SPACES)

RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL

 BAB IV

BASIS & BASIS BAGIAN

 BABV

KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN

 BAB VI

KONTABILITAS

 BAB VII AKSIOMA PEMISAH
 BAB VIII

KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS)

 BAB IX

KEKOMPAKAN (COMPACTNESS)

BAB I
SET DAN RELASI
 

 SET, ELEMEN (UNSUR)
 SUBSET & SUPERSET
 SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG
 KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG
 OPERASI-OPERASI PADA SET
 PRODUK DARI SET-SET
 RELASI
 RELASI EQUIVALEN
 KOMPOSISI DARI RELASI

SET, ELEMEN (UNSUR)


 Pernyataan

dinotasikan .

 Negasi dari ditulis “” dan ini berarti “p bukan elemen A atau p
tidak termasuk di dalam A”

 Ada dua cara untuk menyatakan suatu set, yaitu:
Bila mungkin semua anggota ditulis (cara Roster),
misal
Menyatakan suatu set dengan notasi pembentuk set (cara Rule),
misal

SUBSET & SUPERSET


 Definisi:

Dua set A dan B adalah sama bila dan hanya bila
.
Dalam hal tetapi , dikatakan bahwa A adalah
murni dari B atau B memuat A.
 Teorema I:
Bila A, B dan C sebarang set maka:

subset

SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG



 Dalam

teori set, semua set dibentuk oleh subset-subset dari

suatu set tetap. Set tetap seperti itu disebut set universal

atau semesta pembicaraan dan dinotasikan dengan U. Ada
pula set yang tidak mempunyai anggota dan set ini disebut
set kosong dengan notasi yang merupakan set terhingga dan
merupakan subset dari setiap set. Jadi untuk sebarang set

A maka .

KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG
 Anggota-anggota
 

dari suatu set adalah set, misalnya tiap-tiap garis di dalam
suatu set dari garis-garis adalah set dari titik-titik. Set yang anggotanya
terdiri dari set-set disebut Kelas, Koleksi atau Famili, misalkan bukanlah
kelas karena mengandung elemen c yang bukan set (himpunan).

 Pada umumnya koleksi atau family digunakan untuk member nama dari set
yang anggotanya kelas-kelas. Pengertian subkelas, subkoleksi, dan subfamili
mempunyai arti yang sama dengan subset. Misalkan A adalah suatu set.
Set Kuasa (Power Set) dari A ditulis atau adalah kelas dari semua
subset dari A.
 Umumnya, apabila A terhingga dengan n unsur di dalamnya maka =
anggota.
 Kata ruang (spaces) artinya suatu set yang tidak kosong yang anggotanya
beberapa bentuk struktur matematika, seperti ruang vektor, ruang metrik
atau ruang topologi.

OPERASI-OPERASI PADA SET


 Teorema 2:

Hukum-hukum Aljabar set:
Hukum sama kuat:

,

Hukum Asosiatif:

,

Hukum Komutatif:

,

Hukum Distributif: ,
Hukum Identitas:

,

Hukum Komplemen: ,
Hukum De Morgan:

,

 


Teorema 3: bila hanya bila:

PRODUK DARI SET-SET


 Misalkan

A dan B adalah set-set tertentu. Produk dari set A

dan B ditulis , memuat semua pasangan terurut (a,b)
dengan .
 Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan
dinotasikan dengan .
 Contoh: , tentukan !

RELASI

  Domain (daerah asal) dari relasi R dari A ke B
adalah set dari koordinat pertama pasangan di
dalam R dan range (daerah hasil) adalah set dari
koordinat kedua di dalam R yaitu:
 Domain & Range


 Invers dari R ditulis adalah relasi dari B ke A
didefinisikan:
 Relasi identitas di dalam suatu set A ditulis

RELASI EQUIVALEN

 Bila
  R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari adalah set dari elemenelemen yang berrelasi dengan a yaitu: .



Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis A/R disebut faktor (quotient) A oleh R yaitu
A/R=.



Set faktor A/R memenuhi sifat-sifat berikut:



Teorema 4.
Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan adalah kelas equivalen dari
maka:
Untuk setiap
bila dan hanya bila (a,b)
Bila

Suatu kelas dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan
bila :
Tiap termasuk anggota dari

Anggota-anggota dari sepasang-sepasang saling lepas (disjoint)


Teorema 5.
Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor (quotient) A/R adalah partisi
dari A.

hanya

KOMPOSISI DARI RELASI


 
Misal
U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu maka relasi
dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang .
disebut komposisi dari U dan V ditulis .
Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis:
.



Contoh:
Misalkan , ,
dan
U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C.
Gambarkan kedua relasi tersebut dan tentukan !

BAB II
FUNGSI
 FUNGSI
 FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS &
INVERS
 KOMPOSISI FUNGSI
 SET BERINDEKS
 ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI
REAL

FUNGSI


Misalkan
tiap-tiap elemen dari set A dipasangkan dengan tepat satu elemen yang unik
 
dari set B, suatu koleksi f yang memasangkan elemen-elemen tersebut disebut

fungsi (mapping/pemetaan) dari A ke B ditulis .


Elemen yang ada dalam B sebagai pasangan dari disebut nilai f pada a atau
bayangan (image) dari a di bawah f. Domain (daerah asal) f adalah A dan kodomain
(daerah kawan) dari f adalah B. Tiap-tiap fungsi berkorespondensi dengan relasi di
dalam A X B dinyatakan oleh .



Set tersebut dikatakan sebagai grafik dari f. Daerah hasil dari f (range f) ditulis adalah
set dari semua bayangan (peta) dari a oleh f yaitu .



Dua fungsi adalah sama ditulis bila dan hanya bila untuk tiap yaitu bila dan hanya
bila kedua grafik sama.

FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS


 Fungsi disebut satu-satu atau 1 – 1 bila elemen-elemen dalam A mempunyai peta
yang berbeda dalam B yaitu bila:



Fungsi disebut onto (kepada) bila tiap adalah bayangan dari sebarang yaitu bila: .
Jadi bila f onto .



Umumnya, relasi invers dari suatu fungsi tak perlu merupakan fungsi. Apabila f suatu
fungsi yang onto dan satu-satu maka adalah fungsi dari B kepada A dan disebut
fungsi invers.



Relasi identitas (diagonal) adalah suatu fungsi yang disebut fungsi identitas pada A.
Fungsi identitas dinotasikan oleh . Dalam hal ini, untuk tiap



Selanjutnya bila f : A , bila f satu-satu dan onto dengan invers maka



Proporsi 1: misal sehingga maka:

KOMPOSISI FUNGSI



ALJABAR DARI FUNGSI
BERNILAI
REAL
 
Misal
F (X,R) notasi untuk koleksi dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan
pada sebarang set X. Beberapa operasi di dalam F (X,R) berkorespondensi dengan
operasi-operasi di dalam R.



Bila maka didefinisikan:



 Teorema:

Koleksi dari semua fungsi bernilai real didefinisikan pada set tidak kosong X
dengan operasi-operasi
yang didefinisikan di atas memenuhi aksioma ruang
vector real linear berikut:
Operasi tambahan (adisi) dari fungsi-fungsi f dan g memenuhi sifat-sifat:

Untuk tiap
Operasi perkalian skalar k.f dari fungsi f dengan bilangan real k memenuhi sifat:

Operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi sifat:

BAB III
RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL
SPACES)
 RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
 TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS)
 HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS
& CLOSED SETS)
 PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET)
 INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY
 LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN
 TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER
 RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF
 EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI



RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL
SPACES)
 Misal adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas
yang
anggotanya subset-subset dari disebut topologi pada X, bila
dan hanya bila memenuhi ketiga aksioma berikut:
termasuk dalam
Gabungan dari set-set anggota dari adalah anggota
Irisan dari dua set anggota adalah anggota

 Anggota –anggota dari disebut set – set buka dari , dan
bersama yaitu disebut ruang topologi.



 Apabila



Suatu topologi pada harus memuat set . Kelas yang
hanya memuat adalah topologi pada X, sehingga disebut
topologi indiskrit dan disebut ruang topologi indiskrit
atau ruang indiskrit.

D adalah kelas dari semua subset dari atau atau
dapat dikatakan D adalah himpunan kuasa (power set) dari
maka adalah topologi pada karena memenuhi ketiga
aksioma pada topologi sehingga disebut topologi diskrit dan
disebut ruang topologi diskrit atau secara singkat disebut
ruang diskrit., sedangkan himpunan kuasa (power set)
dari X yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah
semua himpunan bagian dari .

 Apabila ruang topologi dan adalah kelas yang anggotanya
semua komplemen dari set-set buka dari maka adalah
topologi kofinit.



adalah
topologi pada X maka juga merupakan topologi pada tetapi belum tentu
 
(tak perlu) merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong adalah set kosong
dan irisan kosong dari subset-subset dari adalah sendiri.



Elemen suatu topologi pada disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian
dari yang komplemennya ada di dalam ( merupakan himpunan yang tertutup
atau dapat dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka adalah
himpunan-himpunan yang tertutup. Jadi suatu himpunan disebut tertutup jika
hanya jika adalah terbuka.



Apabila adalah suatu topologi pada maka kelas himpunan bagian yang tertutup
dari mempunyai sifat :
adalah himpunan-himpunan yang tertutup
Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup
Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup

TITIK KUMPUL (ACCUMULATION
POINTS)

HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN
TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS)
 Definisi:
 
Untuk sebarang ruang topologi . Anggota-anggota dari dikatakan himpunan terbuka.


Teorema:
Untuk sebarang ruang topologi maka: adalah set-set buka
Irisan dari set-set buka adalah buka
Gabungan dari dua set-set buka adalah buka



Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan
terbuka. Misal adalah ruang topologi. Subset dari disebut set tertutup bila dan hanya bila
komplemen adalah set buka.



Definisi:

Untuk sebarang ruang topologi , suatu himpunan bagian dari dikatakan himpunan tertutup
jika komplemennya
merupakan himpunan terbuka pada .


Apabila adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari adalah buka maka setiap subset dari adalah
juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain, setiap subset dari X adalah
buka dan tutup. Ingat bahwa , untuk setiap subset dari maka diperoleh proposisi berikut:



Dalam ruang topologi , subset dari adalah buka bila dan hanya bila komplemennya tutup.



 Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema
berikut:

Bila ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari memiliki sifatsifat
yaitu:
adalah set-set tutup
Irisan dari set-set tutup adalah tutup
Gabungan dari dua set tutup adalah tutup


Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik
kumpul sebagai berikut, dengan teorema:



Subset dari ruang topologi adalah tutup bila dan hanya bila A memuat semua
titik kumpul dari .



Dengan kata lain bahwa set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive
dari A adalah subset dari A yaitu



PENUTUP DARI SET (CLOSURE
OF
A
SET)
 
Misal
subset dari ruang topologi . Penutup dari A (closure of A) ditulis adalah
irisan dari semua superset tutup dari A. Dengan kata lain, bila adalah kelas
semua subset tutup dari yang memuat maka



Perhatikan bahwa adalah tutup karena adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya
juga, adalah superset tutup terkecil dari , dengan demikian bila adalah set tutup
yang memuat maka .



Berdasarkan hal tersebut, set adalah tutup bila dan hanya bila dan diperoleh
pernyataan berikut dengan dalil (proposisi):



Bila penutup dari set maka:
adalah penutup
Bila superset tutup dari A maka
adalah tutup bila dan hanya bila



 
Misal
adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set
terhingga dan adalah set-set buka maka set-set tutup dari
topologi tersebut adalah set-set terhingga dari dengan .

 Jadi bila terhingga, penutup dari adalah sendiri karena tutup.
Sebaliknya bila tak hingga maka adalah superset tutup dari ,
jadi .
 Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X
dengan penutup yang memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan
pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup Kuratowski
dengan dalil (proposisi):
,

INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY


Misal
subset dari ruang topologi . Titik disebut titik interior dari bila
 
termasuk set buka subset dari , yaitu , set buka.



Set dari titik-titik interior dari A ditulis int (A),



Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan dalil (proporsisi):



Interior dari set A adalah gabungan dari semua subset dari A, selanjutnya juga
bahwa: adalah buka



atau , disebut interior dari A.

subset buka terbesar dari ; yaitu bila subset buka dari maka



A adalah buka bila hanya bila



Eksterior dari ditulis eks () adalah interior dari komplemen A yaitu int .
Boundary (batas) dari ditulis b() adalah set dari titik-titik yang tidak
termasuk interior dan tidak termasuk eksterior dari .



Berikut ini hubungan interior, eksterior, dan penutup dengan teorema:



Misal A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari
interior dan batas dari A yaitu .



LINGKUNGAN & SISTEM
Misal
adalah titik dalam ruang topologi . Suatu subsetLINGKUNGAN
dari disebut lingkungan dari jika
 
dan hanya jika adalah suatu superset dari set buka yang memuat yaitu:
dengan set buka. Dengan kata lain relasi “N adalah lingkungan dari p” adalah
invers dari “p adalah titik interior N” . Kelas dari semua lingkungan dari disebut
sistem lingkungan (neighborhood system) dari . Untuk suatu sistem lingkungan dari
suatu titik ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut aksioma
lingkungan sebagai berikut:



Proporsisi:

a.

dan p termasuk ke dalam tiap anggota

Irisan dari dua anggota

termasuk

Setiap superset dari anggota termasuk
Tiap anggota adalah superset dari anggota dengan G adalah
tiap titik dari G yaitu untuk tiap

lingkungan dari tiap-



 Misal dan

TOPOLOGI KORSER DAN
TOPOLOGI FAINER

adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka

anggota subset dari X adalah anggota subset dari X. Dengan demikian,
bahwa adalah kelas bagian dari yaitu , sehingga dikatakan bahwa adalah
lebih kasar (Coarser) atau lebih kecil (smaller) atau lebih lemah (weaker)
terhadap atau lebih halus (finer) atau lebih besar (larger) terhadap .
Perhatikan bahwa koleksi dari topologi-topologi adalah terurut parsial dan
dapat ditulis dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X tidak dapat
dibandingkan bila topologi yang satu bukan korser terhadap yang lainnya.



 Misal

RUANG BAGIAN, TOPOLOGI
RELATIF
A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi . Kelas

yaitu kelas dari semua irisan dari A dengan subset-

subset buka

pada X adalah topologi pada A dan topologi

tersebut disebut topologi relative pada A atau relatifisasi
terhadap A dan ruang topologi disebut ruang bagian dari .
Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka dari ,
yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset buka
G dari X dan sedemikian hingga



EKUIVALENSI DARI DEFINISI
TOPOLOGI
 
Definisi
dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang
topologi dan digunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk
topologi. Teorema berikut menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada
suatu set dengan menggunakan pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu
titik dan penutup suatu set :



Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap , kelas dari subset-subset dari X
memenuhi aksioma berikut:
tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari
Irisan dari dua anggota termasuk dalam
Setiap superset dari anggota termasuk

Setiap anggota adalah superset dari anggota sedemikian
hingga
untuk tiap maka ada satu dan hanya satu topologi
pada X sedemikian
hingga adalah sistem lingkungan dari titik .



 Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang

menghubungkan tiap subset A dari X dengan subset A k dari X yang
memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut:

maka ada satu dan hanya satu topologi pada X sedemikian hingga
adalah penutup subset A dari X.

BAB IV
BASIS & BASIS BAGIAN
 BASIS UNTUK TOPOLOGI
 BASIS BAGIAN
 TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS
DARI SET
 BASIS LOKAL
 BASIS LIMIT

BASIS UNTUK TOPOLOGI


Definisi:
 
Misal suatu ruang topologi. Suatu kelas yang terdiri dari subset-subset buka dari X

yaitu adalah basis untuk topologi bila dan hanya bila setiap set

buka adalah

gabungan dari anggota-anggota .


Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut “ adalah basis untuk
topologi bila dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada
dengan .



Dengan definisi lain:
Apabila diberikan ruang topologi , suatu koleksi dari himpunan-

pada X maka dikatakan basis pada topologi jika setiap
gabungan dari elemen-elemen pada .

himpunan terbuka

himpunan terbuka adalah



 Teorema

berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup
untuk kelas dari set-set yang merupakan basis untuk suatu
topologi, yaitu:

 Misal adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong
X maka adalah basis untuk suatu topologi pada X bila dan
hanya bila memenuhi dua sifat:
Untuk suatu B, , adalah gabungan dari
anggota-anggota atau bila maka
sedemikian hingga
.
 Jika merupakan suatu basis untuk topologi pada dan
merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada dimana
maka adalah juga basis untuk topologi .

BASIS BAGIAN
 Misal
suatu ruang topologi. Kelas yang anggotanya subset-subset buka dari yaitu
 
adalah basis bagian untuk topologi pada bila dan hanya bila irisan terhingga dari
anggota-anggota membentuk basis untuk
Contoh:
 Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis real R adalah irisan dari dua
interval buka tak hingga dan . Interval-interval bukanya membentuk basis untuk topologi
pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk
R.
 Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R 2 adalah
persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang – persegi panjang buka
membentuk basis untuk topologi pada R 2 . Kelas dari semua pita buka tak hingga adalah
basis bagian untuk R2.



TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH
Misal
adalah kelas dari subset-subset dari set tidak
kosong. Kemungkinan
bukan
 
KELAS
DARI
SET
merupakan basis untuk topologi pada . Jadi selalu merupakan pembangunan dari
topologi pada seperti dikemukakan pada teorema berikut:



Suatu kelas yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong adalah basis
bagian untuk suatu topologi yang unik pada . Jadi irisan tak hingga dari anggotaanggota membentuk basis untuk topologi pada .



Misal subset-subset dari set tidak kosong . Meskipun bukan basis tapi dapat
membentuk topologi dengan cara:

Ditentukan semua irisan hingga dalam yang merupakan basis dari suatu
topologi.
Dilakukan gabungan dari basis tersebut yang merupakan topologi yang dicari.


Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti
proposisi berikut:

Bila adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong maka topologi pada
dibangun oleh adalah irisan dari semua topologi pada yang memuat .

yang

BASIS LOKAL


 Misal adalah sebarang titik di dalam ruang topologi X . Kelas dari subset-subset
buka yang memuat p disebut basis lokal pada bila dan hanya bila untuk tiap set
buka yang memuat
ada sedemikian hingga



Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik
dengan proposisi:



Bila basis untuk topologi pada X dan maka anggota dari basis yang memuat p
membentuk basis lokal di p.



Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila tiaptiap anggota suatu basis lokal pada p memuat suatu titik A yang berbeda dengan
p.



Barisan dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke bila dan hanya bila
tiap anggota dari sebarang basis lokal pada p memuat semua suku-suku dari
barisan itu.



Ketiga
proposisi diatas memberikan corollary berikut:
 



Bila suatu basis untuk topologi pada X maka :
adalah titik kumpul dari bila dan hanya bila tiap set basis buka
yang memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.



Barisan dari titik-titik dalam X konvergen ke bila dan hanya bila tiap set basis buka
yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu.



Definisi basis lokal lainnya:

Diberikan (X,T) merupakan ruang topologi dan maka koleksi
lokal pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G
dari B sehingga .


dikatakan basis
terdapat anggota

 Remark/Keterangan:

It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each
point of ground set but the converse may not be true (Setiap basis untuk topologi
juga merupakan basis lokal dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya
mungkin
tidak benar).


Union of all bases froms bases for topology defined on the any non-empty set X
(Persatuan dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi , setiap tidak
kosong X set).

BASIS LIMIT


 Basis limit dengan teorema sebagai berikut:



B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil yaitu dan .
R adalah himpunan bilangan riil. Karena setiap bilangan riil terletak pada suatu
interval terbuka tertutup dari B1 maka R merupakan gabungan (union) dari anggotaanggota B1. Selanjutnya irisan dari dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau
merupakan suatu interval terbuka tertutup lagi yang berarti juga anggota dari B1.
Jika A merupakan koleksi interval terbuka tertutup (a,b] maka A merupakan suatu
topologi pada R sehingga B1 merupakan basis untuk topologi A dan disebut topologi
limit atas (upper limit topology).



Bila yaitu kelas interval tertutup terbuka pada garis bilangan riil R dimana maka B2
merupakan suatu basis untuk topologi pada R dan disebut topologi limit bawah
(lower limit topology) pada R.



Bila yaitu koleksi interval terbuka pada garis riil R dimana maka B3 merupakan
basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R.



BAB V
KONTINUITAS DAN TOPOLOGI
EQUIVALEN
FUNGSI-FUNGSI KONTINU

 FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG
 KONTINU PADA SUATU TITIK
 KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK
 FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP
 RUANG HOMEOMORPHIS
 SIFAT-SIFAT TOPOLOGI
 TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI

FUNGSI-FUNGSI KONTINU


 Misalkan dan adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi f dari X ke

dalam Y disebut kontinu relative ke atau kontinu atau kontinu bila dan
hanya bila bayangan invers dari tiap dengan H subset buka dari Y adalah
anggota merupakan subset buka dari X atau bila dan hanya bila .
 Ditulis untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain dan
merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi disebut kontinu jika
untuk setiap himpunan terbuka H anggota berlaku anggota dari .
 Proposisi:
Fungsi adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis
untuk Y adalah subset buka dari X.

  
Teorema:


Misal adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi adalah kontinu
bila hanya bila invers tiap-tiap anggota adalah sub set buka dari .



Fungsi adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup dari
Y adalah tutup dari X.

Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu:


Suatu fungsi adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang
terbuka adalah set yang terbuka.



Jika suatu fungsi adalah konstan yaitu untuk setiap maka f adalah kontinu.



Jika suatu fungsi adalah fungsi identitas yaitu maka f adalah kontinu.



Jika suatu fungsi dan adalah fungsi-fungsi kontinu maka adalah juga kontinu.

FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG


 
Misal
X adalah ruang topologi. Titik disebut tutup sebarang (arbitrarily
close) terhadap set bila dan p adalah titik kumpul dari A

 Ingat bahwa ; jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang
merupakan tutup sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa , jadi p
adalah tutup sebarang terhadap A karena p adalah titik interior atau
titik batas dari A.
 Fungsi-fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi-fungsi
dengan tutup sebarang utuh dengan teorema seperti berikut:
Fungsi adalah kontinu bila dan hanya bila untuk
;
p tutup sebarang ke A maka f(p) tutup sebarang ke f[A] atau maka
atau .

KONTINU PADA SUATU TITIK


 Suatu

fungsi adalah kontinu di titik bila hanya bila bayangan
invers dari tiap set buka yang memuat f(p) adalah superset
dari set buka yang memuat p, atau nila dan hanya bila
bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari f(p) adalah
lingkungan dari p yaitu .

Teorema:
 Misal X dan Y masing-masing ruang topologi maka fungsi
adalah kontinu bila dan hanya bila kontinu pada tiap titik dari
X.

KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK


 Fungsi adalah barisan kontinu di titik bila dan hanya bila untuk tiap barisan (a n)
dalam X konvergen ke p, barisan (f(an)) dalam Y konvergen ke f(p), yaitu:



Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi kontinu di titik
maka adalah barisan kontinu di titik p.

Catatan:


Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi pada
garis real R yang terdiri dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu
barisan (an) konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk , maka untuk
suatu fungsi , (f(an)) = (f(a1), f(a2), … , f(ano), f(p), f(p), f(p),…) konvergen ke f(p).
Dengan kata lain, setiap fungsi pada adalah barisan kontinu. Sebaliknya, fungsi
yang didefinisikan oleh , yaitu fungsi identitas, adalah bukan kontinu karena bukan
subset buka dari R.

FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP


 Fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa bayangan invers dari tiap set buka dan
bayangan invers dari tiap set tutup adalah tutup. Definisi dari fungsi buka dan
tutup didefinisikan sebagai berikut:



Fungsi disebut fungsi buka (fungsi interior) bila bayangan (peta) dari tiap set buka
adalah buka.



Fungsi disebut fungsi tutup bila bayangan (peta) dari tiap set tutup adalah tutup.



Pada umumnya fungsi-fungsi buka, tidak perlu tutup, dan sebaliknya.

Contoh:


Fungsi konstan merupakan fungsi tertutup dan kontinu, tidak terbuka.



Fungsi merupakan fungsi tidak terbuka karena misalnya interval buka maka
tidak terbuka.

RUANG HOMEOMORPHIS

SIFAT-SIFAT TOPOLOGI


 
Sifat
P dari set-set disebut topologi atau topologi invarian, bila
ruang topologi mempunyai sifat P maka setiap ruang yang
homeomorphis dengan juga mempunyai sifat P.

Berikut, “keterhubungan” didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat
topologi:
 Ruang topologi disebut tidak terhubung (disconnected) bila dan
hanya bila X adalah gabungan dari dua subset buka yang tidak
kosong dan subset-subset yang lepas yaitu dengan .
 Bila suatu homemorphisma maka bila dan hanya bila dan Y
adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak terhubung.
Ruang topologi adalah terhubung (connected) bila dan hanya
bila tidak tak terhubung

TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI


Misal
adalah koleksi dari ruangtopologi-ruang topologi dan untuk tiap terdapat
 
fungsi yang didefinisikan pada sebarang set tidak kosong X.



Untuk memeriksa topologi–topologi pada X yang berturut-turut semua fungsi fi
adalah kontinu, ingat kembali bahwa fi adalah kontinu relative terhadap sebarang
topologi pada X maka invers bayangan dari tiap-tiap subset buka dari adalah subset
buka dari X.



Jadi kelas-kelas dari subset-subset dari X adalah .



Dengan demikian, memuat invers bayangan dari tiap-tiap subset dari setiap ruang
topologi . Topologi pada X yang dibangun oleh disebut topologi yang dibangun leh
fungsi . Sifat-sifat topologi seperti itu mempunyai sifat-sifat berikut dengan teorema:
a.
b.

Semua fungsi adalah kontinu relative terhadap .
adalah irisan dari semua toplogi pada X dengan fungsi-fungsi adalah kontinu.

c. adalah terkecil yaitu coarser topologi pada X yang masing-masing fungsi
adalah kontinu.
d.

adalah basis bagian untuk topologi .

BAB VI
KONTABILITAS

 RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG
 TEOREMA LINDELOF
 RUANG TERPISAH
 SIFAT-SIFAT HEREDITER



RUANG KONTABEL / RUANG
TERHITUNG
 
Ruang
topologi X disebut ruang kontabel pertama bila memenuhui
aksioma yang disebut
aksioma pertama dari kontabilitas yaitu: Untuk setiap ada kelas dari set-set buka yang
kontabel yang memuat p sedemikan hingga tiap set buka G yang memuat p juga memuat
anggota dari . Dengan kata lain, ruang topologi X adalah ruang kontabel pertama bila dan
hanya bila basis lokal pada tiap titik , dimana aksioma diatas merupakan sifat basis lokal
dari ruang topologi X .



Dapat juga dikatkan, diberikan (X,T) ruang topologi maka X dikatakan ruang dihitung
pertama jika untuk setiap memiliki basis lokal dihitung yaitu setiap , yang dapat dihitung.



Teorema: Fungsi yang didefinisikan pada ruang kontabel pertama X adalah kontinu di bila
dan hanya bila fungsi itu adalah barisan kontinu di p.



Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa bila X memenuhui aksioma diatas maka kontinu
di bila dan hanya bila tiap barisan (an) konvergen ke p dalam X, barisan (f(an)) konvergen ke
(fp) dalam Y yaitu “bila ”.

Catatan:


Bila merupakan basis local kontabel pada titik maka dapat ditulis dan bila , maka disebut
tumpukan basis lokal pada p.

Ruang Kontabel Kedua / Ruang
Terhitung Kedua (Second
  Ruang topologi disebut ruang
Countable
Spaces)
topologi kedua bila memenuhi
aksioma
berikut yang disebut aksioma kedua dari kontabilitas, yaitu: ada basis
kontabel untuk topologi .



Teorema: Setiap ruang kontabel kedua adalah ruang kontabel pertama



Sebaliknya, garis real R dengan topologi diskrit tidak memenuhi aksioma
kedua menurut contoh 2 pada bagian B tentang kontabel kedua diatas
tetapi memenuhi aksioma pertama pada bagian A tentang kontabel
pertama, sehingga konvers dari teorema 2 adalah benar.

TEOREMA LINDELOF
  
Sebelumnya
ada beberapa istilah/pengertian berikut:


Bila dan adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga maka disebut
sampul (cover) dari A atau disebut sampul A.



Bila anggota-anggota dari adalah subset buka dari X maka disebut sampul buka dari
A.



Bila memuat sampul dari A maka disebut tereduksi ke suatu sampul kontabel
(terhingga) atau disebut memuat sampul bagian yang kontabel (terhingga).

Ruang kontabel kedua termuat di dalam kedua teorema berikut:


Bila A subset dari ruang kontabel kedua X maka tiap sampul buka A tereduksi ke sampul
kontabel



Bila X ruang kontabel kedua maka tiap basis untuk X tereduksi ke basis kontabel X.

Kedua teorema diatas selanjutnya dipakai untuk mendefinisikan ruang Lindelof berikut:


Ruang topologi X disebut Ruang Lindelof bila tiap sampul buka dari X tereduksi ke
sampul kontabel. Jadi setiap ruang kontabel kedua adalah Ruang Lindelof.

RUANG TERPISAH


Ruang
topologi X disebut terpisah bila ruang topologi X tersebut memenuhi aksioma:
 

X memuat subset padat yang kontabel


Dengan kata lain, X adalah terpisah bila dan hanya bila ada subset terhingga atau
subset denumerabel A dari X sedemikian hingga penutup A sama dengan X yaitu

Contoh:


Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terpisah karena set bilangan rasional
Q adalah denumerabel dan padat di dalam R yaitu



Garis real R dengan toplogi diskrit D. Ingat kembali bahwa setiap subset dari R
adalah D buka dan D tutup, dimana D merupakan subset padat dari R dalam R
sendiri dan R bukan set kontabel, sehingga (R,D) bukan ruang terpisah.



Teorema: Bila X memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas maka X adalah terpisah.



Garis real R dengan topologi yang dibangun olrh interval tutup buka [a,b) adalah
contoh klasik (biasa) dari ruang terpisah yang tidak memenuhi aksioma kedua dari
kontabilitas. Dengan demikian maka konvers dari teorema diatas pada umumnya
tidak benar.

SIFAT-SIFAT HEREDITER
 Sifat P dari ruang topologi X disebut herediter bila dan hanya
bila setiap ruang bagian dari X mempunyai sifat P. Setiap
ruang bagian dari ruang kontabel kedua adalah kontabel
kedua dan setiap ruang bagian dari ruang kontabel pertama
adalah kontabel pertama. Dengan kata lain aksioma pertama
dan kedua, kedua-duanya herediter, tetapi ruang bagian dari
ruang terpisah tidak perlu terpisah yaitu terpisah bukan
berarti herediter.

BAB VII
AKSIOMA PEMISAH

 RUANG – T1
 RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2)
 RUANG REGULER (RUANG – T3)
 RUANG NORMAL (RUANG – T4)
 LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI
 FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH
 RUANG REGULER LENGKAP

RUANG – T1


 Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma
[R]:



Bila F subset tutup dari X dan bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H
yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga



Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi
aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:



Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat
ditunjukkan dengan dimisalkan titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka
adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka . Menurut [R], ada set-set
buka G dan H yang lepas sedemikian hingga sehingga a dan b berturut-turut
termasuk ke dalam set-set buka G dan H yang lepas.



Topologi pada set . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah dan
memenuhi [R] tetapi bukan ruang T1 karena ada set terhingg tidak tutup.

RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2)


Ruang
topologi X disebut Ruang hausdorff atau Ruang – T 2 bila dan hanya bila
 
memenuhi aksioma [T2]:

Setiap pasang titik yang berbeda berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka yang
lepas (disjoint)


Dengan kata lain (T2), ada set-set buka G & H sedemikian hingga:



Teorema: Setiap ruang metrik adalah ruang hausdorff



Pada umumnya, barisan (a 1,a2, ...) dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke
lebih dari satu titik. Hal ini tidak berlaku bila X Ruang Hausdorff seperti dinyatakan
dalam teorema berikut:

Bila X ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam X mempunyai limit
unik (konversnya tidak benar)
Bila X adalah ruang kontabel pertama maka X adalah Ruang Hausdorff bila dan
hanya bila setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.

yang

RUANG REGULER (RUANG – T3)


 Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]:

Bila F subset tutup dari X dan bukan anggota F maka ada set-set buka G
yang saling lepas (disjoint) sedemikian hingga

dan H



Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi
aksioma pemisah T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:



Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat
ditunjukkan dengan dimisalkan titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka
adalah set tutup dan karena a dan b berbeda maka . Menurut [R], ada set-set buka G
dan H yang lepas sedemikian hingga sehingga a dan b berturut-turut termasuk ke
dalam set-set buka G dan H yang lepas.



Topologi pada set . Perhatikan bahwa subset-subset tutup dari X adalah dan
memenuhi [R] tetapi bukan ruang T1 karena ada set terhingg tidak tutup.

RUANG NORMAL (RUANG – T4)


 Ruang

topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila

memenuhi aksioma berikut:
 Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset buka
G dan H yang saling lepas sedemikian hingga .
 Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut:
 Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila
untuk setiap set tutup F dan set buka H yang memuat F, ada
set buka G sedemikian hingga

LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI

  
Teorema
Lemma Urysohn’s:

 Misal F1 dan F2 salin lepas dan merupakan subset-subset tutup
dari ruang normal X maka ada fungsi kontinu sedemikian
hingga .
Teorema Metrisasi Urysohn:
 Setiap Ruang – T1 normal kontabel kedua adalah metrisabel.

FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH
  

Misal adalah kelas dari fungsi-fungsi dari set X ke
dalam set Y. Kelas dari fungsi-fungsi disebut titik-titik
terpisah bila dan hanya bila untuk suatu pasangan
dari titik-titik yang berbeda ada fungsi f dalam
sedemikian hingga dengan proposisi:

 Bila C(X,R) kelas dari semua fungsi kontinu bernilai
real pada ruang topologi terpisah X, maka X adalah
Ruang Hausdroff.

RUANG REGULER LENGKAP


Ruang
topologi disebut ruang regular lengkap bila dan hanya bila memenuhi aksioma:
 
Bila F subset tutup dari X dan bukan anggota dari F maka ada fungsi kontinu
sedemikian hingga .



Proporsisi: Ruang Reguler Lengkap adalah Ruang Reguler



Ruang regular lengkap X yang memenuhi [T1] yaitu ruang T1 reguler lengkap disebut
Ruang Tychonoff. Berdasarkan atas Lemma Urysohn, ruang – T 4 adalah Ruang Tychonoff
dan menurut proposisi bahwa Ruang Tychonoff adalah Ruang T 3 sehingga Ruang
Tychonoff yaitu Ruang – T1 Reguler Lengkap, kadang-kadang disebut Ruang – T 3 ½.



Salah satu sifat penting dari Ruang Tychonoff adalah teorema berikut:

(X,R) yaitu kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real ada Ruang – T 1 – Reguler
Lengkap
X adalah titik-titik pisah.







BAB VIII
KETERHUBUNGAN
(CONNECTEDNESS)
SET-SET TERPISAH
SET TERHUBUNG
RUANG TERHUBUNG
KOMPONEN
RUANG TERHUBUNG LOKAL

SET-SET TERPISAH
Dua  set A dan B dari ruang topologi X disebut terpisah, bila:


A dan B saling lepas (disjoint) dan



Titik kumpul dari A tidak termasuk anggota set B dan sebaliknya.

Dengan kata lain, A dan B terpisah bila dan hanya bila .
Contoh:


Perhatikan interval-interval pada garis real R berikut: A=(0,1) , B=(1,2) dan C=[2,3)

A dan B terpisah karena
Tetapi B dan C tidak terpisah karena adalah titik kumpul dari B sehingga
.


Perhatikan subset-subet pada bidang R 2 berikut:
Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan set-set terpisah.

SET TERHUBUNG




Subset
A dari ruang topologi X disebut tidak terhubung (disconnected) bila ada subset-subset buka G
 
dan H dari X sedemikian hingga merupakan set-set tidak kosong yang saling lepas dan gabungannya
sama dengan A. Dalam hal ini, disebut tak terhubung dari A. suatu set disebut terhubung (connected)
bila set tersebut tidak tak terhubung.
Perhatikan bahwa:



Oleh karena itu tak terhubung bila dan hanya bila:



Catatan:

Set kosong dan set singleton selalu terhubung.

Contoh:


Perhatikan topologi pada dengan



Set adalah tak terhubung karena untuk dan maka merupakan set-set lepas yang tidak kosong dan
gabungannya =A (G dan H tidak lepas).

Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema;


Suatu set disebut terhubung bila dan hanya bila set tersebut buka merupakan gabungan dari set-set
terpisah yang tidak kosong.



Bila A dan B set-set terhubung yang tidak terpisah maka adalah terhubung.

RUANG TERHUBUNG
Keterhubungan
 

adalah sifat mutlak dari suatu set dengan teorema:

 Bila A subset dari ruang topologi maka A terhubung terhadap
bila dan hanya bila A terhubung terhadap topologi relative pada
A.
 Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila:
 X bukan gabungan dari dua set buka tidak kosong yang lepas;
atau
 Hanya merupakan subset-subset dari X yang keduanya set buka
dan tutup.
 Bayangan kontinu dari set terhubung adalah terhubung

KOMPONEN


 Komponen E dari ruang topologi X adalah subset terhubung maksimal dari X sehingga
E terhubung dan E bukan subset murni dari suatu subset terhubung dari X. Jelaslah E
tidak kosong.

Teorema:


Komponen-komponen dari ruang topologi X membentuk suatu partisi dari X sehingga
komponen-komponen tersebut saling lepas dan gabungannya adalah X. Setiap subset
terhubung dari X termasuk ke dalam sebarang komponen.



Produk (perkalian) dari ruang terhubung adalah terhubung.

Contoh:


Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu sendiri.



Perhatikan topologi pada



dengan



Komponen dari X adalah .



Subset terhubung dari X , seperti adalah satu subset dari komponen-komponen.

RUANG TERHUBUNG LOKAL


 Ruang topologi X disebut terhubung lokal di bila dan hanya bila setiap set buka
yang memuat p termasuk dalam set buka terhubung yang memuat p yaitu bila setset terhubung buka yang memuat p membentuk basis lokal di p. X disebut
terhubung lokal bila X terhubung lokal di setiap titik atau bila subset-subset
terhubung dari X membentuk basis untuk X.

Contoh:


Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila adalah set terhubung
buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam setiap set buka yang memuat p.

Catatan: X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik.


Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut

adalah set-set terhubung, tetapi bukan terhubung lokal di .

BAB IX
KEKOMPAKAN
(COMPACTNESS)
 SAMPUL (COVER)
 SET KOMPAK
 SUBSET DARI RUANG KOMPAK
 KEKOMPAKAN DAN RUANG HAUSDORFF

SAMPUL (COVER)


 Misalkan adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga untuk
sebarang Ingat kembali bahwa disebut sampul (cover) dari A dan disebut
sampul buka bila tiap adalah buka. Selanjutnya, bila suatu kelas bagian terhingga
dari merupakan sampul juga dari A yaitu ada sedemikian hingga , maka disebut
tereduksi ke sampul terhingga atau memuat sampul bagian terhingga.



Teorema Heine-Borel: Setiap sampul buka dari interval tutup terbatas A=[a,b]
adalah tereduksi ke sampul terhingga.

Contoh:


Misal kelas , B set bilangan-bilangan bulat, Dp: daerah buka pada bidang R 2
dengan jari-jari 1 dan pusatnya p = (m,n), dimana maka adalah sampul dari R 2
yaitu setiap titik dalam R2 termasuk ke paling sedikit anggota dari tetapi kelas
dari daerah-daerah buka , dengan Dp mempunyai pusat p dan jari-jari ½ bukan
sampul dari R2.



Diambil contoh, titik tidak termasuk ke suatu anggota dari .

SET KOMPAK


 Definisi:

Subset A dari ruang topologi X disebut kompak bila setiap
sampul (cover) buka dari A tereduksi ke sampul terhingga.
 Dengan kata lain, bila A kompak dan dengan Gi set-set buka
maka dapat terpilih terhingga banyaknya set-set buka
misalkan .
 Teorema: Bayangan-bayangan kontinu dari set-set kompak
adalah kompak.
 Bila A subset dari ruang topologi maka A adalah kompak
terhadap bila dan hanya bila A kompak terhadap toplogi relatif
pada A.

SUBSET DARI RUANG KOMPAK
 Subset dari ruang kompak tidak perlu kompak,
misalnya, interval unit tutup [0,1] adalah kompak
menurut teorema Heine-Borel, tetapi interval buka
(0,1) subset dari [0,1] tidak kompak.
 Teorema: Bila F subset tutup dari ruang kompakX
maka F juga kompak



KEKOMPAKAN DAN RUANG
HAUSDORFF
 
Berikut
ini relasi konsep kekompakan dengan sifat pemisah
dari ruang hausdorff
dengan teorema:



Setiap subset kompak dari ruang Hausdorff adalah tutup (tidak berlaku umum
misalkan untuk ruang topologi seperti set-set terhingga selalu kompak tetapi ada
ruang topologi yang terdiri dari subset-subset terhingga yang tidak semuanya tutup).



Bila A dan B saling lepas dan merupakan subset-subset kompak dari ruang Hausdorff
maka ada set-set buka yang lepas G dan H sedemikian hingga .



Bila f fungsi satu-satu yang kontinu dari ruang kompak X ke dalam ruang Hausdorff Y
maka X dan f[X] adalah Homoemorphik (sangat penting dalam geometri tetapi tak
berlaku umum).



Dalam keadaan khusus, bila X ruang Hausdorff dan kompak, dan F1 dan F2 subsetsubset tutup saling lepas dari X maka F1 dan F2 adalah kompak sehingga F1 dan F2
adalah subset-subset dari dua set buka yang saling lepas dengan dinyatakan dalam
Corollary: Setiap ruang Hausdorff kompak adalah normal.

KONTABILITAS SET KOMPAK


Subset
A dari ruang topologi X disebut kontabel kompak bila dan hanya bila setiap subset
 
tak hingga B dari A mempunyai titik kumpul dalam A.

Teorema Bolzano – Weierstrass :


Setiap set tak hingga yang terbatas dari bilangan-bilangan real

mempunyai titik kumpul.

Teorema;


Misal A subset dari ruang topologi X. Bila A kompak atau barisan kompak maka A kontabel
kompak.

Contoh:


Misal adalah topologi pada yang terdiri dari set-set



Misal A adalah subset tak kosong dari N dan dan bila ganjil maka adalah titik kumpul dari A
dan bila bila genap maka adalah titik kumpul dari A. Dalam kedua hal ini, A mempunyai titik
kumpul sehingga adalah kontabel kompak.



Tetapi tidak kompak karena adalah sampul buka dari N yang bukan sampul bagian
terhingga dan selanjutnya bukan barisan kompak karena barisan tidak memuat barisan
bagian yang konvergen.

RUANG KOMPAK LOKAL


 Ruang topologi X disebut ruang kompak local bila dan hanya bila setiap titik dalam X
mempunyai lingkungan kompak.

Contoh:


Perhatikan garis real R pada topologi biasa dan perhatikan bahwa tiap-tiap titik
merupakan titik interior dari interval tutup dan interval tutup tersebut kompak
menurut teorema Heine – Borel. Jadi R adalah ruang kompak local tetapi R bukan
ruang kompak karena untuk kelas adalah sampul buka dari R tetapi tidak memuat
sampul bagian terhingga.



Dengan demikian terlihat bahwa ruang kompak lokal tak perlu merupakan ruang
kompak, tetapi katena suatu ruang topologi adalah lingkungan dari tiap-tiap titik
maka konvers dari definisi diatas benar dengan proposisi sebagai berikut:



Setiap ruang kompak adalah kompak lokal.