18518 22566 1 PB

REPRESENTASI SISWA SMP DALAM MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA BERDASARKAN KEMAMPUAN MATEMATIKA

Dita Aprilia Munalikatasari

Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : ditamunalikatasari@mhs.unesa.ac.id Abdul Haris Rosyidi

Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : abdulharis@unesa.ac.id Abstrak

Representasi dan pemecahan masalah merupakan dua kemampuan matematis yang menjadi tujuan pembelajaran matematika yang perlu dikembangkan. Representasi merupakan ungkapan ide seseorang mengenai sesuatu. Setiap siswa memiliki cara yang berbeda untuk mengungkapkan ide yang dimiliki terhadap permasalahan. Representasi yang digunakan siswa dimungkinkan lebih dari satu macam dalam satu pemecahan masalah. Oleh karena itu perlu diketahui bagaimana representasi siswa dalam memecahkan masalah. Tingkat kemampuan matematika merupakan salah satu faktor yang memengaruhi perbedaan tersebut. Representasi yang dimaksud dalam penelitian ini adalah representasi eksternal dalam memecahkan masalah sebagai hasil perwujudan ide matematika siswa.

Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif kualitatif yang bertujuan untuk mendeskripsikan representasi siswa SMP dalam memecahkan masalah matematika berdasarkan kemampuan matematika menggunakan metode wawancara berbasis tes. Tes berisi masalah matematika terkait dengan materi persamaan linear satu variabel (PLSV). Subjek pada penelitian ini adalah tiga siswa berkemampuan matematika berbeda dan berjenis kelamin sama, laki-laki. Representasi siswa diklasifikasikan ke dalam representasi gambar, grafik, simbol, tabel, dan verbal.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa siswa berkemampuan matematika tinggi dalam memecahkan masalah menggunakan representasi simbol, grafik, dan tabel. Representasi simbol yang digunakan terkait dengan persamaan linear dua variabel (PLDV) dan rumus ke-n dari pola bilangan. Representasi simbol, grafik, dan tabel yang digunakan siswa sesuai permasalahan. Siswa berkemampuan matematika sedang menggunakan representasi simbol dan grafik. Simbol yang digunakan siswa adalah persamaan yang tampak seperti PLDV di awal pengerjaan, namun di bagian akhir mengarah pada bentuk persamaan linear satu variabel. Grafik yang dilukis tidak mewakili permasalahan. Siswa berkemampuan matematika rendah menggunakan representasi simbol dan grafik. Simbol yang digunakan siswa terkait dengan persamaan linear satu variabel. Grafik yang dilukis tidak mewakili permasalahan sehingga solusi permasalahan tidak dapat diperoleh.

Kata Kunci: Representasi, Masalah Matematika, Kemampuan Matematika. Abstract

Representation and problem solving are two competence in which a goal in mathematics learning that it needs to developed. Representation is an expression of one’s ideas about something. Every student has a different method to express their ideas of problem. The representative which is used by pupils may be more than one within problem solving. Therefore it, needs to know how the representation of students in problem solving. Students require an external representation to communicate the idea so that someone else knows the problem solving steps. Level of mathematical ability is one of the factors that influence these differences. Representation in this search is external representation in problem solving as a result of the embodiment of mathematical ideas’s students.

This research is a descriptive qualitative research that aims to describe the representation of junior high school student in solving mathematics problem based on mathematical ability that use interview based on test methods. The consist of test is a mathematics problem abaout one variable linear equations topic. Subjects in this research are three students who that different mathematical ability and the same sex, it is man. Representation of students are classified into representation pictures, graphics, symbols, tables, and verbal.

The results showed that students who have high mathematical ability in solving the problem used symbols, graphs, and tables representations. Symbols Representation used in connection with two variable linear equations (PLDV) and formulas to-n of the pattern number. The symbol, graphic, and table representations are match with the problem. Students who have common mathematical ability used symbols and graphic representations. The symbol that used by students at the beginning looks like in the equation of PLDV, but at the leads to a linear equation from one variable. Graph painted not represent a problem. Students with low mathematical ability used symbols and graphic representations. Representation of symbols used is also associated with a linear equation of one variable. The graphical representation does not represent a problem, so the solution of problems couldn’t acquisitioned.

Keywords: Representation, Mathematics Problem, Mathematical Ability.

PENDAHULUAN

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang diajarkan di semua jenjang pendidikan, dari sekolah dasar hingga menengah. Adapun salah satu tujuan pembelajaran matematika untuk tingkat Sekolah Menengah Pertama (SMP) dalam Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) adalah agar siswa mampu memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. Selanjutnya, dalam salinan lampiran Permendikbud nomor 103 tahun 2014 juga dijelaskan bahwa agar benar-benar memahami dan dapat menerapkan pengetahuan, siswa perlu didorong untuk bekerja memecahkan masalah.

Sejalan dengan tujuan itu, National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) telah mencantumkan beberapa komponen kemampuan matematis yang harus dimiliki siswa antara lain kemampuan pemecahan masalah (problem solving), penalaran dan pembuktian (reasoning and proof), komunikasi (communication), koneksi (connection), dan representasi (representation). Berdasarkan uraian tersebut, terlihat bahwa kemampuan pemecahan masalah dan representasi merupakan bagian dari kurikulum matematika yang penting dalam proses pembelajaran matematika.

Pentingnya kemampuan pemecahan masalah diungkapkan oleh Schoenfeld (dalam Santia, 2015:366) yang mengemukakan bahwa “there is a general acceptance of the idea that primary goal of mathematics instruction should be to have students become competent problem solver”. Pernyataan tersebut bermakna bahwa pemecahan masalah harus menjadi fokus dari matematika sekolah dan tujuan utama dari pembelajaran matematika adalah menjadikan siswa memiliki kompetensi dalam memecahkan masalah.

Sejalan dengan itu, Ruseffendi (2006) mengemukakan pendapat bahwa kemampuan pemecahan masalah amatlah penting, bukan saja bagi mereka yang kemudian hari akan mendalami atau mempelajari matematika, namun juga bagi mereka yang akan menerapkannya dalam bidang studi lain dalam kehidupan sehari-hari. Berdasarkan berbagai pendapat tersebut, kemampuan pemecahan masalah harus dimiliki oleh siswa dengan harapan agar siswa bukan hanya mampu menghadapi atau menyelesaikan masalah dalam matematika saat proses pembelajaran tetapi juga dalam berbagai masalah kehidupan sehari-hari yang semakin kompleks. Sehingga, siswa akan mampu bersaing ditengah perkembangan zaman, khususnya dalam perkembangan teknologi modern. Hal ini tentu menjadi

kebutuhan setiap siswa. Dengan demikian, kemampuan pemecahan merupakan kemampuan yang menjadi fokus dalam proses pembelajaran yang perlu untuk ditingkatkan. Wujud peningkatan tersebut dapat dimulai dengan meningkatkan kemampuan representasi siswa.

Representasi yang dimunculkan siswa merupakan ide atau konsep matematika yang diungkapkan siswa sebagai alat yang dapat digunakan untuk menemukan solusi pemecahan masalah matematika (NCTM, 2000). Lebih detail, Goldin (2002) mengungkapkan bahwa representasi ide dapat dikatakan sebagai pengungkapan ide-ide matematika dengan menggunakan berbagai cara seperti: bahasa lisan, simbol, gambar, diagram, grafik atau menggunakan anggota fisik.

Berdasarkan laporan hasil Ujian Nasional SMP/MTs tahun pelajaran 2014/2015 yang dikeluarkan Badan Standar Nasional Pendidikan dan Pusat Penilaian Pendidikan Balitbang Kemendikbud, persentase penguasaan materi soal matematika pada indikator menyelesaikan masalah yang berkaitan persamaan linier atau pertidaksamaan linier satu variabel pada Provinsi Jawa Timur dan tingkat nasional masing-masing berturut-turut mencapai 60,70%, dan 52,54%. Hasil tersebut memperlihatkan bahwa tingkat kemampuan pemecahan masalah siswa terkait dalam masalah persamaan linier satu variabel masih cukup rendah.

Pada kurikulum 2013, materi persamaan linear satu variabel (PLSV) merupakan salah satu materi pada kelas VII SMP semester satu. Pada umumnya, siswa SMP sudah berusia 11 tahun ke atas. Menurut Piaget, pada usia tersebut siswa memasuki tahap operasi formal (formal operation) dimana siswa mulai mampu untuk berpikir abstrak. Salah satu ciri pada tahap ini adalah siswa mampu untuk mempertimbangkan suatu pemecahan masalah kehidupan sehari-hari. Dalam penelitian ini subjek yang akan diambil adalah siswa SMP kelas VIII. Pemilihan tersebut dilakukan dengan pertimbangan bahwa pada jenjang ini merupakan tahap dimana siswa berada tahap operasi formal dan dimungkinkan keragaman representasi oleh siswa sehingga perlu diketahui bagaimana siswa mempertimbangkan suatu pemecahan masalah matematika. Jika hal ini diketahui, maka akan memudahkan guru untuk merancang pembelajaran dengan memperhatikan kemampuan representasi siswa.

Representasi dalam pemecahan masalah matematika yang dimaksud dalam penelitian ini adalah representasi eksternal karena dalam menyelesaikan masalah, untuk berpikir tentang ide matematika yang memungkinkan pikiran seseorang bekerja atas ide tersebut (representasi internal) tidak dapat diamati disebabkan aktivitas dalam mental

(Sabirin, 2013). Sehingga siswa memerlukan representasi eksternal untuk mengkomunikasikan ide tersebut agar orang lain dapat mengetahui langkah solusi pemecahan masalah siswa.

Pada dasarnya, setiap siswa memiliki kemampuan yang berbeda-beda. Dalam suatu kelas, terdapat siswa yang memiliki kemampuan matematika tinggi, sedang maupun rendah. Sabirin (2013) menyatakan bahwa representasi sangat berperan dalam mengembangkan dan mengoptimalkan kemampuan matematika siswa. Hal itu, memperlihatkan bahwa kemampuan representasi berhubungan dengan kemampuan matematika siswa.

Berdasarkan uraian di atas, pertanyaan penelitian ini yaitu bagaimana representasi siswa SMP dalam memecahkan masalah matematika berdasarkan kemampuan matematika?

Sedangkan tujuan dari penelitian ini untuk mendeskripsikan representasi siswa SMP dalam memecahkan masalah matematika berdasarkan kemampuan matematika.

Representasi

Konsep tentang representasi merupakan salah satu konsep psikologi yang digunakan dalam pendidikan matematika untuk menjelaskan beberapa fenomena penting tentang cara berpikir anak-anak (Janvier dalam Radford, 2001). Secara sederhana Kalathil dan Sherin (2000) mengartikan representasi sebagai segala sesuatu yang dibuat siswa untuk mengeksternalisasikan dan memperlihatkan kerjanya. Dalam pengertian yang paling umum, Goldin (2002) menyatakan bahwa representasi adalah suatu konfigurasi (bentuk atau susunan) yang dapat menggambarkan, mewakili, atau melambangkan sesuatu dalam suatu cara. Selain itu, representasi juga dipandang sebagai model atau bentuk pengganti dari situasi masalah atau aspek dari situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi (Jones & Knuth, 2005). Berdasarkan pandangan dan beberapa definisi yang telah dikemukakan oleh para ahli tersebut, dapat disimpulkan bahwa representasi adalah ungkapan ide seseorang mengenai sesuatu.

Dalam pembelajaran matematika, representasi matematis merupakan salah satu kemampuan yang tercamtum dalam NCTM yang perlu dikembangkan. Representasi matematis merupakan ide atau konsep matematika yang diungkapkan siswa sebagai alat yang dapat digunakan untuk menemukan solusi pemecahan masalah matematika (NCTM, 2000). Selain itu, (Rangkuti, 2014) juga berpendapat bahwa representasi matematik merupakan penggambaran atau pengungkapan

dari ide atau gagasan yang termuat dalam situasi tertentu (dapat berupa masalah) yang ditampilkan siswa dalam bentuk beragam sebagai upaya mencari solusi dari masalah yang dihadapinya.

Representasi matematis yang dimaksud dalam penelitian ini adalah representasi eksternal dalam memecahkan masalah matematika. Istilah representasi eksternal merujuk ke pewujudan secara fisik, konfigurasi yang dapat diamati seperti kata-kata, grafik, gambar, persamaan. Itu menunjukkan bahwa wujud dari representasi eksternal dapat diamati oleh orang lain (Goldin & Kaput, 1996).

Beberapa penelitian telah mengkaji bentuk atau jenis representasi yang digunakan siswa dalam memecahkan masalah matematika. Pertama, Behr, et al (1987) mengidentifikasi lima jenis representasi yang berbeda yang terjadi dalam pembelajaran matematika dan pemecahan masalah. Tiga representasi yang terakhir menurut (Hwang, et al, 2007) merupakan jenis representasi yang lebih abstrak dan merupakan tingkat representasi yang lebih tinggi dalam memecahkan masalah matematika.

Tiga representasi yang dimaksud yaitu: (1) representasi gambar atau diagram adalah penerjemahan masalah matematik ke dalam gambar atau diagram, grafik juga termasuk dalam representasi jenis ini, (2) representasi verbal adalah penerjemahan sifat-sifat yang berhubungan dengan masalah matematika dalam bentuk kata-kata atau bahasa, dan (3) representasi simbol adalah penerjemahan masalah matematika dengan menggunakan rumus matematika (Hwang et al, 2007).

Sejalan dengan itu, Villegas, et al (2009) juga telah mempertimbangkan representasi eksternal untuk memecahkan masalah matematika (masalah optimasi) ke dalam tiga bentuk, antara lain (1) representasi verbal yang mencakup secara mendasar dari soal cerita yang dinyatakan secara tertulis maupun lisan, (2) representasi piktorial yang berupa gambar, diagram, atau grafik, serta (3) representasi simbolik yang dapat terdiri atas simbol aljabar, operasi dan tanda-tanda hubungannya, dan dapat pua berupa angka.

Pengelompokan jenis representasi oleh Behr, et al (1987) dan Villegas, et al (2009) sama halnya dengan pengelompokan dalam penelitian (Elia, 2004). Selanjutnya Gyamfi (1993) juga mendukung pengelompokan tersebut dengan menambahkan representasi bentuk tabel. Penambanhan tersebut sesuai dengan pembagian representasi yang termuat dalam OECD (2009:33) yang menyatakan bahwa “….This may include such representations as graphs, tables, charts, …”

Berdasarkan uraian di atas, peneliti merangkum representasi eksternal dalam memecahkan masalah matematika yang digunakan dalam penelitian ini ke dalam lima bentuk dengan indikator yang dijabarkan dalam tabel berikut.

Tabel 2.1 Indikator Representasi Eksternal

No

. RepresentasiJenis Indikator

1. Gambar

Sketsa yang menerangkan mengenai sesuatu

2. Grafik

Penyajian data yang menunjukkan dinamika permasalahan.

3. Simbol

Penggunaan variabel maupun konstanta dengan sejumlah operasi aljabar yang sesuai dengan permasalahan; penggunaan rumus matematika

4. Tabel

Susunan data dalam baris dan kolom yang berisikan kata-kata atau angka-angka, dan sebagainya.

5. Verbal

Penjelasan berupa kata-kata atau teks tertulis; bahasa yang digunakan siswa untuk menjelaskan sesuatu.

Pada dasarnya, tidak semua permasalahan dapat direpresentasikan ke dalam semua bentuk representasi secara bersamaan. Keputusan penggunaan suatu representasi dalam proses memecahkan masalah sangat penting karena representasi yang tepat akan membawa siswa ke dalam pemecahan masalah yang lebih sederhana dan mudah. Sesuai dengan pendapat Hudiono (2005) yang menyatakan bahwa dalam suatu masalah matematika yang dianggap rumit dan kompleks, bisa menjadi lebih sederhana jika strategi dan pemanfaatan representasi matematika yang digunakan sesuai dengan permasalahan tersebut.

Representasi dalam Pemecahan Masalah

Suatu masalah matematika yang kompleks dan abstrak akan dapat dengan mudah jika siswa menggunakan representasi yang tepat. Ini berarti terdapat keterkaitan yang erat antara representasi dan pemecahan masalah. Sesuai dengan pernyataan Jones (Setiyo, 2000:3), “Empirical studies suggest that mathematics problem solving competency depend on ones’s ability to think in term of different representational system during problem solving process”. Hal tersebut berarti bahwa dalam studi empirik menunjukkan bahwa kompetensi pemecahan masalah matematika bergantung pada kemampuan seseorang untuk berpikir tentang sistem

representasi yang berbeda selama proses memecahkan masalah.

Uraian tersebut didukung oleh Hudiono (2005) yang menyatakan bahwa kemampuan representasi matematika yang dimiliki seseorang, selain menunjukkan tingkat pemahaman, juga terkait erat dengan kemampuan pemecahan masalah dalam matematika. Lebih lanjut, Hal ini yang menjadikan representasi dan pemecahan masalah penting dan juga sebagai fokus dalam pembelajaran matematika. Dengan demikian, dalam pembelajaran matematika siswa bukan sekedar mencari jawaban yang benar dari suatu masalah, tetapi dengan menggunakan representasi siswa memahami bagaimana proses menemukan solusi untuk memecahkan masalah matematika.

Representasi dalam pemecahan masalah yang dimaksudkan dalam penelitian ini adalah penggunaan ide matematika yang ditransforamsikan siswa dalam bentuk gambar, grafik, simbol, tabel, atau representasi verbal dalam memecahkan masalah matematika.

Kemampuan Matematika

Dalam menghadapi suatu soal, pertanyaan maupun masalah, seseorang harus memiliki kemampuan, termasuk juga siswa. Harapannya yaitu agar masalah tersebut dapat terpecahkan atau terselesaikan. Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) kata kemampuan berarti kesanggupan; kecakapan; kekuatan. Menurut kamus wikipedia, kemampuan adalah sebuah penilaian terkini atas apa yang dapat dilakukan seseorang.

Robbinns & Judge (2008) menjelaskan bahwa kemampuan adalah sebuah penilaian atas apa yang dilakukan seseorang. Uno (2008) menyatakan kemampuan adalah merujuk pada kinerja seseorang dalam suatu pekerjaan yang bias dilihat dari pikiran, sikap, dan perilakunya. Selanjutnya, dalam National Assesment of Education Progress (NAEP) termuat pernyataan bahwa kemampuan matematika adalah kecakapan memahami konsep.

Dalam salinan permendiknas tahun 2006 termuat beberapa kemampuan matematika siswa berdasarkan penilaian pembelajaran matematika, antara lain: (1) pemahaman konsep, yaitu siswa mampu mendefinisikan konsep, (2) komunikasi, yaitu siswa mampu menyatakan dan menafsirkan gagasan matematika secara lisan, tertulis dan demonstrasi, dan (3) pemecahan masalah yang ditunjukkan apabila siswa cakap dalam memahami masalah, memilih strategi penyelesaian dan menyelesaikan masalah. Dari uraian di atas, kemampuan matematika yang dimaksud dalam penelitian ini adalah kemampuan individual yang diukur dari hasil skor yang diperoleh seseorang berdasarkan tes.

Dalam belajar matematika, setiap siswa mempunyai kemampuan yang berbeda-beda. Dalam suatu kelas, ada siswa yang berkemampuan tinggi, berkemampuan sedang, bahkan ada pula yang berkemampuan rendah. Pengelompokan siswa dalam tiga kelompok kemampuan matematika adalah sebagai berikut.

Tabel 2.3 Pengelompokan Kemampuan Matematika Siswa

Kemampuan Matematika Siswa

Tinggi Sedang Rendah

86

≤ skor tes ≤10075

<

skor tes

<

8 6 0≤ skor tes ≤

75

Hubungan Kemampuan Matematika dan Representasi

Kemampuan matematika dibutuhkan siswa dalam belajar matematika, terutama ketika merepresentasikan suatu masalah. Kemampuan matematika tersebut bisa meliputi pengetahuan, atau keterampilan dalam menguasai konsep-konsep matematika. Ini menunjukkan bahwa sedikit atau banyak kemampuan matematika membawa pengaruh pada representasi yang dimunculkan siswa. Hal itu sesuai dengan pernyataan Mandur (2013) yang menyatakan bahwa representasi matematis berkontribusi secara signifikan terhadap kemampuan matematika baik secara langsung maupun tidak langsung. Selain itu, Sabirin (2013) menyatakan bahwa representasi sangat berperan dalam mengembangkan dan mengoptimalkan kemampuan matematika siswa.

Sejalan dengan itu, Irawati (2014) mengungkapkan bahwa siswa yang mempunyai kemampuan representasi yang baik, cenderung bersikap positif terhadap matematika sehingga kemampuan matematikanya tinggi. Dengan demikian jelas bahwa terdapat hubungan antara kemampuan matematika dengan representasi. Keterkaitan pengaruh kemampuan matematika terhadap representasi siswa telah ditunjukkan pada hasil penelitian Astar (2014) bahwa tingkat matematika siswa mempunyai pengaruh yang yang cukup siginifikan terhadap representasi eksternal siswa dalam memecahkan masalah.

METODE

Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif kualitatif untuk mendeskripsikan representasi siswa SMP dalam memecahkan masalah matematika berdasarkan kemampuan matematika.

Penelitian ini dilaksanakan di kelas VIII-H SMP Negeri 26 Surabaya pada tanggal 19 dan 20 Mei 2016. Subjek penelitian terdiri dari tiga siswa (masing-masing berkemampuan matematika tinggi, sedang, dan rendah) dengan jenis kelamin sama.

Instrumen utama pada penelitian ini yaitu peneliti, dengan instrumen pendukung lembar tes kemampuan matematika, tes pemecahan masalah, dan pedoman wawancara berbasis tes. Teknik pengumpulan data yang dilakukan yaitu wawancara berbasis tes. Setiap subjek diberikan tes pemecahan masalah. Hasil tersebut digunakan sebagai bahan untuk menggali representasi siswa dalam memecahkan masalah. Teknik analisis representasi dari hasil wawancara berbasis tes dilakukan dengan tahap reduksi data, penyajian data, dab penarikan kesimpulan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Tes kemampuan matematika diberikan kepada siswa kelas VIII-H SMP Negeri 26 Surabaya. Dari hasil tes tersebut diperoleh satu siswa berkemampuan matematika tinggi, 23 siswa berkemampuan matematika sedang, dan 12 siswa berkemampuan rendah. Kemudian dipilih tiga siswa berjenis kelamin sama yang masing-masing berkemampuan berbeda dengan melibatkan rekomendasi dari guru mitra. Tiga subjek penelitian diberikan tes pemecahan masalah sebagai berikut.

Ali bekerja sebagai penjual koran di sebuah “Cahaya Pos” di kota tempat ia tinggal. Gaji yang akan diterima Ali tiap minggu dari hasil penjualan koran dirumuskan sebagai berikut.

1.000 rupiah per koran sampai 240 koran yang terjual per minggu, ditambah 2.000 rupiah per koran selebihnya yang terjual.

Jika biaya hidup Ali per minggu sebesar 600.000 rupiah, berapa minimal koran yang harus dijual Ali untuk memenuhi biaya hidupnya?

Jawablah pertanyaan tersebut dengan memberikan lebih dari satu cara penyelesaian!

Adapun beberapa kode yang digunakan dalam wawancara yaitu.

 Kode PX-i merupakan pertanyaan peneliti ke-i pada subjek berkemampuan matematika X.

 Kode SX-i merupakan jawaban subjek berkemampuan matematika X terhadap pertanyaan peneliti ke-i.

Representasi Siswa Berkemampuan Matematika Tinggi (ST) dalam Memecahkan Masalah Matematika

Subjek berkemampuan matematika matematika dalam memecahkan masalah menggunakan representasi simbol, grafik, dan tabel. Representasi simbol muncul dalam dua cara seperti gambar berikut.

117

Berdasarkan hasil pengerjaan ST, dalam memecahkan masalah subjek membuat pemisalan terlebih dahulu yaitu tanda berwarna merah merupakan pemisalan untuk gaji penjualan koran dan pemisalan untuk banyak koran dalam “x dan y”.

Setelah itu, subjek memeroleh sebuah persamaan

600.000

−(

xa

+

yb

)=

0

. Penggunaan simbol di awal kurang tepat namun di bagian akhir sudah sesuai dengan permasalahan. Kekurang tepatan tersebut karena adanya konstanta yang direpresentasikan sebagai variabel, yaitu pada langkah pengerjaan selanjutnya subjek menuliskan konstanta 240, 1.000, dan 2.000 dalam suatu variabel berturut-turut x, a, dan b. Sehingga. Dapat simpulkan bahwa representasi yang digunakan subjek termasuk alam representasi simbol.

Pada dasarnya, pemahaman ST sesuai dengan permasalahan. Jadi, meskipun penggunaan simbol di awal kurang tepat, namun di bagian akhir sudah sesuai dengan permasalahan. Melalui representasi simbol dalam bentuk persamaan linear dua variabel (PLDV) tersebut, subjek dapat menentukan dengan tepat penyelesaian solusi permasalahan.

Sedangkan, representasi simbol pada cara kedua yang digunakan subjek dutunjukkan gambar berikut.

Dalam memecahkan masalah subjek menggunakan rumus ke-n dariu pola bilangan. Subjek menjelaskan bahwa penulisan “n” mewakili jumlah koran dan “Un” mewakili gaji yang diterima Ali jika menjual n koran. Sesuai dalam wawancara dengan ST berikut ini.

PT-23: Kamu menuliskan n = jumlah koran maksudnya apa dek?

ST-23: Koran yang berhasil dijual.

PT-24: Mengapa kamu membedakan nilai n disini (menunjuk penulisan

n ≤

240

dan untuk

n

>

240

)?

ST-24 : Karena dihargai dengan harga yang beda.

PT-25 : Oke. Kamu menuliskan Un dalam cara ini maksudnya apa?

ST-25 : Un dalam permasalahan ini maksudnya itu gaji yang diterima Ali jika menjual n koran.

Untuk menentukan solusi permasalahan, subjek memutuskan untuk memilih rumus gaji untuk syarat

n

>

240

. Keputusan tersebut sudah tepat. Dapat disimpulkan bahwa representasi yang digunakan subjek merupakan representasi simbol.

Representasi simbol dalam rumus ke-n dari pola bilangan yang digunakan oleh ST benar dan jelas, serta dapat menunjukkan pengerjaan yang sistematis. Pemodelan permasalahan dalam rumus-rumus pola bilangan pun tepat dan menunjukkan bahwa ST telah berpikir analitis. Cara tersebut dapat merepresentasikan bentuk umum dari solusi permasalahan.

Gambar di bawah ini merupakan cara ketiga yang digunakan ST dalam memecahkan masalah.

Berdasarkan hasil pengerjaan ST, subjek terlebih dahulu menentukan angka 180, 200, sampai 460 pada garis yang mendatar (sumbu-x) yang mewakili jumlah koran dan 180.000 sampai 660.00 pada sumbu tegak (sumbu-y) untuk mewakili gaji (dalam ratusan ribu).

Subjek memberikan klarifikasi mengenai alasan menghubungkan antara titik yang satu dan yang lain dengan sebuah garis. Dapat dikatakan bahwa subjek memahami jika domain dari permasalahan ini adalah bilangan cacah. Solusi permasalahan dapat diperoleh subjek dengan tepat. Uraian di atas menunjukkan representasi yang digunakan subjek merupakan representasi grafik.

Pada representasi grafik, penamaan sumbu-sumbu koordinat oleh ST dapat mewakili permasalahan yang diberikan. Setiap titik-titik yang dilukis dalam grafik tepat dan sesuai dengan hubungan kedua sumbu koordinat. Jadi, representasi garfik yang digunakan subjek sesuai dengan permasalahan.

Setelah subjek memecahkan masalah dengan memberikan tiga macam cara penyelesaian, berdasarkan wawancara subjek dapat memberikan cara penyelesaian lain yang berbeda seperti gambar berikut.

Gambar 4.2 Cara II ST dalam memecahkan masalah

Berdasarkan hasil pengerjaan ST, tabel yang dibuat subjek terdiri dari dua kolom berturut-turut mewakili jumlah koran dan dan gaji. Subjek menentukan angka 0, 30, 60, dan seterusnya pada kolom pertama dari mencoba-coba kemungkinan banyak koran yang akan dijual.

Subjek juga telah memahami bahwa akan ada tambahan gaji sebesar 2000 rupiah ketika penjualan koran di atas 240. Hal itu ditunjukkan ketika subjek memasukkan data untuk penjualan koran di atas 240, subjek memulai dengan menggunakan data 241 agar terlihat jelas dalam kolom gaji bahwa satu koran yang lebih dari 240 dihargai sebesar 2000 rupiah. Sehingga, dapat disimpulkan bahwa representasi yang dimunculkan subjek adalah representasi tabel.

Pada representasi tabel, ST mampu menuliskan kepala tabel yang secara ringkas mewakili permasalahan. Data yang diisikan pada kolom tabel terlihat sistematis dan juga setiap data yang diisikan dalam baris tabel tepat serta menunjukkan kesesuaian antara lajur yang satu dengan yang lain.

Representasi Siswa Berkemampuan Matematika Sedang (SS) dalam Memecahkan Masalah Matematika

Subjek berkemampuan matematika sedang dalam memecahkan masalah menggunakan dua macam cara dengan dua representasi yaitu representasi simbol dan representasi grafik. Gambar di bawah merupakan cara pertama oleh SS.

Berdasarkan hasil pengerjaan SS, subjek terlebih dahulu membuat pemisalan

x

=

240

dan

B

=

¿

banyak koran yang harus dijual untuk menutupi kekurangan. Setelah itu, subjek menuliskan persamaan

1000

x

+

2000

B

=

600.000

.

Di awal penulisan, persamaan tersebut tampak seperti menggunakan dua varibel, namun pada dasarnya persamaan yang dimaksud subjek dalam cara ini mengarah pada persamaan yang hanya melibatkan satu

variabel saja yaitu variabel “

B

”. Hal itu terlihat pada langkah pengerjaan subjek selanjutnya, yaitu mengganti x dengan 240. Dapat disimpulkan bahwa representasi yang dimunculkan subejek termasuk dalam representasi simbol.

Gambar berikut ini merupakan cara kedua SS dalam memecahkan masalah.

Berdasarkan hasil pengerjaan SS, garis mendatar (sumbu horizontal) pada grafik bertuliskan keterangan hari ke-1 sampai hari ke-7 dan garis tegak (sumbu vertikal) bertuliskan keterangan banyak koran. Subjek menentukan titik-titik yang menandakan hubungkan antara hari dengan banyak koran.

Angka-angka yang ditentukan subjek sebagai penanda banyak koran yang terjual pada garis vertikal hanya sebagai pemisalan saja. Grafik yang dibuat oleh SS belum mereperesentasikan permasalahan. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan representasi subjek dalam menemukan solusi permasalahan adalah representasi grafik.

Dari kedua representasi yang dimunculkan, SS memiliki pemahaman yang kurang sesuai dengan permasalahan. Di awal pengerjaan, persamaan yang ditulis SS tampak seperti menggunakan dua variabel. Namun, di akhir penyelesaian hanya menggunakan satu variabel saja karena ada variabel yang diganti dengan konstanta. Simbol yang digunakan SS dikatakan tepat hanya untuk keperluan penyelesaian permasalahan, namun pemahaman secara kesuluruhan belum sesuai dengan permasalahan. Meskipun solusi permasalahan diperoleh dengan tepat, dalam langkah pengerjaannya berawal dari pemahaman yang kurang sesuai dengan permasalahan.

Sedangkan, pada representasi grafik sumbu-sumbu koordinat belum mewakili permasalahan yang diberikan. Titik-titik koordinat dalam grafik juga tidak menunjukkan hubungan antara sumbu koordinat yang satu dengan yang lain. Meskipun SS menemukan solusi permasalahan dengan tepat, namun SS melakukan tambahan cara sebagai pelengkap grafik yang dibuat agar mendapat solusi yang sesuai.

119

Gambar 4.6 Cara II SS dalam memecahkan masalah

Gambar 4.4 Cara IV STdalam memecahkan masalah

Representasi Siswa Berkemampuan Matematika Rendah (SR) dalam Memecahkan Masalah Matematika

Subjek berkemampuan matematika rendah dalam memecahkan masalah menggunakan dua macam cara dengan dua representasi yaitu representasi simbol dan representasi grafik. Cara pertama oleh SR ditunjukkan pada gambar berikut.

Berdasarkan pengerjaan SR, subjek membuat suatu pemodelan yang dapat mewakili hasil hasil pengerjaan sebelumnya. Subjek membuat pemisalan x = biaya dan y = koran.

Kemudian subjek menuliskan persamaan

1000

(

240

)

+

2000

y

=

600.000

. Sebenarnya, persamaan tersebut kurang sesuai dengan pemisalan yang dibuat subjek sebelumnya. Hal ini dikarenakan subjek langsung mensubtitusikan gaji per koran yaitu 1000 untuk 240 koran yang terjual dan 2000 untuk koran yang terjual di atas 240 pada baris pertama dari pemodelan tersebut. Dari uraian di atas, dalam langkah pengerjaan pada cara I, subjek menggunakan satu variabel yaitu “y” pada suatu persamaan dan dapat disimpulkan bahwa representasi yang muncul pada cara I oleh SR adalah representasi simbol.

Pada representasi simbol, SR hanya memahami simbol yang digunakan untuk perolehan penyelesaian permasalahan. Selain itu, pengerjaan SR memperlihatkan ketidaksistematisan karena perolehan solusi permasalahan belum sepenuhnya menunjukkan keterurutan yang jelas.

Gambar di bawah ini merupakan cara kedua oleh SR dalam memecahkan masalah.

Berdasarkan hasil pengerjaan SR, subjek membuat suatu grafik dalam menemukan jawaban atau solusi permasalahan. Dalam grafik tersebut, sumbu mendatar

mewakili jumlah koran dan sumbu tegak mewakili harga per koran. Terdapat dua titik dalam grafik tersebut yaitu titik (240,1000) dan (420,2000). Masing-masing dari dua titik tersebut diberi keterangan hasil perkalian antara absis dan ordinat dari setiap titik. Lalu, subjek menghubungkan dua titik tersebut dengan garis yang menandakan suatu peningkatan penjualan banyak koran.

Grafik tersebut tidak mewakili permasalahan karena titik yang dilukis tidak menunjukkan hubungan antara banyak koran yang dijual dengan gaji yang diperoleh. Subjek juga tidak memberikan klarifikasi pembetulan mengenai penggunaan garis tersebut. Uraian tersebut menunjukkan bahwa representasi yang dimunculkan subjek termasuk representasi grafik.

Grafik yang dibuat subjek belum mewakili permasalahan. SR hanya menggambarkan dua titik yang mewakili salinan solusi permasalahan yang diperoleh dari representasi simbol sebelumnya. Titik tersebut tidak menunjukkan hubungan antara sumbu koordinat yang satu dengan yang lain. Meskipun SR memberikan alasan terkait dengan dua titik yang dihubungkan dengan suatu garis, namun SR tidak memberikan atau menunjukkan konfirmasi atau klarifikasi pembetulan dari hal tersebut. Oleh karena itu, SR juga tidak dapat menemukan solusi permasalahan dari grafik yang dibuat.

Persamaan dan Perbedaan Representasi antara ST, SS, dan SR

Dari beragam representasi yang dimunculkan ketiga subjek, terdapat dua representasi yang sama yaitu representasi simbol dan grafik. Meskipun demikian, terdapat perbedaan simbol dan grafik yang digunakan.

Pada representasi simbol, ST memunculkan sebanyak dua kali dalam dua macam cara. Untuk representasi simbol pertama, dapat dikatakan bahwa ST kurang tepat dalam menyimbolkan permasalahan karena terdapat konstanta yang direpresentasikan sebagai variabel. Namun, ST memahami makna simbol yang digunakan. Pemahaman tersebut lebih tampak jelas dan sistematis pada representasi simbol kedua serta diperkuat dengan perolehan ketepatan solusi permasalahan.

Akan tetapi representasi simbol yang dibuat oleh SS terhadap permasalahan dikatakan tepat untuk keperluan penyelesaian permasalahan saja. Namun, pemahaman SS terhadap permasalahan secara kesuluruhan tidak sesuai. Begitu pula dengan SR yang memahami makna simbol yang digunakan untuk penyelesaian permasalahan saja dan solusi permasalahan yang diperoleh tepat.

Jadi, meskipun antara subjek berkemampuan matematika tinggi, sedang, maupun rendah memunculkan representasi simbol dan memeroleh solusi permasalahan yang tepat, namun jika dibandingkan dengan kedua subjek yang lain, hanya ST yang menunjukkan pemahaman yang tepat terhadap makna simbol maupun terhadap permasalahan yang diberikan.

Gambar 4.7 Cara I SR dalam memecahkan masalah

Pada representasi grafik, ST dapat merepresentasikan penyelesaian masalah menggunakan grafik dengan benar. Solusi permasalahan juga dapat diperoleh ST dari grafik tersebut. Pada wawancara, ST juga memberikan alasan atau klarifikasi pembetulan melalui pernyataan yang logis dari bagian grafik yang telah dilukis. Sedangkan, representasi grafik yang dibuat oleh SS tidak dapat mewakili permasalahan. Ini disebabkan karena pemahaman SS mengenai permasalahan dari awal sudah tidak sesuai. SS tidak memberikan klarifikasi pembetulan terhadap grafik yang telah dilukis. Sama halnya dengan SS, grafik yang dibuat SR tidak mewakili permasalahan sehingga solusi permasalahan juga tidak bisa diperoleh melalui grafik tersebut.

Jadi, meskipun ketiga subjek memunculkan representasi grafik, namun hanya grafik ST yang dapat mewakili permasalahan dengan benar dan dapat menunjang perolehan solusi permasalahan. Sesuai dengan hasil penelitian Sukayasa (2011) bahwa siswa-siswa berkemampuan matematika tinggi lebih mampu menganalisis dan mengklarifikasi pernyataan-pernyataan dengan logis, serta lebih mampu menerapkan ide-idenya dengan baik untuk memecahkan masalah dibandingkan siswa berkemampuan matematika sedang dan rendah.

Terdapat satu representasi yang hanya dimunculkan oleh ST yaitu representasi tabel. Tabel yang dibuat ST tepat dan dapat mewakili permasalahan. Data yang disajikan dalam setiap baris tepat dan sesuai antara lajur satu dengan yang lain. ST juga dapat memahami maksud dari setiap data yang dituliskan dalam tabel tersebut. Secara kesuluruhan, representasi yang dimunculkan ST lebih beragam dibanding SS dan SR.

PENUTUP Simpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat disimpulkan deskripsi representasi siswa dalam memecahkan masalah matematika berdasarkan kemampuan matematika sebagai berikut.

1. Siswa yang berkemampuan matematika tinggi dalam memecahkan masalah menggunakan representasi si mbol, grafik, dan tabel. Representasi simbol yang digunakan terkait dengan persamaan linear dua variabel (PLDV) dan rumus ke-n dari pola bilangan. Representasi simbol, grafik, dan tabel yang digunakan siswa sesuai permasalahan.

2. Siswa berkemampuan matematika sedang menggunakan representasi simbol dan grafik. Simbol yang digunakan siswa adalah persamaan yang tampak seperti PLDV di awal pengerjaan, namun di bagian akhir mengarah pada bentuk persamaan linear

satu variabel. Grafik yang dilukis tidak mewakili permasalahan.

3. Siswa berkemampuan matematika rendah menggunakan representasi simbol dan grafik. Simbol yang digunakan siswa terkait dengan persamaan linear satu variabel. Grafik yang dilukis tidak mewakili permasalahan sehingga solusi permasalahan tidak dapat diperoleh

Saran

Berdasarkan Setelah melakukan penelitian, terlihat bahwa baik siswa yang berkemampuan tinggi, sedang, maupun rendah dalam memecahkan masalah lebih memilih menggunakan representasi simbol pada awal pengerjaan. Hal itu dimungkinkan karena pengaruh dari cara yang diajarkan oleh guru selama proses pembelajaran di kelas. Oleh karena itu, peneliti memberikan saran agar siswa dilatih untuk menyelesaikan permasalahan dengan merepresentasikan ide yang dimiliki dalam bentuk apa saja.

DAFTAR PUSTAKA

Dirjen DIkti. 2006. Permendiknas No. 22 Tahun 2006 tentang standar Isi untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah (Lampiran). Jakarta: Depdiknas.

Gyamfi, Kwaku Adu. 1993. External Multiple Representations In Mathematics Teaching. North Carolina: North Carolina State University.

Goldin, G. A. 2002. Representation in Mathematical Learning and Problem Solving. In L. D. English (Ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education .pp. 197-218. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Goldin, G. A., & Kaput J. J. (1996). A joint perspective

on the idea of representations in learning and doing mathematics. In S. P., Leslie & N. Pearla (Eds.), Theories of mathematical learning. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Hudiono, Bambang. 2010. “Peran Pembelajaran

Diskursus Multirepresentasi terhadap Pengembangan Kemampuan Matematik dan Daya Representasi pada Siswa SLTP”. Jurnal Cakrawala Kependidikan. Vol. 8 (2): hal 101-203.

Hwang, W.-Y., Chen, N.-S., Dung, J.-J., & Yang, Y.-L. (2007). “Multiple Representation Skills and Creativity Effects on Mathematical Problem 121

Solving using a Multimedia Whiteboard System”. Educational Technology & Society. Vol. 10 (2): pp 191-212.

Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987b). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning ofMathematics (pp. 33-40). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.. NAEP. 2000. Mathematics framework for the 1996 and 2000. Washington: Nattional Assenment of Educational Progress.

National Council of Teachers of Mathematics. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.

Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum SMP.

Rangkuti, Ahmad Nizar. 2014. “Representasi Matematis”. Forum Pedagodik. Vol VI (01): hal 110-127. Uno, Hamzah B. 2008. Teori Motivasi Dan

Pengukurannya Analisis Di Bidang Pendidikan. Jakarta: Bumi Aksara

Villegas, José L., Castro, Enrique, and Gutierrez, Jose. 2009. “Representations in problem solving: a case study with optimization problems”. Electronic Journal of Research in Educational Psychology. Vol. 7 (1): pp 279-308.

Dalam belajar matematika, setiap siswa mempunyai kemampuan yang berbeda-beda. Dalam suatu kelas, ada siswa yang berkemampuan tinggi, berkemampuan sedang, bahkan ada pula yang berkemampuan rendah. Pengelompokan siswa dalam tiga kelompok kemampuan matematika adalah sebagai berikut.

Tabel 2.3 Pengelompokan Kemampuan Matematika Siswa

Kemampuan Matematika Siswa

Tinggi Sedang Rendah

86

≤ skor tes ≤10075

<

skor tes<

8 6 0≤ skor tes ≤

75

Hubungan Kemampuan Matematika dan Representasi

Kemampuan matematika dibutuhkan siswa dalam belajar matematika, terutama ketika merepresentasikan suatu masalah. Kemampuan matematika tersebut bisa meliputi pengetahuan, atau keterampilan dalam menguasai konsep-konsep matematika. Ini menunjukkan bahwa sedikit atau banyak kemampuan matematika membawa pengaruh pada representasi yang dimunculkan siswa. Hal itu sesuai dengan pernyataan Mandur (2013) yang menyatakan bahwa representasi matematis berkontribusi secara signifikan terhadap kemampuan matematika baik secara langsung maupun tidak langsung. Selain itu, Sabirin (2013) menyatakan bahwa representasi sangat berperan dalam mengembangkan dan mengoptimalkan kemampuan matematika siswa.

Sejalan dengan itu, Irawati (2014) mengungkapkan bahwa siswa yang mempunyai kemampuan representasi yang baik, cenderung bersikap positif terhadap matematika sehingga kemampuan matematikanya tinggi. Dengan demikian jelas bahwa terdapat hubungan antara kemampuan matematika dengan representasi. Keterkaitan pengaruh kemampuan matematika terhadap representasi siswa telah ditunjukkan pada hasil penelitian Astar (2014) bahwa tingkat matematika siswa mempunyai pengaruh yang yang cukup siginifikan terhadap representasi eksternal siswa dalam memecahkan masalah.

METODE

Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif kualitatif untuk mendeskripsikan representasi siswa SMP dalam memecahkan masalah matematika berdasarkan kemampuan matematika.

Penelitian ini dilaksanakan di kelas VIII-H SMP Negeri 26 Surabaya pada tanggal 19 dan 20 Mei 2016. Subjek penelitian terdiri dari tiga siswa (masing-masing berkemampuan matematika tinggi, sedang, dan rendah) dengan jenis kelamin sama.

Instrumen utama pada penelitian ini yaitu peneliti, dengan instrumen pendukung lembar tes kemampuan matematika, tes pemecahan masalah, dan pedoman wawancara berbasis tes. Teknik pengumpulan data yang dilakukan yaitu wawancara berbasis tes. Setiap subjek diberikan tes pemecahan masalah. Hasil tersebut digunakan sebagai bahan untuk menggali representasi siswa dalam memecahkan masalah. Teknik analisis representasi dari hasil wawancara berbasis tes dilakukan dengan tahap reduksi data, penyajian data, dab penarikan kesimpulan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Tes kemampuan matematika diberikan kepada siswa kelas VIII-H SMP Negeri 26 Surabaya. Dari hasil tes tersebut diperoleh satu siswa berkemampuan matematika tinggi, 23 siswa berkemampuan matematika sedang, dan 12 siswa berkemampuan rendah. Kemudian dipilih tiga siswa berjenis kelamin sama yang masing-masing berkemampuan berbeda dengan melibatkan rekomendasi dari guru mitra. Tiga subjek penelitian diberikan tes pemecahan masalah sebagai berikut.

Ali bekerja sebagai penjual koran di sebuah “Cahaya Pos” di kota tempat ia tinggal. Gaji yang akan diterima Ali tiap minggu dari hasil penjualan koran dirumuskan sebagai berikut.

1.000 rupiah per koran sampai 240 koran yang terjual per minggu, ditambah 2.000 rupiah per koran selebihnya yang terjual.

Jika biaya hidup Ali per minggu sebesar 600.000 rupiah, berapa minimal koran yang harus dijual Ali untuk memenuhi biaya hidupnya?

Jawablah pertanyaan tersebut dengan memberikan lebih dari satu cara penyelesaian!

Adapun beberapa kode yang digunakan dalam wawancara yaitu.

 Kode PX-i merupakan pertanyaan peneliti ke-i pada subjek berkemampuan matematika X.

 Kode SX-i merupakan jawaban subjek berkemampuan matematika X terhadap pertanyaan peneliti ke-i.

Representasi Siswa Berkemampuan Matematika Tinggi (ST) dalam Memecahkan Masalah Matematika

Subjek berkemampuan matematika matematika dalam memecahkan masalah menggunakan representasi simbol, grafik, dan tabel. Representasi simbol muncul dalam dua cara seperti gambar berikut.

Berdasarkan hasil pengerjaan ST, dalam memecahkan masalah subjek membuat pemisalan terlebih dahulu yaitu tanda berwarna merah merupakan pemisalan untuk gaji penjualan koran dan pemisalan untuk banyak koran dalam “x dan y”.

Setelah itu, subjek memeroleh sebuah persamaan

600.000

−(

xa+

yb)=

0

. Penggunaan simbol di awal kurang tepat namun di bagian akhir sudah sesuai dengan permasalahan. Kekurang tepatan tersebut karena adanya konstanta yang direpresentasikan sebagai variabel, yaitu pada langkah pengerjaan selanjutnya subjek menuliskan konstanta 240, 1.000, dan 2.000 dalam suatu variabel berturut-turut x, a, dan b. Sehingga. Dapat simpulkan bahwa representasi yang digunakan subjek termasuk alam representasi simbol.

Pada dasarnya, pemahaman ST sesuai dengan permasalahan. Jadi, meskipun penggunaan simbol di awal kurang tepat, namun di bagian akhir sudah sesuai dengan permasalahan. Melalui representasi simbol dalam bentuk persamaan linear dua variabel (PLDV) tersebut, subjek dapat menentukan dengan tepat penyelesaian solusi permasalahan.

Sedangkan, representasi simbol pada cara kedua yang digunakan subjek dutunjukkan gambar berikut.

Dalam memecahkan masalah subjek menggunakan rumus ke-n dariu pola bilangan. Subjek menjelaskan bahwa penulisan “n” mewakili jumlah koran dan “Un” mewakili gaji yang diterima Ali jika menjual n koran. Sesuai dalam wawancara dengan ST berikut ini.

PT-23: Kamu menuliskan n = jumlah koran maksudnya apa dek?

ST-23: Koran yang berhasil dijual.

PT-24: Mengapa kamu membedakan nilai n disini (menunjuk penulisan

n ≤

240

dan untuk

n>240

)?

ST-24 : Karena dihargai dengan harga yang beda.

PT-25 : Oke. Kamu menuliskan Un dalam cara ini maksudnya apa?

ST-25 : Un dalam permasalahan ini maksudnya itu gaji yang diterima Ali jika menjual n koran.

Untuk menentukan solusi permasalahan, subjek memutuskan untuk memilih rumus gaji untuk syarat

n>240

. Keputusan tersebut sudah tepat. Dapat disimpulkan bahwa representasi yang digunakan subjek merupakan representasi simbol.

Representasi simbol dalam rumus ke-n dari pola bilangan yang digunakan oleh ST benar dan jelas, serta dapat menunjukkan pengerjaan yang sistematis. Pemodelan permasalahan dalam rumus-rumus pola bilangan pun tepat dan menunjukkan bahwa ST telah berpikir analitis. Cara tersebut dapat merepresentasikan bentuk umum dari solusi permasalahan.

Gambar di bawah ini merupakan cara ketiga yang digunakan ST dalam memecahkan masalah.

Berdasarkan hasil pengerjaan ST, subjek terlebih dahulu menentukan angka 180, 200, sampai 460 pada garis yang mendatar (sumbu-x) yang mewakili jumlah koran dan 180.000 sampai 660.00 pada sumbu tegak (sumbu-y) untuk mewakili gaji (dalam ratusan ribu).

Subjek memberikan klarifikasi mengenai alasan menghubungkan antara titik yang satu dan yang lain dengan sebuah garis. Dapat dikatakan bahwa subjek memahami jika domain dari permasalahan ini adalah bilangan cacah. Solusi permasalahan dapat diperoleh subjek dengan tepat. Uraian di atas menunjukkan representasi yang digunakan subjek merupakan representasi grafik.

Pada representasi grafik, penamaan sumbu-sumbu koordinat oleh ST dapat mewakili permasalahan yang diberikan. Setiap titik-titik yang dilukis dalam grafik tepat dan sesuai dengan hubungan kedua sumbu koordinat. Jadi, representasi garfik yang digunakan subjek sesuai dengan permasalahan.

Setelah subjek memecahkan masalah dengan memberikan tiga macam cara penyelesaian, berdasarkan wawancara subjek dapat memberikan cara penyelesaian lain yang berbeda seperti gambar berikut.

Gambar 4.2 Cara II ST dalam memecahkan masalah

Berdasarkan hasil pengerjaan ST, tabel yang dibuat subjek terdiri dari dua kolom berturut-turut mewakili jumlah koran dan dan gaji. Subjek menentukan angka 0, 30, 60, dan seterusnya pada kolom pertama dari mencoba-coba kemungkinan banyak koran yang akan dijual.

Subjek juga telah memahami bahwa akan ada tambahan gaji sebesar 2000 rupiah ketika penjualan koran di atas 240. Hal itu ditunjukkan ketika subjek memasukkan data untuk penjualan koran di atas 240, subjek memulai dengan menggunakan data 241 agar terlihat jelas dalam kolom gaji bahwa satu koran yang lebih dari 240 dihargai sebesar 2000 rupiah. Sehingga, dapat disimpulkan bahwa representasi yang dimunculkan subjek adalah representasi tabel.

Pada representasi tabel, ST mampu menuliskan kepala tabel yang secara ringkas mewakili permasalahan. Data yang diisikan pada kolom tabel terlihat sistematis dan juga setiap data yang diisikan dalam baris tabel tepat serta menunjukkan kesesuaian antara lajur yang satu dengan yang lain.

Representasi Siswa Berkemampuan Matematika Sedang (SS) dalam Memecahkan Masalah Matematika

Subjek berkemampuan matematika sedang dalam memecahkan masalah menggunakan dua macam cara dengan dua representasi yaitu representasi simbol dan representasi grafik. Gambar di bawah merupakan cara pertama oleh SS.

Berdasarkan hasil pengerjaan SS, subjek terlebih dahulu membuat pemisalan

x=240

dan

B=¿

banyak koran yang harus dijual untuk menutupi kekurangan. Setelah itu, subjek menuliskan persamaan

1000

x

+

2000

B=

600.000

.

Di awal penulisan, persamaan tersebut tampak seperti menggunakan dua varibel, namun pada dasarnya persamaan yang dimaksud subjek dalam cara ini mengarah pada persamaan yang hanya melibatkan satu

variabel saja yaitu variabel “

B

”. Hal itu terlihat pada langkah pengerjaan subjek selanjutnya, yaitu mengganti

x dengan 240. Dapat disimpulkan bahwa representasi yang dimunculkan subejek termasuk dalam representasi simbol.

Gambar berikut ini merupakan cara kedua SS dalam memecahkan masalah.

Berdasarkan hasil pengerjaan SS, garis mendatar (sumbu horizontal) pada grafik bertuliskan keterangan hari ke-1 sampai hari ke-7 dan garis tegak (sumbu vertikal) bertuliskan keterangan banyak koran. Subjek menentukan titik-titik yang menandakan hubungkan antara hari dengan banyak koran.

Angka-angka yang ditentukan subjek sebagai penanda banyak koran yang terjual pada garis vertikal hanya sebagai pemisalan saja. Grafik yang dibuat oleh SS belum mereperesentasikan permasalahan. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan representasi subjek dalam menemukan solusi permasalahan adalah representasi grafik.

Dari kedua representasi yang dimunculkan, SS memiliki pemahaman yang kurang sesuai dengan permasalahan. Di awal pengerjaan, persamaan yang ditulis SS tampak seperti menggunakan dua variabel. Namun, di akhir penyelesaian hanya menggunakan satu variabel saja karena ada variabel yang diganti dengan konstanta. Simbol yang digunakan SS dikatakan tepat hanya untuk keperluan penyelesaian permasalahan, namun pemahaman secara kesuluruhan belum sesuai dengan permasalahan. Meskipun solusi permasalahan diperoleh dengan tepat, dalam langkah pengerjaannya berawal dari pemahaman yang kurang sesuai dengan permasalahan.

Sedangkan, pada representasi grafik sumbu-sumbu koordinat belum mewakili permasalahan yang diberikan. Titik-titik koordinat dalam grafik juga tidak menunjukkan hubungan antara sumbu koordinat yang satu dengan yang lain. Meskipun SS menemukan solusi permasalahan dengan tepat, namun SS melakukan tambahan cara sebagai pelengkap grafik yang dibuat agar mendapat solusi yang sesuai.

Gambar 4.6 Cara II SS dalam memecahkan masalah Gambar 4.4 Cara IV STdalam memecahkan masalah

Representasi Siswa Berkemampuan Matematika Rendah (SR) dalam Memecahkan Masalah Matematika

Subjek berkemampuan matematika rendah dalam memecahkan masalah menggunakan dua macam cara dengan dua representasi yaitu representasi simbol dan representasi grafik. Cara pertama oleh SR ditunjukkan pada gambar berikut.

Berdasarkan pengerjaan SR, subjek membuat suatu pemodelan yang dapat mewakili hasil hasil pengerjaan sebelumnya. Subjek membuat pemisalan x = biaya dan y

= koran.

Kemudian subjek menuliskan persamaan

1000

(

240

)

+2000

y=600.000

. Sebenarnya, persamaan tersebut kurang sesuai dengan pemisalan yang dibuat subjek sebelumnya. Hal ini dikarenakan subjek langsung mensubtitusikan gaji per koran yaitu 1000 untuk 240 koran yang terjual dan 2000 untuk koran yang terjual di atas 240 pada baris pertama dari pemodelan tersebut. Dari uraian di atas, dalam langkah pengerjaan pada cara I, subjek menggunakan satu variabel yaitu “y” pada suatu persamaan dan dapat disimpulkan bahwa representasi yang muncul pada cara I oleh SR adalah representasi simbol.

Pada representasi simbol, SR hanya memahami simbol yang digunakan untuk perolehan penyelesaian permasalahan. Selain itu, pengerjaan SR memperlihatkan ketidaksistematisan karena perolehan solusi permasalahan belum sepenuhnya menunjukkan keterurutan yang jelas.

Gambar di bawah ini merupakan cara kedua oleh SR dalam memecahkan masalah.

Berdasarkan hasil pengerjaan SR, subjek membuat suatu grafik dalam menemukan jawaban atau solusi permasalahan. Dalam grafik tersebut, sumbu mendatar

mewakili jumlah koran dan sumbu tegak mewakili harga per koran. Terdapat dua titik dalam grafik tersebut yaitu titik (240,1000) dan (420,2000). Masing-masing dari dua titik tersebut diberi keterangan hasil perkalian antara absis dan ordinat dari setiap titik. Lalu, subjek menghubungkan dua titik tersebut dengan garis yang menandakan suatu peningkatan penjualan banyak koran.

Grafik tersebut tidak mewakili permasalahan karena titik yang dilukis tidak menunjukkan hubungan antara banyak koran yang dijual dengan gaji yang diperoleh. Subjek juga tidak memberikan klarifikasi pembetulan mengenai penggunaan garis tersebut. Uraian tersebut menunjukkan bahwa representasi yang dimunculkan subjek termasuk representasi grafik.

Grafik yang dibuat subjek belum mewakili permasalahan. SR hanya menggambarkan dua titik yang mewakili salinan solusi permasalahan yang diperoleh dari representasi simbol sebelumnya. Titik tersebut tidak menunjukkan hubungan antara sumbu koordinat yang satu dengan yang lain. Meskipun SR memberikan alasan terkait dengan dua titik yang dihubungkan dengan suatu garis, namun SR tidak memberikan atau menunjukkan konfirmasi atau klarifikasi pembetulan dari hal tersebut. Oleh karena itu, SR juga tidak dapat menemukan solusi permasalahan dari grafik yang dibuat.

Persamaan dan Perbedaan Representasi antara ST, SS, dan SR

Dari beragam representasi yang dimunculkan ketiga subjek, terdapat dua representasi yang sama yaitu representasi simbol dan grafik. Meskipun demikian, terdapat perbedaan simbol dan grafik yang digunakan.

Pada representasi simbol, ST memunculkan sebanyak dua kali dalam dua macam cara. Untuk representasi simbol pertama, dapat dikatakan bahwa ST kurang tepat dalam menyimbolkan permasalahan karena terdapat konstanta yang direpresentasikan sebagai variabel. Namun, ST memahami makna simbol yang digunakan. Pemahaman tersebut lebih tampak jelas dan sistematis pada representasi simbol kedua serta diperkuat dengan perolehan ketepatan solusi permasalahan.

Akan tetapi representasi simbol yang dibuat oleh SS terhadap permasalahan dikatakan tepat untuk keperluan penyelesaian permasalahan saja. Namun, pemahaman SS terhadap permasalahan secara kesuluruhan tidak sesuai. Begitu pula dengan SR yang memahami makna simbol yang digunakan untuk penyelesaian permasalahan saja dan solusi permasalahan yang diperoleh tepat.

Jadi, meskipun antara subjek berkemampuan matematika tinggi, sedang, maupun rendah memunculkan representasi simbol dan memeroleh solusi permasalahan yang tepat, namun jika dibandingkan dengan kedua subjek yang lain, hanya ST yang menunjukkan pemahaman yang tepat terhadap makna simbol maupun terhadap permasalahan yang diberikan.

Gambar 4.7 Cara I SR dalam memecahkan masalah

Pada representasi grafik, ST dapat merepresentasikan penyelesaian masalah menggunakan grafik dengan benar. Solusi permasalahan juga dapat diperoleh ST dari grafik tersebut. Pada wawancara, ST juga memberikan alasan atau klarifikasi pembetulan melalui pernyataan yang logis dari bagian grafik yang telah dilukis. Sedangkan, representasi grafik yang dibuat oleh SS tidak dapat mewakili permasalahan. Ini disebabkan karena pemahaman SS mengenai permasalahan dari awal sudah tidak sesuai. SS tidak memberikan klarifikasi pembetulan terhadap grafik yang telah dilukis. Sama halnya dengan SS, grafik yang dibuat SR tidak mewakili permasalahan sehingga solusi permasalahan juga tidak bisa diperoleh melalui grafik tersebut.

Jadi, meskipun ketiga subjek memunculkan representasi grafik, namun hanya grafik ST yang dapat mewakili permasalahan dengan benar dan dapat menunjang perolehan solusi permasalahan. Sesuai dengan hasil penelitian Sukayasa (2011) bahwa siswa-siswa berkemampuan matematika tinggi lebih mampu menganalisis dan mengklarifikasi pernyataan-pernyataan dengan logis, serta lebih mampu menerapkan ide-idenya dengan baik untuk memecahkan masalah dibandingkan siswa berkemampuan matematika sedang dan rendah.

Terdapat satu representasi yang hanya dimunculkan oleh ST yaitu representasi tabel. Tabel yang dibuat ST tepat dan dapat mewakili permasalahan. Data yang disajikan dalam setiap baris tepat dan sesuai antara lajur satu dengan yang lain. ST juga dapat memahami maksud dari setiap data yang dituliskan dalam tabel tersebut. Secara kesuluruhan, representasi yang dimunculkan ST lebih beragam dibanding SS dan SR.

PENUTUP Simpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat disimpulkan deskripsi representasi siswa dalam memecahkan masalah matematika berdasarkan kemampuan matematika sebagai berikut.

1. Siswa yang berkemampuan matematika tinggi dalam memecahkan masalah menggunakan representasi si mbol, grafik, dan tabel. Representasi simbol yang digunakan terkait dengan persamaan linear dua variabel (PLDV) dan rumus ke-n dari pola bilangan. Representasi simbol, grafik, dan tabel yang digunakan siswa sesuai permasalahan.

2. Siswa berkemampuan matematika sedang menggunakan representasi simbol dan grafik. Simbol yang digunakan siswa adalah persamaan yang tampak seperti PLDV di awal pengerjaan, namun di bagian akhir mengarah pada bentuk persamaan linear

satu variabel. Grafik yang dilukis tidak mewakili permasalahan.

3. Siswa berkemampuan matematika rendah menggunakan representasi simbol dan grafik. Simbol yang digunakan siswa terkait dengan persamaan linear satu variabel. Grafik yang dilukis tidak mewakili permasalahan sehingga solusi permasalahan tidak dapat diperoleh

Saran

Berdasarkan Setelah melakukan penelitian, terlihat bahwa baik siswa yang berkemampuan tinggi, sedang, maupun rendah dalam memecahkan masalah lebih memilih menggunakan representasi simbol pada awal pengerjaan. Hal itu dimungkinkan karena pengaruh dari cara yang diajarkan oleh guru selama proses pembelajaran di kelas. Oleh karena itu, peneliti memberikan saran agar siswa dilatih untuk menyelesaikan permasalahan dengan merepresentasikan ide yang dimiliki dalam bentuk apa saja.

DAFTAR PUSTAKA

Dirjen DIkti. 2006. Permendiknas No. 22 Tahun 2006 tentang standar Isi untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah (Lampiran). Jakarta: Depdiknas.

Gyamfi, Kwaku Adu. 1993. External Multiple Representations In Mathematics Teaching. North Carolina: North Carolina State University.

Goldin, G. A. 2002. Representation in Mathematical Learning and Problem Solving. In L. D. English (Ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education .pp. 197-218. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Goldin, G. A., & Kaput J. J. (1996). A joint perspective

on the idea of representations in learning and doing mathematics. In S. P., Leslie & N. Pearla (Eds.), Theories of mathematical learning.

Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Hudiono, Bambang. 2010. “Peran Pembelajaran

Diskursus Multirepresentasi terhadap Pengembangan Kemampuan Matematik dan Daya Representasi pada Siswa SLTP”. Jurnal Cakrawala Kependidikan. Vol. 8 (2): hal 101-203.

Hwang, W.-Y., Chen, N.-S., Dung, J.-J., & Yang, Y.-L. (2007). “Multiple Representation Skills and Creativity Effects on Mathematical Problem

Solving using a Multimedia Whiteboard System”. Educational Technology & Society. Vol. 10 (2): pp 191-212.

Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987b). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving.In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning ofMathematics (pp. 33-40). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.. NAEP. 2000. Mathematics framework for the 1996 and 2000. Washington: Nattional Assenment of Educational Progress.

National Council of Teachers of Mathematics. 2000.

Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.

Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum SMP.

Rangkuti, Ahmad Nizar. 2014. “Representasi Matematis”.

Forum Pedagodik. Vol VI (01): hal 110-127. Uno, Hamzah B. 2008. Teori Motivasi Dan

Pengukurannya Analisis Di Bidang Pendidikan. Jakarta: Bumi Aksara

Villegas, José L., Castro, Enrique, and Gutierrez, Jose. 2009. “Representations in problem solving: a case study with optimization problems”.

Electronic Journal of Research in Educational Psychology. Vol. 7 (1): pp 279-308.