9360 12422 1 PB

Jurnal Matematika Volume 01 Nomor 01 Tahun 2014, 1 - 5

SUBGRUP NORMAL PADA Q-FUZZY
Elly Anjar Sari
Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya,
e-mail :ellyanjar@yahoo.com

Dr.Raden Sulaiman M.Si.
Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya,
e-mail : sulaimanraden@yahoo.com

Abstrak
Kelas-kelas baru struktur aljabar diperkenalkan oleh K.H.Kim, yang difuzzykan. Dalam fuzzyfikasi ini,
membahas tentang subgrup Q-fuzzy.Diberikan Q adalah sebarang himpunan, dan G adalah grup,
Pemetaan�: × → 0,1 disebut himpunan Q-fuzzy di G. Tulisan ini akan menjelaskan konsep pada subgrup
normal Q-fuzzy dan membahas beberapa sifat-sifatnya, karakterisasi pada subgrup Q-fuzzy dan subgrup normal
Q-fuzzy yang diberikan.
Kata kunci :Subgrup fuzzy, subgrup Q-fuzzy, grup normal Q-fuzzy, Q-fuzzy normalizer

Abstract
The new classes of algebraic structures introduced by K.H.Kim, are defuzzified. In this fuzzification, the notion

of Q-fuzzy subgroup.Let Q be any sets, and G be a group, A mapping �: × → 0,1 is called a Q-fuzzy set in
G. This thesis will explain the concept of Q-fuzzy normal subgroup and discusses some of its properties,
Characterisation of Q-fuzzy subgroup and Q-fuzzy normal subgroup are given.
Keywords : Fuzzy subgroup, Q-fuzzy subgroup, Q-fuzzy normal group, Q-fuzzy normalizer.

neural network, dibidang kedokteran, bidang
ekonomi, dll. Oleh karena itu teori himpunan
fuzzy merupakan suatu bidang potensial
untuk
penelitian
antar
cabang
ilmu
pengetahuan.
Sedangkan pada struktur aljabar abstrak
mempunyai dua kegunaan yang mendasar.
Kegunaan yang pertama adalah untuk
menentukan pola-pola atau kesimetrisan
dalam kehidupan sehari-hari dan dalam
matematika. Misalnya pada suatu mesin

automaton mempunyai dua kendali untuk
memaksimumkan daya guna mesin tersebut.
Sedangkan kegunaan yang kedua adalah
perluasan sistem-sistem bilangan untuk
digunakan dalam system lainnya.
A.Solairaju dan R.Nagarajan mendefinisikan
sebuah struktur aljabar baru padasubgrup Qfuzzy. Artikel ini merupakan hasil kajian
dalam skripsi tentang struktur elemen-elemen
Q-fuzzy dan sifat-sifatnya yang meliputi grup,
subgrup, subgrup normal, Himpunan fuzzy,
relasi fuzzy, subgrup fuzzy, subgrup Q-fuzzy,
subgrup normal Q-fuzzy.
Dari konsep-konsep dasar tersebut, penulis
dapat mengaitkan konsep pada himpunan
fuzzy dan aljabar abstrak. Sehingga dapat
membentuk Subgrup normal pada Q-fuzzy
dan sifat-sifatnya.

1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang

Sejalan
dengan
perkembangan
ilmu
pengetahuan dan teknologi yang sangat pesat,
matematika menempatkan dirinya pada suatu
ilmu dasar yang mempunyai peranan penting
dalam penguasaan teknologi. Sehingga
matematika perlu dipelajari dan dikuasai agar
dapat menerapkan ilmu tersebut di berbagai
bidang.
Penelitian mengenai teori himpunan fuzzy
berkembang dengan pesat baik dalam bidang
matematika maupun aplikasinya. Teori
himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan
oleh Prof. Lotti A Zadehseorang guru besardi
University of california, AmerikaSerikat. Lotfi
Asker Zadeh mendefinisikan suatu himpunan
fuzzy A dalam semesta pembicaraan =
{ 1 , 2 , … , � } dengan fungsi keanggotaan

�: → 0,1 ,
yang
mana
�( )
mempresentasikan
derajat
keanggotaan
Dengan kata lain, suatu
�, � = 1,2, … , �.
himpunan fuzzy A dapat didefinisikan secara
umum sebagai pasangan berurutan � =
}.
{ 1 , �� 1 , ( 2 , �� 2 ), … , � , �� �
Aplikasi dari teori himpunan fuzzy sangat luas
seperti dalam operasi research, teori informasi,
42

MATHunesa (Volume 3 No 3)
.

2. LANDASAN TEORI

Definisi 2.1.1
Grup
G
adalahsebuahsistemaljabar
yang
terdiriatassuatuhimpunantakkosong
G
dansuatuoperasibiner (∗) yang didefinisikan pada G serta
memenuhi aksioma-aksioma berikut ini :
1. Untuksetiap , ∈ berlaku ∗ ∈ .
2. Operasi ∗ bersifat assosiatif, yaitu
a ∗
∗ = ( ∗ ) ∗ , untuk setiap , , ∈
3. Terdapatelemen
disebut identitas
∈
sedemikian
sehingga

∗ = ∗ = ,
untuk setiap ∈ .
4. Untuksetiap ∈ , terdapat elemen −1 ∈
sedemikian sehingga ∗ −1 = −1 ∗ = .

2.4 Subgrup Fuzzy

Definisi 2.4.1
Misal
X
adalahhimpunantakkosong.himpunanbagian fuzzy � pada
X dinyatakan sebagai fungsi �: → 0,1 .

Definisi 2.4.2
Diberikan G adalahgrup.Himpunanbagian fuzzy � di
grup G disebut subgrup fuzzy jika �: → 0,1
memenuhi untuk semua , ∈ ,
(i)
�( ) min⁡{� , � } untuk setiap
, ∈

(ii)
�( −1 )=�
untuk setiap ∈

Definisi 2.1.2
Suatu subset H tidakkosongdarigrup G
disebutsubgrupdari
G
jika
H
membentukgrupterhadapoperasi yang samapadagrup G.
Definisi 2.1.3
Misalkan adalah suatu grup dan H adalah
himpunan bagian dari G yang tidak kosong, H subgrup
dari G jika dan hanya jikamemenuhi :
(1) Untuksetiap , ∈ , maka
∈ .
(2) Untuksetiap ∈ , maka −1 ∈ .

Definisi 2.4.3

Diberikan G adalahgrup.Himpunanbagian
fuzzy
di
grup
G
disebut
−1
normaljikauntuksemua
, ∈ ,�
=
�
�
=�

Teorema 2.1.2
Diketahui G grupdan H⊂G. H subgrup G
jika dan hanya jika −1 ∈ untuk setiap , ∈ .

Definisi 2.4.4
Diberikan � adalah subgrup fuzzy di grup G.

Untuk ∈ 0,1 , level subset di � adalah himpunan
,� =
∈ , �( )
}.

2.2 HomomorfismedanEpimorfismeGrup

3. PEMBAHASAN

Definisi 2.2.1

3.1. Subgrup Normal Q-Fuzzy

Diberikangrup
G
dan
H.
SuatuHomomorfismegrupdari
G
ke

H
adalahsuatufungsi : → sedemikian sehingga untuk
sembarang
dan
di dalam G, berlaku
=
( )

Definisi 2.2.3
SuatusubgrupNdariGdisebutsubgrup
darigrupGjikadanhanyajikauntuksetiap ∈
� −1 ∈ �.

Relasi Fuzzy

Definisi 2.3.1
Relasi fuzzy
antara elemen-elemen pada
himpunan
dan elemen-elemen pada himpunan

didefinisikan sebagai himpunan bagian fuzzy dari hasil
kali cartesius × yaitu
, )|( , ) ∈ ×
= {( , , �
Dimana :� : × → [0,1]
, adalah derajat keanggotaan unsur ( , ) ∈ ×
�
dalam relasi fuzzy �.

2.1 GrupdanSubgrup

Definisi 2.2.2
Epimorfismeadalahsuatuhomomorfisme
bersifatsurjektif.

2014

Definisi 3.1
Diberikan Q adalahsebaranghimpunan, dan G
adalahgrup.Pemetaan
�: × → 0,1
disebut
himpunan Q-fuzzy di grup G.
Definisi 3.2
Himpunan Q-fuzzy � disebut subgrup Q-fuzzy di G,
jika untuk setiap , ∈ , � ∈ ,
(i)
�( , �) min⁡
{� , � , � , � }
(ii)
�( −1 , �)=�( , �)

yang

normal
dan � ∈ � ,

Definisi 3.3
Diberikan G adalahgrup.Subgrup Q-fuzzy �
dari grup G disebut normal jika untuk semua , ∈
−1
, dan � ∈ , �
,� = � ,�
�
,�
�
,� .

43

Jurnal Matematika Volume 01 Nomor 01 Tahun 2014, 1 - 5

i. � � adalah subgrup dari G.
ii. �adalah normal Q-fuzzy dari G ⇔ � � = .
iii. � adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup
� � .

Definisi 3.4
Misalkan� adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G.
Untuk ∈ 0,1 , disebut level subset � sehingga � =
∈ , � ∈ �( , �)
}.

Teorema3.1 :
Diberikan G adalahgrupdan� adalah himpunan
bagian Q-fuzzy dari grup G. Maka � adalah subgrup Qfuzzy dari grup G jika dan hanya jika level subset
,� , ∈ 0,1 ,
� 0 , adalah subgrup dari grup G.
Bukti :
Misalkan � adalah subgrup Q-fuzzy pada grup G dan
untuk ∈ 0,1 ,
� =
∈ ,� ∈ � ,�
}.
Misalkan , ∈ � . Maka � , �
dan � , �
.
−1
Sehingga�
,�
min � , � , � −1 , �
min � , � , � , �
min⁡
{ , }
−1
Jadi, �
,�
Sehinggadapatdinyatakan −1 ∈ � .
Sehingga� adalah subgrup pada grup G.
Sebaliknya, asumsikanbahwa � adalahsubgruppadagrup
G.
Misalkan , ∈ � . Maka � , �
dan � , �
.
Begitujuga, �
,�
min⁡{ , }
= min � , � , � , �
∈ � , � subgrup pada G, jadi −1 ∈ �
� −1 , �
t
= � ,�
Sehinggadiperoleh,
�
,�
min � , � , � , �
dan � −1 , � = � , � .
Jadi� adalah subgrup Q-fuzzy pada grup G.

Bukti :
i.

ii.

Diberikan , ∈ � � maka �
� , � , untuk setiap ∈ . �
� , � ,untuk setiap ∈ .
Sehingga
�
(
−1 −1
�
,�

−1

−1

,� =
,� =

)−1 , � =

−1
= �(
, �)
= �( , �)
Sehinggadiperoleh,
�
( )−1 , � = �( , �)
Jadi −1 ∈ � � , Maka
∈ � � , Jadi
� � adalah subgrup pada grup G.

Jelas � � ⊆ , � adalah subgrup normal
Q-fuzzy pada grup G.
−1
Diberikan
∈ , maka �
,� =
� , � , itu berarti a ∈ � �
Maka ⊆ � � .
Jadi� � = .

Sebaliknya, Diberikan� � = .
−1
Jelas �
, � = � , � , untuk setiap
∈ dan ∈ .
Jadi� adalah subgrup normal Q-fuzzy pada
grup G.
iii.
Dari (ii), � adalah subgrup normal Q-fuzzy
pada grup � � .
−1
Untuksetiap
� � ⟹ �
,� =
� ,� .

Definisi 3.5
Diberikan G adalahgrupdan� adalah subgrup Qfuzzy
dari
grup
G.
Misalkan
−1
� � =
∈ �
, � = � , � , untuk setiap
∈ , � ∈ }. Maka � � disebut normalizer Q-fuzzy di
�.

Definisi 3.6
Diberikan� adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G,
∈ , � −1 didefinisikan sebagai � −1 , � =
� −1 , � ⩝ ∈ , � ∈ .

Teorema3.4 :
Jika� adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G, maka
� −1 adalah juga subgrup Q-fuzzy dari grup G, untuk
semua ∈ .
Bukti :
Misalkan � adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G dan
∈ , Maka :
, �)
(i). ( � −1 )
, � = �( −1
−1
= �( −1
, �)
= �(( −1 )( −1 ), �)
min⁡
{� −1 , � , � −1 , � }
min⁡
{ � −1 , � , � −1 , � }
Untuksemua , ∈ dan � ∈ .
(ii). � −1 , � = �( −1 , �)
= �(( −1 )−1 , �)
= �( −1 −1 , �)
= � −1 −1 , � , Untuk semua , ∈ dan � ∈ .
Jadi � −1 adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G.

Teorema3.2 :
Diberikan G adalahgrupdan� adalah himpunan
bagian Q-fuzzy dari grup G. Maka � adalah subgrup
normal Q-fuzzy dari grup G jika level subset � , ∈
0,1 , adalah subgrup normal dari grup G.
Bukti :
Misalkan� adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G
dan level subset � , ∈ 0,1 , adalah subgrup pada grup
G.
Diberikan ∈ dan ∈ � , maka � , �
.
Karena� adalah subgrup normal Q-fuzzy pada grup G,
−1
maka �
,� = � ,�
.
−1
Sehinggadiperoleh, �
,�
.
−1
Jadi,
∈ � . Sehingga � adalah subgrup normal
pada grup G.
Teorema3.3 :
Diberikan� adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G.
Maka
44

MATHunesa (Volume 3 No 3)
Teorema3.5 :
Jika� adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup
G, maka g g −1 juga merupakan subgrup normal Q-fuzzy
dari grup G, untuk semua ∈ .
Bukti :
Misalkan� adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G.
Maka g g −1 adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup G.
Adapung g −1 xyx −1 , q = �( −1
x −1 g, �)
=�
x −1 , �)
= �( , �)
=�
g −1 , �)
−1
= g g y, q

(ii)

−

�2
di H.

, � =: �2 (

2014

, � )untuk semua x

Teorema3.8 :
Misalkan f: G × Q → H × Q dikatakan grup Qhomomorfisma
(a)
Jika adalah subgroup normal Q-fuzzy dari
H, maka f −1 ( ) adalah subgroup normal Qfuzzy dari G.
(b)
Jika f adalah epimorfisma dan
adalah
subgroup normal Q-fuzzy dari G, maka f( )
adalah subgroup normal Q-fuzzy dari H.
Bukti :
(a) Misalkan
f: G × Q → H × Q
adalah
Qhomomorfisma dan misalkan adalah subgroup
normal Q-fuzzy dari H.

Teorema3.6 :
Misalkan dan adalah dua subgrup Q-fuzzy
dari grup G. Maka ∩ merupakan subgrup Q-fuzzy
dari grup G.
Bukti :
Diberikan dan adalah dua subgrup Q-fuzzy dari grup
G.
−1
−1
−1
(i) ( ∩ )
, � = min⁡
(
,� ,
,� )
min⁡
{min
,� ,
, � , min
,� ,
,� }
,� ,
,� }
min⁡{min
,� ,
, � , min
= min⁡
{( ∩ ) x, q , ( ∩ ) ( , �)}
−1
Jadi
( ∩ )
,�
min⁡{( ∩ ) x, q , ( ∩
) ( , �)}
(ii) ( ∩ ) x, q = { x, q , x, q }
−1
−1
={
,q ,
,q }
−1
= {( ∩ ) (
, �)}.
Jadi ∩ adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G.

Jadiuntuksemuax, y ∈ G,diperoleh :
−1
( ) xyx −1 , q = (f xyx −1 , q )
= (f x)f y f(x −1 ), q
= (f y , q)
= −1 ( , �)
Jadi −1
adalah subgrup normal Q-fuzzy dariG.
(b) Misalkan� adalah subgrup normal Q-fuzzy dari
G. maka (�) adalah subgrup normal Q-fuzzy
dari H.
Untuksetiapu,v di H, diperoleh :
y, q
� uvu−1 , q = sup
f y =uv u −1

=

Teorema3.7 :
Irisansebarangduasubgrup normal Q-fuzzy darigrup G
jugamerupakansubgrup normal Q-fuzzy darigrup G.
Bukti :
Diberikan dan adalah dua subgrup normal Q-fuzzy
dari grup G.
BerdasarkanTeorema 3.6, ∩ adalah subgrup Q-fuzzy
dari grup G.
Adapununtuksetiapx,y di G, kitaperoleh :
( ∩ )( xyx −1 , q
= min xyx −1 , q , xyx −1 , q
= min⁡( y, q , y, q ) = ( ∩ )( , �)
Jadi ∩ adalah subgrup normal Q-fuzzy dari
grup G.

sup

f x =u;f y =v

xyx −1 , q

(f: epimorfisma)
= sup

y, q

f y =v

= f (v, q)
Jadif
adalah subgrup normal Q-fuzzy dari grup
G.
Definisi 3.9
Misalkan dan dua subset Q-fuzzy pada G. Hasil kali
dari dan didefinisikan sebagai
a, q = sup min⁡
( y, q , (z, q)), a ∈ G.
yz =a

Teorema3.9 :

Jika dan adalah subgrup normal Q-fuzzy dari
grup G, maka
adalah subgrup normal Q-fuzzy dari
grup G.
Bukti :
Diberikan dan adalah dua subgrup normal Q-fuzzy
pada G.
(i).
xy, q = supx 1 y 1 =x min⁡{ x1 y1 , q , (x2 y2 , q)}

Definisi 3.7
Diberikan G dan H adalahgrup, dan Q
adalahsebaranghimpunan.Pemetaan
f: G × Q → H × Q
dikatakan grup Q-homomorfisma jika :
(i)
f: G → H adalah grup homomorfisma
(ii)
f xy, q = f x f y , q , untuk
semua
x, y ∈ G dan q ∈ Q.

x 2 y 2 =y

sup min⁡{min⁡
{ x1 , q , (y1 , q)}, min⁡
{ x2 , q , (y2 , q)}}

x 1 y 1 =x
x 2 y 2 =y

Definisi 3.8
Diberikanfungsi f: G × Q → H × Q . Misalkan �1 adalah
subgrup fuzzy dari G, dan �2 adalah subgrup fuzzy dari
H, maka :
(i)
(�1 ) , � =: Supf z =y 1 ⁡( , �)
untuk
semua y di G.

min⁡
{sup min⁡{ x1 , q , (y1 , q)}, sup min⁡{ x2 , q , (y2 , q)}
min⁡
{ x, q ,
y, q }
(ii).
x −1 , q = sup(yz )−1 =x −1 min⁡
{ z −1 , q , (y −1 , q)}
45

Jurnal Matematika Volume 01 Nomor 01 Tahun 2014, 1 - 5

= sup min⁡
{

Solairaju, A. Nagarajan, R. 2009. “A New Structure
and Construction of Q-fuzzy Group”.Advances in
Fuzzy mathematics. Vol. 4: Hal. 23-29.
Vasntha-Kandasamy, W.B. 2003.Smaradanche Fuzzy
Algebra.American Research Press
Zadeh, L.A. 1965.” Fuzzy sets”. Information and
Control. Vol. 8: Hal. 338-353.
Priya, T. Ramachandran, T. Nagalakshmi, KT. 2013.
“On Q-Fuzzy Normal Subgroups”. International
Journal of Computer and Organization
Trends.Vol. 3.
Sukandardan
Kusrini.2001.StrukturAljabar
I.
Surabaya:Unesa University Press.
Fraleigh,John B. 1982. A First Course in Abstract
Algebra. Publishing Company: Addison-Wesley

z, q , (y, q)}

x=yz

= sup min⁡{ y, q , (z, q)}
x=yz

=
x, q
Untukmenunjukkan adalah subgrup normal Q-fuzzy :
xyx −1 , q = sup min⁡
( xyx −1 , q , xyx −1 , q )
= sup min⁡
( y, q , y, q )
=
y, q
Jadi adalah subgrup normal Q-fuzzy dari G.
4. PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Daripembahasan diatas diperoleh simpulan sebagai
berikut :
1. Diberikan Q adalah sebarang himpunan, dan G
adalah grup. Pemetaan �: × → 0,1 disebut
himpunan Q-fuzzy di grup G.
2. Diberikan G adalahgrupdan � adalah himpunan
bagian Q-fuzzy dari grup G. Maka � adalah
subgrup normal Q-fuzzy dari grup G jika level
subset � , ∈ 0,1 , adalah subgrup normal dari
grup G.
3. Jika� adalah subgrup Q-fuzzy dari grup G, maka
� −1 adalah juga subgrup Q-fuzzy dari grup G,
untuk semua ∈ .
4. Misalkan dan adalah dua subgrup Q-fuzzy dari
grup G. Maka ∩ merupakan subgrup Q-fuzzy
dari grup G.
5. Jika dan adalah subgrup normal Q-fuzzy dari
grup G, maka
adalah subgrup normal Q-fuzzy
dari grup G.
4.1 Saran
Dalam skripsi ini hanya dicari karakteristik
subgrup normal pada Q-fuzzy. Oleh karena itu,
penulis memberikan saran kepada pembaca yang
tertarik pada permasalahan ini untuk mengembangkan
dengan mencari karakteristik pada struktur aljabar
baru yang lain.

DAFTAR PUSTAKA
Choudhury, F.P. and chakraborty, A.B. and Khare, S.S.
1980.“A note on fuzzy subgroups and fuzzy
homomorphism”.Journal
of
mathematical
analysis and applications. Vol. 131: hal. 537-553.
Das, P.S. 1981.“Fuzzy groups and level subgroups”. ”.
Journal
of
mathematical
analysis
and
applications. Vol. 84: hal. 264-269.
Prabir Bhattacharya. 1987. “Fuzzy Subgroups”. ”.
Journal
of
mathematical
analysis
and
applications. Vol. 128: hal. 241-252.
Rajesh Kumar. 1991. “Homomorphism and fuzzy
(fuzzy normal) subgroups”. Fuzzy sets and
Systems. Vol. 44: Hal. 165-168.

46