Kestabilan Global Bebas Penyakit Flu Singapura (Hand, Foot, and Mouth Disease) Berdasarkan Model SEIRS
I'i l (l t ) ; l r \ $
ISSN: 1978-4538
Vofume7, NomorL,luni20!2
Daftar Isi
l.
IdentifikasiKebutuhansoft skill MahasiswaProgramStudiPendidikan
t-14
MatematikaFMIPA UNY Dalam RangkaMembentukInsanCendekia,
Mandiri, Dan Bernurani
Elly Arliani, Kana Hidoyati
2.
Polinom
SigmaDelta Dan IdealPrim Dari Gelanggang
Pembentukan
t 5 -2 2
Miring
Amir Kamal Amir
3.
KestabilanGlobal BebasPenyakitFlu Singapura(Hand,Foot And Moutlr
z)-)L
Disease\BerdasarkanModel Seirs
Eminugroho RatnaSari
4.
r'
EvaluasiDistribusiGabunganMenggunakanAlgoritma KonvolusiDan
33-42
RekursiPanjer
Rosita Kusumawati
5.
DesainElearningAdaptif BerbasisCognitiveStyleUntuk Pembelajaran
43-56
MatematikaSMA KelasXII IPA
Kuswari Hernawati
6.
Vertex AntimagicTotal LabeiingPadaGraphMulticycle
57 -64
Dominikus Arif Budi Prasetyo
7-
ConstructionA Coring From TensorProductOf Bialgebra
65 -72
Nikken Prima Puspita, SitiKhabibah
8.
MeningkatkanHasil BelajarMatematikaSiswaDenganPembelajaran
73-82
MenggunakanAplikasi Moodle
Abdul Muin Dan Rizki Mauliyo Ulfah
9.
Teori Graf PadaAnalisisJejaringSosialDenganMenggunakan
Penerapan
83- 100
Micr osoft Micr osoft Nodexl
Nur Insani dan Nur Hadi WarYanto
Model
BahanAjar KalkulusVektor Berdasarkan
10. Pengembangan
MatematikaKnisley SebagaiUpayaMeningkatkan
Pembelajaran
KompetensiMatematikaMahasiswa
Endang Dedy, Endang Mulyana, Eyus Sudihartinih
l0 r - 1 1 2
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
KESTABILAN GLOBAL BEBAS PENYAKIT
FLU SINGAPURA (Hand, Foot and Mouth Disease)
BERDASARKAN MODEL SEIRS
Eminugroho Ratna Sari
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Karangmalang, Yogyakarta
eminugrohosari@gmail.com
Abstrak
Penelitian mengenai penyebaran HFMD pertama dilakukan menggunakan model SIR. Pada model ini, populasi
individu yang sebenarnya telah terinfeksi tetapi belum menunjukkan gejala-gejala penyakit tidak dijelaskan.
Dalam paper ini akan dibahas mengenai pembentukan model matematika dari penyebaran penyakit HFMD
menggunakan model SEIRS. Adanya penambahan kelas populasi E (Exposed) untuk melengkapi kekurangan
pada model sebelumnya. Berdasarkan model, diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik. HFMD
tidak akan mewabah jika R0 < 1 . Selanjutnya dilakukan simulasi menggunakan MAPLE 13.
Kata Kunci: flu Singapura (HFMD), model SEIRS, titik ekuilibrium, La Salle Liapunov, stabil asimtotik global
Abstract
Research on the spread of HFMD first performed using SIR models. In this model, population of individuals
who have been infected but has not shown any symptoms of the disease has not been clarified. In this paper we
will discuss the establishment of a mathematical model of the spread of HFMD SEIRS model. There is an
additional class of population E (Exposed) to supplement deficiencies in the previous model. Based on the
model, there are the disease-free and the endemic equilibrium point. HFMD will not outbreak if R0 < 1.
Furthermore, the simulations are made using MAPLE 13.
Keywords: flu Singapore (HFMD), model SEIRS, the equilibrium point, La Salle Liapunov, global asymptotic
influenza kembali bermutasi yang dikenal
A. Pendahuluan
Influenza adalah penyakit pernapasan
dengan Asian Flu dan wabah global
yang sangat menular dan disebabkan oleh
kembali terjadi. Pada tahun 1968, virus flu
virus influenza. Sementara virus influenza
kembali
terdiri dari 3 tipe, yaitu A, B dan C. Virus
menyebabkan
influenza yang paling berbahaya adalah
dikenal dengan Hongkong Flu. (Riri,
tipe A karena dapat menginfeksi hewan
2008). Virus influenza ini terus mengalami
dan manusia. Virus influenza A juga selalu
perubahan genetik hingga pada tahun 1972
mengalami mutasi (perubahan genetik)
muncul
menghasilkan virus influenza baru yang
kemudian
lebih berbahaya dari sebelumnya yang bisa
penyakit Flu Singapura.
mengakibatkan wabah epidemik bahkan
mengatasi
mutan
wabah
virus
dikenal
mutasi
dan
pandemik,
yang
influenza
sebagai
yang
penyebab
Penyakit flu singapura atau dalam
pandemik influenza. Seperti pada tahun
bahasa
1918,
yang
penyakit Hand, Foot and Mouth Disease
disebabkan virus influenza, yang disebut
(HFMD) merupakan penyakit infeksi yang
dengan Spanish Flu. Tahun 1957, virus
seringkali menyerang anak-anak usia 2
terjadi
wabah
pandemik
kedokteran
disebut
sebagai
23
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
minggu sampai 5 tahun (bahkan hingga 10
lain, bahkan dari tahun ke tahun terus
tahun). Orang dewasa umumnya kebal
mengalami peningkatan jumlah penderita.
terhadap penyakit yang mempunyai masa
Tabel 1. Penyebaran HFMD di
inkubasi 2 – 5 hari ini. HFMD disebabkan
Beberapa Negara
oleh Coxsackievirus A type 16 (CV A16)
(Wikipedia, 2012 untuk HFMD dan Roy,
dengan bermacam-macam strain, yaitu
2012)
coxsackievirus A5, A7, A9, A10, B2 dan
B5. Namun demikian, yang menyebabkan
pandemik adalah Enterovirus 71 (EV-71).
Tahun
1997
1998
Negara
Jumlah kasus HFMD
Sarawak,
2626 terinfeksi dan 31
Malaysia
meninggal
Taiwan
405 terinfeksi, 78
(Roy, 2010).
meninggal
Penularan penyakit HFMD ini melalui
kontak langsung dari orang ke orang yaitu
melalui
droplet,
pilek
dan
air
mungkin
terjadi,
Sarawak,
14423 terinfeksi dan 13
Malaysia
meninggal
2008
Cina
25000 terinfeksi dan 42
liur.
Penularan melalui kontak tidak langsung
juga
2006
misalnya
meninggal
2008
Singapura
2009
Indonesia
2600 terinfeksi
Beberapa kasus
teridentifikasi dan berakhir
penggunaan handuk, baju, peralatan makan
dan
mainan
secara
bersama-sama.
fatal (meninggal)
2010
Cina
115000 kasus dilaporkan,
773 diantaranya mengalami
Biasanya penyakit ini muncul pada musim
komplikasi dan 50
panas. (CDC, 2012)
Gejala-gejala
yang
meninggal
timbul
untuk
terserang penyakit HFMD antara lain,
Tabel 2. Rasio Penyebaran HFMD di
demam selama 2 – 3 hari, disertai tidak ada
Beberapa Negara (WHO, 2012)
nafsu makan, pilek dan gejala seperti flu
Negara
Jumlah Kasus
Rasio
HFMD
(2012/
pada umumnya. Selanjutnya akan muncul
sariawan (pada lidah, gusi, pipi sebelah
2011
2012
2011)
Cina
34709
99052
2,9
Jepang
7819
6707
0,9
Korea
170
200
1
Singapore Medical Journal, bahwa pada
Singapura
4800
16345
3.4
awal kemunculan HFMD di Singapura
Vietnam
-
43196
dalam) dan timbul ruam di tangan dan
kaki.
Menurut Shah et all (2003) dalam
pada tahun 1972, penyakit ini menginfeksi
104 anak-anak dalam 3,5 bulan. Penyakit
Berdasarkan Tabel 1 dan 2, tampak
ini semakin meluas ke beberapa negara
bahwa HFMD telah menjadi ancaman bagi
penduduk
24
dunia.
Jika
dilakukan
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
penanganan yang tepat, anak-anak yang
menyatakan populasi yang rentan, kelas E
terserang penyakit ini bisa sembuh, tetapi
menyatakan
dapat terinfeksi kembali dengan strain
sebenarnya telah terinfeksi penyakit tetapi
virus yang berbeda. Namun, jika terjadi
belum menunjukkan gejala-gejala penyakit
komplikasi dapat menyebabkan radang
(disebut juga dengan kelas laten), kelas I
selaput otak dan radang otot jantung yang
menyatakan populasi yang terinfeksi, dan
mengarah pada kematian. Untuk itu,
kelas R menyatakan populasi yang telah
diperlukan analisa mengenai dinamika
sembuh dari penyakit.
penyakit HFMD agar penyebarannya dapat
Selanjutnya,
dicegah atau diminimalisir.
Wang
dan
Sung
jumlah
individu
dimisalkan
yang
S (t )
menyatakan jumlah individu dari kelas
(2007)
telah
menganalisa penyakit HFMD berdasarkan
model SIR. Dalam penelitiannya belum
dijelaskan mengenai populasi individu
yang sebenarnya telah terinfeksi penyakit
tetapi belum menunjukkan gejala-gejala
yang rentan pada saat t , E ( t ) menyatakan
jumlah individu yang sebenarnya telah
terinfeksi
penyakit
tetapi
belum
menunjukkan gejala-gejala penyakit pada
saat t (disebut juga dengan laten atau
I (t )
penyakit. Dalam paper ini, akan dianalisa
terpapar),
mengenai penyebaran penyakit HFMD dari
individu dari kelas yang terinfeksi dan
sudut
menular
pandang
matematika
sehingga
pada
menyatakan
saat
t,
dan
jumlah
R (t )
setelah dilakukan identifikasi perilaku
menyatakan jumlah individu dari kelas
penyakit di sekitar titik ekuilibrium dapat
yang sembuh pada saat t.
diketahui kapan HFMD akan menghilang
dan kapan akan mulai menyebar.
Analisa yang akan digunakan adalah
model SEIRS. Dalam hal ini populasi
individu yang sebenarnya telah terinfeksi
penyakit tetapi belum menunjukkan gejalagejala penyakit akan berada pada “kelas”
tersendiri yaitu kelas E. Selanjutnya,
penderita yang telah sembuh dapat kembali
rentan terhadap HFMD.
B.
Formulasi Model
Pada Model SEIRS, populasi dibagi
menjadi 4 kelas yaitu kelas S untuk
Pada model ini, laju kelahiran dan laju
kematian alami dinotasikan dengan α .
Sementara laju kematian karena HFMD
dinotasikan
dengan
µ.
Diasumsikan
bahwa semua bayi yang lahir, masuk ke
dalam kelas S. Karena individu yang
rentan setelah terjadi kontak dengan
individu terinfeksi akan berada dalam
masa inkubasi, sehingga akan masuk ke
dalam kelas E. Selanjutnya jika individu
tersebut telah menunjukkan gejala-gejala
penyakit, artinya individu telah terinfeksi,
maka masuk kelas I, dengan laju δ .
25
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
Individu yang telah sembuh akan masuk ke
strain yang berbeda, maka individu yang
dalam kelas R dengan laju γ . Oleh karena,
sudah masuk kelas R masuk kembali ke
individu yang pernah terkena penyakit
dalam kelas S dengan laju λ . Hal inilah
HFMD bisa terkena lagi tetapi dengan
mengapa model ini disebut dengan SEIRS.
Dari asumsi dapat digambarkan dalam diagram transfer sebagai berikut:
α
α
α
βI
S
α
δ
E
I
µ
γ
λ
R
α
Gambar 1. Diagram transfer model SEIRS
Selanjutnya, berdasarkan diagram
Populasi total dari Model (1) adalah
transfer tersebut diperoleh model SEIRS
S + E + I + R = 1.
untuk HFMD sebagai berikut:
C. Titik Ekuilibrium
dS
= α − β SI − α S + λ R
dt
(1.a)
dE
= β SI − α E − δ E
dt
(1.b)
dI
= δ E −α I − µI − γ I
dt
(1.c)
dR
= γ I − λR −α R
dt
(1.d)
Berdasarkan
Sistem
(1)
dapat
diperoleh dua jenis titik ekuilibrium yaitu
titik ekuilibrium
bebas penyakit dan
endemik yang dapat dijelaskan dalam
lemma berikut.
Lemma 1.
(i) Jika I = 0 , maka Sistem (1) mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit, P0 = (1,0,0,0 ) .
(ii)
,
I∗ =
26
Jika I ≠ 0 , maka Sistem (1) mempunyai titik ekuilibrium endemik, P = ( S ∗ , E ∗ , I ∗ , R∗ )
dengan
S∗ =
( α + δ ) (α + µ + γ ) ,
β
δ
E∗ =
(α + µ + γ ) I ∗ ,
αβδ − α (α + δ )(α + µ + γ )
γ
(λ + α )
I∗.
, R∗ =
+
+
+
+
−
β
(α δ )(α µ γ )( λ α ) λγδ
(λ + α )
δ
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
I =0
Bukti:
(i)
Sistem (1) akan mencapai titik ekuilibrium
Persamaan (3) dan (2.d), maka diperoleh
dS
dE
dI
dR
= 0,
= 0, = 0,
=0,
dt
dt
dt
dt
jika
sehingga Sistem (1) dapat ditulis
Jika
E = 0 dan
(2.a)
β SI − α E − δ E = 0
(2.b)
δ E −α I − µI − γ I = 0
(2.c)
γ I − λR −α R = 0
(2.d)
), maka dari Persamaan (3) diperoleh
(2.b),
maka
diperoleh
(α + µ + γ ) I = 0 .
β SI − (α + δ )
δ
Akibatnya
β
δ
R∗ =
γ
(λ + α )
I∗
S=
Jika
.
(5)
(α + δ ) (α + µ + γ )
β
atau I = 0 .
titik
(α + δ ) ( α + µ + γ )
=
β
berturut-turut
δ
seperti
dan
δ
Persamaan (2.a) diperoleh
αβδ − α (α + δ )(α + µ + γ )
(λ + α )
β
(α + δ )(α + µ + γ )( λ + α ) − λγδ
diperoleh
ekuilibrium
dengan
(6)
D. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas
Penyakit
Pada paper ini hanya akan dibahas
dan
pada
∗
∗
E ,I ,R
∗
Persamaan
(4),(6),(5).
Artinya penyakit HFMD masih ada dalam
populasi.
(4)
berdasarkan Persamaan (5), maka dari
P = ( S ∗ , E ∗ , I ∗ , R∗ )
S
δ
diperoleh
(α + δ ) (α + µ + γ )
S=
∗
(α + µ + γ ) I ∗
dan dari Persamaan (2.d) diperoleh
Persamaan
Jadi,
artinya
Jika I ≠ 0 ( dinotasikan dengan I ∗
(ii)
Jika Persamaan (3) disubtitusikan ke
I∗ =
P0 = (1, 0, 0, 0 ) ,
populasi bebas penyakit HFMD.
(3)
δ
jika
S = 1 . Jadi, diperoleh titik
ekuilibrium
E∗ =
(α + µ + γ ) I
Selanjutnya,
ke
disubtitusikan ke Persamaan (2.a), maka
Berdasarkan Persamaan (2.c) diperoleh
E=
R =0.
diperoleh
α − β SI − α S + λ R = 0
disubstitusikan
mengenai kestabilan Sistem (1) di sekitar
titik ekuilibrium bebas penyakit HFMD,
yang dijelaskan dalam lemma berikut.
Lemma 2.
(i) Jika
R0 =
βδ
< 1,
(α + δ )( µ + γ + α )
maka titik ekuilibrium P0 = (1, 0, 0, 0 )
stabil asimtotik global.
27
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
R0 =
(ii) Jika
βδ
> 1,
(α + δ )( µ + γ + α )
maka titik ekuilibrium P0 = (1,0,0,0 )
tidak stabil.
Bukti:
Matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium P0 = (1,0,0,0 ) adalah
J P0 =
−α
0
0
− (α + δ )
0
δ
0
0
−β
λ
β
0
− (α + µ + γ )
0
γ
−(λ + α )
(7)
Persamaan karakteristik dari (7) yaitu J P0 − kI = 0 , dengan k adalah nilai eigen,
−α − k
0
0
− (α + δ ) − k
0
δ
0
0
− (α + δ ) − k
⇔ ( −α − k )
−β
λ
β
0
=0
− (α + µ + γ ) − k
0
− (λ + α ) − k
γ
β
0
− (α + µ + γ ) − k
0
=0
γ
− (λ + α ) − k
δ
0
⇔ ( −α − k ) ( − ( λ + α ) − k )
− (α + δ ) − k
δ
β
=0
− (α + µ + γ ) − k
⇔ ( −α − k ) ( − ( λ + α ) − k ) ( − (α + δ ) − k ) ( − (α + µ + γ ) − k ) − βδ = 0
⇔ ( −α − k ) ( − ( λ + α ) − k ) k 2 + (α + δ + α + µ + γ ) k + (α + δ )(α + µ + γ ) − βδ = 0 . (8)
Persamaan
(8)
dapat
( −α − k ) ( − ( λ + α ) − k )
ditulis
menjadi
k 2 + Ak + B = 0 ,
A = (α + δ + α + µ + γ )
dengan
sedangkan
nilai-nilai eigen yang lain merupakan akar-
nilai
(9)
A = (α + δ + α + µ + γ ) > 0 .
Karena diketahui bahwa R0 < 1 , maka
nilai
B = (α + δ )(α + µ + γ ) − βδ
akar dari
k 2 + Ak + B = 0 .
βδ
.
(α + δ )( µ + γ + α )
(i) Perhatikan bahwa pada Persamaan (9)
Persamaan (8) diperoleh nilai-nilai eigen
k1 = −α dan
R0 =
didefinisikan
dan
B = (α + δ )(α + µ + γ ) − βδ . Berdasarkan
k2 = − ( λ + α ) ,
Selanjutnya
= 1−
βδ
(α + δ )(α + µ + γ )
(α + δ )(α + µ + γ )
= (1 − R0 )(α + δ )(α + µ + γ ) > 0
28
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
Di lain pihak, berdasarkan Kriteria Routh
= ( R0 − 1)(δ + α )(α + µ + γ ) I
Hurwitz (Eminugroho, 2009), pembuat nol
Karena diketahui R0 < 1 , maka V ( x ) < 0
dari Persamaan (9) akan bernilai negative
jika A > 0 dan B > 0 .
Hal ini berarti
untuk setiap x = ( S , E , I , R ) ∈
semua nilai eigen Persamaan (8) bernilai
bukan
negatif
x ≠ (1, 0, 0, 0 ) .
akibatnya
titik
ekuilibrium
P0 = (1, 0, 0, 0 ) stabil asimtotik lokal. Untuk
meninjau kestabilan global, didefinisikan
fungsi
4
+
Liapunov
V:
4
+
→
dengan
= {( S , E , I , R ) : S + E + I + R ≤ 1} dan
V ( x ) = δ E + (δ + α ) I
.
Diperhatikan bahwa fungsi V :
(10)
4
+
→
pada Persamaan (10) memenuhi:
a. Fungsi V kontinu dan mempunyai
turunan-turunan parsial yang kontinu
pada
4
titik
d.
Untuk
4
dan x
ekuilibrium,
yaitu
x = (1, 0, 0, 0 ) ,
maka
diperoleh V ( x ) = 0 .
Oleh karena a, b dan c terpenuhi, maka
berdasarkan Teorema La Salle Liapunov
(Hsu,
2005),
terbukti
bahwa
titik
ekuilibrium P0 = (1,0,0,0 ) stabil asimtotik
global.
(ii)
Diperhatikan
Karena diketahui
Persamaan
(9).
R0 > 1 , jelas bahwa
persamaan kuadrat pada Persamaan (9)
.
b. Fungsi V definit positif.
mempunyai diskriminan lebih besar dari
c. Jika kedua ruas dari Persamaan (10)
nol. Jika k3 dan k4 merupakan akar-akar
diturunkan terhadap t, maka diperoleh
dari
Persamaan
(9),
maka
diperoleh
k3k4 = B = (α + δ )(α + µ + γ ) − βδ
∂V dS ∂V dE ∂V dI ∂V dR
+
+
+
∂S dt ∂E dt ∂I dt ∂R dt
βδ
= 1−
(α + δ )(α + µ + γ )
dE
dI
(α + δ )(α + µ + γ )
=δ
+ (δ + α )
dt
dt
= (1 − R0 )(α + δ )(α + µ + γ )
= δ ( β SI − α E − δ E ) + (δ + α )(δ E − α I − µ I − γ I )
V ( x) =
= δβ SI + (δ + α )( −α I − µ I − γ I )
= (δβ S − (δ + α )(α + µ + γ ) ) I
=
Karena diketahui R0 > 1 , maka k3k4 < 0 ,
artinya akar-akar Persamaan (9) berbeda
δβ S
− 1 (δ + α )(α + µ + γ ) Itanda ( k3 positif dan k4 negative, atau
(δ + α )(α + µ + γ )
sebaliknya).
Jadi,
jika
R0 > 1 ,
maka
Persamaan (8) mempunyai satu nilai eigen
≤
,
δβ
− 1 (δ + α )(α + µ + γ ) I
(δ + α )(α + µ + γ )
yang positif, sehingga titik ekuilibrium
P0 = (1, 0, 0, 0 ) tidak stabil.
karena 0 < S ≤ 1
29
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
E. Simulasi Numerik
diberikan
Sistem persamaan diferensial untuk
simulasi
untuk
nilai
R0
meningkat. Nilai-nilai parameter diberikan
HFMD (1) dapat diselesaikan secara
sebagai berikut α = 0.1; λ = 0.1; δ = 0.98;
numerik dengan MAPLE 13. Berikut akan
µ = 0.2; γ = 0.2 . Jadi diperoleh
Gambar 2. Simulasi Sistem (1) dengan nilai Gambar 3. Simulasi Sistem (1) dengan nilai
β = 0.3
β = 0.5
Jika nilai-nilai parameter dengan β = 0.3
disubstitusikan pada Sistem (1), maka
diperoleh R0 = 0.54 . Berdasarkan Gambar
2, tampak bahwa perilaku solusi akan
menuju ke titik ekuilibrium P0 sesaat
setelah t = 30 . Pada saat nilai R0 = 0.9 ,
dari Gambar 3 tampak bahwa solusi akan
menuju P0 sesaat setelah t = 45 . Artinya,
pada saat nilai R0 semakin besar tetapi
masih kurang dari satu, maka semakin
lama
HFMD
akan
menghilang
dari
Gambar 4. Simulasi Sistem (1) dengan
nilai β = 0.998
populasi. Di lain pihak, ketika R0 > 1 ,
maka HFMD masih akan ada dalam
populasi. Seperti tampak pada Gambar 4
berikut
30
F. Kesimpulan
Diberikan model matematika untuk
penyebaran HFMD seperti pada Sistem (1)
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
berdasarkan model SEIRS. Berdasarkan
Eminugroho R, (2009),
Analisa Kestabilan
Sistem (1) diperoleh dua titik ekuilibrium
Model SIRC Untuk Influenza Tipe A,
yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan
Jurnal
titik ekuilibrium endemik. Menggunakan
Diponegoro. Vol. 12 No. 3: 122-127.
teorema
La
Salle
Liapunov,
telah
Matematika
Universitas
Riry Sriningsih, 2008, Dinamika Dua Jenis
ditunjukkan bahwa titik ekuilibrium bebas
Influenza
penyakit stabil asimtotik global. Artinya,
Immunity Parsial Simetri, Tesis tidak
suatu saat HFMD akan benar-benar hilang
dengan
Isolasi
dan
Cross-
dipublikasikan, UGM.
Roy, N., Halder, N., (2010). Compartmental
dari populasi.
Berdasarkan simulasi yang telah
dilakukan, HFMD tidak akan ada lagi
dalam populasi atau masih ada, tergantung
dari nilai laju kontak. Jika laju kontak
individu yang rentan menjadi terpapar dan
individu terpapar menjadi terinfeksi kurang
dari laju kematian alami, laju kematian
karena HFMD, laju kesembuhan dan laju
transmisi sehingga individu yang telah
sembuh kembali rentan HFMD, maka pada
waktu tertentu HFMD akan menghilang
dari populasi. Jika sebaliknya, maka
Modeling of Hand, Foot and Mouth
Infectious
Disease
(HFMD).
Research
Journal of Applied Sciences. Vol. 5 No. 3:
177-182.
Roy, N., (2012). Mathematical Modelling of
Hand-Foot-Mouth Disease: Quarantine as a
Control Measure. IJASETR Research Paper
ISSN: 1839-7239. Vol. 1 Issue 2 Article 4.
Shah, V.A., C.Y. Chong, K.P. Chan, W. Ng.,
A.E.Ling. (2003). Clinical Characteristics
of an Outbreak of Hand, Foot, and Mouth
Disease in Singapore. Singapore Medical
Journal. Vol. 32 No. 3: 381-387.
HFMD tetap akan ada dalam populasi.
Wang, Y.C. and F.C. Sung. (2007). Modeling
the
G. Daftar Pustaka
Infections
Taiwan.
Hsu, Sze-Bi. (2005). A Survey of Constructing
Lyapunov Functions for Mathematical
for
Enteroviruses
in
Institute
of
Taiwan:
Environmental Health, National Taiwan
University College of Public Health.
Models in Population Biology. Taiwanese
Journal of Mathematics. Vol. 9 No. 2 pp.
Centers for Disease Control and Prevention
(CDC).
151-173
About
HFMD
http://www.cdc.gov/hand-footEminugroho,
(2009),
Modeling
the
Eradication of Aedes Aegypti with Sterile
Insect Technique, Proceedings of IICMA,
Gadjah Mada University, Yogyakarta, pp
301-312.
mouth/about/index.html diakses tanggal
22 Mei 2012
Wikipedia.
HFMD.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hand,_foot_a
31
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
nd_mouth_disease diakses tanggal 22 Mei
2012.
WHO, (2012), Hand, Foot and Mouth Disease
Update,
http://www.wpro.who.int/entity/emerging_
diseases/HFMD/en/index.html
tanggal 22 Mei 2012.
32
diakses
ISSN: 1978-4538
Vofume7, NomorL,luni20!2
Daftar Isi
l.
IdentifikasiKebutuhansoft skill MahasiswaProgramStudiPendidikan
t-14
MatematikaFMIPA UNY Dalam RangkaMembentukInsanCendekia,
Mandiri, Dan Bernurani
Elly Arliani, Kana Hidoyati
2.
Polinom
SigmaDelta Dan IdealPrim Dari Gelanggang
Pembentukan
t 5 -2 2
Miring
Amir Kamal Amir
3.
KestabilanGlobal BebasPenyakitFlu Singapura(Hand,Foot And Moutlr
z)-)L
Disease\BerdasarkanModel Seirs
Eminugroho RatnaSari
4.
r'
EvaluasiDistribusiGabunganMenggunakanAlgoritma KonvolusiDan
33-42
RekursiPanjer
Rosita Kusumawati
5.
DesainElearningAdaptif BerbasisCognitiveStyleUntuk Pembelajaran
43-56
MatematikaSMA KelasXII IPA
Kuswari Hernawati
6.
Vertex AntimagicTotal LabeiingPadaGraphMulticycle
57 -64
Dominikus Arif Budi Prasetyo
7-
ConstructionA Coring From TensorProductOf Bialgebra
65 -72
Nikken Prima Puspita, SitiKhabibah
8.
MeningkatkanHasil BelajarMatematikaSiswaDenganPembelajaran
73-82
MenggunakanAplikasi Moodle
Abdul Muin Dan Rizki Mauliyo Ulfah
9.
Teori Graf PadaAnalisisJejaringSosialDenganMenggunakan
Penerapan
83- 100
Micr osoft Micr osoft Nodexl
Nur Insani dan Nur Hadi WarYanto
Model
BahanAjar KalkulusVektor Berdasarkan
10. Pengembangan
MatematikaKnisley SebagaiUpayaMeningkatkan
Pembelajaran
KompetensiMatematikaMahasiswa
Endang Dedy, Endang Mulyana, Eyus Sudihartinih
l0 r - 1 1 2
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
KESTABILAN GLOBAL BEBAS PENYAKIT
FLU SINGAPURA (Hand, Foot and Mouth Disease)
BERDASARKAN MODEL SEIRS
Eminugroho Ratna Sari
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Karangmalang, Yogyakarta
eminugrohosari@gmail.com
Abstrak
Penelitian mengenai penyebaran HFMD pertama dilakukan menggunakan model SIR. Pada model ini, populasi
individu yang sebenarnya telah terinfeksi tetapi belum menunjukkan gejala-gejala penyakit tidak dijelaskan.
Dalam paper ini akan dibahas mengenai pembentukan model matematika dari penyebaran penyakit HFMD
menggunakan model SEIRS. Adanya penambahan kelas populasi E (Exposed) untuk melengkapi kekurangan
pada model sebelumnya. Berdasarkan model, diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik. HFMD
tidak akan mewabah jika R0 < 1 . Selanjutnya dilakukan simulasi menggunakan MAPLE 13.
Kata Kunci: flu Singapura (HFMD), model SEIRS, titik ekuilibrium, La Salle Liapunov, stabil asimtotik global
Abstract
Research on the spread of HFMD first performed using SIR models. In this model, population of individuals
who have been infected but has not shown any symptoms of the disease has not been clarified. In this paper we
will discuss the establishment of a mathematical model of the spread of HFMD SEIRS model. There is an
additional class of population E (Exposed) to supplement deficiencies in the previous model. Based on the
model, there are the disease-free and the endemic equilibrium point. HFMD will not outbreak if R0 < 1.
Furthermore, the simulations are made using MAPLE 13.
Keywords: flu Singapore (HFMD), model SEIRS, the equilibrium point, La Salle Liapunov, global asymptotic
influenza kembali bermutasi yang dikenal
A. Pendahuluan
Influenza adalah penyakit pernapasan
dengan Asian Flu dan wabah global
yang sangat menular dan disebabkan oleh
kembali terjadi. Pada tahun 1968, virus flu
virus influenza. Sementara virus influenza
kembali
terdiri dari 3 tipe, yaitu A, B dan C. Virus
menyebabkan
influenza yang paling berbahaya adalah
dikenal dengan Hongkong Flu. (Riri,
tipe A karena dapat menginfeksi hewan
2008). Virus influenza ini terus mengalami
dan manusia. Virus influenza A juga selalu
perubahan genetik hingga pada tahun 1972
mengalami mutasi (perubahan genetik)
muncul
menghasilkan virus influenza baru yang
kemudian
lebih berbahaya dari sebelumnya yang bisa
penyakit Flu Singapura.
mengakibatkan wabah epidemik bahkan
mengatasi
mutan
wabah
virus
dikenal
mutasi
dan
pandemik,
yang
influenza
sebagai
yang
penyebab
Penyakit flu singapura atau dalam
pandemik influenza. Seperti pada tahun
bahasa
1918,
yang
penyakit Hand, Foot and Mouth Disease
disebabkan virus influenza, yang disebut
(HFMD) merupakan penyakit infeksi yang
dengan Spanish Flu. Tahun 1957, virus
seringkali menyerang anak-anak usia 2
terjadi
wabah
pandemik
kedokteran
disebut
sebagai
23
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
minggu sampai 5 tahun (bahkan hingga 10
lain, bahkan dari tahun ke tahun terus
tahun). Orang dewasa umumnya kebal
mengalami peningkatan jumlah penderita.
terhadap penyakit yang mempunyai masa
Tabel 1. Penyebaran HFMD di
inkubasi 2 – 5 hari ini. HFMD disebabkan
Beberapa Negara
oleh Coxsackievirus A type 16 (CV A16)
(Wikipedia, 2012 untuk HFMD dan Roy,
dengan bermacam-macam strain, yaitu
2012)
coxsackievirus A5, A7, A9, A10, B2 dan
B5. Namun demikian, yang menyebabkan
pandemik adalah Enterovirus 71 (EV-71).
Tahun
1997
1998
Negara
Jumlah kasus HFMD
Sarawak,
2626 terinfeksi dan 31
Malaysia
meninggal
Taiwan
405 terinfeksi, 78
(Roy, 2010).
meninggal
Penularan penyakit HFMD ini melalui
kontak langsung dari orang ke orang yaitu
melalui
droplet,
pilek
dan
air
mungkin
terjadi,
Sarawak,
14423 terinfeksi dan 13
Malaysia
meninggal
2008
Cina
25000 terinfeksi dan 42
liur.
Penularan melalui kontak tidak langsung
juga
2006
misalnya
meninggal
2008
Singapura
2009
Indonesia
2600 terinfeksi
Beberapa kasus
teridentifikasi dan berakhir
penggunaan handuk, baju, peralatan makan
dan
mainan
secara
bersama-sama.
fatal (meninggal)
2010
Cina
115000 kasus dilaporkan,
773 diantaranya mengalami
Biasanya penyakit ini muncul pada musim
komplikasi dan 50
panas. (CDC, 2012)
Gejala-gejala
yang
meninggal
timbul
untuk
terserang penyakit HFMD antara lain,
Tabel 2. Rasio Penyebaran HFMD di
demam selama 2 – 3 hari, disertai tidak ada
Beberapa Negara (WHO, 2012)
nafsu makan, pilek dan gejala seperti flu
Negara
Jumlah Kasus
Rasio
HFMD
(2012/
pada umumnya. Selanjutnya akan muncul
sariawan (pada lidah, gusi, pipi sebelah
2011
2012
2011)
Cina
34709
99052
2,9
Jepang
7819
6707
0,9
Korea
170
200
1
Singapore Medical Journal, bahwa pada
Singapura
4800
16345
3.4
awal kemunculan HFMD di Singapura
Vietnam
-
43196
dalam) dan timbul ruam di tangan dan
kaki.
Menurut Shah et all (2003) dalam
pada tahun 1972, penyakit ini menginfeksi
104 anak-anak dalam 3,5 bulan. Penyakit
Berdasarkan Tabel 1 dan 2, tampak
ini semakin meluas ke beberapa negara
bahwa HFMD telah menjadi ancaman bagi
penduduk
24
dunia.
Jika
dilakukan
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
penanganan yang tepat, anak-anak yang
menyatakan populasi yang rentan, kelas E
terserang penyakit ini bisa sembuh, tetapi
menyatakan
dapat terinfeksi kembali dengan strain
sebenarnya telah terinfeksi penyakit tetapi
virus yang berbeda. Namun, jika terjadi
belum menunjukkan gejala-gejala penyakit
komplikasi dapat menyebabkan radang
(disebut juga dengan kelas laten), kelas I
selaput otak dan radang otot jantung yang
menyatakan populasi yang terinfeksi, dan
mengarah pada kematian. Untuk itu,
kelas R menyatakan populasi yang telah
diperlukan analisa mengenai dinamika
sembuh dari penyakit.
penyakit HFMD agar penyebarannya dapat
Selanjutnya,
dicegah atau diminimalisir.
Wang
dan
Sung
jumlah
individu
dimisalkan
yang
S (t )
menyatakan jumlah individu dari kelas
(2007)
telah
menganalisa penyakit HFMD berdasarkan
model SIR. Dalam penelitiannya belum
dijelaskan mengenai populasi individu
yang sebenarnya telah terinfeksi penyakit
tetapi belum menunjukkan gejala-gejala
yang rentan pada saat t , E ( t ) menyatakan
jumlah individu yang sebenarnya telah
terinfeksi
penyakit
tetapi
belum
menunjukkan gejala-gejala penyakit pada
saat t (disebut juga dengan laten atau
I (t )
penyakit. Dalam paper ini, akan dianalisa
terpapar),
mengenai penyebaran penyakit HFMD dari
individu dari kelas yang terinfeksi dan
sudut
menular
pandang
matematika
sehingga
pada
menyatakan
saat
t,
dan
jumlah
R (t )
setelah dilakukan identifikasi perilaku
menyatakan jumlah individu dari kelas
penyakit di sekitar titik ekuilibrium dapat
yang sembuh pada saat t.
diketahui kapan HFMD akan menghilang
dan kapan akan mulai menyebar.
Analisa yang akan digunakan adalah
model SEIRS. Dalam hal ini populasi
individu yang sebenarnya telah terinfeksi
penyakit tetapi belum menunjukkan gejalagejala penyakit akan berada pada “kelas”
tersendiri yaitu kelas E. Selanjutnya,
penderita yang telah sembuh dapat kembali
rentan terhadap HFMD.
B.
Formulasi Model
Pada Model SEIRS, populasi dibagi
menjadi 4 kelas yaitu kelas S untuk
Pada model ini, laju kelahiran dan laju
kematian alami dinotasikan dengan α .
Sementara laju kematian karena HFMD
dinotasikan
dengan
µ.
Diasumsikan
bahwa semua bayi yang lahir, masuk ke
dalam kelas S. Karena individu yang
rentan setelah terjadi kontak dengan
individu terinfeksi akan berada dalam
masa inkubasi, sehingga akan masuk ke
dalam kelas E. Selanjutnya jika individu
tersebut telah menunjukkan gejala-gejala
penyakit, artinya individu telah terinfeksi,
maka masuk kelas I, dengan laju δ .
25
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
Individu yang telah sembuh akan masuk ke
strain yang berbeda, maka individu yang
dalam kelas R dengan laju γ . Oleh karena,
sudah masuk kelas R masuk kembali ke
individu yang pernah terkena penyakit
dalam kelas S dengan laju λ . Hal inilah
HFMD bisa terkena lagi tetapi dengan
mengapa model ini disebut dengan SEIRS.
Dari asumsi dapat digambarkan dalam diagram transfer sebagai berikut:
α
α
α
βI
S
α
δ
E
I
µ
γ
λ
R
α
Gambar 1. Diagram transfer model SEIRS
Selanjutnya, berdasarkan diagram
Populasi total dari Model (1) adalah
transfer tersebut diperoleh model SEIRS
S + E + I + R = 1.
untuk HFMD sebagai berikut:
C. Titik Ekuilibrium
dS
= α − β SI − α S + λ R
dt
(1.a)
dE
= β SI − α E − δ E
dt
(1.b)
dI
= δ E −α I − µI − γ I
dt
(1.c)
dR
= γ I − λR −α R
dt
(1.d)
Berdasarkan
Sistem
(1)
dapat
diperoleh dua jenis titik ekuilibrium yaitu
titik ekuilibrium
bebas penyakit dan
endemik yang dapat dijelaskan dalam
lemma berikut.
Lemma 1.
(i) Jika I = 0 , maka Sistem (1) mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit, P0 = (1,0,0,0 ) .
(ii)
,
I∗ =
26
Jika I ≠ 0 , maka Sistem (1) mempunyai titik ekuilibrium endemik, P = ( S ∗ , E ∗ , I ∗ , R∗ )
dengan
S∗ =
( α + δ ) (α + µ + γ ) ,
β
δ
E∗ =
(α + µ + γ ) I ∗ ,
αβδ − α (α + δ )(α + µ + γ )
γ
(λ + α )
I∗.
, R∗ =
+
+
+
+
−
β
(α δ )(α µ γ )( λ α ) λγδ
(λ + α )
δ
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
I =0
Bukti:
(i)
Sistem (1) akan mencapai titik ekuilibrium
Persamaan (3) dan (2.d), maka diperoleh
dS
dE
dI
dR
= 0,
= 0, = 0,
=0,
dt
dt
dt
dt
jika
sehingga Sistem (1) dapat ditulis
Jika
E = 0 dan
(2.a)
β SI − α E − δ E = 0
(2.b)
δ E −α I − µI − γ I = 0
(2.c)
γ I − λR −α R = 0
(2.d)
), maka dari Persamaan (3) diperoleh
(2.b),
maka
diperoleh
(α + µ + γ ) I = 0 .
β SI − (α + δ )
δ
Akibatnya
β
δ
R∗ =
γ
(λ + α )
I∗
S=
Jika
.
(5)
(α + δ ) (α + µ + γ )
β
atau I = 0 .
titik
(α + δ ) ( α + µ + γ )
=
β
berturut-turut
δ
seperti
dan
δ
Persamaan (2.a) diperoleh
αβδ − α (α + δ )(α + µ + γ )
(λ + α )
β
(α + δ )(α + µ + γ )( λ + α ) − λγδ
diperoleh
ekuilibrium
dengan
(6)
D. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas
Penyakit
Pada paper ini hanya akan dibahas
dan
pada
∗
∗
E ,I ,R
∗
Persamaan
(4),(6),(5).
Artinya penyakit HFMD masih ada dalam
populasi.
(4)
berdasarkan Persamaan (5), maka dari
P = ( S ∗ , E ∗ , I ∗ , R∗ )
S
δ
diperoleh
(α + δ ) (α + µ + γ )
S=
∗
(α + µ + γ ) I ∗
dan dari Persamaan (2.d) diperoleh
Persamaan
Jadi,
artinya
Jika I ≠ 0 ( dinotasikan dengan I ∗
(ii)
Jika Persamaan (3) disubtitusikan ke
I∗ =
P0 = (1, 0, 0, 0 ) ,
populasi bebas penyakit HFMD.
(3)
δ
jika
S = 1 . Jadi, diperoleh titik
ekuilibrium
E∗ =
(α + µ + γ ) I
Selanjutnya,
ke
disubtitusikan ke Persamaan (2.a), maka
Berdasarkan Persamaan (2.c) diperoleh
E=
R =0.
diperoleh
α − β SI − α S + λ R = 0
disubstitusikan
mengenai kestabilan Sistem (1) di sekitar
titik ekuilibrium bebas penyakit HFMD,
yang dijelaskan dalam lemma berikut.
Lemma 2.
(i) Jika
R0 =
βδ
< 1,
(α + δ )( µ + γ + α )
maka titik ekuilibrium P0 = (1, 0, 0, 0 )
stabil asimtotik global.
27
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
R0 =
(ii) Jika
βδ
> 1,
(α + δ )( µ + γ + α )
maka titik ekuilibrium P0 = (1,0,0,0 )
tidak stabil.
Bukti:
Matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium P0 = (1,0,0,0 ) adalah
J P0 =
−α
0
0
− (α + δ )
0
δ
0
0
−β
λ
β
0
− (α + µ + γ )
0
γ
−(λ + α )
(7)
Persamaan karakteristik dari (7) yaitu J P0 − kI = 0 , dengan k adalah nilai eigen,
−α − k
0
0
− (α + δ ) − k
0
δ
0
0
− (α + δ ) − k
⇔ ( −α − k )
−β
λ
β
0
=0
− (α + µ + γ ) − k
0
− (λ + α ) − k
γ
β
0
− (α + µ + γ ) − k
0
=0
γ
− (λ + α ) − k
δ
0
⇔ ( −α − k ) ( − ( λ + α ) − k )
− (α + δ ) − k
δ
β
=0
− (α + µ + γ ) − k
⇔ ( −α − k ) ( − ( λ + α ) − k ) ( − (α + δ ) − k ) ( − (α + µ + γ ) − k ) − βδ = 0
⇔ ( −α − k ) ( − ( λ + α ) − k ) k 2 + (α + δ + α + µ + γ ) k + (α + δ )(α + µ + γ ) − βδ = 0 . (8)
Persamaan
(8)
dapat
( −α − k ) ( − ( λ + α ) − k )
ditulis
menjadi
k 2 + Ak + B = 0 ,
A = (α + δ + α + µ + γ )
dengan
sedangkan
nilai-nilai eigen yang lain merupakan akar-
nilai
(9)
A = (α + δ + α + µ + γ ) > 0 .
Karena diketahui bahwa R0 < 1 , maka
nilai
B = (α + δ )(α + µ + γ ) − βδ
akar dari
k 2 + Ak + B = 0 .
βδ
.
(α + δ )( µ + γ + α )
(i) Perhatikan bahwa pada Persamaan (9)
Persamaan (8) diperoleh nilai-nilai eigen
k1 = −α dan
R0 =
didefinisikan
dan
B = (α + δ )(α + µ + γ ) − βδ . Berdasarkan
k2 = − ( λ + α ) ,
Selanjutnya
= 1−
βδ
(α + δ )(α + µ + γ )
(α + δ )(α + µ + γ )
= (1 − R0 )(α + δ )(α + µ + γ ) > 0
28
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
Di lain pihak, berdasarkan Kriteria Routh
= ( R0 − 1)(δ + α )(α + µ + γ ) I
Hurwitz (Eminugroho, 2009), pembuat nol
Karena diketahui R0 < 1 , maka V ( x ) < 0
dari Persamaan (9) akan bernilai negative
jika A > 0 dan B > 0 .
Hal ini berarti
untuk setiap x = ( S , E , I , R ) ∈
semua nilai eigen Persamaan (8) bernilai
bukan
negatif
x ≠ (1, 0, 0, 0 ) .
akibatnya
titik
ekuilibrium
P0 = (1, 0, 0, 0 ) stabil asimtotik lokal. Untuk
meninjau kestabilan global, didefinisikan
fungsi
4
+
Liapunov
V:
4
+
→
dengan
= {( S , E , I , R ) : S + E + I + R ≤ 1} dan
V ( x ) = δ E + (δ + α ) I
.
Diperhatikan bahwa fungsi V :
(10)
4
+
→
pada Persamaan (10) memenuhi:
a. Fungsi V kontinu dan mempunyai
turunan-turunan parsial yang kontinu
pada
4
titik
d.
Untuk
4
dan x
ekuilibrium,
yaitu
x = (1, 0, 0, 0 ) ,
maka
diperoleh V ( x ) = 0 .
Oleh karena a, b dan c terpenuhi, maka
berdasarkan Teorema La Salle Liapunov
(Hsu,
2005),
terbukti
bahwa
titik
ekuilibrium P0 = (1,0,0,0 ) stabil asimtotik
global.
(ii)
Diperhatikan
Karena diketahui
Persamaan
(9).
R0 > 1 , jelas bahwa
persamaan kuadrat pada Persamaan (9)
.
b. Fungsi V definit positif.
mempunyai diskriminan lebih besar dari
c. Jika kedua ruas dari Persamaan (10)
nol. Jika k3 dan k4 merupakan akar-akar
diturunkan terhadap t, maka diperoleh
dari
Persamaan
(9),
maka
diperoleh
k3k4 = B = (α + δ )(α + µ + γ ) − βδ
∂V dS ∂V dE ∂V dI ∂V dR
+
+
+
∂S dt ∂E dt ∂I dt ∂R dt
βδ
= 1−
(α + δ )(α + µ + γ )
dE
dI
(α + δ )(α + µ + γ )
=δ
+ (δ + α )
dt
dt
= (1 − R0 )(α + δ )(α + µ + γ )
= δ ( β SI − α E − δ E ) + (δ + α )(δ E − α I − µ I − γ I )
V ( x) =
= δβ SI + (δ + α )( −α I − µ I − γ I )
= (δβ S − (δ + α )(α + µ + γ ) ) I
=
Karena diketahui R0 > 1 , maka k3k4 < 0 ,
artinya akar-akar Persamaan (9) berbeda
δβ S
− 1 (δ + α )(α + µ + γ ) Itanda ( k3 positif dan k4 negative, atau
(δ + α )(α + µ + γ )
sebaliknya).
Jadi,
jika
R0 > 1 ,
maka
Persamaan (8) mempunyai satu nilai eigen
≤
,
δβ
− 1 (δ + α )(α + µ + γ ) I
(δ + α )(α + µ + γ )
yang positif, sehingga titik ekuilibrium
P0 = (1, 0, 0, 0 ) tidak stabil.
karena 0 < S ≤ 1
29
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
E. Simulasi Numerik
diberikan
Sistem persamaan diferensial untuk
simulasi
untuk
nilai
R0
meningkat. Nilai-nilai parameter diberikan
HFMD (1) dapat diselesaikan secara
sebagai berikut α = 0.1; λ = 0.1; δ = 0.98;
numerik dengan MAPLE 13. Berikut akan
µ = 0.2; γ = 0.2 . Jadi diperoleh
Gambar 2. Simulasi Sistem (1) dengan nilai Gambar 3. Simulasi Sistem (1) dengan nilai
β = 0.3
β = 0.5
Jika nilai-nilai parameter dengan β = 0.3
disubstitusikan pada Sistem (1), maka
diperoleh R0 = 0.54 . Berdasarkan Gambar
2, tampak bahwa perilaku solusi akan
menuju ke titik ekuilibrium P0 sesaat
setelah t = 30 . Pada saat nilai R0 = 0.9 ,
dari Gambar 3 tampak bahwa solusi akan
menuju P0 sesaat setelah t = 45 . Artinya,
pada saat nilai R0 semakin besar tetapi
masih kurang dari satu, maka semakin
lama
HFMD
akan
menghilang
dari
Gambar 4. Simulasi Sistem (1) dengan
nilai β = 0.998
populasi. Di lain pihak, ketika R0 > 1 ,
maka HFMD masih akan ada dalam
populasi. Seperti tampak pada Gambar 4
berikut
30
F. Kesimpulan
Diberikan model matematika untuk
penyebaran HFMD seperti pada Sistem (1)
Vol. 7, No. 1, Juni 2012
berdasarkan model SEIRS. Berdasarkan
Eminugroho R, (2009),
Analisa Kestabilan
Sistem (1) diperoleh dua titik ekuilibrium
Model SIRC Untuk Influenza Tipe A,
yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan
Jurnal
titik ekuilibrium endemik. Menggunakan
Diponegoro. Vol. 12 No. 3: 122-127.
teorema
La
Salle
Liapunov,
telah
Matematika
Universitas
Riry Sriningsih, 2008, Dinamika Dua Jenis
ditunjukkan bahwa titik ekuilibrium bebas
Influenza
penyakit stabil asimtotik global. Artinya,
Immunity Parsial Simetri, Tesis tidak
suatu saat HFMD akan benar-benar hilang
dengan
Isolasi
dan
Cross-
dipublikasikan, UGM.
Roy, N., Halder, N., (2010). Compartmental
dari populasi.
Berdasarkan simulasi yang telah
dilakukan, HFMD tidak akan ada lagi
dalam populasi atau masih ada, tergantung
dari nilai laju kontak. Jika laju kontak
individu yang rentan menjadi terpapar dan
individu terpapar menjadi terinfeksi kurang
dari laju kematian alami, laju kematian
karena HFMD, laju kesembuhan dan laju
transmisi sehingga individu yang telah
sembuh kembali rentan HFMD, maka pada
waktu tertentu HFMD akan menghilang
dari populasi. Jika sebaliknya, maka
Modeling of Hand, Foot and Mouth
Infectious
Disease
(HFMD).
Research
Journal of Applied Sciences. Vol. 5 No. 3:
177-182.
Roy, N., (2012). Mathematical Modelling of
Hand-Foot-Mouth Disease: Quarantine as a
Control Measure. IJASETR Research Paper
ISSN: 1839-7239. Vol. 1 Issue 2 Article 4.
Shah, V.A., C.Y. Chong, K.P. Chan, W. Ng.,
A.E.Ling. (2003). Clinical Characteristics
of an Outbreak of Hand, Foot, and Mouth
Disease in Singapore. Singapore Medical
Journal. Vol. 32 No. 3: 381-387.
HFMD tetap akan ada dalam populasi.
Wang, Y.C. and F.C. Sung. (2007). Modeling
the
G. Daftar Pustaka
Infections
Taiwan.
Hsu, Sze-Bi. (2005). A Survey of Constructing
Lyapunov Functions for Mathematical
for
Enteroviruses
in
Institute
of
Taiwan:
Environmental Health, National Taiwan
University College of Public Health.
Models in Population Biology. Taiwanese
Journal of Mathematics. Vol. 9 No. 2 pp.
Centers for Disease Control and Prevention
(CDC).
151-173
About
HFMD
http://www.cdc.gov/hand-footEminugroho,
(2009),
Modeling
the
Eradication of Aedes Aegypti with Sterile
Insect Technique, Proceedings of IICMA,
Gadjah Mada University, Yogyakarta, pp
301-312.
mouth/about/index.html diakses tanggal
22 Mei 2012
Wikipedia.
HFMD.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hand,_foot_a
31
Kestabilan Global Bebas Penyakit…(Eminugroho R)
nd_mouth_disease diakses tanggal 22 Mei
2012.
WHO, (2012), Hand, Foot and Mouth Disease
Update,
http://www.wpro.who.int/entity/emerging_
diseases/HFMD/en/index.html
tanggal 22 Mei 2012.
32
diakses