SISTEM ANTRIAN PEMBUATAN SIM DI POLRESTABES BANDUNG.

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Statistika

Oleh

Eka Septia Tantias NIM 1001102

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Oleh

Eka Septia Tantias

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk Memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

© Eka Septia Tantias 2014 Universitas Pendidikan Indonesia

Juli 2014

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhnya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.

disetujui dan disahkan oleh pembimbing :

Pembimbing I

Dra. Hj. Rini Marwati, M.Si. NIP. 196606251990012001

Pembimbing II

Drs. H. Maman Suherman, M.Si. NIP. 195202121974121001

Mengetahui

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc.,Ph.D. NIP. 196101121987031003

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN ... i

ABSTRAK ... ii

KATA PENGANTAR ... iv

UCAPAN TERIMA KASIH ... v

DAFTAR ISI ... vii

DAFTAR TABEL ... x

DAFTAR GAMBAR ... xii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 3

1.3 Tujuan Penulisan ... 3

1.4 Batasan Masalah ... 3

1.5 Manfaat Penulisan ... 4

1.6 Metode Penelitian ... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5

2.1 Teori Antrian ... 5

2.2 Konsep Dasar Teori Antrian ... 6

2.3 Karakteristik Sistem Antrian ... 6

2.3.1 Pola Kedatangan Pelanggan ... 6

2.3.2 Pola Pelayanan ... 7

2.3.3 Kapasitas Sistem ... 9

2.3.4 Disiplin Antrian ... 9

2.3.5 Notasi Kendal-Lee ... 10

2.4 Proses Stokastik ... 11

2.5 Proses Poisson ... 12

2.6 Proses Kelahiran dan Kematian ... 13

2.8 Peluang dan Ekspektasi dari Sistem Antrian ... 16

2.9 Uji Kecocokan Chi-Square ... 17

BAB III MODEL ANTRIAN PADA PEMBUATAN SIM C ... 19

3.1 Single Channel Multiple Phase ... 19

3.2 Model Antrian M/M/1 ... 20

3.3 Model Antrian M/M/k ... 28

3.3.1 Populasi dari n ≤ 2 ... 29

3.3.2 Populasi n > 2 ... 30

3.3.3 Hubungan Antara n dan k ... 31

3.3.4 Penentuan Peluang dan Ekspektasi ... 34

3.4 Model Antrian M/M/1 Pola Kedatangan Berkelompok ... 37

3.5 Model Antrian M/M/1 Pola Pelayanan Berkelompok ... 41

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ... 45

4.1 Gambaran Umum Antrian Pembuatan SIM di Polrestabes Kota Bandung ... 45

4.2 Pengolahan Hasil Penelitian ... 46

4.2.1 Pengolahan Data Loket Pendaftaran ... 46

4.2.1.1 Loket Pendaftaran untuk Kedatangan ... 46

4.2.1.2 Loket Pendaftaran untuk Waktu Pelayanan ... 49

4.2.2 Pengolahan Data Ruang Ujian Teori... 51

4.2.2.1 Ruang Ujian Teori untuk Kedatangan ... 51

4.2.2.2 Ruang Ujian Teori untuk Waktu Pelayanan ... 54

4.2.3 Pengolahan Data Ruang Ujian Simulator ... 56

4.2.3.1 Ruang Ujian Simulator untuk Kedatangan ... 56

4.2.3.2 Ruang Ujian Simulator untuk Waktu Pelayanan ... 58

4.2.4 Pengolahan Data Ruang Ujian Praktek ... 60

4.2.4.1 Ruang Ujian Praktek untuk Kedatangan ... 60

4.2.4.2 Ruang Ujian Praktek untuk Waktu Pelayanan ... 62

4.2.5 Pengolahan Data Loket Bank ... 64

4.2.5.1 Loket Bank untuk Kedatangan ... 65

4.2.6 Pengolahan Data Loket Foto ... 69

4.2.6.1 Loket Foto untuk Kedatangan ... 69

4.2.6.2 Loket Foto untuk Waktu Pelayanan ... 72

4.2.7 Pengolahan Data Loket Pengambilan SIM ... 73

4.2.7.1 Loket Pengambilan SIM untuk Kedatangan ... 74

4.2.7.2 Loket Pengambilan SIM untuk Waktu Pelayanan ... 76

4.3 Pembahasan Model Antrian Hasil Penelitian ... 78

4.3.1 Model Antrian Loket Pendaftaran ... 79

4.3.2 Model Antrian Ruang Ujian Teori ... 79

4.3.3 Model Antrian Ruang Ujian Simulator ... 81

4.3.4 Model Antrian Ruang Ujian Praktek ... 84

4.3.5 Model Antrian Loket Bank ... 84

4.3.6 Model Antrian Loket Foto ... 85

4.3.7 Model Antrian Loket Pengambilan SIM ... 86

BAB V PENUTUP ... 87

5.1 Kesimpulan ... 87

5.2 Saran ... 88

DAFTAR PUSTAKA ... 89

SISTEM ANTRIAN PEMBUATAN SIM DI POLRESTABES KOTA BANDUNG

EKA SEPTIA TANTIAS 1001102

ABSTRAK

Skripsi ini membahas mengenai model antrian single channel multiple phase dengan disiplin pelayanan FIFO (First In First Out) yakni suatu aturan pelayanan yang diberikan kepada pelanggan dimana pelanggan yang pertama kali datang adalah pelanggan yang terlebih dahulu dilayani. Salah satu fenomena yang menggambarkan model antrian single channel multiple phase terdapat pada sistem antrian pembuatan SIM. Pada sistem antrian pembuatan SIM, pemohon harus melewati beberapa tahapan antrian yang panjang yakni pendaftaran, ujian teori, ujian simulator, ujian praktek, administrasi, foto dan pengambilan SIM. Dengan adanya alur yang panjang tersebut, tentunya akan menghasilkan total waktu yang lama dalam proses pembuatan SIM. Setelah dikaji, berdasarkan model antrian pada masing-masing tahapan dapat disimpulkan bahwa model antrian pada loket pendaftaran, loket administrasi, loket foto, dan loket pengambilan SIM dengan masing-masing rata-rata kedatangan (ߣ) dan rata-rata pelayanan (ߤ) sebesar 0,29 orang/menit dan 1,11 orang/menit; 0,15 orang/menit dan 1,82 orang/menit; 0,18 orang/menit dan 0,95 orang/menit; 0,18 orang/menit dan 4,54 orang/menit. Model antrian pada ruang ujian teori yakni M/MK/1 dimana K=20 dengan ߣ=0,28 orang/menit dan ߤ=0,07 orang/menit. Model antrian pada ruang ujian simulator yakni MX/M/1 dengan ߣ=0,0375 orang/menit dan ߤ=0,32 orang/menit. Model antrian pada ruang ujian praktek yakni M/M/k dimana k=3 dengan ߣ=0,17 orang/menit dan ߤ=0,37 orang/menit. Berdasarkan hasil perhitungan baik manual maupun dengan bantuan software WINQSB 2.0 didapatkan rata-rata waktu dalam sistem (Ws) pada pendaftaran sebesar 1,2195 menit; ujian teori sebesar 65,6814

menit; ujian simulator sebesar 64,8824 menit; ujian praktek sebesar 9,4277 menit; administrasi sebesar 0,5988 menit; foto sebesar 1,2987 menit; dan pengambilan SIM sebesar 0,2294 menit sehingga total waktu dalam sistem antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung adalah 143,3379 menit.

QUEUEING SYSTEM MAKING DRIVER’S LICENSE INTHE CITY OF BANDUNG POLRESTABES

EKA SEPTIA TANTIAS 1001102

ABSTRACT

This Final Projectdiscusses

thesingle-channelmultiplephasequeuingmodelswithservice disciplineFIFO(First InFirst Out) which isarule ofthe service provided tothe customerin whichthecustomerisfirst comefirstservedcustomers. One phenomenonthat describes thesingle-channelqueuingmodel ofmultiplephasepresent inthe queuing systemdriver's license. In thequeuingsystemdriver's license, an applicantmustpass throughseveral stages oftheregistrationqueuelength, theory test, examsimulator, exampractice, administration, andtakingphotosSIM. With thepathlength, the course willresult inthe totallength of time inthe process of makingthe SIM. Onceassessed, based on themodel ofthe queueat eachstagecan be concludedthat themodel ofthe queueatthe registrationcounters, administrationcounters, photobooth, and thebooth

fortakingSIMwitheach averagearrival( ) and average service( )

are0.29person/minuteand1.11person/minute; 0.15person/minuteand1.82person/minute; 0.18person/minuteand0.95person/minute;

0.18person/minuteand4.54person/minute. Queuing modelinthetheoryexam’s roomis M/MK/1whereK=20with =0.28person/minuteand =0.07person/minute.

Queuing modelinthesimulatorexam’s roomis

MX/M/1with =0.0375person/minuteand =0.32person/minute. Queuing

modelonthat practice exam’s roomis

M/M/kwherek=3with =0.17person/minuteand =0.37person/minute. Based on calculationseithermanually orwithsoftwareWINQSB2.0obtainedaverage timein the system(Ws) onregistrationof1.2195min; theory testwas65.6814minutes;

examsimulatorfor64.8824minutes; practice examsfor9.4277min;

administrationof0.5988min; photoby1.2987minutes; and taking SIM

for0.2294minutesso the totaltimein the queuing systemCdriver's licenseinthe Polrestabes Bandung city is143.3379minutes.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari banyak orang melakukan aktifitas menunggu. Menunggu untuk memperoleh pelayanan barang atau jasa disebut dengan antri. Aktifitas mengantri dapat terlihat pada saat pembelian tiket kereta api di stasiun, pengisian bahan bakar di SPBU, pelayanan di bank, pengambilan tiket pada pintu tol dan lain sebagainya. Antrian tidak hanya terjadi pada manusia tetapi antrian juga terjadi pada barang yang siap dikemas atau menunggu untuk berbagai tahapan produksi lainnya.

Antrian adalah suatu garis tunggu dari pelanggan yang memerlukan layanan dari satu atau lebih fasilitas layanan. Studi matematika dari kejadian garis tunggu ini disebut teori antrian. Adanya kejadian garis tunggu ini disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kapasitas pelayanan atau fasilitas layanan sehingga pelanggan yang tiba tidak segera mendapatkan pelayanan. Antrian dapat dikurangi dengan menambah fasilitas pelayanan, namun untuk menambah fasilitas pelayanan membutuhkan biaya tambahan yang dapat mengurangi keuntungan perusahaan. Akan tetapi, jika tidak dilakukan penambahan fasilitas pelayanan akan mengakibatkan antrian yang panjang yang dapat menyebabkan hilangnya pelanggan. Sebaliknya jika tidak ada antrian dapat menyebabkan server

menganggur karena tidak ada pelanggan yang dilayani.

Dua komponen utama yang harus diperhatikan dalam sistem antian adalah laju kedatangan dan laju pelayanan. Bila laju kedatangan hampir mendekati laju pelayanan maka akan terjadi penumpukan pelanggan yang berada dalam suatu barisan tunggu. Semakin lama laju pelayanan maka akan semakin lama pula waktu tunggu bagi pelanggan yang berada dalam sistem antrian sehingga menimbulkan penumpukan pelanggan yang panjang. Maka dari itu waktu tunggu haruslah diminimumkan agar pelanggan mendapatkan kepuasan dari fasilitas pelayanan yang ada.

Secara umum, terdapat empat klasifikasi model pelayanan yaitu satu jalur antrian dan satu tahap pelayanan dinamakan single channel single phase sebagai contoh antrian di telepon umum, ada pula satu jalur antrian dan banyak tahap pelayanan dinamakan single channel multiple phase terjadi pada antrian di tempat pencucian mobil. Kemudian sistem pelayanan dengan banyak jalur antrian dan satu tahap pelayanan dinamakan multiple channel single phase tejadi pada antrian pembelian tiket bioskop dan yang terkhir pelayanan dengan banyak jalur antrian dan banyak tahap pelayanan dinamakan multiple channel multiple phase sebagai contoh antrian registrasi mahasiswa baru.

Polrestabes kota Bandungmerupakan suatu instansi yang bergerak di bidang jasa salah satunya pelayanan pembuatan SIM.Surat Ijin Mengemudi (SIM), bagi masyarakat umum tentunya sudah tidak asing lagi sebagai salah satu persyaratan yang harus dipenuhi bagi pengendara bermotor di jalan raya. Pembuatan SIM tiap kota/kabupaten hanya terpusat di satu tempat yaitu di polrestabes kota/kabupaten tersebut sehingga mengakibatkan timbulnya tumpukan masa. Lamanya waktu tunggu dalam proses pembuatan SIM akan menyebabkan semakin lamanya total waktu pelayanan proses pembuatan SIM dari awal pendaftaran sampai dengan SIM tersebut diterima oleh pemohon. Lamanya waktu pelayanan ini tidak jarang akan mengakibatkan antrian dalam pembuatan SIM. Disiplin antrian yang digunakan dalam pembuatan SIM yaitu FIFO (First In First Out) dimana pemohon yang pertama datang akan mendapatkan pelayanan terlebih dahulu. Alur proses pembuatan SIM secara umum adalah mulai dari pendaftaran SIM, ujian teori, ujian praktek, foto sampai SIM tersebut jadi tidak jarang akan terjadi antrian dalam tiap proses tersebut. Selain itu pula loket satu dengan loket lain yang berjauhan akan semakin menambah total waktu pelayanan pembuatan SIM. Kurangnya sumber daya atau petugas pada tiap loket pun dapat menghambat kelan caran proses pembuatan SIM.

Masalah utama dari proses pembuatan SIM adalah lamanya waktu tunggu sehingga dapat menimbulkan antrian pemohon SIM untuk mendapatkan layanan. Hal ini muncul karena alur yang harus dilalui pemohon rumit dan tidak seimbangnya jumlah pemohon yang datang dengan sumber daya yang tersedia.

Dampak yang timbul jika pemohon terlalu lama menunggu akan mengganggu kenyamananpemohon dalam mendapatkan pelayanan. Untuk itu, perlu dikaji lebih lanjut mengenai model antrian pembuatan SIM guna mendapatkan perhitungan berapa lama waktu yang dibutuhkan pelanggan dalam proses pembuatan SIM di Polrestabes kota Bandung.

Maka dari itu, hal ini melatarbelakangi penulis untuk mengangkat permasalahan ini sebagai judul skripsi yaitu “SISTEM ANTRIAN

PEMBUATAN SIM DI POLRESTABES KOTA BANDUNG”

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, penulis merumuskan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana sistem antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung? 2. Bagaimana model antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung? 3. Berapa rata-rata lama waktu dalam sistem antrian pembuatan SIM C di

Polrestabes kota Bandung?

4. Bagaimana rata-rata kedatangan dan rata-rata pelayanan dalam setiap tahapan antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung?

1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui sistem antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung. 2. Mengetahui model antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung. 3. Mengetahui rata-rata lama waktu dalam sistem antrian pembuatan SIM C di

Polrestabes kota Bandung.

4. Mengetahui rata-rata kedatangan dan rata-rata pelayanan dalam setiap antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung.

1.4 Batasan Masalah

Pembatasan masalah dalam skripsi ini, antara lain:

1. Permasalahan ini hanya mencakup kedatangan, pelayanan dan disiplin pelayanan FIFO.

2. Permasalahan ini hanya menyangkut antrian pembuatan SIM C tidak termasuk perpanjangan.

3. Permasalahan ini tidak memperhitungkan faktor biaya operasional.

4. Model antrian yang digunakan adalah antian single channel multiple phase.

1.5 Manfaat Penulisan 1.5.1 Manfaat Teoritis

Manfaat penulisan skripsi ini secara teoritis adalah menambah wawasan keilmuan tentang model antrian single channel multiple phase.

1.5.2 Manfaat Praktis

Informasi yang di dapat dari skripsi ini diharapkan dapat memberikan kontribusi bagi pihak Polrestabes kota Bandung untuk meningkatkan performa dan kinerja sehubungan dengan pelayanan pembuatan SIM C kepada masyarakat.

1.6 Metode Penelitian

Adapun metode penelitian yang dilakukan untuk penulisan skripsi ini adalah penelitian kuantitatif dimana penulis melakukan pencatatan waktu kedatangan dan waktu pelayanan pelanggan yang datang untuk melakukan pembuatan SIM C di Polrestabes Bandung yang kemudian data hasil penelitian diolah menggunakan software SPSS 20, WINQSB 2.0 dan Maple 13 yang membantu penulis dalam melakukan perhitungan.

BAB III

MODEL ANTRIAN PADA PEMBUATAN SIM C

3.1 Single Channel Multiple Phase

Sistem antrian single channel multiple phase merupakan sistem antrian dimana pelanggan yang tiba, dapat memasuki sistem dengan mengantri di tempat yang telah disediakan. Selama proses antrian, pelanggan akan dipanggil oleh seorang pelayan untuk mendapatkan pelayanan di loket pertama. Setelah mendapatkan pelayanan di loket pertama, pelanggan mengantri kembali untuk mendapatkan pelayanan di loket selanjutnya. Antrian dilakukan pelanggan sampai proses pelayanan selesai dan pelanggan keluar dari sistem antrian.

Dibawah ini akan disajikan gambar dari sistem antrian single channel multiple phase:

Gambar 3.1Single Channel Multiple Phase

Berdasarkan gambar diatas, sistem single channel multiple phase memiliki saluran pelayanan tunggal dalam setiap tahap pelayanan dimana pada pada pelayanan pertama hingga pelayanan ke-k hanya terdapat satu loket pelayanan. Kedatangan pelanggan ke loket pelayanan dapat terjadi satu per satu ataupun secara berkelompok seperti halnya pada pelayanan pembuatan SIM di Polrestabes kota Bandung, saat proses ujian simulator pelanggan datang secara berkelompok untuk kemudian mendapatkan pelayanan secara bergiliran. Selain itu pula, pada ujian teori pelanggan datang satu persatu namun pelayanan dilakukan secara berkelompok/borongan. Oleh karena itu perlu dibahas terlebih dahulu model

antrian pelayanan tunggal dengan pola kedatangan individu jugakedatangan berkelompok dan pelayanan berkelompok serta model antrian pelayanan majemuk pola kedatangan individu.

3.2 Model Antrian M/M/1

Dalam bagian ini akan dibahas cara mencari ekspektasi dari sistem antrian yang meliputi rata-rata banyak pelanggan dalam sistem (Ls), rata-rata jumlah

waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem (Ws), rata-rata jumlah

waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam antrian (Wq) dan rata-rata

banyaknya pelanggan dalam antrian (Lq). Pada model antrian M/M/1 diasumsikan

bahwa proses kedatangan dengan pelayanan adalah independent(tidak ada kaitan dalam perhitungannya). Dengan demikian peluang dari satu kedatangan selama periode waktu ∆ = h bersifat konstan yaitu ℎ (untuk satu kedatangan). Sedangkan peluang untuk pelayanan adalah ℎ (untuk satu pelayanan).Asumsi yang terakhir, harus dapat dianalisis dari periode waktu ∆ yang sangat kecil, yang akan mencapai (∆ )2 = h2= 0.

Dalam menguraikan model antrian M/M/1 perlu diketahui terlebih dahulu: a. n yaitu jumlah pelanggan dalam sistem.

b. Pn(t) yaitu peluang dari n pelanggan dalam sistem pada periode waktu t.

c. � = / yaitu peluang sistem dalam keadaan sibuk, dimana � < 1.

Berikut ini langkah-langkah yang dilakukan dalam menguraikan pelayanan tunggal yaitu:

a. Langkah 1: Tentukan besarnya Pn(t) dalam parameter dan .

b. Langkah 2: Berdasarkanhasil (a), cari expected number atau jumlah ekspektasi dari banyaknya pelanggan dalam sistem untuk parameter-parameter dan . c. Langkah 3: Gunakan hasil (b) untuk mendapatkan perumusan dari lamanya

waktu di dalam sistem dan rumus-rumus lainnya.

Kedatangan dan kepergian merupakan kejadian-kejadian yang saling bebas, sehingga kejadian-kejadian pada interval waktu tertentu tidak mempengaruhi kejadian pada interval waktu sebelumnya atau sesudahnya.

Proses kedatangan dan kepergian dalam suatu sistem antrian ditunjukkan pada gambar berikut:

Gambar 3.2Proses Kedatangan dan kepergian

Berdasarkan gambar 3.2 kemungkinan-kemungkinan kejadian saling lepas yang dapat terjadi jika terdapat n (n > 0) pelanggan dalam sistem pada waktu (t+h) adalah sebagai berikut:

Tabel 3.1 Jumlah Pelanggan pada Waktu (t + h) pada Model Antrian M/M/1

Kasus Jumlah

pelanggan pada waktu t

Jumlahkedatanga n pada waktu h

Jumlah pelayanan pada waktu h

Jumlah pelanggan pada waktu

(t + h)

1 n 0 0 n

2 n + 1 0 1 n

3 n – 1 1 0 n

4 n 1 1 n

��( +ℎ) = (peluang terdapat n pelanggan pada waktu t) x (peluang dari jumlah kedatangan pada waktu h) x (peluang dari jumlah pelayanan pada waktu h)

= [Pn(t)] (1- ℎ) (1- ℎ)

= Pn(t) [1- ℎ - ℎ + ℎ2]

��( +ℎ) = (peluang terdapat(n+1) pelanggan pada waktu t) x (peluang dari jumlah kedatangan pada waktu h) x (peluang dari jumlah pelayanan pada waktu h)

= [Pn+1(t)] (1- ℎ) ( ℎ)

= Pn+1(t) [ ℎ- ℎ2]

= Pn+1(t) ( ℎ)

��( +ℎ) = (peluang terdapat (n-1) pelanggan pada waktu t) x (peluang dari jumlah kedatangan pada waktu h) x (peluang dari jumlah pelayanan pada waktu h)

= [Pn-1(t)] ( ℎ) (1- ℎ)

= Pn-1(t) [ ℎ - ℎ2]

= Pn-1(t) ( ℎ)

Peluang kasus 4 berdasarkan definisi proses poisson bahwa � � ℎ 2 = �(ℎ) artinya peluang terdapat 2 atau lebih kejadian pada waktu h sangat kecil atau dianggap nol.

Karena kasus-kasus tersebut saling lepas, maka peluang terdapat n pelanggan dalam sistem pada waktu (t+h) dinyatakan dengan:

Pn(t+h) = kasus 1 + kasus 2 + kasus 3

= Pn(t) [1- ℎ - ℎ] + Pn+1(t) ( ℎ) + Pn-1(t) ( ℎ)

= Pn(t) - ℎPn(t) - ℎPn(t) + ℎPn+1(t) + ℎPn-1(t)

Berdasarkan asumsi, untuk h yang kecil berlaku: Pn(t) = Pn(t+h)

Pn(t) = Pn(t) [1- ℎ - ℎ] + Pn+1(t) ( ℎ) + Pn-1(t) ( ℎ)

atau

Pn+1(t) ( ℎ) = Pn(t) - Pn(t) [1- ℎ - ℎ] - Pn-1(t) ( ℎ)

= Pn(t) - Pn(t) + ℎPn(t) + ℎPn(t) - ℎPn-1(t)

= Pn(t) . ( ℎ + ℎ) - ℎPn-1(t)

= Pn(t) . h ( + ) - ℎPn-1(t)

��+1 =

�� . ℎ + − ℎ��−1( ) ℎ

��+1( ) = ��( ) +

− ��−1 (3.1) Selanjutnya, akan dicarai rumus umum Pn(t) dalam bentuk P0(t) dalam

parameter dan . Pertama-tama akan ditinjau segala cara untuk P0(t+h) yang

dapat terjadi:

Kasus 1:

a. Tidak ada unit pada waktu t (P0(t))

b. Tidak ada kedatangan dengan peluang (1- ℎ)

c. Tidak ada pelayanan dengan peluang (1- ℎ), dimana ℎ = 0 Maka, P0(t+h) pada kasus 1 yaitu:

P0(t+h) = P0(t) . (1- ℎ) . 1

Kasus 2:

d. Satu unit pada waktu t (P1(t))

e. Tidak ada kedatangan dengan peluang (1- ℎ) f. Melayani satu unit dengan peluang ℎ

Maka, P0(t+h) pada kasus 2 yaitu:

P0(t+h) = P1(t) . (1- ℎ) . ℎ

Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2, maka kemungkinan P0(t+h) yang dapat terjadi

yaitu:

P0(t+h) = kasus 1 + kasus 2

= P0(t) . (1- ℎ) + P1(t) . (1- ℎ) . ℎ

= P0(t) - ℎP0(t) + ℎP1(t) - ℎ2P1(t)

= P0(t) - ℎP0(t) + ℎP1(t)

Berdasarkan asumsi, untuk h yang kecil berlaku: P0(t) = P0(t+h)

P0(t) = P0(t) - ℎP0(t) + ℎP1(t)

ℎ�0( ) = P0(t) -P0(t) + ℎP1(t)

= ℎP1(t)

�1 =

ℎ�0( ) ℎ =�0( )

Kemudian untuk perumusan �_� dalam bentuk �₀ dalam dan pada setiap waktu maka �₀ = �₀ karena harus independen.

Sehingga diperoleh: Langkah 1:

�1 =�0

Berdasarkan rumus (3.1) telah dibuktikan bahwa :

��+1 = ��

+

− ��−1 apabila n = 1, maka:

�2 = �1

+

− �0 =�0

+

− �0 =�₀ + −1 =�₀ + −

=�₀ 2

Untuk n = 3 didapat:

�3 = �2

+

− �1 =�₀

2

+

− �0 =�₀

3₊ 2

3 − �0 2

=�₀

3₊ 2 ₋ 2 3

=�₀ 3

Untuk n = k didapat: �� =�0

�

Sehingga didapatkan: �� =�0

�

Atau

��( ) =�0( ) �

Berdasarkan kesimpulan ini, sudah diketahui �_�( ) dinyatakan dalam �₀ = �0( ) dalam parameter dan . Untuk mendapatkan �0 dalam bentuk dan dapat dikaitkan dengan peluang sistem dalam keadaan sibuk yaitu �= / , maka:

�0 = 1− ρ = 1− Dengan demikian diperoleh:

�� = 1− �

(3.2) Langkah 2:

Dalam langkah ini akan dicari rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem yang dinotasikan dengan Ls. Berdasarkan definisi ekspektasi:

= � . �(�) ∞

�=0 Sehingga,

= 0.� 0 + 1.� 1 + 2.� 2 + 3.� 3 + 4.� 4 + = 0 1−

0

+ 1 1− 1

+ 2 1− 2

+ 3 1− 3

+4 1− 4

+

= 1− + 2 1− 2

+ 3 1−

3

+ 4 1−

4 +

= 1− + 1− 2

+ 1−

2

+ 1− 3

+ 1−

3

+ 1−

3

+ 1− 4

+ 1−

4 + 1−

4

+ 1−

4 +

= 1− + 1− 2

+ 1−

3

+ 1−

4

+ +

= 1− 2

+ 1−

3

+ 1−

4

+ + 1−

3 + 1−

4

+ + 1−

4

+ +

= 1− 1 + + 2

+ 3

+ + 1− 2

1 + +

2

+ + 1−

3

1 + + + Dengan menggunakan deret geometri berikut:

�� _{, dengan ≠0} ∞

�=0

Akan konvergen dan mempunyai jumlah �=

1− � , apabila � < 1 Bentuk Ls diatas menjadi:

= 1− 1 1−

+ 1− 2

1 1−

1− 3

1 1−

+

= − − + − 2

− +

−

3

− +

= + 2

+ 3

+

= 1 + + 2

+

= 1 1− = −

=

− (3.3)

Jadi, rata-ratajumlah pelanggan dalam sistem yaitu

= −

Dengan demikian langkah kedua selesai dengan Ls dapat dinyatakan dalam bentuk

dan . Langkah 3:

Dalam penguraian lebih lanjut, perlu dicari rata-rata waktu yang dibutuhkan seorang pelanggan dalam sistem (Ws), Rata-rata jumlah waktu yang

dihabiskan seorang pelanggan dalam antrian (Wq), rata-rata banyaknya pelanggan

dalam antrian (Lq).

1. Rata-rata waktu yang dibutuhkan seorang pelanggan dalam sistem (Ws)

= 1 .

= 1

− (3.4) 2. Rata-rata jumlah waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam antrian(Wq)

= −1 = 1

− − 1

=

− (3.5) 3. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian (Lq)

= . = .

− =

2

− (3.6) 3.3 Model Antrian M/M/k

Penguraian untuk pelayanan majemuk model antrian M/M/k sama halnya pada pelayanan tunggal M/M/1, perbedaannya terletak pada pelanggan yang tidak perlu menunggu terlalu lama karena paling sedikit ada k pelayanan untuk melayani pelanggan. Pertama-tama dicari Pn(t) dalam parameter , dan k. Disini

akan diuraikan dua kasus yakni untuk populasi (n k) dan (n > k) untuk k = 2 Sebelumnya akan dicari P1 melalui kemungkinan kejadian-kejadian saling

lepas dimanaP0 dapat muncul pada saat (t+h)

1. Tidak terdapat pelanggan pada saat t (�₀( )), tidak ada kedatangan dengan peluang (1− ℎ) dan tidak ada pelayanan dengan peluang 1.

2. Hanya ada satu pelanggan pada saat t (�₁( )), tidak ada kedatangan dengan peluang (1− ℎ) dan melayani satu pelanggan dengan peluang ( ℎ). Dengan demikian:

�0 +ℎ =�0 1− ℎ +�1( )(1− ℎ)( ℎ) Bedasarkan asumsi, untuk h yang kecil berlaku:

maka

�0 =�0 1− ℎ +�1( )(1− ℎ)( ℎ) �0 =�0 − ℎ�0 + ℎ�1 − ℎ2�1 0 = − ℎ�0 + ℎ�1

ℎ�0 = ℎ�1

�1 = �0untuk setiap t (3.7)

3.3.1 Populasi dari n ≤ 2

Akan ditentukan kemungkinan-kemungkinan P1dapat muncul seperti yang

terlihat pada tabel di bawah ini:

Tabel 3.2 Tabel Kemungkinan P1 pada Waktu (t+h)

Kasus Jumlah

pelanggan pada waktu t

Jumlahkedatanga n pada waktu h

Jumlah pelayanan pada waktu h

Jumlah pelanggan pada waktu

(t + h)

1 0 1 0 1

2 1 0 0 1

3 2 0 1 1

�1( +ℎ)= �0( ) ℎ

�1( +ℎ)= �1 1− ℎ 1− ℎ �1( +ℎ)= �2 1− ℎ 2 ℎ

Perlu diketahui bila kedua pelayanan diisi maka probabilitas satu server adalah ℎ+ ℎ = 2 ℎ, dimana ℎ2 = 0. Karena ketiganya merupakan kejadian saling lepas dan berlaku untuk setiap t, maka

�1 =�0 ℎ +�1 1− ℎ 1− ℎ +�2 1− ℎ 2 ℎ

�1 = ℎ �0+�1− ℎ �1− ℎ �1+ ℎ2�1+ 2 ℎ �2− 2 ℎ2 �2 0 = ℎ �0− ℎ �1− ℎ �1+ 2 ℎ �2

�2 =

ℎ( + ) 2ℎ �1−

ℎ 2ℎ �0

�2 =

( + )

2 �1−2 �0

Rumus ini dapat diuraikan untuk peluang dalam n kedatangan, sehingga �_� dapat dirumuskan:

�� =

( + (� −1) )

� ��−1− � ��−2 (3.8) Untuk n = 2, 3, ..., k untuk n k

3.3.2 Populasi dari n > 2

Akan dicari peluang terdapat n pelanggan pada waktu (t+h) dengan kemungkinan kejadian sebagai berikut:

Tabel 3.3 Jumlah Pelanggan pada Waktu (t+h) pada Model Antrian M/M/k

Kasus Jumlah

pelanggan pada waktu t

Jumlahkedatanga n pada waktu h

Jumlah pelayanan pada waktu h

Jumlah pelanggan pada waktu

(t + h)

1 n 0 0 n

2 n+1 0 1 n

3 n-1 1 0 n

��( +ℎ)= ��( )(1− ℎ)(1−2 ℎ) ��( +ℎ)= ��+1 1− ℎ 2 ℎ ��( +ℎ)= ��−1 ℎ 1−2 ℎ Jadi,

�� +ℎ = �� 1− ℎ 1−2 ℎ +��+1 1− ℎ 2 ℎ +�_�−1 ℎ 1−2 ℎ

Berdasarkan asumsi, untuk h yang kecil berlaku: �� +ℎ = ��

Untuk setiap t didapat

�� =�� − ℎ �� −2 ℎ�� + 2 ℎ2�� + 2 ℎ ��+1 −2 ℎ2��+1+ ℎ ��−1 −2 ℎ2�_�−1

�� =�� − ℎ �� −2 ℎ�� + 2 ℎ ��+1+ ℎ ��−1 0 = − ℎ �_� −2 ℎ�_� + 2 ℎ �_�+1+ ℎ ��−1

2 ℎ �_�+1 = ℎ �_� + 2 ℎ�_� − ℎ �_�−1 ��+1 =

ℎ + 2

2 ℎ �� − ℎ 2 ℎ ��−1 ��+1 =

+ 2

2 �� −2 ��−1untuk n > 2

Rumus ini dapat dikembangkan untuk k pelayanan menjadi:

�� = +_� � ��−1− � ��−2untuk n k + 1 (3.9)

3.3.3 Hubungan Antara n dan k 1. Untuk kasus n < k

Telah diketahui: �1 = �0

�2 =

( + )

2 �1−2 �0

Dengan melakukan substitusi didapat: �2 =

( + )

2 �0−2 �0 =

2 �0 +

−1 =

2 �0

+ −

=

2 �0 �2 =

�0 2

2

�3 =

+ 2

= + 2 3

�0 2

2

−₃ �0

=�0 2

+ 2 2.3 −

1 3 =�0

2

+ 2 −2 2.3 =�0

2

2.3 �3 = �0

3 1 2.3

�� =�0 1 �!

�

Dimana n = 0, 1, 2, ..., k-1

2. Untuk n = k

Dengan menggunakan rumus dari persamaan (3.8) �� = ( + (� −_� 1) )��−1 − � ��−2

=( + (� −1) )

� �0

1

(� −1)! �−1

− � �0 1

(� −2)! �−2

=( + (� −1) ) �

�0

(� −1)! �−1

− �0

�(� −2)! �−1

= �0

�(� −2)! �−1

+ (� −1) (� −1) −1 = �0

�(� −2)! �−1

(� −1) = �0

�(� −2)!

� ₁

�� = �_�0_! �

3. Untuk n = k+1

dengan menggunakan pengembangan dari rumus (3.9) didapat ��+1 =

+�

� �� − � ��−1 = +�

�

�0 �!

�

− � �0

(� −1)! �−1 = +� � �0 �! � −�0

�! �

=�0 �!

� _+�

� −1

=�0 �!

� � ��+1 =

�0 �!�

�+1

4. Untuk n = k+2

dengan menggunakan pengembangan dari rumus (3.9) didapat ��+2 =

+�

� ��+1− � �� = +�

�

�0 �!�

�+1

− � �0 �! � = +� � �0 �!� �+1 − �0

�!� �+1

= �0 �!�

�+1

+�

� −1

= �0 �!�

�+1 �

��+2 = �0 �!�2

�+2

�� =_�!��0_�−� �

(3.10)

3.3.4 Penentuan Peluang dan Ekspektasi

Langkah terakhir adalah menentukan �₀untuk n < k dan n k. Perlu diketahui bahwa :

�� = 1 ∞

�=0

�� juga terbagi menjadi dua kasus: 1. n < k-1

2. n k

sehingga jumlah peluang dari kedua kasus tersebut adalah 1 �0 �−1 �=0 1 �! �

+ �0

�!��−� ∞

�=�

� = 1 �0 1 �! �−1 �=0 �

+�0 �! 1 ��−� ∞ �=� � = 1 �0 1 �! �−1 �=0 �

+�0 �!

1 ��−�

�

+ 1

�(�+1)−� �+1

+ 1

�(�+2)−� �+2

+ = 1

�0 1 �! �−1 �=0 �

+�0 �! � +1 � �+1 + 1 �2 �+2

+ = 1

�0 1 �! �−1 �=0 �

+�0 �!

�

1 +1 � +

1 �2

2

+ = 1

�0 1 �! �−1 �=0 �

+�0 �!

� ₁

1− �

�0 1 �! �−1 �=0 � + 1 �! � _�

� − = 1

�0 =

1 1 �! �−1 �=0 � +_�1

!

� _�

� −

Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian (Lq)

= (� − �)�_� ∞

�=�

= � − � �_�

∞ �=�+1 =�

�

�! � − � �

� ∞

�=�+1

�0

=� �

�!�0 � � � ∞

�=�+1 − � �

� ∞

�=�+1 =�

�

�!�0 �+ 1 � � ∞

�=�+1

− �+ 1

� � ∞

�=�+1

=� �

�!�0 �+ 2 � �+1

+ �+ 3 �

�+1

+ �+ 4 �

�+1

+

− �+ 1 � �+1 + � �+2 + � �+3 + =� �

�!�0 � �+1

�+ 2 + �+ 2 + 1

� + �+ 2 + 2 � 2

+

− �+ 1 �

�+1

1 + � + � 2

+ Perhatikan bahwa:

+ +� + + 2� 2+ =

1− + � 1− 2 = �+ 2,� = 1, =

� Sehingga diperoleh,

=� �

�!�0 � �+1

(�+ 2) 1−

�

+ �

1−_�

2 − �+ 1 _� �+1

1 1− _�

=� �

�!�0 �

�+1 ₍�_{+ 2) 1}−

� +�

1− �

2 − �+ 1

� �+1 1− � =� � �!�0

�+ 2 _� � +1

− �+ 2 _� � +2 + _� � +2 1− � 2

− �+ 1 � �+1

1−_� 1−

� 2

=� � �!�0

�+ 2 _� � +1

− �+ 1 _� � +2

1− �

2

− �+ 1 � �+1

− �+ 1 �

�+1

1−_� 2

=� � �!�0

� �+1

1−_� 2

= �� ��+1

�! �0

�+1 1−_�

= 1 �.�!�0

�+1 1−

�

2 (3.11)

Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem (Ls)

= 1 �.�!�0

�+1 1−

�

2 + (3.12)

Rata-rata waktu yang dibutuhkan seorang pelanggan dalam sistem (Ws)

= 1 �.�!�0

�+1 1−_�

2 +

(3.13) Rata-rata jumlah waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam antrian (Wq)

= 1 �.�!�0

�+1 1−_�

2

(3.14) (Kakiay, 2004:90)

3.4 Model Antrian M/M/1 Pola Kedatangan Berkelompok

Pada model antrian ini para pelanggan datang secara berkelompok pada waktu yang sama dan mendapat pelayanan secara bergiliran. Jumlah pelanggan dalam kelompok yang satu berbeda dengan kelompok yang lain. Misalkan dalam antrian pembuatan SIM, pemohon SIM yang datang untuk melakukan ujian simulator datang secara berkelompok tergantung dari jumlah pemohon yang lulus pada tahap ujian tulis dimana jumlah pemohon yang lulus pada kelompok satu, dua dan selanjutnya berbeda-beda. Jadi, jumlah pelanggan dalam satu kelompok yang datang selalu acak.

Model antrian M/M/1 pola kedatangan berkelompok dinotasikan dengan MX/M/1. Pada model antrian MX/M/1, ukuran suatu kelompok yang masuk kedalam suatu sistem antrian merupakan variabel acak positif X. Jika laju kedatangan suatu kelompok yang terdiri dari k pelanggan dinyatakan dengan _� maka peluang kedatangan suatu kelompok berukuran k yaitu:

� =� = _� = � Dimana = ∞_{�=1 �}

Berikut ini adalah ilustrasi gambar untuk model antrian M/M/1 dengan kedatangan kelompok acak, dengan jumlah pelanggan dalam kelompok satu, dua atau n pelanggan:

Gambar 3.3Pola Kedatangan Berkelompok Acak Berdasarkan (Anaviroh, 2011:60),dari gambar di atas kemungkinan-kemungkinan kejadian saling lepas yang dapat terjadi dengan pola kedatangan berkelompok yang berukuran k (1 � �) jika terdapat n (n > 0) pelanggan dalam sistem pada waktu (t+h) adalah sebagai berikut:

Tabel 3.4 Jumlah Pelanggan pada Waktu (t+h) padaModel Antrian MX/M/1

Kasus Jumlah

pelanggan pada waktu t

Jumlahkedatanga n pada waktu h

Jumlah pelayanan pada waktu h

Jumlah pelanggan pada waktu

(t + h)

1 n 0 0 n

2 n + 1 0 1 n

4 n 1 1 n

Peluang satu kedatangan secara individu selama periode Δ =ℎ adalah ℎ. Sedangkan pada model antrian dengan pola kedatangan berkelompok, peluang satu kedatangan yang terdiri dari � pelanggan selama periode Δ = ℎ adalah _�ℎ dimana _� merupakan distribusi ukuran kelompok kedatangan.

Berdasarkan tabel 3.4 terlihat perbedaan kemungkinan kejadian pada model antrian M/M/1 dengan model antrian MX/M/1 yaitu pada kasus ketiga. Kasus ketiga dapat diuraikan sebagai berikut:

��( +ℎ)= peluang kedatangan berukuran 1 + peluang kedatangan berukuran 2 + ... + peluang kedatangan berukuran n

= Pn-1(t) ( 1ℎ) (1- ℎ) + Pn-2(t) ( 2ℎ) (1- ℎ) + ... + P0(t) ( _�ℎ) (1- ℎ)

= Pn-1(t) ( 1ℎ) + Pn-2(t) ( 2ℎ) + ... + P0(t) ( _�ℎ)

= �_�−� �ℎ �

�=1

maka Pn(t+h) pada kasus model antrian dengan pola kedatangan berkelompok

yaitu:

�� +ℎ = kasus 1 + kasus 2 + kasus 3 + kasus 4

=�_� t 1− ℎ − ℎ +�_�+1(t)( ℎ) + �_{�−� �}ℎ �

�=1

=�_� t − ℎ�_� t − ℎ�_� t + ℎ�_�+1(t) + ��−� �ℎ �

�=1 Berdasarkan asumsi, untuk h yang kecil berlaku:

�� =�� +ℎ

�� =�� t − ℎ�� t − ℎ�� t + ℎ��+1(t) + ��−� �ℎ �

�=1

0 =− ℎ�_� t − ℎ�_� t + ℎ�_�+1(t) + ��−� �ℎ �

0 =− + ℎ�_� t + ℎ�_�+1 t + ��−� �ℎ �

�=1

, untuk n 1 Berdasarkan perumusan pada model antrian M/M/1 sebelumnya didapatkan:

�0 = �1

�1− �0 = 0 (3.15 )

Untuk n 1

0 =− + �_� + �_�+1+ �_{�−� �} �

�=1

, untuk setiap t (3.15 ) Perumusan peluang dan ekspektasi model antrian MX/M/1 adalah sebagai berikut:

1. Peluang fasilitas pelayanan akan kosong (�₀), yaitu:

�0 = 1− (3.16) Dengan = ( ) adalah nilai harapan ukuran kelompok yang masuk dalam sistem.

2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem ( ), yaitu:

= �

+ ( 2)

2(1− �) (3.17) atau

= + 1 2

�

1− � (3.18)

3. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian ( ), yaitu:

= �

+ ( 2)

2(1− �) − � (3.19) atau

= + 1 2

�

4. Rata-rata jumlah waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem ( ), yaitu:

= �

+ ( 2)

2 ( )(1− �) (3.21) atau

= 1 2 (1− �)

+ 2

(3.22)

5. Rata-rata jumlah waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam antrian ( ), yaitu:

= �

+ ( 2) 2 ( )(1− �)−

1

(3.23) atau

= 1

2 (1− �)

2_{− (1−2�)}

(3.24) (Anaviroh, 2011:73-77)

3.5 Model Antrian M/M/1 Pola Pelayanan Berkelompok

Model antrian M/M/1 dengan pelayanan berkelompok adalah suatu sistem

antrian yang pelayanannya mampu melayani pelanggan secara

berkelompok/borongan sebanyak k pelanggan dalam satu waktu. Namun jika jumlah pelanggan yang datang kurang dari k pelanggan maka pelanggan tersebut akan tetap mendapatkan pelayanan tanpa harus menunggu hingga k pelanggan. Model antrian M/M/1 dengan pelayanan berkelompok dinotasikan dengan M/MK/1.

Contoh kasus pada model antrian ini adalah antrian ujian teori pada proses pembuatan SIM di Polrestabes Bandung, dimana ruang ujian memuat paling banyak 20 pemohon.

Selanjutnya akan dicari perumusan probabilitas dan ekspektasi dari model antrian M/MK/1. Pertama-tama akan dicari kemungkinan kejadian-kejadian saling lepas dimana P0 dapat muncul pada saat (t+h):

1. Tidak terdapat kedatangan pada saat t (P0(t)), tidak ada kedatangan dengan

peluang (1− ℎ) dan tidak ada pelayanan dengan peluang 1.

2. Terdapat i pelanggan pada saat t (Pi(t)), tidak ada kedatangan dengan

peluang (1− ℎ) dan terdapat i pelanggan yang dilayani dengan �= 1, 2,…,� dengan peluang ( ℎ)

Dengan demikian

�0 +ℎ =�0 1− ℎ +�� 1− ℎ ( ℎ) Berdasarkan asumsi, untuk h yang kecil berlaku: �0 +ℎ =�0

Maka

�0 =�0 1− ℎ +�� 1− ℎ ( ℎ) �0 =�0 − ℎ�0 + ℎ ��( )

� �=1 0 = − �0 + ��

� �=1

(3.25) Selanjutnya akan ditentukan kemungkinan-kemungkinan n pelanggan dapat muncul pada saat (t+h) seperti yang terlihat pada tabel di bawah ini:

Tabel 3.5 Jumlah Pelanggan pada Waktu (t+h) Pada Model Antrian M/MK/1

Kasus

Jumlah Pelanggan pada Waktu t

Jumlah Kedatangan pada Waktu h

Jumlah Pelayanan pada Waktu h

Jumlah Pelanggan pada

waktu (t+h)

2 n – 1 1 0 n

3 n + k 0 k n

Berdasarkan tabel di atas, terlihat perbedaan kemungkinan kejadian pada model antrian M/M/1 dengan model antrian M/MK/1 yaitu pada kasus ketiga. Kasus ketiga dapat diuraikan sebagai berikut:

��( +ℎ) = ��+�( )(1− ℎ)( ℎ)

Maka Pn (t+h) pada kasus model antrian M/MK/1 yaitu:

�� +ℎ = kasus 1 + kasus 2 + kasus 3

�� +ℎ = �� 1− ℎ 1− ℎ +��−1 ℎ 1− ℎ +�_�+� 1− ℎ ( ℎ)

�� +ℎ = �� 1− ℎ − ℎ +��−1 ℎ +��+� ( ℎ) �� +ℎ = �� − ℎ�� − ℎ�� + ℎ��−1 + ℎ��+� Berdasarkan asumsi, untuk h yang kecil berlaku:

�� +ℎ = �� Sehingga

�� =�� − ℎ�� − ℎ�� + ℎ��−1 + ℎ��+� 0 = − ℎ�_� − ℎ�_� + ℎ�_�−1 + ℎ�_�+�

0 = − + �_� + �_�−1 + ��+� (� 1) (3.26) Persamaan (3.25) dan (3.26) dapat ditulis kembali menjadi

0 = �_� + �_�−1+ + �1− �0 (3.27) 0 = − + �_� + ��−₁+ ��_+� � 1 (3.28) Berdasarkan buku Fundamentals of Queueing Theory,Persamaan (3.28) dapat dinyatakan sebagai:

�+1_{− + + �}

� = 0 � 0 (3.29) Dimana D merupakan persamaan karakteristik

Misalkan ₁, 2,…, �+1 adalah akar-akar dari persamaan karakteristik, maka �� = � �� (� 0)

�+1 �=1 Dengan _� adalah konstanta

Kita tahu bahwa ∞_�=0�_� = 1, sehingga masing-masing _� harus kurang dari satu atau _� = 0 untuk semua _� yang lebih dari satu. Sehingga dapat di ketahui bahwa jumlah dari seluruh akar kurang dari satu. Berdasarkan teorema rouche hanya terdapat satu akar katakanlah ₀ yang nilainya berada pada selang (0,1) sehingga

�� = 0� (� 0, 0 < 0 < 1)

Dengan menggunakan kondisi batas dan ∞_�=0�_� = 1, kita dapatkan = �0 = 1− 0

Maka

�� = (1− 0) 0� � 0, 0 < 0 < 1 (3.30) Selanjutnya akan dicari ekspektasi dari model antrian M/MK/1. Karena bentuk di atas serupa dengan model antrian M/M/1, kita dapat menulis

1. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem (Ls)

= 0

1− 0

(3.31) 2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian (Lq)

= 0

1− ₀− 0 (3.32) 3. Rata-rata jumlah waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem (Ws)

= 0 1−0

0

= 1

(1− ₀) (3.33) 4. Rata-rata jumlah waktu yang dibutuhkan seorang pelanggan dalam antrian

(Wq)

= 0 1−0− 0

0

= 0

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan pada bab sebelumnya dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Sistem antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung merupakan sistem antrian yang menerapkan model single channel multiple phase yakni satu jalur antrian yang terdiri dari tujuh tahap pelayanan yaitu pemohon yang hendak melakukan pembuatan SIM harus mendaftarkan diri terlebih dahulu di loket pendaftaran, kemudian mengikuti ujian teori, setelah dinyatakan lulus pemohon dapat melakukan ujian simulator setelah lulus uji simulator, pemohon melakukan ujian praktek di lapangan. Dan jika dinyatakan lulus kembali, pemohon mengantri di loket foto untuk menunggu giliran foto. Terakhir, setelah selesai foto pemohon mengantri kembali di loket pengambilan SIM untuk mengambil SIM yang telah jadi.

2. Model antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung yaitu M/M/1 yang merupakan model antrian pada loket pendaftaran, loket bank, loket foto dan loket pengambilan SIM, M/MK/1 merupakan model antrian pada ruang ujian teori dengan K = 20, ukuran maksimal dalam kelompok pelayanan, MX/M/1 merupakan model antrian pada ruang ujian simulator dengan X merupakan ukuran kelompok kedatangan dan M/M/3 merupakan model antrian pada ruang ujian praktek. Dimana keseluruhan model antrian memiliki distribusi kedatangan yang berasal dari distribusi poisson dan distribusi waktu pelayanan berasal dari distribusi eksponensial.

3. Rata-rata lama waktu dalam sistem dinotasikan dengan Ws dimana dalam

setiap tahapan antrian memiliki rata-rata lama waktu dalam sistem yaitu pada loket pendaftaran 1,2195 menit, ujian teori 65,6814 menit, ujian simulator 64,8824menit, ujian praktek 9,4277 menit, loket bank 0,5988 menit, loket foto 1,2987 menit dan loket pengambilan SIM 0,2294 menit. Sehingga total lama waktu dalam sistem antrian pembuatan SIM C adalah 143,3379menit.

4. Rata-rata kedatangan dan pelayanan dalam setiap antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung yaitu:

a. Pada loket pendaftaran memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,29 orang per menit dengan rata-rata pelayanan sebesar 1,11 orang per menit.

b. Pada ruang ujian teori memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,28 orang per menit dengan rata-rata pelayanan seluruhnya sebesar 0,07 orang per menit.

c. Pada ruang ujian simulator memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,0375 orang per menit dengan rata-rata pelayanan sebesar 0,32 orang per menit. d. Pada ruang ujian praktek memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,17

orang per menit dengan rata-rata pelayanan seluruhnya sebesar 0,37 orang per menit.

e. Pada loket bank memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,15 orang per menit dengan rata-rata pelayanan seluruhnya sebesar 1,82 orang per menit.

f. Pada loket foto memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,18 orang per menit dengan rata-rata pelayanan sebesar 0,95 orang per menit.

g. Pada loket pengambilan SIM memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,18 dengan rata-rata pelayanan sebesar 4,54 orang per menit.

5.2 Saran

Berdasarkan kesimpulan diatas, penulis memberikan saran kepada pihak Polrestabes kota Bandung sehubungan dengan pelayanan pembuatan SIM C kepada masyarakat untuk menambah unit pelayanan pada ruang ujian simulator dan ujian teori agar waktu tunggu dalam antrian pembuatan SIM C dapat diminimalkan. Pada penelitian selanjutnya disarankan untuk memperhitungkan tipe atau jenis SIM, melakukan simulasi untuk mengetahui jumlah unit layanan yang optimal dengan memperhitungkan faktor biaya operasional serta melakukan perhitungan perbedaan tingkat kedatangan pemohon SIM setiap harinya antara hari yang cenderung ramai dengan hari biasa.

DAFTAR PUSTAKA

Anaviroh. (2012). Model Antrian Satu Server Dengan Pola Kedatangan Berkelompok (Batch Arrival). [Online]. Tersedia: http://eprints.uny.ac.id/237/1/Anaviroh-07305144027.pdf.[2 Maret 2014]

Bethaviana, H. (2009). Teori Antrian Model Mi/Gi/1 dengan Menggunakan Disiplin Pelayanan Prioritas Non-Preemptive. Skripsi pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Firmansyah, H.M. (2010). Analisa Sistem Antrian untuk Mengoptimalkan Jumlah Loket Pembayaan Telepon dengan Model Simulasi (Studi Kasus di PT. TELKOM TELEKOMUNIKASI SURABAYA JATIM). [Online]. Tersedia: http://digilib.upnjatim.ac.id/files/disk1/4/jiptupn-gdl-hamzahmali-162-4-bab2.pdf. [20 Januari 2014].

Gelenbe, E &Pujolle, G. (1987). Introduction to Queueing Network. New Delhi: John Willey & Son.

Gross, D & Harris, C.M. (1974). Fundamental of Queueing Theory. New York: John Willey & Son.

Herrhyanto, N & Gantini, T. (2009). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.

Kakiay, T.J. (2004). Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata. Yogyakarta: Andi.

Kusnaeni. (2009). Model Antrian M/M/1 Dengan Pola Kedatangan Berkelompok.

Skripsi pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Lusianik, F. (2011). Simulasi Sistem Antrian Pembuatan SIM di Satpas Polres Jember. [Online]. Tersedia: http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-15187-Presentation-pdf.pdf. [7februari 2014].

Ross, S.M. (1997). Introduction to Probability Models Sixth Edition. USA: Academic Press.

Ross, S.M. (1996). Stochastics Processes Second Edition. UnitedStates: John Willey & Son.

Subekti, R & Binatari, N. Modul Praktikum Teori Antrian. [Online]. Tersedia:https://www.google.com/#q=modul+winqsb+untuk+analisis+teori +antrian&start=10. [18 April 2014].

Sudjana. (1996). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.

Sutrisno. (2010). Model Antrian Multiple Channel Multiple Phase. Skripsi pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Ubaidah, A. (2008). Model Antrian M/M/c Dalam Penentuan Jumlah Loket Optimal Berdasarkan Pengambilan Keputusan Model Displaced Ideal (Studi Kasus: Pembayaran Rekening Air di PDAM Kota Cirebon). Skripsi pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Universitas Pendidikan Indonesia. (2013). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah.

Eka Septia Tantias, 2014

Sistem antrian pembuatan sim di polrestabes bandung

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

2 n – 1 1 0 n

3 n + k 0 k n

Berdasarkan tabel di atas, terlihat perbedaan kemungkinan kejadian pada model antrian M/M/1 dengan model antrian M/MK/1 yaitu pada kasus ketiga. Kasus ketiga dapat diuraikan sebagai berikut:

��( +ℎ) = ��+�( )(1− ℎ)( ℎ)

Maka Pn (t+h) pada kasus model antrian M/MK/1 yaitu:

�� +ℎ = kasus 1 + kasus 2 + kasus 3

�� +ℎ = �� 1− ℎ 1− ℎ +��−1 ℎ 1− ℎ

+�_�+� 1− ℎ ( ℎ)

�� +ℎ = �� 1− ℎ − ℎ +��−1 ℎ +��+� ( ℎ)

�� +ℎ = �� − ℎ�� − ℎ�� + ℎ��−1 + ℎ��+�

Berdasarkan asumsi, untuk h yang kecil berlaku: �� +ℎ = ��

Sehingga

�� =�� − ℎ�� − ℎ�� + ℎ��−1 + ℎ��+�

0 = − ℎ�_� − ℎ�_� + ℎ�_�−1 + ℎ�_�+�

0 = − + �_� + �_�−1 + ��+� (� 1) (3.26)

Persamaan (3.25) dan (3.26) dapat ditulis kembali menjadi

0 = �_� + �_�−1+ + �1− �0 (3.27)

0 = − + �_� + �_�−1+ �_�+� � 1 (3.28)

Berdasarkan buku Fundamentals of Queueing Theory,Persamaan (3.28) dapat dinyatakan sebagai:

�+1_{− + + �}

� = 0 � 0 (3.29)

Dimana D merupakan persamaan karakteristik

Misalkan ₁, 2,…, �+1 adalah akar-akar dari persamaan karakteristik, maka

�� = � �� (� 0) �+1

�=1

44

Eka Septia Tantias, 2014

Sistem antrian pembuatan sim di polrestabes bandung

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

Kita tahu bahwa ∞_�=0�_� = 1, sehingga masing-masing _� harus kurang dari satu atau _� = 0 untuk semua _� yang lebih dari satu. Sehingga dapat di ketahui bahwa jumlah dari seluruh akar kurang dari satu. Berdasarkan teorema rouche hanya terdapat satu akar katakanlah ₀ yang nilainya berada pada selang (0,1) sehingga

�� = 0� (� 0, 0 < 0 < 1)

Dengan menggunakan kondisi batas dan ∞_�=0�_� = 1, kita dapatkan = �0 = 1− 0

Maka

�� = (1− 0) 0� � 0, 0 < 0 < 1 (3.30)

Selanjutnya akan dicari ekspektasi dari model antrian M/MK/1. Karena bentuk di atas serupa dengan model antrian M/M/1, kita dapat menulis

1. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem (Ls)

= 0

1− 0

(3.31) 2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam antrian (Lq)

= 0

1− ₀− 0 (3.32) 3. Rata-rata jumlah waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem (Ws)

=

0 1−0

0

= 1

(1− ₀) (3.33) 4. Rata-rata jumlah waktu yang dibutuhkan seorang pelanggan dalam antrian

(Wq)

=

0 1−0− 0

0

= 0

87

Eka Septia Tantias, 2014

Sistem antrian pembuatan sim di polrestabes bandung

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu BAB V

PENUTUP 5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan pada bab sebelumnya dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Sistem antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung merupakan sistem antrian yang menerapkan model single channel multiple phase yakni satu jalur antrian yang terdiri dari tujuh tahap pelayanan yaitu pemohon yang hendak melakukan pembuatan SIM harus mendaftarkan diri terlebih dahulu di loket pendaftaran, kemudian mengikuti ujian teori, setelah dinyatakan lulus pemohon dapat melakukan ujian simulator setelah lulus uji simulator, pemohon melakukan ujian praktek di lapangan. Dan jika dinyatakan lulus kembali, pemohon mengantri di loket foto untuk menunggu giliran foto. Terakhir, setelah selesai foto pemohon mengantri kembali di loket pengambilan SIM untuk mengambil SIM yang telah jadi.

2. Model antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung yaitu M/M/1 yang merupakan model antrian pada loket pendaftaran, loket bank, loket foto dan loket pengambilan SIM, M/MK/1 merupakan model antrian pada ruang ujian teori dengan K = 20, ukuran maksimal dalam kelompok pelayanan, MX/M/1 merupakan model antrian pada ruang ujian simulator dengan X merupakan ukuran kelompok kedatangan dan M/M/3 merupakan model antrian pada ruang ujian praktek. Dimana keseluruhan model antrian memiliki distribusi kedatangan yang berasal dari distribusi poisson dan distribusi waktu pelayanan berasal dari distribusi eksponensial.

3. Rata-rata lama waktu dalam sistem dinotasikan dengan Ws dimana dalam

setiap tahapan antrian memiliki rata-rata lama waktu dalam sistem yaitu pada loket pendaftaran 1,2195 menit, ujian teori 65,6814 menit, ujian simulator

64,8824menit, ujian praktek 9,4277 menit, loket bank 0,5988 menit, loket foto 1,2987 menit dan loket pengambilan SIM 0,2294 menit. Sehingga total lama waktu dalam sistem antrian pembuatan SIM C adalah 143,3379menit.

88

4. Rata-rata kedatangan dan pelayanan dalam setiap antrian pembuatan SIM C di Polrestabes kota Bandung yaitu:

a. Pada loket pendaftaran memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,29 orang per menit dengan rata-rata pelayanan sebesar 1,11 orang per menit.

b. Pada ruang ujian teori memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,28 orang per menit dengan rata-rata pelayanan seluruhnya sebesar 0,07 orang per menit.

c. Pada ruang ujian simulator memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,0375 orang per menit dengan rata-rata pelayanan sebesar 0,32 orang per menit. d. Pada ruang ujian praktek memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,17

orang per menit dengan rata-rata pelayanan seluruhnya sebesar 0,37 orang per menit.

e. Pada loket bank memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,15 orang per menit dengan rata-rata pelayanan seluruhnya sebesar 1,82 orang per menit.

f. Pada loket foto memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,18 orang per menit dengan rata-rata pelayanan sebesar 0,95 orang per menit.

g. Pada loket pengambilan SIM memiliki rata-rata kedatangan sebesar 0,18 dengan rata-rata pelayanan sebesar 4,54 orang per menit.

5.2 Saran

Berdasarkan kesimpulan diatas, penulis memberikan saran kepada pihak Polrestabes kota Bandung sehubungan dengan pelayanan pembuatan SIM C kepada masyarakat untuk menambah unit pelayanan pada ruang ujian simulator dan ujian teori agar waktu tunggu dalam antrian pembuatan SIM C dapat diminimalkan. Pada penelitian selanjutnya disarankan untuk memperhitungkan tipe atau jenis SIM, melakukan simulasi untuk mengetahui jumlah unit layanan yang optimal dengan memperhitungkan faktor biaya operasional serta melakukan perhitungan perbedaan tingkat kedatangan pemohon SIM setiap harinya antara hari yang cenderung ramai dengan hari biasa.

89 Eka Septia Tantias, 2014

Sistem antrian pembuatan sim di polrestabes bandung

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu DAFTAR PUSTAKA

Anaviroh. (2012). Model Antrian Satu Server Dengan Pola Kedatangan

Berkelompok (Batch Arrival). [Online]. Tersedia:

http://eprints.uny.ac.id/237/1/Anaviroh-07305144027.pdf.[2 Maret 2014]

Bethaviana, H. (2009). Teori Antrian Model Mi/Gi/1 dengan Menggunakan Disiplin Pelayanan Prioritas Non-Preemptive. Skripsi pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Firmansyah, H.M. (2010). Analisa Sistem Antrian untuk Mengoptimalkan Jumlah Loket Pembayaan Telepon dengan Model Simulasi (Studi Kasus di PT.

TELKOM TELEKOMUNIKASI SURABAYA JATIM). [Online]. Tersedia:

http://digilib.upnjatim.ac.id/files/disk1/4/jiptupn-gdl-hamzahmali-162-4-bab2.pdf. [20 Januari 2014].

Gelenbe, E &Pujolle, G. (1987). Introduction to Queueing Network. New Delhi: John Willey & Son.

Gross, D & Harris, C.M. (1974). Fundamental of Queueing Theory. New York: John Willey & Son.

Herrhyanto, N & Gantini, T. (2009). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.

Kakiay, T.J. (2004). Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata. Yogyakarta: Andi.

Kusnaeni. (2009). Model Antrian M/M/1 Dengan Pola Kedatangan Berkelompok.

Skripsi pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Lusianik, F. (2011). Simulasi Sistem Antrian Pembuatan SIM di Satpas Polres Jember. [Online]. Tersedia: http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-15187-Presentation-pdf.pdf. [7februari 2014].

90

Eka Septia Tantias, 2014

Sistem antrian pembuatan sim di polrestabes bandung

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

Ross, S.M. (1997). Introduction to Probability Models Sixth Edition. USA: Academic Press.

Ross, S.M. (1996). Stochastics Processes Second Edition. UnitedStates: John Willey & Son.

Subekti, R & Binatari, N. Modul Praktikum Teori Antrian. [Online]. Tersedia:https://www.google.com/#q=modul+winqsb+untuk+analisis+teori +antrian&start=10. [18 April 2014].

Sudjana. (1996). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.

Sutrisno. (2010). Model Antrian Multiple Channel Multiple Phase. Skripsi pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Ubaidah, A. (2008). Model Antrian M/M/c Dalam Penentuan Jumlah Loket Optimal Berdasarkan Pengambilan Keputusan Model Displaced Ideal (Studi Kasus: Pembayaran Rekening Air di PDAM Kota Cirebon). Skripsi pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Universitas Pendidikan Indonesia. (2013). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah.