Model Epidemi Rantai Markov Waktu Diskret Susceptibel Infected Recovered Dengan Dua Penyakit
MODEL EPIDEMI RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT
SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED DENGAN DUA
PENYAKIT
Wisnu Wardana, Respatiwulan, dan Hasih Pratiwi
Program Studi Matematika FMIPA UNS
ABSTRAK. Pola penyebaran penyakit menular dapat digambarkan dalam model
matematika. Model matematika telah banyak dikembangkan, salah satunya adalah
model susceptible infected recovered (SIR). Model epidemi SIR yang mengikuti proses
Markov dan ditinjau dalam waktu diskrit disebut model rantai Markov waktu diskrit
(RMWD) SIR. Model ini dikembangkan menjadi model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit karena terdapat kemungkinan ada lebih dari satu penyakit yang
menyebar. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan model
epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit. Model RMWD SIR dengan dua penyakit berupa probabilitas transisi. Penerapan mengacu pada Kirupaharan dan diperoleh bahwa dalam waktu t = 250 individu susceptible berkurang bersamaan dengan
bertambahnya individu infected. Saat individu infected berkurang, individu recovered
bertambah. Setelah t = 218 banyaknya individu pada masing-masing kelompok tidak
lagi mengalami perubahan.
Kata Kunci : model epidemi, rantai Markov waktu diskrit, SIR, dua penyakit
1. Pendahuluan
Kesehatan merupakan hal yang sangat penting dalam menunjang aktivitas manusia, tetapi kesehatan manusia bisa terganggu karena serangan penyakit. Penyakit adalah sesuatu yang menyebabkan gangguan pada makhluk hidup.
Salah satu jenis penyakit adalah penyakit menular. Penyakit menular disebabkan
oleh bakteri, virus, atau jamur melalui kontak antar individu baik secara langsung maupun tidak langsung. Penyebaran penyakit menular yang tidak dapat
dikendalikan dalam waktu yang cukup lama dapat menyebabkan epidemi.
Menurut Hethcote [4], penyebaran penyakit dapat dinyatakan dengan model
epidemi SIR. Kondisi individu dalam suatu populasi pada model SIR dibagi
menjadi tiga kelompok, yaitu susceptible (S) adalah kelompok individu sehat
yang rentan tertular penyakit, infected (I) adalah individu yang sudah terinfeksi
penyakit, dan recovered (R) adalah kelompok individu yang sudah sembuh dan
memiliki kekebalan permanen. Setiap individu susceptible dapat terinfeksi oleh
penyakit apabila melakukan kontak dengan individu infected. Kemudian individu infected akan mengalami kesembuhan secara alami ataupun dengan bantuan medis menjadi individu recovered. Setelah sembuh, individu ini tidak dapat
terinfeksi kembali oleh penyakit yang sama karena mempunyai kekebalan yang
permanen.
Allen [3] dalam artikelnya menjelaskan model epidemi RMWD SIR. Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada suatu populasi merupakan
1
Model Epidemi Rantai ...
W. Wardana, Respatiwulan, dan H. Pratiwi
kejadian random dan bergantung pada waktu sehingga disebut proses stokastik.
Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu tn diasumsikan hanya dipengaruhi oleh banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu tn−1 sehingga mengikuti proses Markov. Penyebaran penyakit
ini ditinjau dalam waktu diskrit. Ackleh dan Allen [1] mengembangkan model
RMWD SIR dengan multi penyakit yang menyebar dalam suatu wilayah. Pada penelitian ini dikonstruksikan ulang model epidemi RMWD SIR dengan dua
penyakit dan diterapkan model RMWD SIR dengan dua penyakit.
2. Proses Stokastik
Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada proses penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai proses stokastik. Menurut Allen [3], proses stokastik merupakan himpunan dari beberapa variabel random {X(t; h)|t ∈
T, h ∈ H}, dengan T sebagai himpunan waktu dan H ruang sampel. Suatu proses
.
stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu diskrit jika T = {0, 1, 2, 3, . . .},
.
dan proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu kontinu jika T =
[0, ∞).
Pada model epidemi RMWD SIR, S(t), I(t), dan R(t) merupakan
banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu t.
3. Rantai Markov Waktu Diskrit
Menurut Parzen [7], suatu proses stokastik dikatakan sebagai proses Markov
{X(t), t ≥ 0} jika diberikan nilai t1 < t2
SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED DENGAN DUA
PENYAKIT
Wisnu Wardana, Respatiwulan, dan Hasih Pratiwi
Program Studi Matematika FMIPA UNS
ABSTRAK. Pola penyebaran penyakit menular dapat digambarkan dalam model
matematika. Model matematika telah banyak dikembangkan, salah satunya adalah
model susceptible infected recovered (SIR). Model epidemi SIR yang mengikuti proses
Markov dan ditinjau dalam waktu diskrit disebut model rantai Markov waktu diskrit
(RMWD) SIR. Model ini dikembangkan menjadi model epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit karena terdapat kemungkinan ada lebih dari satu penyakit yang
menyebar. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan model
epidemi RMWD SIR dengan dua penyakit. Model RMWD SIR dengan dua penyakit berupa probabilitas transisi. Penerapan mengacu pada Kirupaharan dan diperoleh bahwa dalam waktu t = 250 individu susceptible berkurang bersamaan dengan
bertambahnya individu infected. Saat individu infected berkurang, individu recovered
bertambah. Setelah t = 218 banyaknya individu pada masing-masing kelompok tidak
lagi mengalami perubahan.
Kata Kunci : model epidemi, rantai Markov waktu diskrit, SIR, dua penyakit
1. Pendahuluan
Kesehatan merupakan hal yang sangat penting dalam menunjang aktivitas manusia, tetapi kesehatan manusia bisa terganggu karena serangan penyakit. Penyakit adalah sesuatu yang menyebabkan gangguan pada makhluk hidup.
Salah satu jenis penyakit adalah penyakit menular. Penyakit menular disebabkan
oleh bakteri, virus, atau jamur melalui kontak antar individu baik secara langsung maupun tidak langsung. Penyebaran penyakit menular yang tidak dapat
dikendalikan dalam waktu yang cukup lama dapat menyebabkan epidemi.
Menurut Hethcote [4], penyebaran penyakit dapat dinyatakan dengan model
epidemi SIR. Kondisi individu dalam suatu populasi pada model SIR dibagi
menjadi tiga kelompok, yaitu susceptible (S) adalah kelompok individu sehat
yang rentan tertular penyakit, infected (I) adalah individu yang sudah terinfeksi
penyakit, dan recovered (R) adalah kelompok individu yang sudah sembuh dan
memiliki kekebalan permanen. Setiap individu susceptible dapat terinfeksi oleh
penyakit apabila melakukan kontak dengan individu infected. Kemudian individu infected akan mengalami kesembuhan secara alami ataupun dengan bantuan medis menjadi individu recovered. Setelah sembuh, individu ini tidak dapat
terinfeksi kembali oleh penyakit yang sama karena mempunyai kekebalan yang
permanen.
Allen [3] dalam artikelnya menjelaskan model epidemi RMWD SIR. Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada suatu populasi merupakan
1
Model Epidemi Rantai ...
W. Wardana, Respatiwulan, dan H. Pratiwi
kejadian random dan bergantung pada waktu sehingga disebut proses stokastik.
Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu tn diasumsikan hanya dipengaruhi oleh banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu tn−1 sehingga mengikuti proses Markov. Penyebaran penyakit
ini ditinjau dalam waktu diskrit. Ackleh dan Allen [1] mengembangkan model
RMWD SIR dengan multi penyakit yang menyebar dalam suatu wilayah. Pada penelitian ini dikonstruksikan ulang model epidemi RMWD SIR dengan dua
penyakit dan diterapkan model RMWD SIR dengan dua penyakit.
2. Proses Stokastik
Banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada proses penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai proses stokastik. Menurut Allen [3], proses stokastik merupakan himpunan dari beberapa variabel random {X(t; h)|t ∈
T, h ∈ H}, dengan T sebagai himpunan waktu dan H ruang sampel. Suatu proses
.
stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu diskrit jika T = {0, 1, 2, 3, . . .},
.
dan proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik waktu kontinu jika T =
[0, ∞).
Pada model epidemi RMWD SIR, S(t), I(t), dan R(t) merupakan
banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada waktu t.
3. Rantai Markov Waktu Diskrit
Menurut Parzen [7], suatu proses stokastik dikatakan sebagai proses Markov
{X(t), t ≥ 0} jika diberikan nilai t1 < t2