MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS (DTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) DUA PENYAKIT PADA DUA DAERAH.
MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS (DT M C)
SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)
DUA PENYAKIT PADA DUA DAERAH
oleh
EKA LISMAWATI
M0112028
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016
i
ABSTRAK
Eka Lismawati. 2016. MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV
CHAINS (DT M C) SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) DUA
PENYAKIT PADA DUA DAERAH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS ) merupakan model epidemi yang menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik individu yang telah sembuh dapat terinfeksi penyakit kembali karena tidak memiliki
sistem kekebalan tubuh permanen. Model epidemi SIS yang perubahan banyak
individu pada setiap kelompok S dan I mengikuti proses Markov waktu diskrit
disebut dengan model epidemi discrete time Markov chains (DTMC ) SIS. Model epidemi DTMC SIS dapat diterapkan pada satu atau lebih penyakit. Selain
itu, model epidemi DTMC SIS dapat dikembangkan pada satu daerah atau lebih
karena terjadi perpindahan individu dari daerah satu ke daerah lain. Dengan
demikian, model epidemi DTMC SIS dapat dikembangkan untuk dua penyakit
dan dua daerah.
Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan model
epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah. Model epidemi DTMC SIS
dua penyakit pada dua daerah disajikan dalam bentuk probabilitas transisi pada
proses infeksi dan dispersal. Pada proses infeksi disajikan probabilitas transisi
individu susceptible dan infected pada masing-masing daerah, sedangkan pada
proses dispersal disajikan probabilitas transisi individu susceptible dan infected
dari daerah satu ke daerah dua. Dari penerapan model diperoleh banyaknya individu susceptible semakin lama semakin menurun, sedangkan banyaknya individu
infected semakin lama semakin meningkat.
Kata Kunci : epidemi, DTMC, SIS, dua penyakit, dua daerah
iii
ABSTRACT
Eka Lismawati. 2016. DISCRETE TIME MARKOV CHAINS (DTMC)
SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) EPIDEMIC MODEL TWO
PATHOGENS TWO PATCHES. Faculty of Mathematics and Natural Sciences.
Sebelas Maret University.
The SIS epidemic model describes the pattern of disease spread with characteristics recovered individuals can be infected, because does not develop immunity to the disease. The model which the number of individuals in S and I
group following discrete time Markov process can be represented by discrete time
Markov chains (DTMC) SIS. The DTMC SIS epidemic model can be apllied for
one or more pathogen. Furthermore, the DTMC SIS epidemic model can be developed in one or more patch because people move from one patch to another
patch. Thus, the DTMC SIS epidemic model can be developed for two pathogens
two patches.
The aims of this research are to reconstruct and to apply DTMC SIS
epidemic model two pathogen two patches. The DTMC SIS epidemic model
two pathogen two patches were presented as a transition probabilities in the infection process and dispersal process. Transition probabilities of the susceptible
and infected individual in each patch were presented in the infection process,
while transition probabilities of the susceptible and infected individual from one
patch to another patch were presented in dispersal process. The DTMC SIS two
pathogens two patches were applied. It was obtained that the number of susceptible individuals decreased while the number of infected individuals increased.
Keywords: epidemic, DTMC, SIS, two pathogens, two patches
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk ibu, bapak, dan adik atas doa dan semangat
yang diberikan.
v
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari
bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada
1. Dra. Respatiwulan, M. Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, saran, dan motivasi selama proses penyusunan skripsi,
2. Dra. Purnami Widyaningsih, M. App. Sc. sebagai Pembimbing II yang
telah memberikan pengarahan, bimbingan, dan saran selama proses penyusunan skripsi,
3. Firdaus Fajar Saputra, Satrio Wicaksono, dan Wisnu Wardana atas kerja
sama, saran, dan dukungan yang diberikan dalam pengerjaan skripsi, dan
4. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Discrete Time Markov Chains (DTMC ) . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Model Epidemi DTMC SIS Satu Penyakit . . . . . . . . .
7
2.2.4
Model Epidemi DTMC SIS Dua Penyakit . . . . . . . . .
9
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
III METODE PENELITIAN
11
vii
IV PEMBAHASAN
12
4.1
Perununan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2
Penerapan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
V PENUTUP
18
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
DAFTAR PUSTAKA
20
viii
DAFTAR GAMBAR
4.1
Banyaknya individu (a) S1 I11 I12 dan (b) S2 I21 I22 dalam 600 satuan
waktu pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
15
Banyaknya individu (a) I11 I12 dan (b) I21 I22 dalam 10 satuan waktu pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
16
SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)
DUA PENYAKIT PADA DUA DAERAH
oleh
EKA LISMAWATI
M0112028
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016
i
ABSTRAK
Eka Lismawati. 2016. MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV
CHAINS (DT M C) SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) DUA
PENYAKIT PADA DUA DAERAH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS ) merupakan model epidemi yang menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik individu yang telah sembuh dapat terinfeksi penyakit kembali karena tidak memiliki
sistem kekebalan tubuh permanen. Model epidemi SIS yang perubahan banyak
individu pada setiap kelompok S dan I mengikuti proses Markov waktu diskrit
disebut dengan model epidemi discrete time Markov chains (DTMC ) SIS. Model epidemi DTMC SIS dapat diterapkan pada satu atau lebih penyakit. Selain
itu, model epidemi DTMC SIS dapat dikembangkan pada satu daerah atau lebih
karena terjadi perpindahan individu dari daerah satu ke daerah lain. Dengan
demikian, model epidemi DTMC SIS dapat dikembangkan untuk dua penyakit
dan dua daerah.
Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan model
epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah. Model epidemi DTMC SIS
dua penyakit pada dua daerah disajikan dalam bentuk probabilitas transisi pada
proses infeksi dan dispersal. Pada proses infeksi disajikan probabilitas transisi
individu susceptible dan infected pada masing-masing daerah, sedangkan pada
proses dispersal disajikan probabilitas transisi individu susceptible dan infected
dari daerah satu ke daerah dua. Dari penerapan model diperoleh banyaknya individu susceptible semakin lama semakin menurun, sedangkan banyaknya individu
infected semakin lama semakin meningkat.
Kata Kunci : epidemi, DTMC, SIS, dua penyakit, dua daerah
iii
ABSTRACT
Eka Lismawati. 2016. DISCRETE TIME MARKOV CHAINS (DTMC)
SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) EPIDEMIC MODEL TWO
PATHOGENS TWO PATCHES. Faculty of Mathematics and Natural Sciences.
Sebelas Maret University.
The SIS epidemic model describes the pattern of disease spread with characteristics recovered individuals can be infected, because does not develop immunity to the disease. The model which the number of individuals in S and I
group following discrete time Markov process can be represented by discrete time
Markov chains (DTMC) SIS. The DTMC SIS epidemic model can be apllied for
one or more pathogen. Furthermore, the DTMC SIS epidemic model can be developed in one or more patch because people move from one patch to another
patch. Thus, the DTMC SIS epidemic model can be developed for two pathogens
two patches.
The aims of this research are to reconstruct and to apply DTMC SIS
epidemic model two pathogen two patches. The DTMC SIS epidemic model
two pathogen two patches were presented as a transition probabilities in the infection process and dispersal process. Transition probabilities of the susceptible
and infected individual in each patch were presented in the infection process,
while transition probabilities of the susceptible and infected individual from one
patch to another patch were presented in dispersal process. The DTMC SIS two
pathogens two patches were applied. It was obtained that the number of susceptible individuals decreased while the number of infected individuals increased.
Keywords: epidemic, DTMC, SIS, two pathogens, two patches
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini dipersembahkan untuk ibu, bapak, dan adik atas doa dan semangat
yang diberikan.
v
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari
bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada
1. Dra. Respatiwulan, M. Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, saran, dan motivasi selama proses penyusunan skripsi,
2. Dra. Purnami Widyaningsih, M. App. Sc. sebagai Pembimbing II yang
telah memberikan pengarahan, bimbingan, dan saran selama proses penyusunan skripsi,
3. Firdaus Fajar Saputra, Satrio Wicaksono, dan Wisnu Wardana atas kerja
sama, saran, dan dukungan yang diberikan dalam pengerjaan skripsi, dan
4. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Discrete Time Markov Chains (DTMC ) . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Model Epidemi DTMC SIS Satu Penyakit . . . . . . . . .
7
2.2.4
Model Epidemi DTMC SIS Dua Penyakit . . . . . . . . .
9
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
III METODE PENELITIAN
11
vii
IV PEMBAHASAN
12
4.1
Perununan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2
Penerapan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
V PENUTUP
18
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
DAFTAR PUSTAKA
20
viii
DAFTAR GAMBAR
4.1
Banyaknya individu (a) S1 I11 I12 dan (b) S2 I21 I22 dalam 600 satuan
waktu pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
15
Banyaknya individu (a) I11 I12 dan (b) I21 I22 dalam 10 satuan waktu pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
16