Model Epidemi Discrete Time Markov Chains (DTMC) Susceptible Infected Susceptible (SIS) Dua Penyakit Pada Dua Daerah JURNAL. JURNAL

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

MODEL EPIDEMI DISCRETE TIME MARKOV CHAINS
(DTMC ) SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS )
DUA PENYAKIT PADA DUA DAERAH
Eka Lismawati, Respatiwulan, dan Purnami Widyaningsih
Program Studi Matematika FMIPA UNS

Abstrak. Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS ) merupakan model epidemi yang menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan karakteristik individu
yang telah sembuh dapat terinfeksi penyakit kembali karena tidak memiliki sistem
kekebalan tubuh permanen. Model epidemi SIS yang ditinjau dalam selang waktu
diskrit dan mengikuti proses Markov digambarkan dengan model epidemi discrete time
Markov chains (DTMC ). Individu susceptible dapat terinfeksi lebih dari satu penyakit. Selain itu, dimungkinkan terjadinya perpindahan individu dari daerah satu ke
daerah lain. Dengan demikian, model epidemi DTMC SIS dapat dikembangkan untuk
dua penyakit dan dua daerah. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan
menerapkan model epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah. Model epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah membahas proses infeksi dan dispersal.
Pada proses infeksi disajikan probabilitas transisi individu susceptible dan infected
pada masing-masing daerah, sedangkan pada proses dispersal disajikan probabilitas
transisi individu susceptible dan infected dari daerah satu ke daerah dua. Dari penerapan model diperoleh banyaknya individu susceptible semakin lama semakin menurun,

sedangkan banyaknya individu infected semakin lama semakin meningkat.
Kata kunci : epidemi, DTMC, SIS, dua penyakit, dua daerah

1. PENDAHULUAN
Kesehatan merupakan hal penting dalam kehidupan manusia. Kesehatan
dapat terganggu karena adanya penyakit. Penyakit digolongkan menjadi dua
yaitu penyakit menular dan tidak menular. Penyebaran penyakit menular yang
cepat dan terjadi dalam kurun waktu yang lama dapat menyebabkan terjadinya
epidemi. Epidemi dapat dinyatakan dalam model matematika (Hethcote [5]).
Penyakit menular yang memiliki pola penyebaran dengan karakteristik individu yang telah sembuh dapat terinfeksi kembali, karena tidak memiliki sistem
kekebalan tubuh permanen. Pola penyebaran tersebut dapat dinyatakan dengan
model epidemi susceptible infected susceptible (SIS ) (Allen [2]). Kondisi individu model epidemi SIS dikelompokkan menjadi dua yaitu kelompok susceptible
(S ) dan infected (I ). Kelompok individu yang sehat tetapi rentan penyakit disebut kelompok susceptible dan kelompok individu terinfeksi penyakit yang dapat
menularkan penyakit disebut kelompok infected. Banyaknya individu susceptible
commit yang
to user
dan infected merupakan kejadian random
bergantung pada waktu sehingga
mengikuti proses stokastik (Allen [2]). Dalam penyebaran penyakit, banyaknya
1

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Model Epidemi Discrete Time . . .

E. Lismawati, Respatiwulan, P. Widyaningsih

individu susceptible dan infected pada waktu t + 1 diasumsikan hanya bergantung pada banyaknya individu susceptible dan infected pada waktu t, sehingga
kejadian ini dapat dipandang sebagai proses Markov. Menurut Allen [1], pola
penyebaran penyakit dengan karakteristik SIS yang ditinjau dalam selang waktu
diskrit dan mengikuti proses Markov digambarkan sebagai model epidemi discrete
time Markov chains (DTMC ) SIS.
Menurut Allen dan Kirupaharan [3], individu susceptible dapat terinfeksi satu atau lebih penyakit melalui kontak langsung dengan individu infected.
Penyebaran penyakit juga dapat terjadi pada satu atau lebih daerah, dikarenakan
terjadi perpindahan individu dari satu daerah ke daerah yang lain. Selanjutnya
Allen et al. [4] mengembangkan model epidemi DTMC SIS untuk beberapa
penyakit pada dua daerah. Pada penelitian ini dilakukan penurunan ulang dan
penerapan model epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah.

2. MODEL EPIDEMI DTMC SIS SATU PENYAKIT
Pada tahun 2003, Allen [1] memperkenalkan model epidemi DTMC SIS.
Model epidemi DTMC SIS menggambarkan pola penyebaran penyakit dengan
karakteristik individu yang sembuh dapat terinfeksi kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh permanen. Terdapat empat asumsi pada model epidemi DTMC SIS satu penyakit yaitu ukuran populasi N konstan, populasi bercampur secara homogen, laju kelahiran dan kematian sama, serta individu yang lahir
merupakan individu yang sehat tetapi rentan penyakit. Variabel random S(t)
dan I(t) menyatakan banyaknya individu pada kelompok susceptible dan infected pada waktu t. Berdasarkan asumsi, jika populasi konstan sejumlah N maka
S(t) + I(t) = N . Jika S(t) = s dan I(t) = i, dengan s dan i menyatakan state,
maka fungsi probabilitas bersama untuk S(t) dan I(t) adalah
p(s,i) (t) = P {S(t) = s, I(t)) = i},
dengan s, i = 0, 1, 2, . . . , N dan t = 0, ∆t, 2∆t, . . ..
Perubahan banyaknya individu susceptible dan infected pada selang waktu
∆t disebut transisi. Selang waktu ∆t diambil cukup kecil, sehingga paling banyak
ada satu individu yang bertransisi yaitu bernilai −1 jika berkurang, 0 jika tetap,
atau 1 jika bertambah. Pada selang waktu ∆t, jika perubahan banyaknya individu susceptible dan infected berturut-turut adalah h dan j, dengan h dan
commit
to user
j = −1, 0, 1, maka perpindahan state
s ke
s + h dan i ke i + j disebut transisi. Allen [1] menuliskan model epidemi DTMC SIS yang dinyatakan dengan

2

2016

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Model Epidemi Discrete Time . . .

E. Lismawati, Respatiwulan, P. Widyaningsih

probabilitas transisi sebagai
 βis
∆t,

N





γi∆t,



 δi∆t,
)
(
p(s+h,i+j),(s,i) (∆t) =



+ γi + δi ∆t,
1 − βis

N






0,

(h, j) = (−1, 1);
(h, j) = (1, −1);
(h, j) = (0, −1);
(h, j) = (0, 0);
(h, j) yang lain,

dengan δ laju kelahiran yang sama nilainya dengan laju kematian, β laju kontak,
dan γ laju kesembuhan.
3. MODEL EPIDEMI DTMC SIS DUA PENYAKIT
Menurut Allen et al. [4], model epidemi DTMC SIS dapat dikembangkan
pada dua penyakit, dengan asumsi pada selang waktu ∆t hanya ada satu penyakit
yang menginfeksi, setelah sembuh dari penyakit tersebut, individu susceptible
dapat terinfeksi penyakit kedua. Variabel random S(t) dan Ik (t) menunjukkan
banyaknya individu susceptible dan infected oleh penyakit k pada waktu t, dengan
k = 1 dan 2. Asumsi yang digunakan pada model epidemi DTMC SIS dua
penyakit sama dengan model epidemi DTMC SIS. Jika S(t) = s, Ik (t) = ik , dan
perubahan banyaknya individu infected oleh penyakit k dalam selang waktu ∆t

adalah jk , dengan jk = −1, 0, 1, maka model epidemi DTMC SIS dua penyakit
adalah

ik

βk N
s∆t, (h, jk ) = (−1, 1);





 γk ik ∆t, (h, jk ) = (1, −1);
p(s+h,ik +jk ),(s,ik ) (∆t) =
δk ik ∆t, (h, jk ) = (0, −1);



1−a
(h, jk ) = (0, 0);




 0,
(h, jk ) yang lain,
dengan a = ( βN1 s i1 +γ1 i1 +δ1 i1 + βN2 s i2 +γ2 i2 +δ2 i2 )∆t, dimana δk , βk , γk merupakan
laju kelahiran yang sama nilainya dengan laju kematian, laju kontak, serta laju
kesembuhan penyakit k.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Model Epidemi DTMC SIS Dua Penyakit pada Dua Daerah. Menurut Allen et al. [4], selain dapat dikembangkan pada dua penyakit, model epidemi
DTMC SIS juga dapat dikembangkan pada dua daerah. Penurunan ulang model
epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah mengacu pada Allen et al. [4].
commit
to user
Asumsi yang digunakan pada model
epidemi
DTMC SIS dua penyakit pada dua
daerah sama dengan model epidemi DTMC SIS dua penyakit. Pada model ini
3

2016

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Model Epidemi Discrete Time . . .

E. Lismawati, Respatiwulan, P. Widyaningsih

terdapat dua proses yaitu proses infeksi dan dispersal. Proses infeksi membahas
kontak antar individu susceptible dan individu infected yang hanya terjadi pada
daerah yang sama. Proses dispersal membahas perpindahan individu dari daerah
satu ke daerah dua.
Variabel random pada model epidemi DTMC SIS dua penyakit dua daerah
yaitu Sd (t) dan Idk (t), dengan Sd (t), Idk (t) ∈ {0, 1, 2, . . . , N }. Notasi Sd (t) menunjukkan banyaknya individu susceptible pada daerah d saat t, dengan d = 1
dan 2. Notasi Idk (t) menunjukkan banyaknya individu infected oleh penyakit
k pada daerah d saat t. Notasi N1 dan N2 menunjukkan banyaknya individu
pada masing-masing daerah, dimana N1 dan N2 konstan. Jika Sd (t) = sd dan
Idk (t) = idk , maka fungsi probabilitas bersama dari variabel random Sd (t) dan

Idk (t) adalah
p(sd ,idk ) (t) = P {Sd (t) = sd , Idk (t) = idk },
dengan sd , idk = 0, 1, 2, . . . , N dan t = 0, ∆t, 2∆t, . . ..
Jika perubahan banyaknya individu susceptible dan infected pada selang
waktu ∆t berturut-turut adalah hd dan jdk , maka perpindahan state sd ke state
sd + hd dan dari state idk ke state idk + jdk disebut transisi. Probabilitas transisi
sd menuju sd + hd dan idk menuju idk + jdk adalah
p(sd +hd ,idk +jdk ),(sd ,idk ) (∆t) = P {(Sd (t + ∆t), Idk (t + ∆t)) = (sd + hd , idk + jdk )|
(Sd (t), Idk (t)) = (sd , idk )}.
Bertambahnya individu infected menunjukkan terjadinya transisi state (sd , idk )
ke state (sd − 1, idk +1). Transisi ini terjadi dikarenakan adanya penularan penyakit oleh individu infected kepada individu susceptible. Jika terdapat sebanyak idk
individu infected dalam populasi Nd , maka probabilitas individu infected yang
melakukan kontak dengan individu susceptible sebesar iNdkd . Jika besarnya laju
kontak penyakit k pada daerah d dimisalkan βdk , maka probabilitas transisi dari
state (sd , idk ) ke state (sd − 1, idk + 1) adalah
p(sd −1,idk +1),(sd ,idk ) (∆t) = βdk

idk
sd ∆t.
Nd

Jika satu individu infected oleh penyakit k sembuh maka terjadi transisi
dari state (sd , idk ) ke state (sd + 1, idk − 1). Transisi ini mengakibatkan penambahan individu pada kelompok susceptible. Jika laju kesembuhan penyakit k pada
daerah d dimisalkan γdk , maka besarnya probabilitas transisi dari state (sd , idk )
ke state (sd + 1, idk − 1) adalah
commit to user
p(sd +1,idk −1),(sd ,idk ) (∆t) = γdk idk ∆t.
4

2016

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Model Epidemi Discrete Time . . .

E. Lismawati, Respatiwulan, P. Widyaningsih

Jika terjadi pengurangan individu pada kelompok infected oleh penyakit
k, tetapi tidak terjadi penambahan individu pada kelompok susceptible, maka
individu infected oleh penyakit k meninggal. Hal ini berarti terjadi transisi dari
state (sd , idk ) ke state (sd , idk − 1). Jika laju kematian penyakit k pada daerah d
dimisalkan δdk , maka probabilitas transisi dari state (sg d, idk ) ke state (sd , idk − 1)
adalah
p(sd ,idk −1),(sd ,idk ) (∆t) = δdk idk ∆t.
Tidak adanya penambahan maupun pengurangan banyaknya individu pada masing-masing kelompok berarti tidak terjadi perubahan state. Besarnya
probabilitas tidak terjadi perubahan dalam selang waktu ∆t dapat dituliskan
sebagai
(
)
βd1 sd
βd2 sd
p(sd ,idk ),(sd ,idk ) (∆t) = 1 −
id1 + γd1 id1 + δd1 id1 +
id2 + γd2 id2 + δd2 id2 ∆t,
Nd
Nd
dengan sd + id1 + id2 ∈ {0, 1, 2, . . . , Nd }.
sd
sd
Misal diambil b = ( βd1
i + γd1 id1 + δd1 id1 + βd2
i + γd2 id2 + δd2 id2 )∆t,
Nd d1
Nd d2
maka model epidemi DTMC SIS dua penyakit dua daerah pada proses infeksi
adalah



βdk iNdkd sd ∆t,






γ i ∆t,

 dk dk
p(sd +hd ,idk +jdk ),(sd ,idk ) (∆t) =
δdk idk ∆t,



 1 − b,






0,

(hd , jdk ) = (−1, 1);
(hd , jdk ) = (1, −1);
(hd , jdk ) = (0, −1);

(4.1)

(hd , jdk ) = (0, 0);
(hd , jdk ) yang lain,

dengan βdk , γdk , dan δdk bernilai positif.
Setelah proses infeksi, pada model epidemi DTMC SIS dua penyakit dua
daerah dibahas mengenai proses dispersal. Proses dispersal yaitu proses terjadinya perpindahan individu dari daerah satu ke daerah dua atau sebaliknya.
Pada proses ini, populasi N1 dan N2 konstan. Dengan demikian, jika terjadi
perpindahan individu dari daerah satu ke daerah dua maka juga terjadi perpindahan individu dari daerah dua menuju daerah satu, sebanyak individu yang
pindah. Jika probabilitas perpindahan individu susceptible dari daerah satu ke
daerah dua sebesar pd , maka probabilitas tidak terjadi perpindahan di daerah
satu sebesar 1 − pd . Jika probabilitas perpindahan individu infected dari daerah
commit
to user tidak terjadi perpindahan di
satu ke daerah dua sebesar qdk , maka
probabilitas
daerah satu sebesar 1 − qdk . Jadi, model epidemi DTMC SIS dua penyakit dua
5

2016

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Model Epidemi Discrete Time . . .

E. Lismawati, Respatiwulan, P. Widyaningsih

daerah pada proses dispersal untuk individu susceptible dan infected berturutturut adalah
{
pd ,
p=
(4.2)
1 − pd ,
dan
q=

{

qdk ,
1 − qdk .

(4.3)

4.2. Penerapan. Pada penerapan ini nilai parameter yang diberikan mengacu
pada Allen et al. [4]. Pada proses infeksi, diketahui laju kontak β11 = 0.1, β12 =
0.05, β21 = 0.05, β22 = 0.075, laju kesembuhan γ11 = 0.05, γ12 = 0.025, γ21 =
0.033, γ22 = 0.05, laju kematian δdk = 0. Diberikan nilai awal I11 (0) = I12 (0) =
I21 (0) = I22 (0) = 1 dan S1 (0) = S2 (0) = 98. Diketahui ukuran populasi N = 200,
N1 = 100 dan N2 = 100. Penyebaran penyakit dapat dilihat dari banyaknya
individu susceptible dan infected setiap waktu. Berdasarkan persamaan (4.1),
penyebaran penyakit selama 600 satuan waktu disajikan pada Gambar 1.
S1 I11 I12

S2 I21 I22

98

98

S1(t)
I11(t)
I12(t)

49
44

S2(t)
I21(t)
I22(t)

42
36

22
7
0

t
84

t

600

0

(a)

346

600

(b)

Gambar 1. Banyaknya individu (a) S1 I11 I12 dan (b) S2 I21 I22 dari proses infeksi model
epidemi DTMC SIS dua penyakit dua daerah dalam 600 satuan waktu

Dari Gambar 1 (a) terlihat bahwa banyaknya individu susceptible pada waktu ke-84 turun menjadi 7, karena individu susceptible terinfeksi penyakit. Waktu
ke-84 sampai dengan waktu ke-600, banyaknya individu susceptible mengalami
fluktuasi pada angka 5 sampai 9, sehingga diambil angka rata-ratanya yaitu 7.
Dengan demikian, dianggap bahwa banyaknya individu susceptible tetap mulai
waktu ke-84 yaitu sebanyak 7. Bersamaan dengan penurunan banyaknya individu
susceptible, terjadi kenaikan banyaknya individu infected. Banyaknya individu
infected oleh penyakit satu naik menjadi 44 pada waktu ke-84, kemudian mengalami fluktuasi pada angka 41 sampai 47, sehingga dipilih angka rata-ratanya
yaitu 44. Hal yang sama terjadi pada banyaknya individu infected oleh penyakit
dua. Banyaknya individu infected oleh penyakit dua naik menjadi 49 pada waktu
commit
to user 50, sehingga dipilih angka ratake-84, kemudian fluktuasi pada angka
48 sampai
ratanya yaitu 49. Dengan demikian, banyaknya individu infected oleh penyakit
6

2016

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Model Epidemi Discrete Time . . .

E. Lismawati, Respatiwulan, P. Widyaningsih

satu dan dua dianggap tetap mulai waktu ke-84 yaitu berturut-turut sebanyak
44 dan 49.
Gambar 1 (b) menunjukkan bahwa banyaknya individu susceptible semula
98 turun menjadi 22 pada waktu ke-346, kemudian mengalami fluktuasi sampai waktu ke-600 pada angka 18 sampai 26, sehingga diambil rata-ratanya yaitu
22. Dengan demikian, banyaknya individu susceptible dianggap tetap mulai waktu ke-346. Pada waktu ke-346, banyaknya individu infected oleh penyakit satu
meningkat dari nilai awal sampai 42, kemudian mengalami fluktuasi sampai waktu ke-600 pada angka 39 sampai 45, sehingga diambil angka rata-ratanya yaitu
42. Banyaknya individu infected oleh penyakit dua meningkat dari nilai awal
sampai 36, kemudian mengalami fluktuasi pada angka 31 sampai 40, sehingga
diambil angka rata-ratanya yaitu 36. Dengan demikian, banyaknya individu infected dianggap tetap mulai waktu ke-346 sebesar 42 untuk penyakit satu dan 36
untuk penyakit dua.
Untuk mengamati perubahan banyaknya individu infected I11 , I12 , I21 , dan
I22 setiap waktu, maka disajikan penyebaran penyakit dalam 10 satuan waktu
pada Gambar 2.
I21 I22

I11 I12

9

9

7

7

I11(t)
I12(t)

5

I21(t)
I22(t)

5

3

3

1

1
0

1

3

5

7

9

t

0

(a)

1

3

5

7

9

t

(b)

Gambar 2. Banyaknya individu (a) I11 I12 dan (b) I21 I22 dari proses infeksi model
epidemi DTMC SIS dua penyakit dua daerah dalam 10 satuan waktu

Dari Gambar 2 dapat dihitung probabilitas transisi penyebaran penyakit
dengan menggunakan persamaan (4.1). Dari Gambar 2 (a) terdapat perubahan
banyaknya individu infected, dari I11 (1) = 1 ke I11 (2) = 2, berarti dalam selang
waktu satu waktu terjadi transisi yaitu individu susceptible terinfeksi oleh penyakit satu. Transisi dari I11 (1) = 1 ke I11 (2) = 2 dihitung dengan menggunakan
persamaan (4.1), diperoleh probabilitas transisi sebesar 0.098. Dari Gambar 2 (b)
terdapat perubahan banyaknya individu infected, dari I21 (2) = 1 ke I21 (3) = 2.
Probabilitas transisi dari I21 (2) = 1 ke I21 (3) = 2 adalah sebesar 0.049. Dengan
commit to
usersetiap waktu dapat dihitung decara yang sama, probabilitas perpindahan
pada
ngan mudah.
7

2016

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Model Epidemi Discrete Time . . .

E. Lismawati, Respatiwulan, P. Widyaningsih

Berikut diberikan probabilitas perpindahan individu pada proses dispersal
yang mengacu pada Allen et al. [4]. Diberikan probabilitas perpindahan individu susceptible yaitu pd = 0.01. Allen et al. mengasumsikan bahwa individu
infected tidak melakukan perpindahan dari daerah satu menuju daerah dua atau
sebaliknya, sehingga probabilitas perpindahan individu infected yaitu qdk = 0.
Dengan pd yang diberikan, diperoleh probabilitas tidak terjadi perpindahan individu susceptible sebesar 1 − pd = 0.99.
5. KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil dua kesimpulan.
(1) Model epidemi DTMC SIS dua penyakit pada dua daerah dituliskan pada
persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3).
(2) Penerapan yang mengacu pada Allen menunjukkan pola penyebaran model epidemi DTMC SIS dua penyakit dua daerah. Daerah satu, pada waktu ke-84, banyaknya individu susceptible menurun menjadi 7, banyaknya
individu infected oleh penyakit satu meningkat dari nilai awal menjadi 44,
dan banyaknya individu infected oleh penyakit dua mengalami kenaikan
dari nilai awal sampai 49. Daerah dua, pada waktu ke-346, banyaknya
individu susceptible semula 98 turun menjadi 22, banyaknya individu infected oleh penyakit satu meningkat dari nilai awal menjadi 42, sedangkan
banyaknya individu infected oleh penyakit dua meningkat dari nilai awal
sampai 36.
Daftar Pustaka
[1] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Epidemic Models, Texas Tech University,
Texas, 2008.
[2] Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice Hall, Upper Saddla River, New Jersey, 2003.
[3] Allen, L. J. S. and N. Kirupaharan, Asymptotic Dynamics of Deterministic and Stochastic
Epidemic Models with Multiple Pathogens, International Journal of Numerical Analysis
and Modeling 2 (2005), no. 3, 329-344.
[4] Allen, L. J. S., N. Kirupaharan, and S. M. Wilson, SIS Epidemic Models with Multiple
Pathogen Strains, Journal of Difference Equations and Applications 10 (2004), no. 1, 5375.
[5] Hethcote, H. W., The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Review 42 (2000), no. 4,
599-653.

commit to user
8

2016