Pelabelan Selimut (a, d)-Cy Cle-Total Anti Ajaib Super pada Graf Bunga Matahari, Graf Broken Fan, dan Graf Generalized Fan AWAL

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PELABELAN SELIMUT (a, d) − CY CLE−TOTAL ANTI AJAIB
SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN
FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN

oleh
KHUNTI QONAAH
M0111048

SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagai persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016
commit to user

i

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

commit to user

ii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRAK
Khunti Qonaah. 2016. PELABELAN SELIMUT (a, d) − CY CLE−TOTAL
ANTI AJAIB SUPER PADA GRAF BUNGA MATAHARI, GRAF BROKEN
FAN, DAN GRAF GENERALIZED FAN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Suatu graf sederhana G = (V (G), E(G)) memuat (a, d) − H−anti ajaib

super, jika terdapat fungsi f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|}, sedemikian sehingga untuk setiap
subgraf H ′ dari∑G yang isomorfik dengan selimut
∑
H, bobot H ′ adalah ω(H ′ ) = v∈V (H ′ ) f (v) + e∈E(H ′ ) f (e) membentuk barisan
aritmatika {a, a + d, a + 2d, . . . , a + (t − 1)d} dengan a dan d adalah bilangan
bulat positif dan t banyak subgraf dari G yang isomorfik dengan H. Kemudian
graf G disebut (a, d) − H−anti ajaib super, jika f (V (G)) = {1, 2, . . . , |V (G)|}.
Tujuan penelitian ini adalah menentukan pelabelan selimut (a, d) − H−anti
ajaib super pada graf bunga matahari SFn , graf broken fan BF (m, n), dan graf
n + 9, 1) −
generalized fan Fm,n . Hasil dari penelitian ini diperoleh pelabelan ( 29
2
C3 −anti ajaib super pada graf bunga matahari SFn dengan n genap ≥ 4, pelabelan (6(m + n) + 9, 1) − C3 −anti ajaib super pada graf broken fan BF (m, n)
dengan m ≥ 2 dan n ≥ 2, dan pelabelan ( 32 mn + 29 m + 11
n + 25 , 1) − C3 −anti
2
n + 3, 1) − C3 −anti ajaib super
ajaib super untuk n ganjil dan ( 23 mn + 4m + 11
2
untuk n genap pada graf generalized fan Fm,n dengan m ≥ 3 dan n ≥ 2, serta pelabelan (mn + 29 m + 11

n + 72 , 2) − C3 −anti ajaib super untuk n genap dan
2
(mn + 29 m + 11
n + 3, 2) − C3 −anti ajaib super untuk n ganjil pada graf generalized
2
fan Fm,n dengan m ganjil ≥ 3 dan n ≥ 2.
Kata kunci: (a, d)−cycle-anti ajaib super, graf bunga matahari, graf broken fan,
graf generalized fan

commit to user

iii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRACT
Khunti Qonaah. 2016. SUPER (a, d) − CY CLE−ANTIMAGIC COVERING
ON SUNFLOWER GRAPH, BROKEN FAN GRAPH, AND GENERALIZED

FAN GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret
University.
A simple graph G = (V (G), E(G)) admits a super (a, d) − H−antimagic if
there exists a function f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|}, such
that for every subgraph
H ′ of G isomorphic to H, the H ′ weight, ω(H ′ ) =
∑
∑
v∈V (H ′ ) f (v) +
e∈E(H ′ ) f (e) constitutes an arithmatic progession {a, a + d, a +
2d, . . . , a+(t−1)d} where a and d are positive integers and t is the number of subgraphs G isomorfic to H. Furthermore, graph G is a super (a, d) − H−antimagic,
if f (V (G)) = {1, 2, . . . , |V (G)|}.
This research aims to find super (a, d) − H−antimagic covering on a sunflower graph SFn , a broken fan graph BF (m, n), and a generalized fan graph
Fm,n . The results of the research show that a sunflower graph SFn admits a super
( 29
n+9, 1)−C3 −antimagic for n even ≥ 4, a broken fan BF (m, n) admits a super
2
(6(m+n)+9, 1)−C3 −antimagic for m ≥ 2 and n ≥ 2, and a generalized fan graph
n+ 25 , 1)−C3 −antimagic
Fm,n for m ≥ 3 and n ≥ 2 admits a super ( 32 mn+ 29 m+ 11

2
for n odd and ( 32 mn+4m+ 11
n+3, 1)−C3 −antimagic for n even, and a generalized
2
n + 72 , 2) −
fan graph Fm,n for m odd ≥ 3 and n ≥ 2 admits a super (mn + 92 m + 11
2
C3 −antimagic for n even and super (mn + 29 m + 11
n + 3, 2) − C3 −antimagic for
2
n odd.
Keywords: super (a, d)−cycle-antimagic, sunflower graph, broken fan graph,
generalized fan graph

commit to user

iv

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan
kepada Bapak, Ibu dan kakak-kakakku
atas doa, semangat, dan pengorbanan yang diberikan.

commit to user

v

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat selesai. Penulis

menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini mendapat bimbingan, dukungan
dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima
kasih kepada
1. Dra. Mania Roswitha, M.Si. sebagai Pembimbing I, yang telah memberikan
bimbingan materi dan penulisan dalam skripsi ini, dan
2. Drs. Pangadi, M.Si. sebagai Pembimbing II, yang telah memberikan bimbingan, saran, dan masukan dalam penulisan skripsi ini.
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Surakarta, Agustus 2016

Penulis

commit to user

vi

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Daftar Isi

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

ABSTRACT

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

I

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI

4

2.1

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Teori-teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1

Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.3

Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.4

Fungsi . . . . . . .commit
. . . .to. user
. . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.5

Graf Isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

vii

perpustakaan.uns.ac.id

2.3

digilib.uns.ac.id

2.2.6

Pelabelan Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2.7

Pelabelan Anti Ajaib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.8

Pelabelan Selimut Anti Ajaib . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.9

Multihimpunan k−Seimbang . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

III METODE PENELITIAN

17

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

18

4.1

Lema-lema Pendukung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Pelabelan (a, d)−C3 −Anti Ajaib Super pada Graf Bunga Matahari
SFn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

19

Pelabelan (a, d) − C3 −Anti Ajaib Super pada Graf Broken Fan
BF (m, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

18

23

Pelabelan (a, d)−C3 −Anti Ajaib Super pada Graf Generalized Fan
Fm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V Penutup

26
35

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

DAFTAR PUSTAKA

36

commit to user

viii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Daftar Gambar

2.1

(a) Graf G dan (b) Subgraf dari graf G . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

Graf I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4

Graf C4 dan komplemennya C 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Union dan join dari dua graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.6

Graf bunga matahari SF6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.7

Graf broken fan BF (2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.8

Graf generalized fan F3,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.9

Graf G1 isomorfik dengan graf G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.10 Pelabelan pada graf C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.1

(125, 1) − C3 −anti ajaib super pada graf SF8 . . . . . . . . . . . .

23

4.2

(81, 1) − C3 −anti ajaib super pada graf BF (5, 7)

. . . . . . . . .

26

4.3

(114, 1) − C3 −anti ajaib super pada graf F7,5 . . . . . . . . . . . .

30

4.4

(97, 2) − C3 −anti ajaib super pada graf F7,5 . . . . . . . . . . . .

34

commit to user

ix

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

Daftar Notasi dan Simbol
G

:

graf G

G = (V, E)

:

graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E

V (G)

:

himpunan titik dari graf G

|V (G)|

:

order atau banyaknya titik dari graf G

E(G)

:

himpunan sisi dari graf G

|E(G)|

:

size atau banyaknya sisi dari graf G

H

:

suatu selimut dari graf G

H′

:

suatu subgraf dari G yang isomorfik dengan selimut H

H1 , . . . , Hk

:

keluarga subgraf-subgraf G yang berbeda

m(f )

:

jumlah ajaib dari bobot suatu selimut

Cn

:

graf cycle dengan order n

SFn

:

graf bunga matahari dengan order 2n + 1

BF (m, n)

:

graf broken fan dengan order m + n + 1

Km

:

graf lengkap dengan order m

Pn

:

graf lintasan dengan order n

Fm,n

:

graf generalized fan dengan order m + n

Wn

:

graf roda dengan order n + 1

u, v

:

titik

e, uv

:

sisi

G

:

komplemen dari graf G

A∪B

:

operasi gabungan himpunan A dan himpunan B

A+B

:

join dari graf A dengan graf B

A×B

:

hasil kali dari graf A dengan graf B

A⊎B
⊎k
i=1 Xi

:

operasi gabungan multihimpunan A dengan B

:

operasi gabungan multihimpunan X1 ⊎ X2 ⊎ . . . ⊎ Xk

∀

:

untuk setiap

∃

:

terdapat

commit to user

x

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

|X|
∑
X

:

banyaknya elemen dari himpunan X

:

jumlahan semua elemen dari himpunan X

f :A→B

:

fungsi dari himpunan A ke himpunan B

G1 ∼
= G2

:

graf G1 isomorfik dengan graf G2

[a, b]

:

himpuan bilangan bulat positif mulai dari a sampai dengan b

mod

:

operasi modulo

✷

:

akhir bukti

commit to user

xi