SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHLTELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV.

SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI
POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHLTELLER DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV

Disusun oleh :
NANI SUNARMI
M0209036

SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi sebagian
persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
Maret, 2013

HALAMAIY PENGESAHAN

Skripsi dengan judul

Solusi Persamaan Schnidinger untuk Kombinasi

Potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
dengan Metode Nikiforov-Uvarov

Yang ditulis oleh
Nama

Narri Sunarmi

NIM

M0209036

Telah diuji dan dinyatakan lulus oleh dewan penguji pada

Hari

Kamis

Tanggal

28 Maret 2013

Anggota Tim Penguji:

1.

Ahmad Marzuki, S.Si., Ph.D.

NrP. 19680s08 199702

2.

Drs. Suharyana, M.Sc.

NrP. 1961r2r7 198943
J.

1 001

1 003

Dra. Suparmi, M.A., Ph.D.

NIP. 19520915 197603 2 001
4.

Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph-D

NrP. 19610306 198503

1 002

Disahkan oleh
Ketua Jurusan Fisika
Fakult4s

ika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Sebelas Maret Surakarta

u

/11
a

--

s.si.. Ph.D.
9680508 199702 1 001

ii

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa isi intelektual skripsi saya yang
berjudul “ SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI
POTENSIAL HULTHEN
DAN
NON-SENTRAL POSCHL-TELLER
DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV” adalah hasil kerja saya atas
arahan pembimbing dan sepengetahuan saya hingga saat ini, isi skripsi tidak berisi

materi yang telah dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau materi yang
telah diajukan untuk mendapatkan gelar kesarjanaan di Universitas Sebelas Maret
atau di PerguruanTinggi lainnya, jika ada maka telah dituliskan di daftar pustaka
skripsi ini dan segala bentuk bantuan dari semua pihak telah ditulis di bagian
ucapan terimakasih. Isi skripsi ini boleh dirujuk atau difotokopi secara bebas
tanpa harus memberitahu penulis.

Surakarta, 1 Maret 2013

Nani Sunarmi

iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“SEMANGAT”

Tulisan ini saya persembahkan untuk Mamak, Mak’e , Mas Nurul,
Mba Ten, Ndari, Mamat dan Mas Majid atas segala kasih sayang
dan dukungannya selama ini.

vi

SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER UNTUK KOMBINASI
POTENSIAL HULTHEN DAN NON-SENTRAL POSCHL-TELLER
DENGAN METODE NIKIFOROV-UVAROV
NANI SUNARMI
Jurusan Fisika, Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan persamaan energi dan fungsi
gelombang untuk kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
dengan metode Nikiforov-Uvarov serta memvisualisasikan energi dan fungsi
gelombang dengan pemrograman komputer yang berbasis Matlab. Penyelesaian
persamaan Schrödinger dengan metode Nikivorov-Uvarov (NU) dilakukan
dengan cara mereduksi persamaan differensial orde 2 menjadi persamaan
diferensial orde 2 tipe Hipergeometri melalui subtitusi variabel yang sesuai.
Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi
gelombang (bagian radial dan sudut) dinyatakan dalam bentuk Polinomial Jacobi.
Potensial Non-Sentral Poschl-Teller menyebabkan bilangan kuantum orbital
bertambah dan energi pada potensial Hulthen semakin bernilai negatif.

Kata Kunci : potensial Hulthen, potensial Non-Sentral Poschl-Teller, metode
Nikiforov-Uvarov.

iv

THE SOLUTION OF SCHRÖDINGER EQUATION FOR COMBINED
HULTHEN POTENTIAL AND POSCHL-TELLER NON- CENTRAL
WITH NIKIFOROV-UVAROV METHOD

NANI SUNARMI
Physics Department, Faculty of Sciences, Sebelas Maret University

ABSTRACT
This research is aimed to determine the energy equation and the wave
function for combinations of Hulthen potential and Poschl-Teller Non-Central
potential with Nikiforov-Uvarov method and to visualize the energy and wave
function with Matlab. To solve the Schrödinger equation with Nikivorov-Uvarov
method (NU) has been done by reducing the two order differensial equation to be
the two order differential equation Hypergeometric type through substitution of

appropriate variables.The energy levels obtained is the closed function while the
wave functions (radial and angular part) are expressed in the form of Jacobi
polynomials. The Poschl-Teller Non-Central potential causes the orbital quantum
number increased and the energy of the Hulthen potential is increasing
negativelly.
Keywords: Hulthen potential, Non-Central Poschl-Teller potential, NikiforovUvarov method.

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur Penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah
memberikan rakhmat dan karunia-Nya sehingga Penulis dapat menyelesaikan
penyusunan skripsi yang berjudul “Solusi Persamaan Schrödinger Untuk
Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller Dengan Metode
Nikiforov-Uvarov”.
Penulis menyadari bahwa keberhasilan penyusunan skripsi ini tidak
terlepas dari bantuan berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung. Pada
kesempatan ini, Penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesarbesarnya kepada :
1. Ahmad Marzuki, M.Sc., Ph.D selaku Ketua Jurusan Fisika FMIPA Universitas

Sebelas Maret Surakarta.
2. Dra. Suparmi, M,A., Ph.D selaku Dosen Pembimbing I atas bimbingan, saran,
serta nasehat yang berarti banyak bagi penulis selama penyusunan skripsi.
3. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D selaku Dosen Pembimbing II atas bimbingan,
saran, serta semangat yang diberikan.
4. Drs. Harjana, M.Si., Ph.D selaku pembimbing akademik yang atas semangat
yang diberikan.
5. Segenap staff jurusan atas bantuan yang diberikan, semoga Allah membalas
kebaikan kalian.
6. Seluruh Mahasiswa Jurusan Fisika FMIPA UNS untuk tegur sapa dan
keramahan yang diberikan.
Semoga segala kebaikan dan pertolongan semuannya mendapat berkah dari
Allah S.W.T. Penulis mohon maaf apabila masih banyak kekurangan dalam
penyusunan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak
yang membutuhkan. Amin.

Surakarta, 1 Maret 2013

Nani Sunarmi

vii

DAFTAR ISI

halaman
HALAMAN JUDUL ......................................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................
ii
HALAMAN PERNYATAAN.. ......................................................................
iii
HALAMAN ABSTRAK ................................................................................
vi
HALAMAN ABSTRACT ..............................................................................
v
HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN ..........................................
vi
KATA PENGANTAR .................................................................................... vii
DARTAR ISI .................................................................................................. viii
DAFTAR TABEL ..........................................................................................

x
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................
xi
DAFTAR SIMBOL ........................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................
1
1.1. Latar Belakang Masalah .............................................................
1
1.2. Batasan Masalah.........................................................................
2
1.3. Perumusan Masalah ................................................................
2
1.4. Tujuan Penelitian .......................................................................
3
1.5. Manfaat Penelitian .....................................................................
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................
4
2.1.Persamaan Schrödinger ...............................................................
4
2.2. Persamaan Schrödinger Untuk Koordinat Bola ..........................
6
2.3. Metode Nikiforov-Uvarov…………………………………….
8
2.4. Potensial Hulthen .......................................................................
9
2.5. Potensial Non-Sentral Poschl-Teller .......................................... 10
2.6. Persamaan Schrödinger Untuk Kombinasi Potensial Hulthen
dan Non-Sentral Poschl-Teller .................................................... 10
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ................................................... 12
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian .................................................... 12
3.2. Peralatan Penelitian .................................................................... 12
3.3. Metode Penelitian....................................................................... 13
3.3.1. Studi Literatur ................................................................... 13
3.3.2. Penulisan Persamaan Kombinasi Potensial Hulthen dan
Non-Sentral Poschl-Teller ................................................ 13

viii

3.3.3. Penulisan Persamaan Schrödinger Kombinasi Potensial
Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller Menggunakan
Koordinat Bola ..................................................................
3.3.4. Penentuan Fungsi Gelombang Sudut ..............................
3.3.5. Penentuan Fungsi Energi Dan Fungsi Gelombang
Radial.................................................................................
3.3.6. Visualisasi Tingkat Energi, Fungsi Gelombang Radial
Dan Sudut Dengan Matlap 2008 .......................................
3.3.6. Analisis .............................................................................
3.3.6. Kesimpulan .......................................................................
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN.............................
4.1. Pendahuluan ................................................................................
4.3. Penyelesaian Persamaan Schrödingger Bagian Sudut Untuk
Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller...
4.2. Penyelesaian Persamaan Schrödingger Bagian Radial Untuk
Kombinasi Potensial Hulthen Dan Non-Sentral Poschl-Teller...
BAB V PENUTUP ........................................................................................
5.1. Kesimpulan ................................................................................
5.2. Saran ...........................................................................................
DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................

ix

13
14
14
15
16
16
17
17
17
42
56
56
56
xiv

DAFTAR TABEL

halaman
Tabel 4.1

Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan
Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai

Tabel 4.2

Tabel 4.4

Tabel 4.5

32

Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan
Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai

Tabel 4.3

..................

..................

32

Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan
Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai �..................

33

Non-Sentral Poschl-Teller dengan variasi nilai �..................

33

Poschl-Teller

52

Fungsi gelombang sudut kombinasi potensial Hulthen dan

Fungsi gelombang radial potensial Hulthen dan Non-Sentral

x

DAFTAR GAMBAR

halaman
Gambar 2.1.Sistem Koodinat Bola……………………………………………… ....7
Gambar 3.1.Bagan Prosedur Penelitian………………………………………… .....12
Gambar 4.1. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola
kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
terhadap perubahan nilai

(a) �1122 , (b) �2122 , (c) �3122 , (d) �2122

34

Gambar 4.2. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat bola
kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
terhadap perubahan nilai
Gambar 4.3.

(a) �1122 , (b) �2122 , (c) �3122 , (d) �2122

34

Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat
kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral PoschlTeller terhadap perubahan nilai

(a) �1000 , (b) �1100 , (c) �1022 , (d)

�1122 , (e) �1222 , (f) �1322 …………….…………………………….

35

Gambar 4.4. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola
kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
terhadap perubahan nilai

(a) �1000 , (b) �1100 , (c) �1022 , (d) �1122 ,

(e) �1222 , (f) �1322 …………….…………………………………..

35

Gambar 4.5. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat
kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral PoschlTeller terhadap perubahan nilai

(a) �1000 , (b) �1100 , (c) �1022 , (d)

�1122 , (e) �1222 , (f) �1322 …………………………………………..

36

Gambar 4.6. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat
kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral PoschlTeller terhadap perubahan nilai

(a) �1000 , (b) �1100 , (c) �1022 , (d)

�1122 , (e) �1222 , (f) �1322 …………………………………………..

37

Gambar 4.7. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D dalam koordinat bola
kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
terhadap perubahan nilai � (a) �1122 , (b) �1132 , (c) �1142 , (d) �1152
xi

37

Gambar 4.8. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat bola
kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
terhadap perubahan nilai � (a) �1122 , (b) �1132 , (c) �1142 , (d) �1152

37

Gambar 4.9. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D dalam koordinat
kartesian kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral PoschlTeller terhadap perubahan nilai � (a) �1122 , (b) �1132 , (c) �1142 , (d)
�1152 ………………………………………………………………

38

Gambar 4.10. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 3D koordinat bola
kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
terhadap perubahan nilai � (a) �1000 , (b) �1002 , (c) �1120 , (d) �1122 ,

(e) �2000 , (f) �2002 …………………………………………………

39

Gambar 4.11. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D koordinat bola
kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
terhadap perubahan nilai � (a) �1000 , (b) �1002 , (c) �1120 , (d) �1122 ,

(e) �2000 , (f) �2002 …………………………………………………

39

Gambar 4.12. Perbandingan Fungsi gelombang sudut 2D koordinat kartesian
kombinasi potensial Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller
terhadap perubahan nilai � (a) �1000 , (b) �1002 , (c) �1120 , (d) �1122 ,

(e) �2000 , (f) �2002 …………………………………………………

40

Gambar 4.13. Grafik Tingkat Energi Potensial Hulthen Terganggu Potensial
ℏ2

Non-Sentral Poschl-Teller Dengan �1 = 2� � = 1 ……….………

48

Sentral Poschl-Teller…….………………………………………...

52

Gambar 4.14. Visualisasi Gelombang Radial Potensial Hulthen dan Non-

Gambar 4.15. Grafik Probabilitas Gelombang Radial Potensial Hulthen dan
Non-Sentral Poschl-Teller………………………………………..

xii

53

DAFTAR SIMBOL

Simbol
ℎ

Keterangan

Nilai/ Satuan

Tetapan Planck

6,626�10−34 �.

ℏ

ℎ

�

Massa diam elektron

�

Momentum linier

�

Bilangan gelombang

1,055�10−34 �.

2�

1,6�10−19 �

Muatan elektron

9,1�10−31 �

8,85�10−12 � 2 /�

�0

Permitivitas ruang hampa

�

Kecepatan linier

�

Kecepatan sudut
Frekuensi

1/

�

Energi total

� �

�

Energi potensial

�

�

/

1/
� /

� �

Energi kinetik

Jarak elektron ke inti

� �

Bilangan kuantum utama

-

Bilangan kuantum radial

-

Bilangan kuantum polar

-

Bilangan kuantum orbital

-

Bilangan kuantum magnetik

-

xiii

/

2