ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI.
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN
D
ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK
POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN
MENGG
POLINOMIAL
OMIAL ROMANOVSKI
TESIS
Untuk Memenuhi
Meme
Sebagian Persyaratan
untuk Mencapai Derajat Magister
Program Studi Ilmu Fisika
Oleh
IHTIARI PRA
PRASTYANINGRUM
S911208001
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK
POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI
TESIS
Oleh
Ihtiari Prastyaningrum
S911208001
Komisi
Nama
Tanda Tangan
Tanggal
Pembimbing
Pembimbing I. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D .........................
NIP. 19610306 198503 1 002
10 Januari 2014
Pembimbing II. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D
.........................
NIP : 19520915 197603 2 001
10 Januari 2014
Telah dinyatakan memenuhi syarat
Pada tanggal 10 Januari 2014
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Program Pascasarjana UNS
Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D
NIP : 19610306 198503 1 002
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK
POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI
TESIS
Oleh
Ihtiari Prastyaningrum
S911208001
Tim Penguji
Jabatan
Ketua
Sekretaris
Anggota
Penguji
Tanda
Tangan
Nama
Tanggal
Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si
NIP. 19690826 199903 1 001
......................
Januari 2014
Dr. Yofentina Iriani, S.Si.,M.Si
NIP. 197112271997022001
.....................
Januari 2014
Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D
NIP. 19610306 198503 1 002
.....................
Januari 2014
Dra. Suparmi, M.A., Ph.D
NIP . 19520915 197603 2 001
.....................
Januari 2014
Telah dipertahankan di depan penguji
Dinyatakan memenuhi syarat
Pada tanggal 23 Januari 2014
Direktur Program Pascasarjana UNS
Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S
NIP. 19610717 198601 1commit
001 to user
iii
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D
NIP : 19610306 198503 1 002
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS
Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa:
1.
Tesis yang berjudul “ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI
PERSAMAAN
DIRAC
UNTUK
POTENSIAL
NON
SENTRAL
DENGAN POLINOMIAL ROMANOVSKI” ini adalah karya penelitian
saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain
untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat
yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis
digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disebutkan dalam sumber acuan
serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini
tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan
perundang-undangan (Permendiknas No. 17, Tahun 2010).
2.
Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum
ilmiah lain harus seijin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan
PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu
semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi
dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak
mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu
Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan
publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang
berlaku.
Surakarta, 23 Januari 2014
Mahasiswa
Ihtiari Prastyaningrum
S911208001
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Kesabaran, keikhlasan, dan ketenangan memberikan kebahagiaan yang tak ternilai
harganya,
Langkah pertama adalah awal dari segalanya.
Dengan segala kerendahan hati, torehan tinta ini aku persembahkan kepada:
1. Allah SWT yang telah memberikan semua yang terbaik untukku;
2. Ayahku H. Sinto Ahmadi dan ibuku Hj. Titik Sulasmi tercinta, yang
senantiasa menyebutku dalam setiap doa dan sujudnya;
3. Suamiku tercinta M. Hadi Purnomo dan malaikat kecilku Arka Prameswara
yang telah menemaniku dalam setiap detik waktuku;
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Ihtiari Prastyaningrum. S911208001. 2014. “Analisis Fungsi Gelombang dan
Energi Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral Menggunakan
Polinomial Romanovski”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas
Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (1). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D (2). Dra.
Suparmi, M.A., Ph.D
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi
gelombang dari persamaan Dirac untuk potensial non sentral Rosen Morse dengan
faktor sentrifugal plus Rosen Morse dan potensial Poschl Teller termodifikasi
dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf.
Potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen
Morse dan potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus
Trigonometric Scarf merupakan potensial yang variabelnya terpisahkan. Potensial
tersebut diselesaikan menggunakan metode polinomial Romanovski. Persamaan
energi yang diperoleh tidak dapat diselesaikan secara analitik ataupun nilai
pendekatan sehingga dipilih penyelesaian dengan metode numerik. Penyelesaian
persamaan Dirac dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara
mereduksi persamaan differensial orde dua menjadi persamaan differensial tipe
hipergeometri perantara melalui substitusi variabel yang sesuai dengan parameter
Romanovski. Penentuan persamaan tingkat energi dan fungsi gelombang
ditentukan dengan mensubstitusi permisalan fungsi gelombang Romanovski
kedalam persamaan hipergeometri perantara dan menjabarkannya sehingga
diperoleh persamaan differensial Romanovski.
Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi
gelombang baik radial maupun polar dinyatakan dalam bentuk persamaan
polinomial Romanovski. Spektrum energi dan fungsi gelombang bagian radial
dan polar serta grafik probabilitas divisualisasikan dengan pemrograman
komputer yang berbasis Matlab 2011. Visualisasi fungsi gelombang radial yang
terbentuk mendiskripsikan nilai probabilitas ditemukannya partikel, sedangkan
visualisasi fungsi gelombang polar yang terbentuk mendiskripsikan momentum
sudut spin suatu elektron yang berada dalam pengaruh potensial sistem.
Kata kunci: Persamaan Dirac, potensial non sentral, polinomial Romanovski.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Ihtiari Prastyaningrum. S911208001. 2014. “ Analitical Solution Energy Eigen
Function and Wave Function of Non Central Potential With Romanovski
Polynomial”. Thesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas
Maret Surakarta. Advisor: (1). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D (2). Dra. Suparmi,
M.A., Ph.D
ABSTRACT
This research is aimed to determine energy levels and wave functions from
Dirac equation for non central potential Rosen Morse with centrifugal term plus
Rosen Morse and Modified Poschl Teller potential with centrifugal term plus
Trigonometric Scarf.
Non central potential Rosen Morse with centrifugal term plus Rosen Morse
and Modified Poschl Teller potential with centrifugal term plus Trigonometric
Scarf are the potensial which separated variable. The potential are solved by
Romanovski polynomials method. Eigen function that be found can’t be solved by
analytical method or approximation value, so that must be solved by numerical
method. To solve Dirac equation with Romanovski polynomials we must reduce
the two order differential equation to be intermediatery hypergeometry
differential equation with substituting of suitable variable with the Romanovski
parameters. To find energy eigen and wave function can be found by subtituting
Romanovski’s wave function like into the intermediatery hypergeometry
differential equation and derivating until be obtained the Romanovski’s
differensial equation. From its Romanovski’s hypergeometry equation would
determine the energy levels and wave function.
Energy levels which obtained make up closed function and the wave
functions, consist of radial and angular part, have showed by Romanovski
polinomial form. Energy spectrum, wave functions and probability graph have
visualized by Matlab 2011. Visualization of radial wave functions which obtained
are descripting the probability value to found a particle, whereas, visualization of
angular wave functions which obtained are descripting the spin-angular
momentum of electron which under system potential effect.
Key word: Dirac equation, non central potential, Romanovski polinomial.
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan tesis dengan judul, “Analisis
Fngsi Gelombang dan Energi Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral
Menggunakan Polinomial Romanovski”. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk
memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program
Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Kami menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak
dapat terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu kami mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1.
Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program
Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta,
2.
Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai
Pembimbing I yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan, dan
motivasi kepada kami,
3.
Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing II yang telah dengan sabar
membimbing dan mengajari kami, serta memberikan semangat kepada kami
untuk dapat menyelesaikan tesis ini,
4.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas
Sebelas Maret Surakarta yang telah memberikan berbagai ilmu tentang fisika,
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
5.
digilib.uns.ac.id
Teman-teman Pascasarjana Program Studi Ilmu Fisika angkatan September
2012 yang telah bersama-sama menghabiskan waktu untuk belajar dan
berdiskusi,
6.
Semua pihak yang telah membantu kami dalam menyelesaikan tesis ini.
Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana
(HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 2013 dengan nomer kontrak
165/UN27.11/PG/2013.
Surakarta, 2014
Penulis
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL............................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN .............................................................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... iii
SURAT PERNYATAAN...................................................................................... iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v
ABSTRAK ........................................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ....................................................................................... viii
DAFTAR ISI .......................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xiii
DAFTAR TABEL ................................................................................................ xv
DAFTAR SIMBOL ............................................................................................ xvi
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah .................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................................. 3
C. Tujuan Penelitian ............................................................................................... 3
D. Batasan Masalah ................................................................................................ 4
E. Manfaat Penelitian ............................................................................................. 5
commit to user
x
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB II KAJIAN TEORI
A. Persamaan Dirac ................................................................................................ 6
B. Persamaan Dirac untuk Koordinat Bola .......................................................... 11
C. Metode Polinomial Romanovski ..................................................................... 15
D. Potensial Rosen Morse .................................................................................... 17
E. Potensial Poschl Teller Termodifikasi ............................................................ 19
F. Potensial Scarf ................................................................................................. 20
BAB III METODE PENELITIAN
A. Waktu dan Tempat Penelitian ......................................................................... 23
B. Objek Penelitian ............................................................................................... 23
C. Instrumen Penelitian ........................................................................................ 23
D. Prosedur Penelitian
1. Bagan Alir Penelitian ................................................................................. 24
2. Langkah Kerja ........................................................................................... 25
BAB IV HASIL DAN ANALISA
A. Pendahuluan .................................................................................................... 27
B. Penyelesaian Persamaan Gelombang Radial Potensial Rosen Morse dengan
Faktor Sentrifugal plus Rosen Morse .............................................................. 27
C. Penyelesaian Persamaan Gelombang Polar Potensial Rosen Morse dengan
Faktor Sentrifugal plus Rosen Morse .............................................................. 49
commit to user
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
D. Penyelesaian Persamaan Gelombang Radial untuk Potensial Poschl Teller
termodifikasi dengan Faktor Sentrifugal plus Trigonometric Scarf ................ 65
E. Penyelesaian Persamaan Gelombang Polar untuk Potensial Poschl Teller
Termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf ................ 84
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan .....................................................................................................106
B. Saran ...............................................................................................................107
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 108
LAMPIRAN ...................................................................................................... 109
commit to user
xii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Polinomial Romanovski untuk
dan
........................ 17
Gambar 2.2. Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya .......................................18
Gambar 2.3. Potensial Scarf dalam bentuk trigonometri. Garis horisontal
menunjukkan level diskrit ............................................................... 21
Gambar 2.4. Potensial Scarf dalam fungsi hiperbolik ......................................... 21
Gambar 4.1. Grafik tingkat-tingkat energi. Energi dinyatakan dalam eV ............ 39
Gambar 4.2. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan
variasi konstanta
...........................................................................41
Gambar 4.3. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan
variasi konstanta
.......................................................................... 43
Gambar 4.4. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan
variasi konstanta dan
............................................................................. 45
Gambar 4.5. Grafik fungsi gelombang radial potensial Rosen Morse dengan faktor
sentrifugal plus Rosen Morse untuk keadaan energi tingkat dasar
......................................................................................................... 49
Gambar 4.6. Grafik fungsi gelombang radial potensial Rosen Morse dengan faktor
sentrifugal plus Rosen Morse untuk keadaan energi tingkat pertama
........................................................................................................ 49
Gambar 4.7.Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse
dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai
konstanta
...................................................................................... 61
commit to user
xiii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Gambar 4.8. Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse
dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai
konstanta
...................................................................................... 62
Gambar 4.9. Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse
dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai
konstanta dan
............................................................................ 63
Gambar 4.10. Grafik hubungan nilai energi terhadap n dengan variasi konstanta
......................................................................................................... 79
Gambar 4.11. Grafik hubungan nilai energi terhadap n dengan variasi konstanta
......................................................................................................... 81
Gambar 4.12. Fungsi gelombang radial tingkat dasar untuk potensial Poschl Teller
termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf
dengan variasi nilai konstanta t ........................................................ 85
Gambar 4.13. Fungsi gelombang radial tingkat pertama untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric
Scarf dengan variasi nilai konstanta t .............................................. 86
Gambar 4.14. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric
Scarf dengan variasi nilai konstanta b dan nilai a=0 ........................99
Gambar 4.15. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric
Scarf dengan variasi nilai konstanta a dan nilai b=0 ......................100
commit to user
xiv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Gambar 4.16. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric
Scarf dengan variasi nilai konstanta a dan b...................................101
Gambar 4.17. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometrik
Scarf dengan variasi nilan n .......................................................... 106
commit to user
xv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1. Nilai energi eigen dengan variasi
dan n ........................................... 38
Tabel 4.2. Nilai energi eigen dengan variasi nilai
............................................. 40
Tabel 4.3. Nilai energi eigen dengan variasi nilai
............................................ 42
Tabel 4.4. Nilai energi eigen dengan variasi nilai
dan
.................................. 44
Tabel 4.5. Polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang
polar potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal
plus Rosen Morse .............................................................................. 60
Tabel 4.6. Nilai energi eigen dengan variasi nilai konstanta
.......................... 78
Tabel 4.7. Nilai energi eigen dengan variasi nilai konstanta
.......................... 80
Tabel 4.8. Polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang
polar potensial Poschl Teller termodifikasi plus trigonometric Scarf
untuk beberapa variasi nilai bilangan kuantum utama ...................... 97
commit to user
xvi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR SIMBOL
= fungsi gelombang
= fungsi gelombang upper
= fungsi gelombang lower
M
= massa partikel
= matriks pauli
= energi (fm-1)
= potensial vector
= potensial skalar
ENR = energi non relativistik
= kecepatan cahaya di ruang hampa (
m/s)
= operator momentum tiga dimensi
= kecepatan sudut
= bilangan gelombang
= parameter kedalaman untuk potensial Rosen Morse bagian radial
= parameter kedalaman untuk potensial Rosen Morse bagian polar
= parameter kedalaman untuk potensial Poschl Teller
= parameter kedalaman untuk potensial trigonometric Scarf
= momentum
= panjang gelombang
= sudut putar
R
= fungsi gelombang radial commit to user
xvii
perpustakaan.uns.ac.id
P
digilib.uns.ac.id
= fungsi gelombang polar
= fungsi gelombang azhimutal
= fungsi gelombang Romanovski
= energi potensial
= bilangan kuantum utama
= bilangan kuantum orbital
= bilangan kuantum magnetik
= rentang potensial
= faktor sentrifugal
= faktor bobot
= fungsi gelombang Romanovski
commit to user
xviii
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN
D
ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK
POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN
MENGG
POLINOMIAL
OMIAL ROMANOVSKI
TESIS
Untuk Memenuhi
Meme
Sebagian Persyaratan
untuk Mencapai Derajat Magister
Program Studi Ilmu Fisika
Oleh
IHTIARI PRA
PRASTYANINGRUM
S911208001
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK
POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI
TESIS
Oleh
Ihtiari Prastyaningrum
S911208001
Komisi
Nama
Tanda Tangan
Tanggal
Pembimbing
Pembimbing I. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D .........................
NIP. 19610306 198503 1 002
10 Januari 2014
Pembimbing II. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D
.........................
NIP : 19520915 197603 2 001
10 Januari 2014
Telah dinyatakan memenuhi syarat
Pada tanggal 10 Januari 2014
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Program Pascasarjana UNS
Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D
NIP : 19610306 198503 1 002
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK
POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI
TESIS
Oleh
Ihtiari Prastyaningrum
S911208001
Tim Penguji
Jabatan
Ketua
Sekretaris
Anggota
Penguji
Tanda
Tangan
Nama
Tanggal
Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si
NIP. 19690826 199903 1 001
......................
Januari 2014
Dr. Yofentina Iriani, S.Si.,M.Si
NIP. 197112271997022001
.....................
Januari 2014
Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D
NIP. 19610306 198503 1 002
.....................
Januari 2014
Dra. Suparmi, M.A., Ph.D
NIP . 19520915 197603 2 001
.....................
Januari 2014
Telah dipertahankan di depan penguji
Dinyatakan memenuhi syarat
Pada tanggal 23 Januari 2014
Direktur Program Pascasarjana UNS
Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S
NIP. 19610717 198601 1commit
001 to user
iii
Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D
NIP : 19610306 198503 1 002
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS
Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa:
1.
Tesis yang berjudul “ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI
PERSAMAAN
DIRAC
UNTUK
POTENSIAL
NON
SENTRAL
DENGAN POLINOMIAL ROMANOVSKI” ini adalah karya penelitian
saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain
untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat
yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis
digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disebutkan dalam sumber acuan
serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini
tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan
perundang-undangan (Permendiknas No. 17, Tahun 2010).
2.
Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum
ilmiah lain harus seijin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan
PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu
semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi
dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak
mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu
Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan
publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang
berlaku.
Surakarta, 23 Januari 2014
Mahasiswa
Ihtiari Prastyaningrum
S911208001
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Kesabaran, keikhlasan, dan ketenangan memberikan kebahagiaan yang tak ternilai
harganya,
Langkah pertama adalah awal dari segalanya.
Dengan segala kerendahan hati, torehan tinta ini aku persembahkan kepada:
1. Allah SWT yang telah memberikan semua yang terbaik untukku;
2. Ayahku H. Sinto Ahmadi dan ibuku Hj. Titik Sulasmi tercinta, yang
senantiasa menyebutku dalam setiap doa dan sujudnya;
3. Suamiku tercinta M. Hadi Purnomo dan malaikat kecilku Arka Prameswara
yang telah menemaniku dalam setiap detik waktuku;
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Ihtiari Prastyaningrum. S911208001. 2014. “Analisis Fungsi Gelombang dan
Energi Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral Menggunakan
Polinomial Romanovski”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas
Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (1). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D (2). Dra.
Suparmi, M.A., Ph.D
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi
gelombang dari persamaan Dirac untuk potensial non sentral Rosen Morse dengan
faktor sentrifugal plus Rosen Morse dan potensial Poschl Teller termodifikasi
dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf.
Potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen
Morse dan potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus
Trigonometric Scarf merupakan potensial yang variabelnya terpisahkan. Potensial
tersebut diselesaikan menggunakan metode polinomial Romanovski. Persamaan
energi yang diperoleh tidak dapat diselesaikan secara analitik ataupun nilai
pendekatan sehingga dipilih penyelesaian dengan metode numerik. Penyelesaian
persamaan Dirac dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara
mereduksi persamaan differensial orde dua menjadi persamaan differensial tipe
hipergeometri perantara melalui substitusi variabel yang sesuai dengan parameter
Romanovski. Penentuan persamaan tingkat energi dan fungsi gelombang
ditentukan dengan mensubstitusi permisalan fungsi gelombang Romanovski
kedalam persamaan hipergeometri perantara dan menjabarkannya sehingga
diperoleh persamaan differensial Romanovski.
Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi
gelombang baik radial maupun polar dinyatakan dalam bentuk persamaan
polinomial Romanovski. Spektrum energi dan fungsi gelombang bagian radial
dan polar serta grafik probabilitas divisualisasikan dengan pemrograman
komputer yang berbasis Matlab 2011. Visualisasi fungsi gelombang radial yang
terbentuk mendiskripsikan nilai probabilitas ditemukannya partikel, sedangkan
visualisasi fungsi gelombang polar yang terbentuk mendiskripsikan momentum
sudut spin suatu elektron yang berada dalam pengaruh potensial sistem.
Kata kunci: Persamaan Dirac, potensial non sentral, polinomial Romanovski.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Ihtiari Prastyaningrum. S911208001. 2014. “ Analitical Solution Energy Eigen
Function and Wave Function of Non Central Potential With Romanovski
Polynomial”. Thesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas
Maret Surakarta. Advisor: (1). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D (2). Dra. Suparmi,
M.A., Ph.D
ABSTRACT
This research is aimed to determine energy levels and wave functions from
Dirac equation for non central potential Rosen Morse with centrifugal term plus
Rosen Morse and Modified Poschl Teller potential with centrifugal term plus
Trigonometric Scarf.
Non central potential Rosen Morse with centrifugal term plus Rosen Morse
and Modified Poschl Teller potential with centrifugal term plus Trigonometric
Scarf are the potensial which separated variable. The potential are solved by
Romanovski polynomials method. Eigen function that be found can’t be solved by
analytical method or approximation value, so that must be solved by numerical
method. To solve Dirac equation with Romanovski polynomials we must reduce
the two order differential equation to be intermediatery hypergeometry
differential equation with substituting of suitable variable with the Romanovski
parameters. To find energy eigen and wave function can be found by subtituting
Romanovski’s wave function like into the intermediatery hypergeometry
differential equation and derivating until be obtained the Romanovski’s
differensial equation. From its Romanovski’s hypergeometry equation would
determine the energy levels and wave function.
Energy levels which obtained make up closed function and the wave
functions, consist of radial and angular part, have showed by Romanovski
polinomial form. Energy spectrum, wave functions and probability graph have
visualized by Matlab 2011. Visualization of radial wave functions which obtained
are descripting the probability value to found a particle, whereas, visualization of
angular wave functions which obtained are descripting the spin-angular
momentum of electron which under system potential effect.
Key word: Dirac equation, non central potential, Romanovski polinomial.
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan tesis dengan judul, “Analisis
Fngsi Gelombang dan Energi Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral
Menggunakan Polinomial Romanovski”. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk
memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program
Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Kami menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak
dapat terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu kami mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1.
Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program
Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta,
2.
Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika
Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai
Pembimbing I yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan, dan
motivasi kepada kami,
3.
Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing II yang telah dengan sabar
membimbing dan mengajari kami, serta memberikan semangat kepada kami
untuk dapat menyelesaikan tesis ini,
4.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas
Sebelas Maret Surakarta yang telah memberikan berbagai ilmu tentang fisika,
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
5.
digilib.uns.ac.id
Teman-teman Pascasarjana Program Studi Ilmu Fisika angkatan September
2012 yang telah bersama-sama menghabiskan waktu untuk belajar dan
berdiskusi,
6.
Semua pihak yang telah membantu kami dalam menyelesaikan tesis ini.
Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana
(HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 2013 dengan nomer kontrak
165/UN27.11/PG/2013.
Surakarta, 2014
Penulis
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL............................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN .............................................................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... iii
SURAT PERNYATAAN...................................................................................... iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v
ABSTRAK ........................................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ....................................................................................... viii
DAFTAR ISI .......................................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xiii
DAFTAR TABEL ................................................................................................ xv
DAFTAR SIMBOL ............................................................................................ xvi
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah .................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................................. 3
C. Tujuan Penelitian ............................................................................................... 3
D. Batasan Masalah ................................................................................................ 4
E. Manfaat Penelitian ............................................................................................. 5
commit to user
x
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BAB II KAJIAN TEORI
A. Persamaan Dirac ................................................................................................ 6
B. Persamaan Dirac untuk Koordinat Bola .......................................................... 11
C. Metode Polinomial Romanovski ..................................................................... 15
D. Potensial Rosen Morse .................................................................................... 17
E. Potensial Poschl Teller Termodifikasi ............................................................ 19
F. Potensial Scarf ................................................................................................. 20
BAB III METODE PENELITIAN
A. Waktu dan Tempat Penelitian ......................................................................... 23
B. Objek Penelitian ............................................................................................... 23
C. Instrumen Penelitian ........................................................................................ 23
D. Prosedur Penelitian
1. Bagan Alir Penelitian ................................................................................. 24
2. Langkah Kerja ........................................................................................... 25
BAB IV HASIL DAN ANALISA
A. Pendahuluan .................................................................................................... 27
B. Penyelesaian Persamaan Gelombang Radial Potensial Rosen Morse dengan
Faktor Sentrifugal plus Rosen Morse .............................................................. 27
C. Penyelesaian Persamaan Gelombang Polar Potensial Rosen Morse dengan
Faktor Sentrifugal plus Rosen Morse .............................................................. 49
commit to user
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
D. Penyelesaian Persamaan Gelombang Radial untuk Potensial Poschl Teller
termodifikasi dengan Faktor Sentrifugal plus Trigonometric Scarf ................ 65
E. Penyelesaian Persamaan Gelombang Polar untuk Potensial Poschl Teller
Termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf ................ 84
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan .....................................................................................................106
B. Saran ...............................................................................................................107
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 108
LAMPIRAN ...................................................................................................... 109
commit to user
xii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Polinomial Romanovski untuk
dan
........................ 17
Gambar 2.2. Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya .......................................18
Gambar 2.3. Potensial Scarf dalam bentuk trigonometri. Garis horisontal
menunjukkan level diskrit ............................................................... 21
Gambar 2.4. Potensial Scarf dalam fungsi hiperbolik ......................................... 21
Gambar 4.1. Grafik tingkat-tingkat energi. Energi dinyatakan dalam eV ............ 39
Gambar 4.2. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan
variasi konstanta
...........................................................................41
Gambar 4.3. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan
variasi konstanta
.......................................................................... 43
Gambar 4.4. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan
variasi konstanta dan
............................................................................. 45
Gambar 4.5. Grafik fungsi gelombang radial potensial Rosen Morse dengan faktor
sentrifugal plus Rosen Morse untuk keadaan energi tingkat dasar
......................................................................................................... 49
Gambar 4.6. Grafik fungsi gelombang radial potensial Rosen Morse dengan faktor
sentrifugal plus Rosen Morse untuk keadaan energi tingkat pertama
........................................................................................................ 49
Gambar 4.7.Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse
dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai
konstanta
...................................................................................... 61
commit to user
xiii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Gambar 4.8. Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse
dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai
konstanta
...................................................................................... 62
Gambar 4.9. Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse
dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai
konstanta dan
............................................................................ 63
Gambar 4.10. Grafik hubungan nilai energi terhadap n dengan variasi konstanta
......................................................................................................... 79
Gambar 4.11. Grafik hubungan nilai energi terhadap n dengan variasi konstanta
......................................................................................................... 81
Gambar 4.12. Fungsi gelombang radial tingkat dasar untuk potensial Poschl Teller
termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf
dengan variasi nilai konstanta t ........................................................ 85
Gambar 4.13. Fungsi gelombang radial tingkat pertama untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric
Scarf dengan variasi nilai konstanta t .............................................. 86
Gambar 4.14. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric
Scarf dengan variasi nilai konstanta b dan nilai a=0 ........................99
Gambar 4.15. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric
Scarf dengan variasi nilai konstanta a dan nilai b=0 ......................100
commit to user
xiv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Gambar 4.16. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric
Scarf dengan variasi nilai konstanta a dan b...................................101
Gambar 4.17. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl
Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometrik
Scarf dengan variasi nilan n .......................................................... 106
commit to user
xv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1. Nilai energi eigen dengan variasi
dan n ........................................... 38
Tabel 4.2. Nilai energi eigen dengan variasi nilai
............................................. 40
Tabel 4.3. Nilai energi eigen dengan variasi nilai
............................................ 42
Tabel 4.4. Nilai energi eigen dengan variasi nilai
dan
.................................. 44
Tabel 4.5. Polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang
polar potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal
plus Rosen Morse .............................................................................. 60
Tabel 4.6. Nilai energi eigen dengan variasi nilai konstanta
.......................... 78
Tabel 4.7. Nilai energi eigen dengan variasi nilai konstanta
.......................... 80
Tabel 4.8. Polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang
polar potensial Poschl Teller termodifikasi plus trigonometric Scarf
untuk beberapa variasi nilai bilangan kuantum utama ...................... 97
commit to user
xvi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR SIMBOL
= fungsi gelombang
= fungsi gelombang upper
= fungsi gelombang lower
M
= massa partikel
= matriks pauli
= energi (fm-1)
= potensial vector
= potensial skalar
ENR = energi non relativistik
= kecepatan cahaya di ruang hampa (
m/s)
= operator momentum tiga dimensi
= kecepatan sudut
= bilangan gelombang
= parameter kedalaman untuk potensial Rosen Morse bagian radial
= parameter kedalaman untuk potensial Rosen Morse bagian polar
= parameter kedalaman untuk potensial Poschl Teller
= parameter kedalaman untuk potensial trigonometric Scarf
= momentum
= panjang gelombang
= sudut putar
R
= fungsi gelombang radial commit to user
xvii
perpustakaan.uns.ac.id
P
digilib.uns.ac.id
= fungsi gelombang polar
= fungsi gelombang azhimutal
= fungsi gelombang Romanovski
= energi potensial
= bilangan kuantum utama
= bilangan kuantum orbital
= bilangan kuantum magnetik
= rentang potensial
= faktor sentrifugal
= faktor bobot
= fungsi gelombang Romanovski
commit to user
xviii