Sistem jaringan syaraf kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Jaringan syaraf kabur adalah suatu model yang dilatih dengan menggunakan
jaringan syaraf, namun struktur jaringannya diinterpretasikan dengan aturan-aturan
kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang mengombinasikan
logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf kabur dirancang untuk
merealisasikan proses penalaran kabur, di mana bobot-bobot yang terhubung pada
jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter penalaran kabur.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Fuzzy neural networks is a model trained using neural networks, but the
network structures are interpreted by fuzzy rules. Fuzzy neural network system is a
system that combines fuzzy logic and neural networks. Fuzzy neural network system
is designed to realize the fuzzy reasoning process, where the weights connected to the
network are associated with the fuzzy reasoning parameters.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Sisiria Mardiawati
NIM : 053114006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
FUZZY NEURAL NETWORK SYSTEM
Final Assignment
Presented to Fulfill One of the Requirements
To Obtain the Sarjana Sains Degree
Mathematics Study Program
By :
Sisiria Mardiawati
Student Number : 053114006
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Bersukacitalah senantiasa
Tetaplah berdoa
Mengucap syukurlah dalam segala hal, sebab itulah yang dikehendaki Allah di
dalam Kristus Yesus bagi kamu (2 Tesalonika 16-18)
Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apa pun juga, tetapi nyatakanlah dalam
segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan
syukur (Filipi 4:6)
Skripsi ini kupersembahkan kepada :
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan menyertaiku
Mamak dan Bapak yang selalu mendukung dengan cinta kasih yang tiada habisnya
Adikku terkasih, Vincentius Mardianto yang selalu mendukung
Diriku sendiri, Sisiria Mardiawati yang sudah mau menyelesaikan skripsi ini
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Jaringan syaraf kabur adalah suatu model yang dilatih dengan menggunakan
jaringan syaraf, namun struktur jaringannya diinterpretasikan dengan aturan-aturan
kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang mengombinasikan
logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf kabur dirancang untuk
merealisasikan proses penalaran kabur, di mana bobot-bobot yang terhubung pada
jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter penalaran kabur.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Fuzzy neural networks is a model trained using neural networks, but the
network structures are interpreted by fuzzy rules. Fuzzy neural network system is a
system that combines fuzzy logic and neural networks. Fuzzy neural network system
is designed to realize the fuzzy reasoning process, where the weights connected to the
network are associated with the fuzzy reasoning parameters.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkat
dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak yang
memberikan dorongan, bimbingan, petunjuk, nasihat serta dukungan dari permulaan
sampai selesainya penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan
segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terimakasih kepada:
1. Bapak Yosef Agung Cahyanta S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta sekaligus selaku Dosen Penguji tugas akhir yang selalu memberikan
semangat kepada penulis.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ, selaku Dosen Pembimbing skripsi dan Dosen
Pembimbing akademik yang telah memberikan masukan, bimbingan, nasihat,
dorongan serta saran dalam penulisan skripsi ini.
4. Bapak Y. G. Hartono, S.Si, M.Sc, selaku Dosen Penguji tugas akhir yang telah
memberikan masukan dan saran.
5. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.
6. Bapak Zaerilus Tukija dan Ibu Erma Linda Santyas Rahayu yang telah
memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa perkuliahan.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ....................................................................................
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS.................................
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING...........................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN.......................................................................
iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA..................................
v
HALAMAN PERSEMBAHAN....................................................................
vi
ABSTRAK......................................................................................................
vii
ABSTRACT....................................................................................................
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS.......................................................
ix
KATA PENGANTAR.....................................................................................
x
DAFTAR ISI...................................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN .............................................................................
1
A. Latar Belakang .............................................................................
1
B. Rumusan Masalah ........................................................................
6
C. Pembatasan Masalah ....................................................................
7
D. Tujuan Penulisan ..........................................................................
7
E. Manfaat Penulisan ........................................................................
7
F. Metode Penulisan .........................................................................
8
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
G. Sistematika Penulisan ..................................................................
8
BAB II LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN
JARINGAN SYARAF TIRUAN....................................................
11
A. Logika Kabur ..............................................................................
11
1. Himpunan Kabur ....................................................................
11
2. Fungsi Keanggotaan ...............................................................
18
3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur ...................................
23
4. Perambatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur ...............
25
5. Relasi Kabur..........................................................................
28
6. Variabel Linguistik................................................................
29
7. Proposisi Kabur.....................................................................
29
8. Implikasi Kabur.....................................................................
30
9. Model Kabur Takagi Sugeno Kang (TSK)............................
34
10. Modus Ponens Rampat..........................................................
35
11. Sistem Kendali Kabur............................................................
44
B. Dekomposisi Nilai Singular.........................................................
45
C. Jaringan Syaraf Tiruan................................................................
52
1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan...................................
52
2. Arsitektur Jaringan Syaraf.....................................................
55
3. Proses Pembelajaran..............................................................
57
4. Fungsi Aktivasi......................................................................
58
5. Model Rambatan Balik..........................................................
63
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR ....................................
A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur..............................................
75
75
B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan
Syaraf Terbimbing........................................................................
77
1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur............................................
77
2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model Kabur.................
80
C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur...........................................
91
BAB IV PENUTUP........................................................................................
99
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................
101
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak hal yang bersifat kompleks dan
rumit untuk dijelaskan secara tepat dan eksak. Sebuah model yang cocok untuk
menggambarkan hal tersebut bisa diperoleh dengan menggunakan himpunan kabur.
Pencapaian dengan menggunakan model tersebut berdasarkan pengamatan bahwa
manusia berpikir menggunakan bahasa yang digunakan seperti “kecil” atau “sangat
besar” dan ungkapan yang lainnya. Oleh karena itu, untuk mendeskripsikan konsep
tersebut ke dalam bahasa yang umum, Zadeh memperkenalkan himpunan kabur
(fuzzy sets) pada tahun 1965. Dalam hal ini Zadeh memperluas konsep “himpunan
klasik” (himpunan tegas, crisp set) menjadi himpunan kabur, dalam arti bahwa himpunan klasik merupakan kejadian khusus dari himpunan kabur itu. Berdasarkan konsep himpunan kabur itu, Zadeh mengembangkan konsep algoritma kabur (1968),
yang merupakan landasan dari logika kabur (fuzzy logic) dan penalaran hampiran (approximate reasoning), yaitu penalaran yang melibatkan pernyataan-pernyataan
dengan predikat kabur. Inti dari sistem kabur ini sendiri adalah aturan implikasi jika –
maka (if – then rules), yang menggunakan himpunan kabur sebagai syarat dalam premis dan kesimpulannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Sejak manusia bisa melakukan banyak hal yang cukup sulit dibandingkan alat
teknologi yang sangat canggih, otak manusia menjadi hal yang sangat menarik bagi
para ahli. Otak manusia memiliki struktur yang sangat kompleks dan memiliki kemampuan yang luar biasa. Otak terdiri dari neuron-neuron dan penghubung yang
disebut sinapsis. Neuron bekerja berdasarkan impuls/sinyal yang diberikan pada neuron. Setiap sel syaraf (neuron) memiliki 3 komponen penting yaitu soma yang
merupakan inti sel dari neuron yang bertugas untuk melakukan pemrosesan
informasi. Informasi yang datang akan diterima oleh dendrit, selain menerima
informasi dendrit juga menyertai axon sebagai keluaran dari suatu pemrosesan
informasi. Informasi hasil olahan ini akan menjadi masukan bagi neuron lain yang
dihubungkan oleh dua dendrit sel yang dipertemukan oleh sinapsis. Informasi yang
dikirimkan antar neuron ini berupa rangsangan yang dilewatkan melalui beberapa
dendrit. Informasi yang datang dan diterima oleh dendrit akan dijumlahkan dan
dikirim melalui axon ke dendrit akhir yang bersentuhan dengan dendrit dari neuron
yang lain. Informasi ini akan diterima oleh neuron lain jika memenuhi batasan
tertentu, yang sering dikenal dengan nama nilai ambang (treshold).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Gambar 1.1 Jaringan Syaraf Biologi
Terinspirasi akan sistem jaringan syaraf biologi tersebut, banyak ahli telah
menyelidiki jaringan syaraf tiruan. Jaringan syaraf tiruan adalah suatu sistem
komputasi yang disusun dengan meniru proses alamiah yang terjadi dalam jaringan
syaraf biologis pada otak manusia. Seperti halnya otak manusia, jaringan syaraf tiruan
juga terdiri dari beberapa neuron dan ada hubungan antara neuron-neuron tersebut.
Neuron-neuron tersebut akan mentransformasikan input yang diterima melalui
sambungan keluarnya menuju ke neuron-neuron lainnya. Pada jaringan syaraf tiruan,
hubungan ini dikenal dengan nama bobot (weight). Input tersebut disimpan pada
suatu nilai tertentu pada bobot tersebut. Gambar dibawah ini menunjukkan jaringan
syaraf sederhana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Gambar 1.2 Jaringan syaraf sederhana
Sebenarnya cara kerja neuron buatan ini sama saja dengan neuron biologis.
Suatu neuron pada umumnya memiliki n buah input yang dinyatakan dengan
bilangan-bilangan real x1 , x2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n , dan sebuah output y1 . Masing-masing input
memiliki bobot yang dinyatakan dengan bilangan real w11 , w21 ,⋅ ⋅ ⋅, wn1 . Input-input
tersebut akan diproses oleh suatu fungsi perambatan yang akan menjumlahkan nilainilai semua bobot yang masuk. Hasil penjumlahan tersebut akan dibandingkan
dengan suatu nilai ambang tertentu melalui fungsi aktivasi setiap neuron sehingga
mencapai sebuah output y. Pada jaringan syaraf neuron-neuron akan dikumpulkan
dalam lapisan-lapisan (layer) yang sering disebut dengan lapisan neuron (neuron
layers). Biasanya neuron-neuron pada satu lapisan akan dihubungkan dengan lapisanlapisan sebelum dan sesudahnya (kecuali lapisan input dan lapisan output). Input
yang dimasukkan pada jaringan syaraf akan dirambatkan mulai dari lapisan input
sampai ke lapisan output melalui lapisan yang lainnya, yang sering dikenal dengan
nama lapisan tersembunyi (hidden layer).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Gambar 1.3 Jaringan syaraf tiruan dengan lapisan tersembunyi
Jaringan syaraf dan logika kabur merupakan dua teknologi yang
komplementer. Jaringan syaraf dapat mengenali pola masukan yang diterimanya dan
dengan proses pembelajaran dapat menyesuaikan diri dengan masukan itu. Proses
pembelajaran pada suatu jaringan syaraf adalah proses penyesuaian diri jaringan itu
secara bertahap terhadap masukan yang diterimanya sampai akhirnya menghasilkan
keluaran yang diinginkan. Akan tetapi, memahami proses pembelajaran jaringan
syaraf cukup sulit karena sulit untuk menjelaskan makna setiap neuron dan setiap
bobot yang terkait. Sebaliknya, model berbasis aturan kabur mudah untuk dipahami
karena menggunakan istilah-istilah linguistik dan struktur aturan jika-maka. Akan
tetapi, tidak seperti jaringan syaraf, logika kabur tidak mengenal algoritma
pembelajaran. Penggabungan kedua teknologi tersebut menghasilkan istilah baru,
yaitu jaringan syaraf kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
menggunakan kombinasi logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf
kabur dirancang untuk merealisasikan proses logika kabur, dimana bobot-bobot yang
terhubung pada jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter logika
kabur. Dengan menggunakan algoritma pembelajaran rambatan balik, sistem jaringan
syaraf kabur dapat mengidentifikasi aturan-aturan kabur dan melatih fungsi
keanggotaan dari logika kabur tersebut. Sistem jaringan syaraf kabur dapat
diklasifikasikan ke dalam dua kategori, yaitu:
1. Model berbasis aturan kabur yang dibangun dengan menggunakan teknik
pembelajaran jaringan syaraf terbimbing.
2. Model berbasis aturan kabur yang menggunakan jaringan syaraf untuk
membangun partisi kabur dari ruang masukannya.
Yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sistem jaringan syaraf kabur kategori
pertama.
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur?
2. Bagaimana mengimplementasikan pembelajaran rambatan balik pada
model kabur?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
C. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis membahas tentang sistem jaringan syaraf kabur
yang merupakan interpretasi pembelajaran jaringan syaraf buatan dengan (pada)
model kabur. Pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran rambatan balik, dan
model kabur yang digunakan adalah model kabur Takagi Sugeno Kang (TSK).
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Mengetahui bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur
2. Mengetahui implementasi pembelajaran rambatan balik pada model kabur
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah dapat mengetahui dan memahami
bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur serta mengetahui implementasi
pembelajaran rambatan balik pada model kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode
studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku-buku acuan
yang berkaitan dengan topik skripsi.
G. Sistematika Penulisan
BAB I
:
PENDAHULUAN
A. Latar belakang masalah
B. Perumusan masalah
C. Pembatasan masalah
D. Tujuan penulisan
E. Manfaat penulisan
F. Metode penulisan
G. Sistematika penulisan
BAB II
:
LOGIKA KABUR DAN JARINGAN SYARAF TIRUAN
A. Logika Kabur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
1.
Himpunan Kabur
2.
Fungsi Keanggotaan
3.
Operasi Baku Pada Himpunan Kabur
4.
Perampatan Operasi Baku Pada Himpunan
Kabur
5.
Relasi Kabur
6.
Variabel Linguistik
7.
Proposisi Kabur
8.
Implikasi Kabur
9.
Prinsip Perluasan
10. Model Kabur Takagi Sugeno Kang
11. Generalisasi Modus Ponens
12. Sistem Kendali Kabur
B. Dekomposisi Nilai Singular (DNS)
C. Jaringan Syaraf Tiruan
1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
2. Arsitektur Jaringan Syaraf
3. Proses Pembelajaran
4. Fungsi Aktivasi
5. Model Rambatan Balik (Backpropagation)
BAB III
:
SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR
A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur
B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan Syaraf
Terbimbing
1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur
2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model
Kabur
C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur
BAB IV
:
PENUTUP
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN
JARINGAN SYARAF TIRUAN
A. Logika Kabur
1.
Himpunan Kabur
Andaikan A adalah suatu himpunan tegas dalam semesta pembicaraan U,
maka A dapat didefinisikan dengan mendaftarkan semua anggotanya atau dengan
mendefinisikan kaidah yang harus dipenuhi oleh anggota dari himpunan tersebut. Jika
suatu objek x adalah anggota himpunan A, maka ditulis x ∈ A , dan jika x bukan
anggota A ditulis x ∉ A . Ada tiga metode untuk mendefinisikan suatu himpunan
dalam suatu semesta pembicaraan U, yaitu:
a.
Metode pendaftaran, yaitu metode yang mendefinisikan suatu himpunan dengan
menyebut semua anggotanya. Metode ini digunakan hanya untuk himpunanhimpunan berhingga. Himpunan A yang anggotanya a1 , a2 ,..., an , ditulis:
A = ( a1 , a2 ,..., an )
b.
Metode kaidah, yaitu metode yang mendefinisikan suatu himpunan dengan
menyebutkan syarat keanggotaannya. Dalam metode kaidah, himpunan A
dinyatakan dengan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
A = {x ∈ U | p( x)}
di mana p (x) menyatakan bahwa “x mempunyai sifat p”
c.
Metode fungsi keanggotaan (fungsi karakteristik), yaitu metode yang
mendefinisikan suatu himpunan dengan sebuah fungsi yang disebut fungsi
karakteristik, untuk menyatakan bahwa anggota-anggota himpunan semesta U
adalah anggota himpunan itu atau bukan. Himpunan A didefinisikan dengan
fungsi karakteristik χ A : U → {0,1} , sedemikian hingga:
1 untuk x ∈ A
0 untuk x ∉ A
χ A (x) =
Contoh 2.1 Andaikan U = {1, 2, , 11}. Didefinisikan himpunan A yang anggotaanggotanya adalah bilangan-bilangan genap dalam himpunan semesta U. Maka
berdasarkan tiga metode di atas, himpunan A dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. A = {2, 4, 6, 8, 10}
2. A = {x ∈ U | x bilangan genap}
1 jika x bilangan genap
3. χ A (x) =
0 jika x bilangan ganjil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Fungsi karakteristik dari himpunan tegas menentukan dengan pasti nilai 0 atau
1 untuk setiap anggota U. Fungsi ini dapat diperumum sedemikian sehingga nilainilai yang ditentukan untuk tiap anggota dari himpunan semesta berada dalam
interval tertutup [0,1] dan menunjukkan derajat keanggotaan dari anggota tersebut.
Nilai-nilai yang lebih besar menunjukkan derajat keanggotaan yang lebih tinggi.
Fungsi yang demikian disebut fungsi keanggotaan dan himpunan yang didefinisikan
berdasarkan fungsi tersebut disebut himpunan kabur.
~
Definisi 2.1 Suatu himpunan kabur A dalam semesta U adalah himpunan yang
dilengkapi dengan fungsi keanggotaan µ A~ yang nilainya berada dalam interval [0,1],
yaitu:
µ A~ : U → [0,1]
~
Nilai µ A~ ( x) disebut derajat keanggotaan dari x dalam himpunan kabur A .
~
Secara matematis suatu himpunan kabur A dalam himpunan semesta U dapat
dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut:
~
A = {( x, µ A~ ( x)) | x ∈ U }
~
Apabila semesta U adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur A
seringkali dinyatakan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
~
A=
∫µ
~
A
/x
x∈U
di mana lambang
∫
di sini bukan lambang integral seperti yang dikenal dalam
kalkulus, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur
x ∈ U dengan derajat
keanggotaan µ A~ ( x) .
~
Apabila semesta U adalah himpunan yang diskret, maka himpunan kabur A
seringkali dinyatakan dengan
~
A = ∑ µ A~ ( x) / x
x∈U
di mana lambang
∑
di sini bukan lambang penjumlahan, tetapi melambangkan
keseluruhan unsur-unsur x ∈ U dengan derajat keanggotaan µ A~ ( x) .
~
Angggota-anggota dari suatu himpunan kabur A yang mempunyai derajat
keanggotaan sama dengan 0, yaitu µ A~ ( x) = 0 , seringkali tidak ditulis.
~
Contoh 2.2 Misalkan dalam himpunan semesta semua bilangan real ℝ, A adalah
~
himpunan “bilangan real yang dekat dengan nol”, maka himpunan kabur A dapat
dinyatakan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
~
A=
−x
∫e / x
2
x∈R
Contoh 2.3 Dalam himpunan semesta U = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
~
himpunan kabur A dalam Contoh 2.2 di atas dapat dinyatakan sebagai
~
A = ∑ µ A~ ( x) / x = 0.1 / − 4 + 0.3 / − 3 + 0.5 / − 2 + 0.7 / − 1 + 1 / 0 + 0.7 / 1 + 0.5 / 2 + 0.3 / 3 + 0.1 / 4
x∈U
Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, sehingga tidak ditulis dalam
penyajian himpunan kabur diskret tersebut.
Berikut akan dibahas beberapa konsep dasar dan istilah-istilah yang
~
berhubungan dengan himpunan kabur. Misalkan A adalah himpunan kabur dalam
himpunan semesta U.
~
Definisi 2.2 Pendukung (support) dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas
~
P( A) yang memuat semua anggota semesta dengan derajat keanggotaan taknol
~
dalam A , yaitu
~
P( A) = {x ∈U | µ A~ ( x) > 0} .
~
Dari Contoh 2.3 di atas, P( A) ={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
~
Definisi 2.3 Himpunan kabur A disebut himpunan kabur kosong jika pendukungnya
adalah himpunan kosong.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Definisi 2.4 Himpunan kabur elemen tunggal adalah himpunan kabur yang
pendukungnya adalah himpunan tegas dengan elemen tunggal (singleton).
~
Definisi 2.5 Tinggi (height) dari himpunan kabur A adalah derajat keanggotaan
terbesar yang dicapai oleh anggota-anggota U, yaitu
~
Tinggi ( A) = sup{µ A~ ( x)} .
x∈U
~
Dari Contoh 2.3 di atas, Tinggi ( A) =1.
Definisi 2.6
~
Himpunan kabur A yang memiliki tinggi sama dengan 1 disebut
himpunan kabur normal.
Definisi 2.7
~
Himpunan kabur A yang memiliki tinggi kurang dari 1 disebut
himpunan kabur subnormal.
~
Definisi 2.8 Titik silang (crossover point) dari himpunan kabur A adalah anggota U
~
yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5 dalam himpunan kabur A .
~
Dalam Contoh 2.3 di atas, titik 2 dan -2 adalah titik silang dari himpunan kabur A .
~
Definisi 2.9 Teras (core) dari himpunan kabur A adalah himpunan semua anggota U
yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
~
Teras ( A) = {x ∈U | µ A~ ( x) = 1} .
~
Definisi 2.10 Pusat (center) dari himpunan kabur A didefinisikan sebagai berikut:
jika nilai rata-rata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu
mencapai nilai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah
nilai rata-rata tersebut; jika nilai rata-rata itu takhingga positif (negatif), maka pusat
himpunan kabur itu adalah yang terkecil (terbesar) di antara semua titik yang
mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.
~
Definisi 2.11 Potongan- α ( α -cut) dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas
Aα yang terdiri dari semua anggota U yang mempunyai derajat keanggotaan dalam
~
A lebih besar dari atau sama dengan α , yaitu:
Aα = {x ∈ U | µ A~ ( x) ≥ α } .
~
Definisi 2.12 Potongan- α kuat dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas Aα′
~
yang terdiri dari semua anggota U yang mempunyai derajat keanggotaan dalam A
lebih besar dari α , yaitu:
Aα′ = {x ∈ U | µ A~ ( x) > α } .
~
Dari Contoh 2.3 di atas, potongan- α dari A dengan α = 0.5 adalah A0.5 = {-2, -1, 0,
1, 2}, sedangkan potongan- α kuatnya adalah A0′.5 = {-1, 0, 1}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
~
~
Definisi 2.13 Dua buah himpunan kabur A dan B dalam himpunan semesta U
~ ~
dikatakan sama, dilambangkan dengan A = B , bila dan hanya bila
µ A~ ( x) = µ B~ ( x) , ∀x ∈U .
~
Definisi 2.14 Himpunan kabur A dikatakan himpunan bagian dari himpunan kabur
~ ~
~
B , dilambangkan dengan A ⊆ B , bila dan hanya bila
µ A~ ( x) ≤ µ B~ ( x) , ∀x ∈U .
~
~
Contoh 2.4 Jika A = 0.2/-3 + 0.3/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.3/2 + 0.2/3 dan B =
~ ~
0.3/-3 + 0.4/-2 + 0.8/-1 + 1/0 + 0.8/1 + 0.4/2 + 0.3/3, maka A ⊆ B .
Definisi 2.15 Himpunan kosong φ dapat dipandang sebagai himpunan kabur dengan
fungsi keanggotaan sama dengan 0, yaitu µφ ( x) = 0 untuk setiap x ∈U . Himpunan
semesta U dapat dipandang sebagai himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan
sama dengan 1, yaitu µ u ( x) = 1 untuk setiap x ∈U .
2.
Fungsi Keanggotaan
Setiap himpunan kabur dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan.
Beberapa fungsi keanggotaan himpunan kabur yang dinyatakan dalam bentuk suatu
formula matematis adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
a.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga
jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu a, b, c ∈ ℝ dengan a < b < c , dan
dinyatakan dengan Segitiga ( x; a, b, c) dengan kaidah:
x −a
untuk a ≤ x ≤ b
b
−
a
Segitiga ( x; a, b, c) = c − x untuk b ≤ x ≤ c
c −b
untuk x lainnya
0
Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:
x−a c−x
,
Segitiga( x; a, b, c) = max min
,0
b−a c −b
Gambar 2.1 Grafik fungsi keanggotaan segitiga
b.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium
jika mempunyai empat buah parameter, yaitu a, b, c, d ∈ℝ dengan a < b < c < d ,
dan dinyatakan dengan Trapesium( x; a, b, c, d ) dengan kaidah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
x − a
b − a
1
Trapesium( x; a, b, c, d ) =
d − x
d − c
0
untuk a ≤ x ≤ b
untuk b ≤ x ≤ c
untuk c ≤ x ≤ d
untuk x lainnya
Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:
x−a d − x
Trapesium( x; a, b, c, d ) = max min
,1,
,0
b−a d −c
Gambar 2.2 Grafik fungsi keanggotaan trapesium
c.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Gauss
jika mempunyai dua buah parameter, yaitu a, b ∈ ℝ, dinyatakan dengan
Gauss ( x; a, b) dan memenuhi:
Gauss ( x; a, b) = e
x−a
−
b
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 2.3 Grafik fungsi keanggotaan Gauss
di mana x = a adalah pusat dan b menentukan lebar dari fungsi keanggotaan
Gauss.
d.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Cauchy
jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu a, b, c ∈ ℝ, dinyatakan dengan
Cauchy ( x; a, b, c) dan memenuhi:
1
Cauchy ( x; a, b, c) =
1+
x−c
a
2b
di mana x = c adalah pusat, a menentukan lebar, dan b menentukan kemiringan
(slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Gambar 2.4 Grafik fungsi keanggotaan Cauchy
e.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Sigmoid
jika mempunyai dua buah parameter, yaitu a, c ∈ ℝ, dinyatakan dengan
Sigmoid ( x; a, c) dan memenuhi:
Sigmoid ( x; a, c) =
1
1 + e − a ( x −c )
di mana a menentukan kemiringan fungsi keanggotaan sigmoid di titik silang
x = c . Untuk a > 0 fungsi keanggotaan Sigmoid terbuka ke kanan, dan
sebaliknya untuk a < 0 fungsi keanggotaan Sigmoid terbuka ke kiri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Gambar 2.5 Grafik fungsi keanggotaan Sigmoid yang terbuka ke kanan (gambar
kiri) dan yang terbuka ke kiri (gambar kanan)
3.
Operasi Baku pada Himpunan Kabur
Operasi baku pada himpunan kabur yang akan didefinisikan adalah operasi uner
“komplemen” dan operasi-operasi biner “gabungan” dan “irisan”. Komplemen dari
~
~
suatu himpunan kabur A adalah himpunan kabur A ′ dengan fungsi keanggotaan
µ A~′ ( x) = 1 − µ A~ ( x)
~
~
untuk setiap x ∈ X. Gabungan dua buah himpunan kabur A dan B adalah himpunan
~ ~
kabur A ∪ B dengan fungsi keanggotaan
µ A~ ∪ B~ ( x) = max {µ A~ ( x), µ B~ ( x)}
~
~
untuk setiap x ∈ X . Sedangkan irisan dua buah himpunan kabur A dan B adalah
~ ~
himpunan kabur A ∩ B dengan fungsi keanggotaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
µ A~ ∩ B~ ( x) = min {µ A~ ( x), µ B~ ( x)}
untuk setiap x ∈ X .
Teorema 2.1 (Teorema Dekomposisi)
~
Jika Aα adalah potongan- α dari himpunan kabur A dalam himpunan semesta U dan
~
Aα adalah himpunan kabur dalam U dengan fungsi keanggotaan µ A~ = αχ Aα ( x)
α
untuk setiap x ∈ U , di mana χ Aα adalah fungsi karakteristik dari himpunan Aα ,
~
maka A =
~
Aα .
a∈[ 0 ,1]
Bukti: Ambil sebarang x ∈ U dan misalkan µ A~ ( x) = r . Untuk setiap α ∈ [0, r ] ,
µ A~ ( x) = r ≥ α , berarti x ∈ Aα , sehingga µ A~α ( x) = α . Untuk setiap α ∈ (r ,1] ,
µ A~ ( x) = r < α , berarti x ∉ Aα , sehingga µ A~α ( x) = 0 . Maka
µ
~
Aα
α ∈[ 0 ,1]
= sup µ A~ ( x)
α
α ∈[ 0 ,1]
= max{ sup µ A~ ( x), sup µ A~ ( x)}
α ∈[ 0 , r ]
= sup α
α ∈[ 0 , k ]
=r
= µ A~ ( x)
α
α ∈( r ,1]
α
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
~
untuk setiap x ∈ U . Jadi A =
~
■
Aα .
a∈[ 0 ,1]
4. Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur
Di atas telah dibahas definisi operasi-operasi baku komplemen, gabungan dan
irisan untuk himpunan-himpunan kabur. Definisi-definisi tersebut dapat dirampatkan
sedemikian sehingga definisi operasi-operasi baku tersebut merupakan kejadian
khususnya. Perampatan tersebut akan didefinisikan secara aksiomatis, kemudian akan
diperlihatkan macam-macam operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tersebut.
a. Operasi Komplemen
Definisi 2.17
Suatu pemetaan k : [0,1] → [0,1] disebut
komplemen kabur jika
memenuhi aksioma-aksioma berikut:
K1. k (0) = 1 dan k (1) = 0
(syarat batas)
K2. Jika x < y , maka k ( x) ≥ k ( y ) untuk semua x, y ∈ [0,1]
(syarat taknaik)
Suatu kelas pemetaan yang merupakan komplemen kabur adalah kelas Sugeno yang
didefinisikan sebagai berikut:
k λ ( x) =
1− x
1 + λx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
dengan parameter λ ∈ (−1, ∞) . Untuk λ = 0 , diperoleh operasi komplemen baku,
yaitu k 0 ( x) = 1 − x , di mana x adalah derajat keanggotaan suatu elemen dalam suatu
~
himpunan kabur A dan k0 ( x) adalah derajat keanggotaan elemen tersebut dalam
~
himpunan kabur A′ . Kelas pemetaan lain yang merupakan komplemen kabur adalah
kelas Yager yang didefinisikan sebagai berikut:
k w ( x) = (1 − x w )1 / w
dengan parameter w ∈ (0, ∞) . Untuk w = 1 diperoleh operasi komplemen baku, yaitu
k1 ( x) = 1 − x .
b. Operasi Gabungan
Definisi 2.18 Suatu pemetaan s : [0,1] × [0,1] → [0,1] disebut gabungan kabur (normas) jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
S1. s (0, x) = s ( x,0) = x dan s (1,1) = 1
(syarat batas)
S2. s ( x, y ) = s ( y, x)
(syarat komutatif)
S3. Jika x ≤ x′ dan y ≤ y ′ , maka s ( x, y ) ≤ s ( x′, y ′) , ∀x, y ∈ [0,1] (syarat takturun)
S4. s ( s ( x, y ), z ) = s ( x, s ( y, z ))
(syarat asosiatif)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Contoh-contoh norma-s:
a)
Jumlah aljabar: s ja ( x, y ) = x + y − xy
b)
Jumlah Einstein: s je ( x, y ) =
c)
x jika y = 0
Jumlah drastis: s jd ( x, y ) = y jika x = 0
1 jika lainnya
x+ y
1 + xy
c. Operasi Irisan
Definisi 2.19 Suatu pemetaan t : [0,1] × [0,1] → [0,1] disebut irisan kabur (norma-t)
jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
T1. t ( x,1) = t (1, x) = x dan t (0,0) = 0
(syarat batas)
T2. t ( x, y ) = t ( y, x)
(syarat komutatif)
T3. Jika x ≤ x′ dan y ≤ y ′ , maka t ( x, y ) ≤ t ( x′, y ′) , ∀x, y ∈ [0,1]
(syarat takturun)
T4. t (t ( x, y ), z ) = t ( x, t ( y, z ))
(syarat asosiatif)
Contoh-contoh norma-t:
a)
Darab aljabar: t da ( x, y ) = xy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
xy
2 − ( x + y − xy )
b)
Darab Einstein: t de ( x, y ) =
c)
x jika y = 1
Darab drastis: t dd ( x, y ) = y jika x = 1
0 jika lainnya
5.
Relasi Kabur
~
Definisi 2.15 Relasi kabur (biner) R antara elemen-elemen dalam himpunan U
dengan elemen-elemen dalam himpunan V didefinisikan sebagai himpunan kabur
dengan semesta U × V , yaitu himpunan kabur
~
R = {((u , v), µ R~ (u , v)) | (u , v) ∈U × V }
~
Relasi kabur R itu juga disebut relasi kabur pada himpunan semesta U × V . Jika
~
U = V , maka R disebut relasi kabur pada himpunan U.
~
Contoh 2.5 Misalnya U = {20, 45, 106}, V = {35, 58, 210} dan R adalah relasi
kabur “jauh lebih kecil” antara elemen-elemen dalam U dengan elemen-elemen
~
~
dalam V. Maka relasi R dapat disajikan sebagai R = 0.1/(20,35) + 0.3/(20,58) +
0.9/(20,210) + 0.1/(45,58) + 0.6/(45,210) + 0.4/(106,210).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
6.
Variabel Linguistik
Definisi 2.16 Suatu variabel linguistik adalah suatu rangkap-5 (x, T, U, G, M) di
mana x adalah lambang variabelnya, T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang
dapat menggantikan x, U adalah semesta wacana (numeris) dari nilai-nilai linguistik
dalam T (jadi juga dari variabel x), G adalah himpunan kaidah-kaidah sintaksis yang
mengatur pembentukan istilah-istilah anggota T, dan M adalah himpunan kaidahkaidah semantik yang mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan
kabur dalam semesta U.
Contoh 2.6 Bila variabel linguistiknya adalah “kecepatan”, maka himpunan nilainilai linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah T = {cepat, sangat cepat, agak
cepat, tidak cepat, lambat, sangat lambat, agak lambat, tidak lambat} dengan semesta
U = [0,100], kaidah sintaksis mengatur pembentukan istilah-istilah dalam T dan
kaidah semantik mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur
dalam semesta U.
7.
Proposisi Kabur
Definisi 2.17 Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu
predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur.
Proposisi kabur yang mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan
kabur. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan kabur disajikan dengan suatu bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
real dalam selang [0,1]. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran dari
pernyataan kabur itu.
Bentuk umum dari suatu proposisi kabur adalah
x adalah A
di mana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai linguistik
dari x.
~
Bila A adalah himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai linguistik A dan
~
x0 adalah suatu elemen tertentu dalam semesta U dari himpunan kabur A , maka x0
~
mempunyai derajat keanggotaan µ A~ ( x0 ) dalam himpunan kabur A .
Derajat kebenaran dari pernyataan kabur
~
x0 adalah A
~
didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan x0 dalam himpunan kabur A , yaitu
µ A~ ( x0 ) .
8.
Implikasi Kabur
Bentuk umum implikasi kabur adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Jika u adalah A, maka v adalah B
di mana A dan B adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan~
~
himpunan kabur A dan B dalam semesta U dan V berturut-turut. Implikasi kabur
dilambangkan dengan → .
Implikasi tegas p → q ekuivalen dengan ¬p ∨ q . Berdasarkan ekuivalensi
tersebut, implikasi kabur dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam
U × V dengan fungsi keanggotaan
µ → (u , v) = s (k ( µ A~ (u )), ( µ B~ (v))
di mana s adalah suatu norma-s dan k adalah suatu komplemen kabur.
Implikasi Dienes-Rescher
diperoleh apabila diambil operasi-operasi
gabungan sebagai norma-s dan operasi komplemen baku sebagai komplemen kabur
dengan fungsi keanggotaan
µ →dr (u , v) = max(1 − µ A~ (u ), µ B~ (v)) .
Karena implikasi tegas p → q juga ekuivalen dengan ( p ∧ q ) ∨ ¬p , maka
implikasi kabur juga dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam U × V
dengan fungsi keanggotaan
µ → (u , v) = s (t ( µ A~ (u ), µ B~ (v)), k ( µ A~ (u )))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
di mana s adalah suatu norma-s, t adalah suatu norma-t, dan k adalah suatu
komplemen kabur.
Implikasi Zadeh diperoleh apabila diambil operasi-operasi gabungan, irisan,
dan komplemen baku sebagai norma-s, norma-t, dan komplemen kabur dengan fungsi
keanggotaan
µ → z (u , v) = max(min(µ A~ (u ), µ B~ (v)),1 − µ A~ (u )) .
Implikasi Mamdani merupakan salah satu bentuk implikasi kabur yang
digunakan dalam aplikasi sistem kabur. Implikasi ini didasarkan pada asumsi bahwa
implikasi kabur pada dasarnya bersifat lokal, dalam arti bahwa implikasi
Jika u adalah A, maka v adalah B
hanya berbicara mengenai keadaan dimana u adalah A dan v adalah B saja, dan tidak
mengenai keadaan lainnya diluar itu. Berdasarkan asumsi tersebut, implikasi kabur
dapat dipandang sebagai suatu konjungsi kabur, sehingga diperoleh
µ → (u , v) = t ( µ A~ (u ), µ B~ (v))
yang disebut implikasi Mamdani. Apabila diambil operasi baku “min” sebagai
norma-t, maka diperoleh
µ →mm (u , v) = min(µ A~ (u ), µ B~ (v)) ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
dan bila operasi “darab aljabar” diambil sebagai norma-t, maka diperoleh
µ →md (u , v) = µ A~ (u ) µ B~ (v) .
Contoh 2.7
Misalkan diketahui semesta U = {1, 2, 3, 4} dan V = {60, 70, 80}, dan implikasi
kabur
Jika u banyak, maka v lambat
di mana predikat “banyak” dan “lambat” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan
kabur
~
A = 0.2 / 1 + 0.4 / 2 + 0.6 / 3 + 0.8 / 4
~
B = 0.4 / 60 + 0.7 / 70 + 1 / 80.
dan
Maka jika digunakan implikasi Dienes-Rescher, diperoleh
→ dr = 0.8 /(1,60) + 0.8 /(1,70) + 1 /(1,80) + 0.6 /(2,60) + 0.7 /(2,70) + 1 /(2,80) + 0.4 /(3,60)
+ 0.7 /(3,70) + 1 /(3,80) + 0.4 /(4,60) + 0.7 /(4,70) + 1 /(4,80)
Jika digunakan implikasi Zadeh, maka diperoleh
→ z = 0.8 /(1,60) + 0.8 /(1,70) + 0.8 /(1,80) + 0.6 /(2,60) + 0.6 /(2,70) + 0.6 / 2,80) + 0.4 /(3,60)
+ 0.6 /(3,70) + 0.6 /(3,80) + 0.4 /(4,60) + 0.7 /(4,70) + 0.8 /(4,80) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Jika digunakan implikasi Mamdani, maka diperoleh
→ mm = 0.2 /(1,60) + 0.2 /(1,70) + 0.2 /(1,80) + 0.4 /(2,60) + 0.4 /(2,70) + 0.4 /(2,80)
+ 0.4 /(3,60) + 0.6 /(3,70) + 0.6 /(3,80) + 0.4 /(4,60) + 0.7 /(4,70) + 0.8 /(4,80)
atau
→ md = 0.08 /(1,60) + 0.14 /(1,70) + 0.2 /(1,80) + 0.16 /(2,60) + 0.28 /(2,70) + 0.4 /(2,80)
+ 0.24 /(3,60) + 0.42 /(3,70) + 0.6 /(3,80) + 0.32 /(4,60) + 0.56 /(4,70) + 0.8 /(4,80).
9.
Model Kabur Takagi, Sugeno, dan Kang
Model kabur Takagi, Sugeno dan Kang (TSK) dikenal sebagai model kabur
pertama yang dikembangkan untuk menghasilkan kaidah kabur dari himpunan data
masukan-keluaran yang diberikan. Sebuah kaidah kabur yang khas dalam model
tersebut memiliki bentuk sebagai berikut:
Jika x adalah A dan y adalah B , maka z = ax + by + c
di mana a, b, c merupakan konstanta numerik. Secara umum, kaidah dalam model
TSK memiliki bentuk:
Jika x adalah A dan y adalah B , maka z = f ( x, y )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
di mana A dan B merupakan himpunan kabur dalam anteseden, dan z = f ( x, y )
merupakan fungsi tegas dalam konsekuen serta z = f ( x, y ) merupakan fungsi
polinomial dalam variabel masukan x dan y. Jika f ( x, y ) adalah fungsi polinomial
ordo satu, hasil sistem inferensi kabur disebut model kabur Takagi Sugeno Kang ordo
satu. Jika f merupakan konstanta, maka disebut model kabur Takagi Sugeno Kang
ordo nol, yang mana merupakan kasus khusus dalam implikasi Mamdani.
10. Modus Ponens Rampat
Untuk melakukan pengambilan keputusan atau penalaran kabur diperlukan
seperangkat implikasi kabur atau suatu fakta yang diketahui (premis). Dalam logika
klasik, pengambilan keputusan didasarkan pada tautologi-tautologi, yaitu proposisiproposisi yang selalu benar, tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisiproposisi penyusunnya. Salah satu kaidah pengambilan keputusan yang paling sering
digunakan adalah modus ponens, yang didasarkan pada tautologi:
(( p → q ) ∧ p ) → q .
Bentuk umum penalaran modus ponens adalah sebagai berikut:
1. Bila u adalah A, maka v adalah B
(Premis 1 / Kaidah)
2. u adalah A
(Premis 2 / Fakta)
3. ∴
v adalah B
(Kesimpulan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Kaidah penalaran tegas dapat dirampatkan menjadi kaidah kabur dengan
premis dan kesimpulannya adalah proposisi-proposisi kabur. Secara umum dapat
dirumuskan dengan skema sebagai berikut:
Premis 1 (kaidah) :
Bila u adalah A, maka v adalah B
Premis 2 (fakta)
:
u adalah A′
Kesimpulan
:
v adalah B ′
Penalaran kabur dengan skema seperti di atas disebut modus ponens rampat.
Berikut ini akan dibahas suatu aturan penarikan kesimpulan yang disebut “kaidah
inferensi komposisional” (compositional rule of inference). Sebelumnya akan dibahas
latar belakang kaidah tersebut dalam kasus pemetaan bernilai selang.
Misalkan diketahui suatu pemetaan kontinu f : U → V dengan U = V = ℝ.
Jika diberikan suatu elemen a ∈ U , maka akan diperoleh nilai pemetaan f di a, yaitu
b = f (a) ∈ V . Jika f adalah suatu pemetaan yang bernilai selang, dan diberikan suatu
selang [a, b] di U, maka akan diperoleh nilai pemetaan f di [a,b] yaitu selang
f ([a, b]) = [c, d ] di V. Untuk menggambarkan bagaimana memperoleh selang [c,d]
tersebut, pertama-tama yang dilakukan adalah membuat perluasan silindris dari
selang [a,b] ke bidang U × V , kemudian ditentukan irisan I dari perluasan silindris itu
dengan kurva dari pemetaan f, dan akhirnya irisan I diproyeksikan ke V untuk
memperoleh selang [c,d]. Gambar 2.6 memperlihatkan proses tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 2.6 Nilai pemetaan f di [a,b], yaitu f ([a, b]) = [c, d ]
Proses di atas dapat dirampatkan lebih lanjut lagi. Misalkan terdapat sebuah
~
~
relasi kabur R dalam semesta U × V dan himpunan kabur A dalam U. Bila
~
~
ditentukan perluasan silindris dari A ke U × V , namakan APS , dan irisan perluasan
~
~
~
silindris tersebut dengan R , yaitu APS ∩ R , kemudian irisan tersebut diproyeksikan
~
~
ke V, maka akan diperoleh himpunan kabur B di V. Karena APS adalah perluasan
~
silindris dari A ke U × V , maka
µ A~ (u , v) = µ A~ (u )
PS
sehingga
µ A~
~
PS ∩ R
(u , v) = t ( µ A~ (u , v), µ R~ (u , v))
PS
= t ( µ A~ (u ), µ R~ (u , v))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
~
di mana t adalah suatu norma-t. Kemudian, himpunan kabur B di V diperoleh sebagai
~
~
proyeksi irisan APS ∩ R ke V, maka
µ B~ (v) = sup µ A~
u∈U
~
PS ∩ R
(u , v)
= sup t ( µ A~ (u ), µ R~ (u , v))
u∈U
~
Jika himpunan kabur A dipandang sebagai relasi dengan satu argumen, maka
~
~
komposisi relasi A di U dengan relasi R di U × V menghasilkan relasi majemuk
~ ~
A R di V dengan fungsi keanggotaan
µ A~ R~ (v) = sup t ( µ A~ (u ), µ R~ (u , v))
u∈U
~ ~ ~
~
di mana t adalah suatu norma-t. Maka B = A R , yaitu himpunan kabur B itu tidak
~ ~
lain daripada relasi komposit A R . Karenanya prosedur untuk memperoleh
~
~
~
himpunan kabur B di V dari relasi R di U × V dan himpunan kabur A di U dengan
cara seperti di atas itu disebut kaidah inferensi komposisional. Kaidah inilah yang
dipakai untuk menarik kesimpulan dalam penalaran kabur.
Dalam modus ponens rampat kaidah tersebut diterapkan sebagai berikut:
Premis 1
: Bila u adalah A, maka v adalah B
(yang merupakan relasi/implikasi kabur → di U × V )
Premis 2
: u adalah A′
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
~
(yang dapat direpresentasikan dengan himpunan kabur A′ dalam U)
Kesimpulan
: v adalah B ′
~ ~
diperoleh dengan menentukan himpunan kabur B ′ = A ′ dalam V
dengan fungsi keanggotaan µ B~′ (v) = sup t ( µ A~′ (u ), µ → (u , v)) ,
u∈U
dimana t adalah suatu norma-t.
~
Bila A′ adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur A′ ,
untuk norma-t misalnya diambil operasi baku “min”, dan untuk implikasi kabur
dipakai implikasi Mamdani → mm , maka kesimpulan “v adalah B ′ ” di atas dapat
~
diperoleh dengan menentukan himpunan kabur B ′ dengan fungsi keanggotaan
µ B~′ (v) = sup min{µ A~′ (u ), min(µ A~ (u ), µ B~ (v))}
u∈U
= sup min{µ A~′ (u ), µ A~ (u ), µ B~ (v)}
u∈U
= min{sup min(µ A~′ (u ), µ A~ (u )), µ B~ (v)}
u∈U
= min{w, µ B~ (v)}
di mana
~ ~
w = sup min{µ A~′ (u ), µ A~ (u )} = sup( A′ ∩ A)
u∈U
u∈U
yang menyatakan derajat
keserasian (degree of compatibility) antara predikat A′ dengan A. Jadi untuk
memperoleh himpunan kabur
~
B ′ tersebut, pertama-tama ditentukan derajat
~
~
keserasian w, yaitu supremum dari irisan himpunan kabur A ′ dan A , dan kemudian
~
~
diperoleh B ′ sebagai irisan w dengan himpunan kabur B , seperti terlihat dalam
Gambar 2.7.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 2.7 Penarikan kesimpulan dalam modus ponens rampat
Modus ponens rampat dapat digeneralisasikan menjadi modus ponens rampat
multikondisional, yang terdiri dari m buah premis kabur berupa kaidah, sebuah
premis kabur berupa fakta, dan sebuah kesimpulan. Skema umumnya adalah sebagai
berikut:
Premis 2
:
Bila u1 adalah A21 dan ⋅ ⋅ ⋅ dan u n adalah A2 n , maka v adalah B 2
Premis m
:
Bila u1 adalah Am1 dan ⋅ ⋅ ⋅ dan u n adalah Amn , maka v adalah B m
Fakta
:
u1 adalah A1′ dan ⋅ ⋅ ⋅ dan u n adalah An′
Kesimpulan
:
v adalah B′
…
Bila u1 adalah A11 dan ⋅ ⋅ ⋅ dan u n adalah A1n , maka v adalah B1
…
:
…
Premis 1
di mana Aij dan A′j adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur
~
~
Aij dan A′j dalam semesta U j , dan Bi adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan
~
himpunan kabur Bi dalam semesta V (i = 1, ⋅ ⋅⋅, m; j = 1, ⋅ ⋅⋅, n). Masing-masing
~
premis tersebut dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur Ri (i = 1, ⋅ ⋅⋅, m) dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
~ ~
~
U 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × U n × V dan faktanya sebagai himpunan kabur A ′ = A1′ × ⋅ ⋅ ⋅ × An′ dalam
~
U 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × U n . Premis-premis Ri tersebut biasanya diperlakukan secara disjungtif,
~ m ~
~
sehingga semua premis itu dapat digabung menjadi satu premis R , yaitu R = Ri .
i =1
Maka kesimpulan “v adalah B ′ ” dapat diperoleh dengan kaidah inferensi
~ ~ ~
komposisional untuk menentukan himpunan kabur B ′ = A ′ R dalam semesta V
dengan fungsi keanggotaan (dengan mengambil operasi baku “min” untuk norma-t
dan “max” untuk gabungan kabur)
µ B′~ (v)
= µ A~′ R~ (v)
=
sup
( u1 ,⋅⋅⋅,u n )∈U1×⋅⋅⋅×U n
min{µ A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), µ R~ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v)}
= sup min{µ A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), max ( µ R~i (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v))}
u j ∈U j
i∈{1,⋅⋅⋅,m}
= sup max min{µ A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), µ R~i (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v)}
u j ∈U j i∈{1,⋅⋅⋅,m}
= max sup min{µ A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), µ R~i (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v)}
i∈{1,⋅⋅⋅,m} u ∈U
j
j
~ ~
= max { A′ Ri }
i∈{1,⋅⋅⋅, m}
= µ m ~ ~ (v )
( A′ Ri )
i =1
m
m
~ ~
~ ~ ~
~
~ ~ m ~
untuk setiap v ∈ V . Jadi B ′ = A ′ Ri = ( A ′ R ′) = Bi′, di mana B ′ = A ′ Ri .
i =1
i =1
i =1
~
Jika untuk implikasi kabur Ri tersebut diambil implikasi Mamdani → mm ,
sehingga fungsi keanggotaannya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
µ R~ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v) = min{µ A~ ×⋅⋅⋅× A~ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), µ B~ (v)},
i1
i
i
in
~
maka fungsi keanggotaan B ′ adalah
µ B′~ (v)
= µ m ~ ~ (v )
A′ Ri
i =1
= max sup min{µ A~′×⋅⋅⋅× A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, un ), min(µ A~′ ×⋅⋅⋅× A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, un ), µ B~i (v))}
i∈{1,⋅⋅⋅,m} u ∈U
j
j
1
i1
n
in
= max sup min{ min ( µ A~′ (u j )), min ( µ A~′ (u j )), µ B~i (v))}
i∈{1,⋅⋅⋅,m} u ∈U
j
j
j∈{1,⋅⋅⋅,n}
j∈{1,⋅⋅⋅,n}
j
ij
= max min{ min sup min ( µ A~′ (u j ), µ A~′ (u j )), µ B~i (v)}
i∈{1,⋅⋅⋅,m}
j∈{1,⋅⋅⋅,n} u ∈U j∈{1,⋅⋅⋅,n}
j
j
j
ij
= max min{wi , µ B~i (v)}
i∈{1,⋅⋅⋅,m}
di man
ABSTRAK
Jaringan syaraf kabur adalah suatu model yang dilatih dengan menggunakan
jaringan syaraf, namun struktur jaringannya diinterpretasikan dengan aturan-aturan
kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang mengombinasikan
logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf kabur dirancang untuk
merealisasikan proses penalaran kabur, di mana bobot-bobot yang terhubung pada
jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter penalaran kabur.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Fuzzy neural networks is a model trained using neural networks, but the
network structures are interpreted by fuzzy rules. Fuzzy neural network system is a
system that combines fuzzy logic and neural networks. Fuzzy neural network system
is designed to realize the fuzzy reasoning process, where the weights connected to the
network are associated with the fuzzy reasoning parameters.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Sisiria Mardiawati
NIM : 053114006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
FUZZY NEURAL NETWORK SYSTEM
Final Assignment
Presented to Fulfill One of the Requirements
To Obtain the Sarjana Sains Degree
Mathematics Study Program
By :
Sisiria Mardiawati
Student Number : 053114006
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Bersukacitalah senantiasa
Tetaplah berdoa
Mengucap syukurlah dalam segala hal, sebab itulah yang dikehendaki Allah di
dalam Kristus Yesus bagi kamu (2 Tesalonika 16-18)
Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apa pun juga, tetapi nyatakanlah dalam
segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan
syukur (Filipi 4:6)
Skripsi ini kupersembahkan kepada :
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan menyertaiku
Mamak dan Bapak yang selalu mendukung dengan cinta kasih yang tiada habisnya
Adikku terkasih, Vincentius Mardianto yang selalu mendukung
Diriku sendiri, Sisiria Mardiawati yang sudah mau menyelesaikan skripsi ini
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
Jaringan syaraf kabur adalah suatu model yang dilatih dengan menggunakan
jaringan syaraf, namun struktur jaringannya diinterpretasikan dengan aturan-aturan
kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang mengombinasikan
logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf kabur dirancang untuk
merealisasikan proses penalaran kabur, di mana bobot-bobot yang terhubung pada
jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter penalaran kabur.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
Fuzzy neural networks is a model trained using neural networks, but the
network structures are interpreted by fuzzy rules. Fuzzy neural network system is a
system that combines fuzzy logic and neural networks. Fuzzy neural network system
is designed to realize the fuzzy reasoning process, where the weights connected to the
network are associated with the fuzzy reasoning parameters.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkat
dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak yang
memberikan dorongan, bimbingan, petunjuk, nasihat serta dukungan dari permulaan
sampai selesainya penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan
segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terimakasih kepada:
1. Bapak Yosef Agung Cahyanta S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta sekaligus selaku Dosen Penguji tugas akhir yang selalu memberikan
semangat kepada penulis.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ, selaku Dosen Pembimbing skripsi dan Dosen
Pembimbing akademik yang telah memberikan masukan, bimbingan, nasihat,
dorongan serta saran dalam penulisan skripsi ini.
4. Bapak Y. G. Hartono, S.Si, M.Sc, selaku Dosen Penguji tugas akhir yang telah
memberikan masukan dan saran.
5. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.
6. Bapak Zaerilus Tukija dan Ibu Erma Linda Santyas Rahayu yang telah
memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa perkuliahan.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ....................................................................................
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS.................................
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING...........................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN.......................................................................
iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA..................................
v
HALAMAN PERSEMBAHAN....................................................................
vi
ABSTRAK......................................................................................................
vii
ABSTRACT....................................................................................................
viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS.......................................................
ix
KATA PENGANTAR.....................................................................................
x
DAFTAR ISI...................................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN .............................................................................
1
A. Latar Belakang .............................................................................
1
B. Rumusan Masalah ........................................................................
6
C. Pembatasan Masalah ....................................................................
7
D. Tujuan Penulisan ..........................................................................
7
E. Manfaat Penulisan ........................................................................
7
F. Metode Penulisan .........................................................................
8
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
G. Sistematika Penulisan ..................................................................
8
BAB II LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN
JARINGAN SYARAF TIRUAN....................................................
11
A. Logika Kabur ..............................................................................
11
1. Himpunan Kabur ....................................................................
11
2. Fungsi Keanggotaan ...............................................................
18
3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur ...................................
23
4. Perambatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur ...............
25
5. Relasi Kabur..........................................................................
28
6. Variabel Linguistik................................................................
29
7. Proposisi Kabur.....................................................................
29
8. Implikasi Kabur.....................................................................
30
9. Model Kabur Takagi Sugeno Kang (TSK)............................
34
10. Modus Ponens Rampat..........................................................
35
11. Sistem Kendali Kabur............................................................
44
B. Dekomposisi Nilai Singular.........................................................
45
C. Jaringan Syaraf Tiruan................................................................
52
1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan...................................
52
2. Arsitektur Jaringan Syaraf.....................................................
55
3. Proses Pembelajaran..............................................................
57
4. Fungsi Aktivasi......................................................................
58
5. Model Rambatan Balik..........................................................
63
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR ....................................
A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur..............................................
75
75
B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan
Syaraf Terbimbing........................................................................
77
1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur............................................
77
2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model Kabur.................
80
C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur...........................................
91
BAB IV PENUTUP........................................................................................
99
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................
101
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak hal yang bersifat kompleks dan
rumit untuk dijelaskan secara tepat dan eksak. Sebuah model yang cocok untuk
menggambarkan hal tersebut bisa diperoleh dengan menggunakan himpunan kabur.
Pencapaian dengan menggunakan model tersebut berdasarkan pengamatan bahwa
manusia berpikir menggunakan bahasa yang digunakan seperti “kecil” atau “sangat
besar” dan ungkapan yang lainnya. Oleh karena itu, untuk mendeskripsikan konsep
tersebut ke dalam bahasa yang umum, Zadeh memperkenalkan himpunan kabur
(fuzzy sets) pada tahun 1965. Dalam hal ini Zadeh memperluas konsep “himpunan
klasik” (himpunan tegas, crisp set) menjadi himpunan kabur, dalam arti bahwa himpunan klasik merupakan kejadian khusus dari himpunan kabur itu. Berdasarkan konsep himpunan kabur itu, Zadeh mengembangkan konsep algoritma kabur (1968),
yang merupakan landasan dari logika kabur (fuzzy logic) dan penalaran hampiran (approximate reasoning), yaitu penalaran yang melibatkan pernyataan-pernyataan
dengan predikat kabur. Inti dari sistem kabur ini sendiri adalah aturan implikasi jika –
maka (if – then rules), yang menggunakan himpunan kabur sebagai syarat dalam premis dan kesimpulannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Sejak manusia bisa melakukan banyak hal yang cukup sulit dibandingkan alat
teknologi yang sangat canggih, otak manusia menjadi hal yang sangat menarik bagi
para ahli. Otak manusia memiliki struktur yang sangat kompleks dan memiliki kemampuan yang luar biasa. Otak terdiri dari neuron-neuron dan penghubung yang
disebut sinapsis. Neuron bekerja berdasarkan impuls/sinyal yang diberikan pada neuron. Setiap sel syaraf (neuron) memiliki 3 komponen penting yaitu soma yang
merupakan inti sel dari neuron yang bertugas untuk melakukan pemrosesan
informasi. Informasi yang datang akan diterima oleh dendrit, selain menerima
informasi dendrit juga menyertai axon sebagai keluaran dari suatu pemrosesan
informasi. Informasi hasil olahan ini akan menjadi masukan bagi neuron lain yang
dihubungkan oleh dua dendrit sel yang dipertemukan oleh sinapsis. Informasi yang
dikirimkan antar neuron ini berupa rangsangan yang dilewatkan melalui beberapa
dendrit. Informasi yang datang dan diterima oleh dendrit akan dijumlahkan dan
dikirim melalui axon ke dendrit akhir yang bersentuhan dengan dendrit dari neuron
yang lain. Informasi ini akan diterima oleh neuron lain jika memenuhi batasan
tertentu, yang sering dikenal dengan nama nilai ambang (treshold).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Gambar 1.1 Jaringan Syaraf Biologi
Terinspirasi akan sistem jaringan syaraf biologi tersebut, banyak ahli telah
menyelidiki jaringan syaraf tiruan. Jaringan syaraf tiruan adalah suatu sistem
komputasi yang disusun dengan meniru proses alamiah yang terjadi dalam jaringan
syaraf biologis pada otak manusia. Seperti halnya otak manusia, jaringan syaraf tiruan
juga terdiri dari beberapa neuron dan ada hubungan antara neuron-neuron tersebut.
Neuron-neuron tersebut akan mentransformasikan input yang diterima melalui
sambungan keluarnya menuju ke neuron-neuron lainnya. Pada jaringan syaraf tiruan,
hubungan ini dikenal dengan nama bobot (weight). Input tersebut disimpan pada
suatu nilai tertentu pada bobot tersebut. Gambar dibawah ini menunjukkan jaringan
syaraf sederhana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Gambar 1.2 Jaringan syaraf sederhana
Sebenarnya cara kerja neuron buatan ini sama saja dengan neuron biologis.
Suatu neuron pada umumnya memiliki n buah input yang dinyatakan dengan
bilangan-bilangan real x1 , x2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n , dan sebuah output y1 . Masing-masing input
memiliki bobot yang dinyatakan dengan bilangan real w11 , w21 ,⋅ ⋅ ⋅, wn1 . Input-input
tersebut akan diproses oleh suatu fungsi perambatan yang akan menjumlahkan nilainilai semua bobot yang masuk. Hasil penjumlahan tersebut akan dibandingkan
dengan suatu nilai ambang tertentu melalui fungsi aktivasi setiap neuron sehingga
mencapai sebuah output y. Pada jaringan syaraf neuron-neuron akan dikumpulkan
dalam lapisan-lapisan (layer) yang sering disebut dengan lapisan neuron (neuron
layers). Biasanya neuron-neuron pada satu lapisan akan dihubungkan dengan lapisanlapisan sebelum dan sesudahnya (kecuali lapisan input dan lapisan output). Input
yang dimasukkan pada jaringan syaraf akan dirambatkan mulai dari lapisan input
sampai ke lapisan output melalui lapisan yang lainnya, yang sering dikenal dengan
nama lapisan tersembunyi (hidden layer).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Gambar 1.3 Jaringan syaraf tiruan dengan lapisan tersembunyi
Jaringan syaraf dan logika kabur merupakan dua teknologi yang
komplementer. Jaringan syaraf dapat mengenali pola masukan yang diterimanya dan
dengan proses pembelajaran dapat menyesuaikan diri dengan masukan itu. Proses
pembelajaran pada suatu jaringan syaraf adalah proses penyesuaian diri jaringan itu
secara bertahap terhadap masukan yang diterimanya sampai akhirnya menghasilkan
keluaran yang diinginkan. Akan tetapi, memahami proses pembelajaran jaringan
syaraf cukup sulit karena sulit untuk menjelaskan makna setiap neuron dan setiap
bobot yang terkait. Sebaliknya, model berbasis aturan kabur mudah untuk dipahami
karena menggunakan istilah-istilah linguistik dan struktur aturan jika-maka. Akan
tetapi, tidak seperti jaringan syaraf, logika kabur tidak mengenal algoritma
pembelajaran. Penggabungan kedua teknologi tersebut menghasilkan istilah baru,
yaitu jaringan syaraf kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
menggunakan kombinasi logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf
kabur dirancang untuk merealisasikan proses logika kabur, dimana bobot-bobot yang
terhubung pada jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter logika
kabur. Dengan menggunakan algoritma pembelajaran rambatan balik, sistem jaringan
syaraf kabur dapat mengidentifikasi aturan-aturan kabur dan melatih fungsi
keanggotaan dari logika kabur tersebut. Sistem jaringan syaraf kabur dapat
diklasifikasikan ke dalam dua kategori, yaitu:
1. Model berbasis aturan kabur yang dibangun dengan menggunakan teknik
pembelajaran jaringan syaraf terbimbing.
2. Model berbasis aturan kabur yang menggunakan jaringan syaraf untuk
membangun partisi kabur dari ruang masukannya.
Yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sistem jaringan syaraf kabur kategori
pertama.
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur?
2. Bagaimana mengimplementasikan pembelajaran rambatan balik pada
model kabur?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
C. Pembatasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis membahas tentang sistem jaringan syaraf kabur
yang merupakan interpretasi pembelajaran jaringan syaraf buatan dengan (pada)
model kabur. Pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran rambatan balik, dan
model kabur yang digunakan adalah model kabur Takagi Sugeno Kang (TSK).
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Mengetahui bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur
2. Mengetahui implementasi pembelajaran rambatan balik pada model kabur
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah dapat mengetahui dan memahami
bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur serta mengetahui implementasi
pembelajaran rambatan balik pada model kabur.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode
studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku-buku acuan
yang berkaitan dengan topik skripsi.
G. Sistematika Penulisan
BAB I
:
PENDAHULUAN
A. Latar belakang masalah
B. Perumusan masalah
C. Pembatasan masalah
D. Tujuan penulisan
E. Manfaat penulisan
F. Metode penulisan
G. Sistematika penulisan
BAB II
:
LOGIKA KABUR DAN JARINGAN SYARAF TIRUAN
A. Logika Kabur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
1.
Himpunan Kabur
2.
Fungsi Keanggotaan
3.
Operasi Baku Pada Himpunan Kabur
4.
Perampatan Operasi Baku Pada Himpunan
Kabur
5.
Relasi Kabur
6.
Variabel Linguistik
7.
Proposisi Kabur
8.
Implikasi Kabur
9.
Prinsip Perluasan
10. Model Kabur Takagi Sugeno Kang
11. Generalisasi Modus Ponens
12. Sistem Kendali Kabur
B. Dekomposisi Nilai Singular (DNS)
C. Jaringan Syaraf Tiruan
1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
2. Arsitektur Jaringan Syaraf
3. Proses Pembelajaran
4. Fungsi Aktivasi
5. Model Rambatan Balik (Backpropagation)
BAB III
:
SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR
A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur
B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan Syaraf
Terbimbing
1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur
2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model
Kabur
C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur
BAB IV
:
PENUTUP
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN
JARINGAN SYARAF TIRUAN
A. Logika Kabur
1.
Himpunan Kabur
Andaikan A adalah suatu himpunan tegas dalam semesta pembicaraan U,
maka A dapat didefinisikan dengan mendaftarkan semua anggotanya atau dengan
mendefinisikan kaidah yang harus dipenuhi oleh anggota dari himpunan tersebut. Jika
suatu objek x adalah anggota himpunan A, maka ditulis x ∈ A , dan jika x bukan
anggota A ditulis x ∉ A . Ada tiga metode untuk mendefinisikan suatu himpunan
dalam suatu semesta pembicaraan U, yaitu:
a.
Metode pendaftaran, yaitu metode yang mendefinisikan suatu himpunan dengan
menyebut semua anggotanya. Metode ini digunakan hanya untuk himpunanhimpunan berhingga. Himpunan A yang anggotanya a1 , a2 ,..., an , ditulis:
A = ( a1 , a2 ,..., an )
b.
Metode kaidah, yaitu metode yang mendefinisikan suatu himpunan dengan
menyebutkan syarat keanggotaannya. Dalam metode kaidah, himpunan A
dinyatakan dengan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
A = {x ∈ U | p( x)}
di mana p (x) menyatakan bahwa “x mempunyai sifat p”
c.
Metode fungsi keanggotaan (fungsi karakteristik), yaitu metode yang
mendefinisikan suatu himpunan dengan sebuah fungsi yang disebut fungsi
karakteristik, untuk menyatakan bahwa anggota-anggota himpunan semesta U
adalah anggota himpunan itu atau bukan. Himpunan A didefinisikan dengan
fungsi karakteristik χ A : U → {0,1} , sedemikian hingga:
1 untuk x ∈ A
0 untuk x ∉ A
χ A (x) =
Contoh 2.1 Andaikan U = {1, 2, , 11}. Didefinisikan himpunan A yang anggotaanggotanya adalah bilangan-bilangan genap dalam himpunan semesta U. Maka
berdasarkan tiga metode di atas, himpunan A dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. A = {2, 4, 6, 8, 10}
2. A = {x ∈ U | x bilangan genap}
1 jika x bilangan genap
3. χ A (x) =
0 jika x bilangan ganjil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Fungsi karakteristik dari himpunan tegas menentukan dengan pasti nilai 0 atau
1 untuk setiap anggota U. Fungsi ini dapat diperumum sedemikian sehingga nilainilai yang ditentukan untuk tiap anggota dari himpunan semesta berada dalam
interval tertutup [0,1] dan menunjukkan derajat keanggotaan dari anggota tersebut.
Nilai-nilai yang lebih besar menunjukkan derajat keanggotaan yang lebih tinggi.
Fungsi yang demikian disebut fungsi keanggotaan dan himpunan yang didefinisikan
berdasarkan fungsi tersebut disebut himpunan kabur.
~
Definisi 2.1 Suatu himpunan kabur A dalam semesta U adalah himpunan yang
dilengkapi dengan fungsi keanggotaan µ A~ yang nilainya berada dalam interval [0,1],
yaitu:
µ A~ : U → [0,1]
~
Nilai µ A~ ( x) disebut derajat keanggotaan dari x dalam himpunan kabur A .
~
Secara matematis suatu himpunan kabur A dalam himpunan semesta U dapat
dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut:
~
A = {( x, µ A~ ( x)) | x ∈ U }
~
Apabila semesta U adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur A
seringkali dinyatakan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
~
A=
∫µ
~
A
/x
x∈U
di mana lambang
∫
di sini bukan lambang integral seperti yang dikenal dalam
kalkulus, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur
x ∈ U dengan derajat
keanggotaan µ A~ ( x) .
~
Apabila semesta U adalah himpunan yang diskret, maka himpunan kabur A
seringkali dinyatakan dengan
~
A = ∑ µ A~ ( x) / x
x∈U
di mana lambang
∑
di sini bukan lambang penjumlahan, tetapi melambangkan
keseluruhan unsur-unsur x ∈ U dengan derajat keanggotaan µ A~ ( x) .
~
Angggota-anggota dari suatu himpunan kabur A yang mempunyai derajat
keanggotaan sama dengan 0, yaitu µ A~ ( x) = 0 , seringkali tidak ditulis.
~
Contoh 2.2 Misalkan dalam himpunan semesta semua bilangan real ℝ, A adalah
~
himpunan “bilangan real yang dekat dengan nol”, maka himpunan kabur A dapat
dinyatakan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
~
A=
−x
∫e / x
2
x∈R
Contoh 2.3 Dalam himpunan semesta U = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
~
himpunan kabur A dalam Contoh 2.2 di atas dapat dinyatakan sebagai
~
A = ∑ µ A~ ( x) / x = 0.1 / − 4 + 0.3 / − 3 + 0.5 / − 2 + 0.7 / − 1 + 1 / 0 + 0.7 / 1 + 0.5 / 2 + 0.3 / 3 + 0.1 / 4
x∈U
Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, sehingga tidak ditulis dalam
penyajian himpunan kabur diskret tersebut.
Berikut akan dibahas beberapa konsep dasar dan istilah-istilah yang
~
berhubungan dengan himpunan kabur. Misalkan A adalah himpunan kabur dalam
himpunan semesta U.
~
Definisi 2.2 Pendukung (support) dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas
~
P( A) yang memuat semua anggota semesta dengan derajat keanggotaan taknol
~
dalam A , yaitu
~
P( A) = {x ∈U | µ A~ ( x) > 0} .
~
Dari Contoh 2.3 di atas, P( A) ={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
~
Definisi 2.3 Himpunan kabur A disebut himpunan kabur kosong jika pendukungnya
adalah himpunan kosong.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Definisi 2.4 Himpunan kabur elemen tunggal adalah himpunan kabur yang
pendukungnya adalah himpunan tegas dengan elemen tunggal (singleton).
~
Definisi 2.5 Tinggi (height) dari himpunan kabur A adalah derajat keanggotaan
terbesar yang dicapai oleh anggota-anggota U, yaitu
~
Tinggi ( A) = sup{µ A~ ( x)} .
x∈U
~
Dari Contoh 2.3 di atas, Tinggi ( A) =1.
Definisi 2.6
~
Himpunan kabur A yang memiliki tinggi sama dengan 1 disebut
himpunan kabur normal.
Definisi 2.7
~
Himpunan kabur A yang memiliki tinggi kurang dari 1 disebut
himpunan kabur subnormal.
~
Definisi 2.8 Titik silang (crossover point) dari himpunan kabur A adalah anggota U
~
yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5 dalam himpunan kabur A .
~
Dalam Contoh 2.3 di atas, titik 2 dan -2 adalah titik silang dari himpunan kabur A .
~
Definisi 2.9 Teras (core) dari himpunan kabur A adalah himpunan semua anggota U
yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
~
Teras ( A) = {x ∈U | µ A~ ( x) = 1} .
~
Definisi 2.10 Pusat (center) dari himpunan kabur A didefinisikan sebagai berikut:
jika nilai rata-rata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu
mencapai nilai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah
nilai rata-rata tersebut; jika nilai rata-rata itu takhingga positif (negatif), maka pusat
himpunan kabur itu adalah yang terkecil (terbesar) di antara semua titik yang
mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.
~
Definisi 2.11 Potongan- α ( α -cut) dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas
Aα yang terdiri dari semua anggota U yang mempunyai derajat keanggotaan dalam
~
A lebih besar dari atau sama dengan α , yaitu:
Aα = {x ∈ U | µ A~ ( x) ≥ α } .
~
Definisi 2.12 Potongan- α kuat dari himpunan kabur A adalah himpunan tegas Aα′
~
yang terdiri dari semua anggota U yang mempunyai derajat keanggotaan dalam A
lebih besar dari α , yaitu:
Aα′ = {x ∈ U | µ A~ ( x) > α } .
~
Dari Contoh 2.3 di atas, potongan- α dari A dengan α = 0.5 adalah A0.5 = {-2, -1, 0,
1, 2}, sedangkan potongan- α kuatnya adalah A0′.5 = {-1, 0, 1}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
~
~
Definisi 2.13 Dua buah himpunan kabur A dan B dalam himpunan semesta U
~ ~
dikatakan sama, dilambangkan dengan A = B , bila dan hanya bila
µ A~ ( x) = µ B~ ( x) , ∀x ∈U .
~
Definisi 2.14 Himpunan kabur A dikatakan himpunan bagian dari himpunan kabur
~ ~
~
B , dilambangkan dengan A ⊆ B , bila dan hanya bila
µ A~ ( x) ≤ µ B~ ( x) , ∀x ∈U .
~
~
Contoh 2.4 Jika A = 0.2/-3 + 0.3/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.3/2 + 0.2/3 dan B =
~ ~
0.3/-3 + 0.4/-2 + 0.8/-1 + 1/0 + 0.8/1 + 0.4/2 + 0.3/3, maka A ⊆ B .
Definisi 2.15 Himpunan kosong φ dapat dipandang sebagai himpunan kabur dengan
fungsi keanggotaan sama dengan 0, yaitu µφ ( x) = 0 untuk setiap x ∈U . Himpunan
semesta U dapat dipandang sebagai himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan
sama dengan 1, yaitu µ u ( x) = 1 untuk setiap x ∈U .
2.
Fungsi Keanggotaan
Setiap himpunan kabur dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan.
Beberapa fungsi keanggotaan himpunan kabur yang dinyatakan dalam bentuk suatu
formula matematis adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
a.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga
jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu a, b, c ∈ ℝ dengan a < b < c , dan
dinyatakan dengan Segitiga ( x; a, b, c) dengan kaidah:
x −a
untuk a ≤ x ≤ b
b
−
a
Segitiga ( x; a, b, c) = c − x untuk b ≤ x ≤ c
c −b
untuk x lainnya
0
Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:
x−a c−x
,
Segitiga( x; a, b, c) = max min
,0
b−a c −b
Gambar 2.1 Grafik fungsi keanggotaan segitiga
b.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium
jika mempunyai empat buah parameter, yaitu a, b, c, d ∈ℝ dengan a < b < c < d ,
dan dinyatakan dengan Trapesium( x; a, b, c, d ) dengan kaidah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
x − a
b − a
1
Trapesium( x; a, b, c, d ) =
d − x
d − c
0
untuk a ≤ x ≤ b
untuk b ≤ x ≤ c
untuk c ≤ x ≤ d
untuk x lainnya
Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:
x−a d − x
Trapesium( x; a, b, c, d ) = max min
,1,
,0
b−a d −c
Gambar 2.2 Grafik fungsi keanggotaan trapesium
c.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Gauss
jika mempunyai dua buah parameter, yaitu a, b ∈ ℝ, dinyatakan dengan
Gauss ( x; a, b) dan memenuhi:
Gauss ( x; a, b) = e
x−a
−
b
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 2.3 Grafik fungsi keanggotaan Gauss
di mana x = a adalah pusat dan b menentukan lebar dari fungsi keanggotaan
Gauss.
d.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Cauchy
jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu a, b, c ∈ ℝ, dinyatakan dengan
Cauchy ( x; a, b, c) dan memenuhi:
1
Cauchy ( x; a, b, c) =
1+
x−c
a
2b
di mana x = c adalah pusat, a menentukan lebar, dan b menentukan kemiringan
(slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Gambar 2.4 Grafik fungsi keanggotaan Cauchy
e.
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Sigmoid
jika mempunyai dua buah parameter, yaitu a, c ∈ ℝ, dinyatakan dengan
Sigmoid ( x; a, c) dan memenuhi:
Sigmoid ( x; a, c) =
1
1 + e − a ( x −c )
di mana a menentukan kemiringan fungsi keanggotaan sigmoid di titik silang
x = c . Untuk a > 0 fungsi keanggotaan Sigmoid terbuka ke kanan, dan
sebaliknya untuk a < 0 fungsi keanggotaan Sigmoid terbuka ke kiri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Gambar 2.5 Grafik fungsi keanggotaan Sigmoid yang terbuka ke kanan (gambar
kiri) dan yang terbuka ke kiri (gambar kanan)
3.
Operasi Baku pada Himpunan Kabur
Operasi baku pada himpunan kabur yang akan didefinisikan adalah operasi uner
“komplemen” dan operasi-operasi biner “gabungan” dan “irisan”. Komplemen dari
~
~
suatu himpunan kabur A adalah himpunan kabur A ′ dengan fungsi keanggotaan
µ A~′ ( x) = 1 − µ A~ ( x)
~
~
untuk setiap x ∈ X. Gabungan dua buah himpunan kabur A dan B adalah himpunan
~ ~
kabur A ∪ B dengan fungsi keanggotaan
µ A~ ∪ B~ ( x) = max {µ A~ ( x), µ B~ ( x)}
~
~
untuk setiap x ∈ X . Sedangkan irisan dua buah himpunan kabur A dan B adalah
~ ~
himpunan kabur A ∩ B dengan fungsi keanggotaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
µ A~ ∩ B~ ( x) = min {µ A~ ( x), µ B~ ( x)}
untuk setiap x ∈ X .
Teorema 2.1 (Teorema Dekomposisi)
~
Jika Aα adalah potongan- α dari himpunan kabur A dalam himpunan semesta U dan
~
Aα adalah himpunan kabur dalam U dengan fungsi keanggotaan µ A~ = αχ Aα ( x)
α
untuk setiap x ∈ U , di mana χ Aα adalah fungsi karakteristik dari himpunan Aα ,
~
maka A =
~
Aα .
a∈[ 0 ,1]
Bukti: Ambil sebarang x ∈ U dan misalkan µ A~ ( x) = r . Untuk setiap α ∈ [0, r ] ,
µ A~ ( x) = r ≥ α , berarti x ∈ Aα , sehingga µ A~α ( x) = α . Untuk setiap α ∈ (r ,1] ,
µ A~ ( x) = r < α , berarti x ∉ Aα , sehingga µ A~α ( x) = 0 . Maka
µ
~
Aα
α ∈[ 0 ,1]
= sup µ A~ ( x)
α
α ∈[ 0 ,1]
= max{ sup µ A~ ( x), sup µ A~ ( x)}
α ∈[ 0 , r ]
= sup α
α ∈[ 0 , k ]
=r
= µ A~ ( x)
α
α ∈( r ,1]
α
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
~
untuk setiap x ∈ U . Jadi A =
~
■
Aα .
a∈[ 0 ,1]
4. Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur
Di atas telah dibahas definisi operasi-operasi baku komplemen, gabungan dan
irisan untuk himpunan-himpunan kabur. Definisi-definisi tersebut dapat dirampatkan
sedemikian sehingga definisi operasi-operasi baku tersebut merupakan kejadian
khususnya. Perampatan tersebut akan didefinisikan secara aksiomatis, kemudian akan
diperlihatkan macam-macam operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tersebut.
a. Operasi Komplemen
Definisi 2.17
Suatu pemetaan k : [0,1] → [0,1] disebut
komplemen kabur jika
memenuhi aksioma-aksioma berikut:
K1. k (0) = 1 dan k (1) = 0
(syarat batas)
K2. Jika x < y , maka k ( x) ≥ k ( y ) untuk semua x, y ∈ [0,1]
(syarat taknaik)
Suatu kelas pemetaan yang merupakan komplemen kabur adalah kelas Sugeno yang
didefinisikan sebagai berikut:
k λ ( x) =
1− x
1 + λx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
dengan parameter λ ∈ (−1, ∞) . Untuk λ = 0 , diperoleh operasi komplemen baku,
yaitu k 0 ( x) = 1 − x , di mana x adalah derajat keanggotaan suatu elemen dalam suatu
~
himpunan kabur A dan k0 ( x) adalah derajat keanggotaan elemen tersebut dalam
~
himpunan kabur A′ . Kelas pemetaan lain yang merupakan komplemen kabur adalah
kelas Yager yang didefinisikan sebagai berikut:
k w ( x) = (1 − x w )1 / w
dengan parameter w ∈ (0, ∞) . Untuk w = 1 diperoleh operasi komplemen baku, yaitu
k1 ( x) = 1 − x .
b. Operasi Gabungan
Definisi 2.18 Suatu pemetaan s : [0,1] × [0,1] → [0,1] disebut gabungan kabur (normas) jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
S1. s (0, x) = s ( x,0) = x dan s (1,1) = 1
(syarat batas)
S2. s ( x, y ) = s ( y, x)
(syarat komutatif)
S3. Jika x ≤ x′ dan y ≤ y ′ , maka s ( x, y ) ≤ s ( x′, y ′) , ∀x, y ∈ [0,1] (syarat takturun)
S4. s ( s ( x, y ), z ) = s ( x, s ( y, z ))
(syarat asosiatif)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Contoh-contoh norma-s:
a)
Jumlah aljabar: s ja ( x, y ) = x + y − xy
b)
Jumlah Einstein: s je ( x, y ) =
c)
x jika y = 0
Jumlah drastis: s jd ( x, y ) = y jika x = 0
1 jika lainnya
x+ y
1 + xy
c. Operasi Irisan
Definisi 2.19 Suatu pemetaan t : [0,1] × [0,1] → [0,1] disebut irisan kabur (norma-t)
jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
T1. t ( x,1) = t (1, x) = x dan t (0,0) = 0
(syarat batas)
T2. t ( x, y ) = t ( y, x)
(syarat komutatif)
T3. Jika x ≤ x′ dan y ≤ y ′ , maka t ( x, y ) ≤ t ( x′, y ′) , ∀x, y ∈ [0,1]
(syarat takturun)
T4. t (t ( x, y ), z ) = t ( x, t ( y, z ))
(syarat asosiatif)
Contoh-contoh norma-t:
a)
Darab aljabar: t da ( x, y ) = xy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
xy
2 − ( x + y − xy )
b)
Darab Einstein: t de ( x, y ) =
c)
x jika y = 1
Darab drastis: t dd ( x, y ) = y jika x = 1
0 jika lainnya
5.
Relasi Kabur
~
Definisi 2.15 Relasi kabur (biner) R antara elemen-elemen dalam himpunan U
dengan elemen-elemen dalam himpunan V didefinisikan sebagai himpunan kabur
dengan semesta U × V , yaitu himpunan kabur
~
R = {((u , v), µ R~ (u , v)) | (u , v) ∈U × V }
~
Relasi kabur R itu juga disebut relasi kabur pada himpunan semesta U × V . Jika
~
U = V , maka R disebut relasi kabur pada himpunan U.
~
Contoh 2.5 Misalnya U = {20, 45, 106}, V = {35, 58, 210} dan R adalah relasi
kabur “jauh lebih kecil” antara elemen-elemen dalam U dengan elemen-elemen
~
~
dalam V. Maka relasi R dapat disajikan sebagai R = 0.1/(20,35) + 0.3/(20,58) +
0.9/(20,210) + 0.1/(45,58) + 0.6/(45,210) + 0.4/(106,210).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
6.
Variabel Linguistik
Definisi 2.16 Suatu variabel linguistik adalah suatu rangkap-5 (x, T, U, G, M) di
mana x adalah lambang variabelnya, T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang
dapat menggantikan x, U adalah semesta wacana (numeris) dari nilai-nilai linguistik
dalam T (jadi juga dari variabel x), G adalah himpunan kaidah-kaidah sintaksis yang
mengatur pembentukan istilah-istilah anggota T, dan M adalah himpunan kaidahkaidah semantik yang mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan
kabur dalam semesta U.
Contoh 2.6 Bila variabel linguistiknya adalah “kecepatan”, maka himpunan nilainilai linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah T = {cepat, sangat cepat, agak
cepat, tidak cepat, lambat, sangat lambat, agak lambat, tidak lambat} dengan semesta
U = [0,100], kaidah sintaksis mengatur pembentukan istilah-istilah dalam T dan
kaidah semantik mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur
dalam semesta U.
7.
Proposisi Kabur
Definisi 2.17 Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu
predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur.
Proposisi kabur yang mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan
kabur. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan kabur disajikan dengan suatu bilangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
real dalam selang [0,1]. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran dari
pernyataan kabur itu.
Bentuk umum dari suatu proposisi kabur adalah
x adalah A
di mana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai linguistik
dari x.
~
Bila A adalah himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai linguistik A dan
~
x0 adalah suatu elemen tertentu dalam semesta U dari himpunan kabur A , maka x0
~
mempunyai derajat keanggotaan µ A~ ( x0 ) dalam himpunan kabur A .
Derajat kebenaran dari pernyataan kabur
~
x0 adalah A
~
didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan x0 dalam himpunan kabur A , yaitu
µ A~ ( x0 ) .
8.
Implikasi Kabur
Bentuk umum implikasi kabur adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Jika u adalah A, maka v adalah B
di mana A dan B adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan~
~
himpunan kabur A dan B dalam semesta U dan V berturut-turut. Implikasi kabur
dilambangkan dengan → .
Implikasi tegas p → q ekuivalen dengan ¬p ∨ q . Berdasarkan ekuivalensi
tersebut, implikasi kabur dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam
U × V dengan fungsi keanggotaan
µ → (u , v) = s (k ( µ A~ (u )), ( µ B~ (v))
di mana s adalah suatu norma-s dan k adalah suatu komplemen kabur.
Implikasi Dienes-Rescher
diperoleh apabila diambil operasi-operasi
gabungan sebagai norma-s dan operasi komplemen baku sebagai komplemen kabur
dengan fungsi keanggotaan
µ →dr (u , v) = max(1 − µ A~ (u ), µ B~ (v)) .
Karena implikasi tegas p → q juga ekuivalen dengan ( p ∧ q ) ∨ ¬p , maka
implikasi kabur juga dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam U × V
dengan fungsi keanggotaan
µ → (u , v) = s (t ( µ A~ (u ), µ B~ (v)), k ( µ A~ (u )))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
di mana s adalah suatu norma-s, t adalah suatu norma-t, dan k adalah suatu
komplemen kabur.
Implikasi Zadeh diperoleh apabila diambil operasi-operasi gabungan, irisan,
dan komplemen baku sebagai norma-s, norma-t, dan komplemen kabur dengan fungsi
keanggotaan
µ → z (u , v) = max(min(µ A~ (u ), µ B~ (v)),1 − µ A~ (u )) .
Implikasi Mamdani merupakan salah satu bentuk implikasi kabur yang
digunakan dalam aplikasi sistem kabur. Implikasi ini didasarkan pada asumsi bahwa
implikasi kabur pada dasarnya bersifat lokal, dalam arti bahwa implikasi
Jika u adalah A, maka v adalah B
hanya berbicara mengenai keadaan dimana u adalah A dan v adalah B saja, dan tidak
mengenai keadaan lainnya diluar itu. Berdasarkan asumsi tersebut, implikasi kabur
dapat dipandang sebagai suatu konjungsi kabur, sehingga diperoleh
µ → (u , v) = t ( µ A~ (u ), µ B~ (v))
yang disebut implikasi Mamdani. Apabila diambil operasi baku “min” sebagai
norma-t, maka diperoleh
µ →mm (u , v) = min(µ A~ (u ), µ B~ (v)) ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
dan bila operasi “darab aljabar” diambil sebagai norma-t, maka diperoleh
µ →md (u , v) = µ A~ (u ) µ B~ (v) .
Contoh 2.7
Misalkan diketahui semesta U = {1, 2, 3, 4} dan V = {60, 70, 80}, dan implikasi
kabur
Jika u banyak, maka v lambat
di mana predikat “banyak” dan “lambat” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan
kabur
~
A = 0.2 / 1 + 0.4 / 2 + 0.6 / 3 + 0.8 / 4
~
B = 0.4 / 60 + 0.7 / 70 + 1 / 80.
dan
Maka jika digunakan implikasi Dienes-Rescher, diperoleh
→ dr = 0.8 /(1,60) + 0.8 /(1,70) + 1 /(1,80) + 0.6 /(2,60) + 0.7 /(2,70) + 1 /(2,80) + 0.4 /(3,60)
+ 0.7 /(3,70) + 1 /(3,80) + 0.4 /(4,60) + 0.7 /(4,70) + 1 /(4,80)
Jika digunakan implikasi Zadeh, maka diperoleh
→ z = 0.8 /(1,60) + 0.8 /(1,70) + 0.8 /(1,80) + 0.6 /(2,60) + 0.6 /(2,70) + 0.6 / 2,80) + 0.4 /(3,60)
+ 0.6 /(3,70) + 0.6 /(3,80) + 0.4 /(4,60) + 0.7 /(4,70) + 0.8 /(4,80) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Jika digunakan implikasi Mamdani, maka diperoleh
→ mm = 0.2 /(1,60) + 0.2 /(1,70) + 0.2 /(1,80) + 0.4 /(2,60) + 0.4 /(2,70) + 0.4 /(2,80)
+ 0.4 /(3,60) + 0.6 /(3,70) + 0.6 /(3,80) + 0.4 /(4,60) + 0.7 /(4,70) + 0.8 /(4,80)
atau
→ md = 0.08 /(1,60) + 0.14 /(1,70) + 0.2 /(1,80) + 0.16 /(2,60) + 0.28 /(2,70) + 0.4 /(2,80)
+ 0.24 /(3,60) + 0.42 /(3,70) + 0.6 /(3,80) + 0.32 /(4,60) + 0.56 /(4,70) + 0.8 /(4,80).
9.
Model Kabur Takagi, Sugeno, dan Kang
Model kabur Takagi, Sugeno dan Kang (TSK) dikenal sebagai model kabur
pertama yang dikembangkan untuk menghasilkan kaidah kabur dari himpunan data
masukan-keluaran yang diberikan. Sebuah kaidah kabur yang khas dalam model
tersebut memiliki bentuk sebagai berikut:
Jika x adalah A dan y adalah B , maka z = ax + by + c
di mana a, b, c merupakan konstanta numerik. Secara umum, kaidah dalam model
TSK memiliki bentuk:
Jika x adalah A dan y adalah B , maka z = f ( x, y )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
di mana A dan B merupakan himpunan kabur dalam anteseden, dan z = f ( x, y )
merupakan fungsi tegas dalam konsekuen serta z = f ( x, y ) merupakan fungsi
polinomial dalam variabel masukan x dan y. Jika f ( x, y ) adalah fungsi polinomial
ordo satu, hasil sistem inferensi kabur disebut model kabur Takagi Sugeno Kang ordo
satu. Jika f merupakan konstanta, maka disebut model kabur Takagi Sugeno Kang
ordo nol, yang mana merupakan kasus khusus dalam implikasi Mamdani.
10. Modus Ponens Rampat
Untuk melakukan pengambilan keputusan atau penalaran kabur diperlukan
seperangkat implikasi kabur atau suatu fakta yang diketahui (premis). Dalam logika
klasik, pengambilan keputusan didasarkan pada tautologi-tautologi, yaitu proposisiproposisi yang selalu benar, tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisiproposisi penyusunnya. Salah satu kaidah pengambilan keputusan yang paling sering
digunakan adalah modus ponens, yang didasarkan pada tautologi:
(( p → q ) ∧ p ) → q .
Bentuk umum penalaran modus ponens adalah sebagai berikut:
1. Bila u adalah A, maka v adalah B
(Premis 1 / Kaidah)
2. u adalah A
(Premis 2 / Fakta)
3. ∴
v adalah B
(Kesimpulan)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Kaidah penalaran tegas dapat dirampatkan menjadi kaidah kabur dengan
premis dan kesimpulannya adalah proposisi-proposisi kabur. Secara umum dapat
dirumuskan dengan skema sebagai berikut:
Premis 1 (kaidah) :
Bila u adalah A, maka v adalah B
Premis 2 (fakta)
:
u adalah A′
Kesimpulan
:
v adalah B ′
Penalaran kabur dengan skema seperti di atas disebut modus ponens rampat.
Berikut ini akan dibahas suatu aturan penarikan kesimpulan yang disebut “kaidah
inferensi komposisional” (compositional rule of inference). Sebelumnya akan dibahas
latar belakang kaidah tersebut dalam kasus pemetaan bernilai selang.
Misalkan diketahui suatu pemetaan kontinu f : U → V dengan U = V = ℝ.
Jika diberikan suatu elemen a ∈ U , maka akan diperoleh nilai pemetaan f di a, yaitu
b = f (a) ∈ V . Jika f adalah suatu pemetaan yang bernilai selang, dan diberikan suatu
selang [a, b] di U, maka akan diperoleh nilai pemetaan f di [a,b] yaitu selang
f ([a, b]) = [c, d ] di V. Untuk menggambarkan bagaimana memperoleh selang [c,d]
tersebut, pertama-tama yang dilakukan adalah membuat perluasan silindris dari
selang [a,b] ke bidang U × V , kemudian ditentukan irisan I dari perluasan silindris itu
dengan kurva dari pemetaan f, dan akhirnya irisan I diproyeksikan ke V untuk
memperoleh selang [c,d]. Gambar 2.6 memperlihatkan proses tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Gambar 2.6 Nilai pemetaan f di [a,b], yaitu f ([a, b]) = [c, d ]
Proses di atas dapat dirampatkan lebih lanjut lagi. Misalkan terdapat sebuah
~
~
relasi kabur R dalam semesta U × V dan himpunan kabur A dalam U. Bila
~
~
ditentukan perluasan silindris dari A ke U × V , namakan APS , dan irisan perluasan
~
~
~
silindris tersebut dengan R , yaitu APS ∩ R , kemudian irisan tersebut diproyeksikan
~
~
ke V, maka akan diperoleh himpunan kabur B di V. Karena APS adalah perluasan
~
silindris dari A ke U × V , maka
µ A~ (u , v) = µ A~ (u )
PS
sehingga
µ A~
~
PS ∩ R
(u , v) = t ( µ A~ (u , v), µ R~ (u , v))
PS
= t ( µ A~ (u ), µ R~ (u , v))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
~
di mana t adalah suatu norma-t. Kemudian, himpunan kabur B di V diperoleh sebagai
~
~
proyeksi irisan APS ∩ R ke V, maka
µ B~ (v) = sup µ A~
u∈U
~
PS ∩ R
(u , v)
= sup t ( µ A~ (u ), µ R~ (u , v))
u∈U
~
Jika himpunan kabur A dipandang sebagai relasi dengan satu argumen, maka
~
~
komposisi relasi A di U dengan relasi R di U × V menghasilkan relasi majemuk
~ ~
A R di V dengan fungsi keanggotaan
µ A~ R~ (v) = sup t ( µ A~ (u ), µ R~ (u , v))
u∈U
~ ~ ~
~
di mana t adalah suatu norma-t. Maka B = A R , yaitu himpunan kabur B itu tidak
~ ~
lain daripada relasi komposit A R . Karenanya prosedur untuk memperoleh
~
~
~
himpunan kabur B di V dari relasi R di U × V dan himpunan kabur A di U dengan
cara seperti di atas itu disebut kaidah inferensi komposisional. Kaidah inilah yang
dipakai untuk menarik kesimpulan dalam penalaran kabur.
Dalam modus ponens rampat kaidah tersebut diterapkan sebagai berikut:
Premis 1
: Bila u adalah A, maka v adalah B
(yang merupakan relasi/implikasi kabur → di U × V )
Premis 2
: u adalah A′
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
~
(yang dapat direpresentasikan dengan himpunan kabur A′ dalam U)
Kesimpulan
: v adalah B ′
~ ~
diperoleh dengan menentukan himpunan kabur B ′ = A ′ dalam V
dengan fungsi keanggotaan µ B~′ (v) = sup t ( µ A~′ (u ), µ → (u , v)) ,
u∈U
dimana t adalah suatu norma-t.
~
Bila A′ adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur A′ ,
untuk norma-t misalnya diambil operasi baku “min”, dan untuk implikasi kabur
dipakai implikasi Mamdani → mm , maka kesimpulan “v adalah B ′ ” di atas dapat
~
diperoleh dengan menentukan himpunan kabur B ′ dengan fungsi keanggotaan
µ B~′ (v) = sup min{µ A~′ (u ), min(µ A~ (u ), µ B~ (v))}
u∈U
= sup min{µ A~′ (u ), µ A~ (u ), µ B~ (v)}
u∈U
= min{sup min(µ A~′ (u ), µ A~ (u )), µ B~ (v)}
u∈U
= min{w, µ B~ (v)}
di mana
~ ~
w = sup min{µ A~′ (u ), µ A~ (u )} = sup( A′ ∩ A)
u∈U
u∈U
yang menyatakan derajat
keserasian (degree of compatibility) antara predikat A′ dengan A. Jadi untuk
memperoleh himpunan kabur
~
B ′ tersebut, pertama-tama ditentukan derajat
~
~
keserasian w, yaitu supremum dari irisan himpunan kabur A ′ dan A , dan kemudian
~
~
diperoleh B ′ sebagai irisan w dengan himpunan kabur B , seperti terlihat dalam
Gambar 2.7.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Gambar 2.7 Penarikan kesimpulan dalam modus ponens rampat
Modus ponens rampat dapat digeneralisasikan menjadi modus ponens rampat
multikondisional, yang terdiri dari m buah premis kabur berupa kaidah, sebuah
premis kabur berupa fakta, dan sebuah kesimpulan. Skema umumnya adalah sebagai
berikut:
Premis 2
:
Bila u1 adalah A21 dan ⋅ ⋅ ⋅ dan u n adalah A2 n , maka v adalah B 2
Premis m
:
Bila u1 adalah Am1 dan ⋅ ⋅ ⋅ dan u n adalah Amn , maka v adalah B m
Fakta
:
u1 adalah A1′ dan ⋅ ⋅ ⋅ dan u n adalah An′
Kesimpulan
:
v adalah B′
…
Bila u1 adalah A11 dan ⋅ ⋅ ⋅ dan u n adalah A1n , maka v adalah B1
…
:
…
Premis 1
di mana Aij dan A′j adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur
~
~
Aij dan A′j dalam semesta U j , dan Bi adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan
~
himpunan kabur Bi dalam semesta V (i = 1, ⋅ ⋅⋅, m; j = 1, ⋅ ⋅⋅, n). Masing-masing
~
premis tersebut dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur Ri (i = 1, ⋅ ⋅⋅, m) dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
~ ~
~
U 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × U n × V dan faktanya sebagai himpunan kabur A ′ = A1′ × ⋅ ⋅ ⋅ × An′ dalam
~
U 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × U n . Premis-premis Ri tersebut biasanya diperlakukan secara disjungtif,
~ m ~
~
sehingga semua premis itu dapat digabung menjadi satu premis R , yaitu R = Ri .
i =1
Maka kesimpulan “v adalah B ′ ” dapat diperoleh dengan kaidah inferensi
~ ~ ~
komposisional untuk menentukan himpunan kabur B ′ = A ′ R dalam semesta V
dengan fungsi keanggotaan (dengan mengambil operasi baku “min” untuk norma-t
dan “max” untuk gabungan kabur)
µ B′~ (v)
= µ A~′ R~ (v)
=
sup
( u1 ,⋅⋅⋅,u n )∈U1×⋅⋅⋅×U n
min{µ A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), µ R~ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v)}
= sup min{µ A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), max ( µ R~i (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v))}
u j ∈U j
i∈{1,⋅⋅⋅,m}
= sup max min{µ A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), µ R~i (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v)}
u j ∈U j i∈{1,⋅⋅⋅,m}
= max sup min{µ A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), µ R~i (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v)}
i∈{1,⋅⋅⋅,m} u ∈U
j
j
~ ~
= max { A′ Ri }
i∈{1,⋅⋅⋅, m}
= µ m ~ ~ (v )
( A′ Ri )
i =1
m
m
~ ~
~ ~ ~
~
~ ~ m ~
untuk setiap v ∈ V . Jadi B ′ = A ′ Ri = ( A ′ R ′) = Bi′, di mana B ′ = A ′ Ri .
i =1
i =1
i =1
~
Jika untuk implikasi kabur Ri tersebut diambil implikasi Mamdani → mm ,
sehingga fungsi keanggotaannya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
µ R~ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n , v) = min{µ A~ ×⋅⋅⋅× A~ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, u n ), µ B~ (v)},
i1
i
i
in
~
maka fungsi keanggotaan B ′ adalah
µ B′~ (v)
= µ m ~ ~ (v )
A′ Ri
i =1
= max sup min{µ A~′×⋅⋅⋅× A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, un ), min(µ A~′ ×⋅⋅⋅× A~′ (u1 ,⋅ ⋅ ⋅, un ), µ B~i (v))}
i∈{1,⋅⋅⋅,m} u ∈U
j
j
1
i1
n
in
= max sup min{ min ( µ A~′ (u j )), min ( µ A~′ (u j )), µ B~i (v))}
i∈{1,⋅⋅⋅,m} u ∈U
j
j
j∈{1,⋅⋅⋅,n}
j∈{1,⋅⋅⋅,n}
j
ij
= max min{ min sup min ( µ A~′ (u j ), µ A~′ (u j )), µ B~i (v)}
i∈{1,⋅⋅⋅,m}
j∈{1,⋅⋅⋅,n} u ∈U j∈{1,⋅⋅⋅,n}
j
j
j
ij
= max min{wi , µ B~i (v)}
i∈{1,⋅⋅⋅,m}
di man