Penyelesaian sistem persamaan nonlinier dengan metode jaringan Syarif tiruan hopfield

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

DENGAN METODE JARINGAN SYARAF TIRUAN

HOPFIELD

Faradila Martha Devi

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

DENGAN METODE JARINGAN SYARAF TIRUAN

HOPFIELD

SKRIPSI

Diajukan Kepada

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Sains Fakultas Sains dan Teknologi

Oleh:

Faradila Martha Devi

107094003053

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

PENGESAHAN UJIAN

Skripsi berjudul “Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield” yang ditulis oleh Faradila Martha Devi, NIM 107094003053 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Jumat, 25 November 2011. Skripsi ini telah diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Matematika.

Menyetujui : Penguji 1,

Dr. Agus Salim, M.Si. NIP. 19720816 199903 1 003

Pembimbing 1,

Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech NIP. 19790530 200604 1 002

Penguji 2,

Yanne Irene, M.Si. NIP 19741231 200501 2 018

Pembimbing 2,

Drs. Slamet Aji Pamungkas, M.Eng NIP. 680 003 081

Mengetahui, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,

Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M.Sis NIP. 19680117 200112 1 001

Ketua Program Studi Matematika,

Yanne Irene, M.Si. NIP 19741231 200501 2 018

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, 25 November 2011

Faradila Martha Devi 107094003053

PERSEMBAHAN

Alhamdulillahirobbil’alamin, segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam

Skripsi ini saya persembahkan untuk Bapakku Achmad Saleh dan Ibuku

Khumayah, Kakak dan Adikku, keluarga besarku, dan Keluarga besar Prodi

Matematika, serta semua pihat yang terlibat di dalamnya.

Semoga selalu diridhoi Allah SWT, selalu dalam lindungan-Nya, serta selalu

dibukakan pintu rahmat, kasih sayang, dan hidayah-Nya

Amin

MOTTO

”Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, dan Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan” (Q.S.

Al-Insyiroh : 5-6)

Give the best to the world and the best will come to you

ABSTRAK

FARADILA MARTHA DEVI, Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield. Di bawah bimbingan

Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech danDrs. Slamet Aji Pamungkas, M.Eng.

Ada 2 cara menyelesaikan persamaaan nonlinier maupun sistem persamaan nonlinier, yaitu secara analitik dan numerik. Namun, ada persamaan ataupun sistem persamaan nonlinier tertentu, yang sulit diseleskan dengan penghitungan analitik, sehingga penghitungan numerik dapat menjadi solusi. Penghitungan numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan operasi hitungan, karena merupakan pendekatan terhadap nilai eksak maka diupayakan kesalahannya sekecil mungkin. Allah berfirman “Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan

menghitung mereka dengan hitungan yang teliti” (Q.S. Maryam/18: 94), dan penghitungan numerik merupakan penghitungan yang memerlukan ketelitian untuk menghidari kesalahan yang besar.

Salah satu kajian dalam metode numerik adalah menyelesaikan persamaan maupun sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield Modifikasi, dengan prinsip Reccurent Network. Berdasarkan latar belakang di atas, skripsi ini menjelaskan tentang langkah-langkah penyelesaian persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield yang dimodifikasi.

Jenis penelitian ini merupakan penelitian kepustakaan atau penelitian literatur yang bertujuan untuk mengumpulkan data dan informasi terkait persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier, jaringan syaraf tiruan Hopfield, serta dilengkapi simulasi numerik terhadap beberapa contoh penggunaaan metode ini pada beberapa kasus yang diberikan dengan bantuan

software.

Beberapa contoh persamaan dan sistem persamaan nonlinier telah diselesaikan dengan menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield modifikasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode Hopfield modifikasi akan selalu konvergen terhadap sembarang nilai awal, dan berbeda dengan metode

Newton-Raphson atau Secant yang harus memenuhi syarat “dekat” dengan solusi.

Namun, performa Newton-Raphson lebih baik dibandingkan Hopfield modifikasi, akan tetapi, waktu yang dibutuhkan kedua metode tidak siginifikan. Kelebihan lain dari Hopfield modifikasi adalah kemampuannya untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier satu variabel, yang dalam hal ini metode dasar, Newton-Raphson, Secant, Bisection tidak dapat digunakan.

Kata Kunci: Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield, Reccurent, Persamaan Nonlinier, Sistem Persamaan Nonlinier

ABSTRACT

There are two methods to solve nonlinear equation or system of nonlinear equations, which is analytic and numeric method. However, there are equation or system of certain nonlinear equations, which are difficult to solve with analytic, so that numerical calculations can be a solution. Calculation of numerical techniques to solve the problem is formulated mathematically, as an approximation the exact value, then pursued its mistake as small as possible. Allah says “Verily, Allah has determined the number of them and count them with a careful count” (Q.S

Maryam/18: 94), and numerical calculation is a calculation that requires precision to avoid large errors.

One study of numerical methods is to solve nonlinear equation or system of nonlinear equations using the method of modified Hopfield neural network, with the principle Recurrent Network. Based on the background, this paper describes the steps solving nonlinear equation or system of nonlinear equations using the Hopfield Neural Network methods are modified.

This type of research is a research library or research literature that aims to collect data and information related to nonlinear equation or system of nonlinear equations, Hopfield neural network, and equipped with numerical simulation of several examples of the use of this method in some cases provided with the help of software.

Some examples of nonlinear equation or system of nonlinear equations has been solved by using modified Hopfield neural network. The results showed that the modified Hopfield will always converge to arbitrary initial values, and different from the Newton-Raphson or Secant, which should qualify “close” to the

solution. However, the performance of Newton-Raphson better than Hopfield modification, however the time needed both methods is not significant. Another advantage of the Hopfield modification is its ability to solve systems of nonlinear equations one variable, which in this case the basic method, Newton-Raphson, Secant, Bisection can not be used.

Key words: Hopfield Neural Network, Recurrent, Nonlinear Equation and System of Nonlinear Equations

KATA PENGANTAR

ميح راا نمح راا ها مسب

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, Segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam, yang senantiasa melimpahkan rahmat dan nikmat-Nya kepada kita semua, tak terkecuali pada penulis, hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

“Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield”. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, manusia biasa yang menjadi luar biasa karena kecerdasannya, kemuliaan akhlaqnya, keluhuran budi pekertinya, dan insya Allah hingga di akhir hidup nanti, sunnah-sunnah Rasulullah tetap subur.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat dorongan, semangat, dan bimbingan serta kritikan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ayahanda dan Ibunda serta kakak dan adik yang selalu memberikan do’a, kasih sayang, dukungan dan semangat yang tiada henti-hentinya,

2. Bapak Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M.Sis, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta,

3. Ibu Yanne Irene, M.Si. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta, sekaligus sebagai penguji II,

4. Bapak Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech., pembimbing I dan Bapak Drs. Slamet Aji Pamungkas, M.Eng. selaku pembimbing II, yang bersedia dengan senang hati membimbing serta mengarahkan penulis,

5. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si, sebagai penguji I,

6. seluruh dosen dan karyawan Proram Studi Matematika, yang telah memberikan pengajaran dan ilmunya yang bermanfaat bagi penulis

7. sahabat-sahabat terbaikku selama mengenyam pendidikan di UIN Jakarta, serta teman-teman se-angkatan dan seperjuangan serta semua pihak yang telah membantu penulis.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kelemahan dan kekurangan yang terdapat pada skripsi ini. Atas dasar itulah penulis memohon maaf yang sebesar-besarnya kepada semua pihak jika terdapat kesalahan yang kurang berkenan. Namun, saran dan kritik selalu penulis harapkan demi perbaikan pada penelitian selanjutnya.

Akhir kata, harapan yang besar bahwa skripsi ini dapat bemanfaat dan memberikan kontribusi yang berarti, baik bagi penulis khususnya dan bagi pembaca umumnya.

Wassalamu’alaikum Warhmatullahi Wabaraktuh

Jakarta, 25 November 2011

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... ii

PENGESAHAN UJIAN ... iii

PERNYATAAN ... iv

PERSEMBAHAN DAN MOTTO ... v

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 4

1.3 Batasan Masalah... 4

1.4 Tujuan Penulisan ... 4

1.5 Metode Penelitian... 5

1.6 Sistematika Penulisan ... 6

BAB II LANDASAN TEORI ... 7

2.1 Persamaan Linier ... 7

2.2 Persamaan Nonlinier ... 9

2.3 Solusi Persamaan Nonlinier ... 10

2.3.2 Metode Newton-Raphson ... 12

2.3.3 Metode Secant ... 13

2.4 Jaringan Syaraf Tiruan ... 14

2.4.1 Jaringan Syaraf Tiruan ... 14

2.4.2 Arsitektur Jaringan ... 16

2.4.3 Metode Pembelajaran ... 20

2.4.4 Fungsi Aktivasi ... 21

BAB III JARINGAN HOPFIELD UNTUK PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER ... 25

3.1 Jaringan Hopfield ... 25

3.1.1 Jaringan Hopfield Diskrit ... 25

3.1.2 Jaringan Hopfield Kontinu ... 31

3.2 Jaringan Hopfield Modifikasi ... 32

3.3 Algoritma Hopfield untuk Penyelesaian Persamaan dan Sistem Persamaan Nonlinier ... 36

BAB IV APLIKASI JARINGAN HOPFIELD MODIFIKASI PADA PERSAMAAN DAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER ... 38

4.1 Persamaan Polinomial ... 38

4.1.1 Contoh Persamaan Polinomial Sederhana ... 38

4.1.2 Contoh Persamaan Polinomial Berderajat Tinggi ... 41

4.2 Sistem Persamaan Polinomial ... 47

4.2.1 Contoh Sistem Persamaan Polinomial ... 47

5.1 Kesimpulan ... 51

5.2 Saran ... 52

REFERENSI ... 53

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Penyelesaian persamaan x – 0.6 = 0 dengan dan yang berbeda ... 41 Tabel 4.2 Penyelesaian persamaan polinomial –

dengan

dan yang berbeda ... 46 Tabel 4.3 Penyelesaian sistem persamaan polinomial dengan dan yang berbeda

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Proses pembagian selang [a,b] dengan metode bagi dua ... 11

Gambar 2.2 Tafsiran geometri metode Newton-Raphson ... 12

Gambar 2.3 Metode Secant ... 14

Gambar 2.4 Komponen-komponen neuron ... 15

Gambar 2.5 Jaringan lapisan tunggal ... 16

Gambar 2.6 Jaringan lapisan jamak ... 18

Gambar 2.7 Jaringan recurrent ... 19

Gambar 2.8 Fungsi aktivasi identitas (linier) ... 21

Gambar 2.9 Fungsi aktivasi saturating linier ... 22

Gambar 2.10 Fungsi aktivasi symmetric saturating linier ... 22

Gambar 2.11 Fungsi aktivasi undak biner (hard limit) ... 22

Gambar 2.12 Fungsi aktivasi bipolar (symmetric hard limit) ... 23

Gambar 2.13 Fungsi aktivasi sigmoid biner ... 23

Gambar 2.14 Fungsi aktivasi sigmoid bipolar ... 24

Gambar 3.1 Contoh jaringan Hopfield ... 26

Gambar 3.2 Arsitektur jaringan Hopfield diskrit ... 28

Gambar 3.3 Arsitektur Hopfield untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ... 32

Gambar 3.4 Flowchart algoritma Hopfield untuk penyelesaian persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier ... 37

Gambar 4.1 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan nonlinier, Ax+B=0 ... 39

Gambar 4.3 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan nonlinier, ... 43 Gambar 4.4 Grafik Persamaan –

dengan dan

... 45 Gambar 4.5 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian sistem persamaan nonlinier dengan pangkat tertinggi dua ... 48 Gambar 4.6 Grafik eror sistem persamaan dengan dan ... 50

BAB I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

“Dan seandainya pohon-pohon di bumi menjadi pena dan lautan (menjadi tinta), ditambahkan kepadanya tujuh lautan (lagi) setelah (kering)nya, niscaya

tidak akan habis-habisnya (dituliskan) kalimat-kalimat Allah” (Q.S Lukman: 27).

Menurut [1], kalimat-kalimat Allah yang terdapat pada penggalan ayat di atas bermakna kekuasaan Allah hakikat segala sesuatu, ketentuan dan perkataan Allah, dan juga termasuk di dalamnya ilmu serta segala macam ciptaan Allah. Allah SWT menciptakan langit dan bumi dengan segala macam yang ada di dalamnya, dari yang besar hingga yang kecil, tumbuh-tumbuhan yang beraneka ragam, bintang-bintang yang ada di cakrawala dengan segala aturan, binatang yang paling besar hingga ribuan bakteri yang paling halus, serta banyak lagi yang lain, semuanya termasuk dalam kalimat Allah. Hal itu terbukti bahwa setiap harinya bahkan hingga dalam hitungan detik, di seluruh belahan dunia science baik teknologi, ilmu sosial, ataupun ilmu di bidang lainnya mengalami perkembangan.

Pada ayat yang lain, Allah menjelaskan bahwa semua diciptakan-Nya dengan ukuran-ukuran tertentu, “karena sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti” (Q.S Maryam: 94). Karena itulah matematika hadir sebagai cabang ilmu yang merepresentasikan kejadian pada dunia nyata ke dalam bentuk persamaan matematis, untuk selanjutnya agar dapat diselesaikan secara matematis, dan

digunakan untuk mendukung cabang ilmu lainnya. Namun, dalam perkembangannya, tidak semua persamaan dapat dipecahkan dengan mudah, secara analitik. Pada umumnya, persamaan yang mempunyai bentuk sederhana dapat diselesaikan secara analitik, sedangkan persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nonlinier serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit, akibatnya penyelesaian secara analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat diterapkan lagi, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) [2].

Di bangku perkuliahan, telah diajarkan beberapa metode numerik untuk mencari solusi persamaan nonlinier diantaranya metode bagi dua (Bisection),

Newton-Raphson, Secant. Namun, metode tersebut masih memiliki kelemahan,

seperti metode bagi dua (Bisection) yang tidak dapat digunakan untuk persamaan dengan akar ganda, metode Newton-Raphson dan Secant yang tidak selalu konvergen, jika mengambil nilai awal yang salah. Sekalipun telah dilakukan beberapa perbaikan pada metode-metode tersebut, para peneliti masih melakukan penelitian guna mencari metode yang paling efektif dalam penyelesaian persamaan nonlinier.

Saat ini, cabang ilmu kecerdasan buatan (Artificial Intelligence) juga sedang mengalami perkembangan yang cukup signifikan. Termasuk di dalamnya Logika Fuzzy (Fuzzy Logic), Sistem Pakar (Expert System), Algoritma Genetika, Jaringan Syaraf Tiruan (Neural Network). Para ahli mencoba menggantikan

sistem otak manusia ke dalam sistem komputer. Dengan cara ini diharapkan pada suatu saat nanti akan dapat tercipta suatu komputer yang dapat menimbang dan mengambil keputusannya sendiri sebagaimana layaknya manusia. Sebuah jaringan saraf tiruan adalah sebuah prosesor yang terdistribusi paralel dan mempuyai kecenderungan untuk menyimpan pengetahuan yang didapatkannya dari pengalaman dan membuatnya tetap tersedia untuk digunakan [3].

Jaringan Syaraf Tiruan mengalami perkembangan sejak 1940-an: para ilmuan, menemukan bahwa psikologi otak sama dengan mode pemrosesan yang dilakukan oleh peralatan komputer, 1960: Widrow dan Hoff [4] menemukan Adaline, model yang dapat beradaptasi dan beroperasi secara linier, 1974: Werbos [5] memperkenalkan algoritma backpropagation untuk melatih perceptron dengan banyak lapisan, hingga 1982: Hopfield [6] memperkenalkan recurrent network,

kemampuan untuk mengingat/menghubungkan suatu objek dengan objek yang pernah diingat/dikenal sebelumnya, dan salah satu aplikasinya Travelling

Salesman Problem (TSP) [7], untuk masalah optimasi. Karena prinsip recurrent

network, pada penelitian ini, penulis menggunakan metode Hopfiled, dengan judul

“Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield”, yang diangkat dari [8], Jurnal Engineering dengan judul

“Modified Hopfield Neural Network Approach for Solving Nonlinear Algebraic Equations”, ditulis oleh Deepak Mishra dan Prem K. Kalra, pada tahun 2007. Adapun penelitian sebelumnya yang juga menggabungkan antara Kecerdasan Buatan dengan pencarian solusi persamaan nonlinier, diantaranya Kajian Algoritma Genetika pada Persamaan Nonlinier oleh Mutaqin, namun

metode Algoritma Genetika tersebut belum bisa menyelesaiakan untuk kasus sistem.

1.2Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan, rumusan masalah dalam penulisan ini antara lain:

a. bagaimana solusi persamaan serta sistem persamaan nonlinier dengan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield Modifikasi?

b. bagaimana analisa konvergensi dan akurasi Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield Modifikasi dalam menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan nonlinier?

1.3 Batasan Masalah

Ruang lingkup pembahasan dalam skripsi ini adalah persamaan nonlinier polinomial serta sistem persamaan nonlinier polinomial satu variabel non transenden, dengan batasan interval domain dari solusinya adalah antara 0 sampai 1.

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui solusi persamaan dan sistem persamaan nonlinier dengan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield, Modifikasi serta mengetahui konvergensi dan akurasi Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield Modifikasi dalam menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan nonlinier.

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dan simulasi numerik. Studi literatur adalah melakukan penelusuran dengan penelaahan terhadap beberapa literatur yang mempunyai relevansi dengan topik pembahasan [9]. Simulasi numerik adalah simulasi penggunaan metode Jaringan Syaraf Hopfield modifikasi dalam menyelesaikan persamaan serta sistem persamaan nonlinier dengan software. Langkah umum dalam penulisan ini adalah:

a. merumuskan masalah,

b. mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca dan memahami literatur yang berkaitan dengan Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield, dan penyelesaian persamaan nonlinier yang telah dipelajari,

c. melakukan pembahasan dengan menguraikan langkah-langkah penyelesaian persamaan nonlinier serta sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Hopfield Modifikasi,

d. memberikan contoh dan penyelesaiannya dari persamaan nonlinier serta sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Hopfield Modifikasi menggunakan Matlab 7.1, dan

1.6 Sistematika Penulisan

Skripsi ini menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut:

BAB I, berisi tentang pendahuluan yang terdiri dari latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode penelitian, dan sistematika penulisan,

BAB II, berisi tentang kajian teori yang terdiri dari Persamaan Linier dan Nonlinier serta sistem Persamaan, Solusi Persamaan Nonlinier, Jaringan Syaraf Tiruan secara umum,

BAB III, berisi tentang pembahasan Jaringan Syaraf Hopfield Biasa dan Jaringan Syaraf Hopfield yang telah dimodifikasi, serta langkah-langkah penerapannya dalam menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier,

BAB IV, berisi contoh penerapan Jaringan Syaraf Hopfield yang telah dimodifikasi dalam menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier serta analisis penyelesaiannya,

BAB V, berisi penutup yang terdiri dari kesimpulan penerapan Jaringan Syaraf Hopfield yang telah dimodifikasi dalam menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier serta saran untuk penelitian selanjutnya.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Linier

Sebuah garis dalam dimensi dua dapat disajikan dalam bentuk aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk

. (2.1) Persamaan ini disebut persamaan linier dalam peubah dan [10]. Secara lebih umum, persamaan linier didefinisikan dalam peubah sebagai suatu persamaan yang dapat disajikan dalam bentuk

. (2.2) dengan koefisien, dan konstanta, .

Contoh persamaan linier: a. ,

b. .

Penyelesaian dari persamaan (2.2) adalah barisan bilangan sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, jika disubstitusikan nilai

.

Sebuah sistem dari buah persamaan-persamaan linier disebut sistem persamaan linier. Sistem persamaan linier dengan peubah dinyatakan sebagai:

(2.3)

dengan koefisien, , dan konstanta, . Dalam notasi matriks, persamaan (2.3) ditulis sebagai persamaan matriks

(2.4)

dengan

= matriks berukuran n x n, = matriks berukuran n x 1, dan = matriks berukuran n x 1 yaitu

. = .

Solusi (2.3) adalah himpunan nilai yang memenuhi n buah persamaan [2]. Contoh sistem persamaan linier:

,

,

dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier tersebut menjadi

. =

dengan penyelesaian , karena nilai-nilai ini memenuhi kedua persamaan di atas.

2.2Persamaan Nonlinier

Persoalan mencari solusi persamaan nonlinier dapat dirumuskan sebagai berikut: adalah himpunan solusi dari

(2.5) jika untuk setiap sedemikian sehingga sama dengan nol.

Persamaan nonlinier yang melibatkan fungsi transenden, diantaranya sinus, cosinus, eksponensial, logaritma, misalnya:

a.

b. dalam bidang fisika, kecepatan ke atas sebuah roket dapat dihitung dengan persamaan:

dengan kecepatan ke atas, kecepatan saat bahan bakar dikeluarkan, massa awal roket, laju pemakaian bahan bakar, percepatan gravitasi, waktu,

c. suatu arus osilasi dalam rangkaian listrik

dengan waktu, dan arus.

Selain itu, persamaan nonlinier juga melibatkan fungsi non transenden, yaitu persamaan polinomial. Bentuk umum persamaan polinomial satu variabel

Contoh persamaan polinomial:

a. satu variabel, , ,

b. dua variabel, dan , .

Sistem dengan n buah persamaan nonlinier, yang harus diselesaikan secara simultan dalam suatu sistem disebut sitem persamaan nonlinier. Dalam matematika, salah satu masalah penyelesaian sistem persamaan nonlinier diaplikasikan dalam mencari titik potong antara 2 kurva, misalnya kurva parabola ( ) dan elips ( ). Hingga diperoleh solusi (-0.2, 1) dan (1.9, 0.3), yang memenuhi 2 kurva tersebut. Bentuk umum sistem persamaan nonlinier dapat ditulis sebagai berikut:

. (2.7) Pada persamaan (2.7), (.) adalah fungsi dari variabel-variabel

dan adalah bilangan real konstan. Penyelesaian sistem persamaan (2.7) adalah himpunan dimana dan memenuhi

, untuk setiap .

2.3Solusi Persamaan Nonlinier

Prinsip fundamental dalam ilmu komputer (computer science) adalah iterasi. Iterasi adalah proses yang berulang hingga jawaban ditemukan. Teknik iterasi biasa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan, solusi sistem persamaan linier dan nonlinier, dan solusi persamaan differensial. Berikut ini beberapa metode penyelesaian persamaan nonlinier dengan teknik iterasi.

2.3.1 Metode Bagi Dua (Bisection Method)

Metode bagi dua memerlukan selang , sehingga . Pada setiap kali iterasi selang dibagi 2, dengan rumus

dengan (2.8)

Gambar 2.1 Proses pembagian selang [a,b] dengan metode bagi dua

Setelah didapatkan nilai , akan dilakukan 3 pemeriksaan kondisi, apakah: a. , maka c adalah akar persamaan, atau

b. , maka akan terbentuk selang baru , atau c. , maka akan terbentuk selang baru .

Jika selang baru yang terbentuk, prosedur iterasi akan dilanjutkan untuk mencari nilai yang baru. Namun, metode ini memiliki 2 kelemahan.

a. Jumlah akar lebih dari satu

Bila dalam selang terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil), hanya satu buah akar yang akan ditemukan

b. Akar ganda

Metode ini tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang baru.

2.3.2 Metode Newton-Raphson

Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson. a. Penurunan rumus secara geometri

Gambar 2.2 Tafsiran geometri metode Newton-Raphson

Gambar 2.2, menunjukkan gradien garis singgung di adalah

(2.9)

atau

dengan (2.10) sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah

dengan (2.11) b. Penurunan rumus dengan bantuan deret Taylor

Deret Taylor:

(2.12) yang bila dipotong sampai suku orde-2 saja menjadi

(2.13) dan karena persoalan mencari akar, maka , sehingga

atau

dengan (2.14) yang merupakan rumus metode Newton-Raphson.

Kondisi berhenti iterasi Newton-Raphson adalah bila

(2.15) atau bila menggunakan galat relatif hampiran

(2.16)

dengan dan telah ditetapkan sebelumnya. Terdapat beberapa catatan terkait metode ini, antara lain:

a. jika terjadi , perhitungan iterasi diulang kembali dengan nilai awal, yang lain,

b. jika persamaan memiliki lebih dari satu akar, pemilihan yang berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain,

c. dapat memungkinkan terjadi iterasi konvergen ke akar yang berbeda dari yang diharapkan.

2.3.3 Metode Secant

Prosedur iterasi metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi, . Akan tetapi, tidak semua fungsi mudah dicari turunannya, terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen. Modifikasi metode Newton-Raphson ini dinamakan metode Secant.

Gambar 2.3 Metode Secant

Berdasarkan gambar 2.3, gradien dapat dihitung

(2.17)

Substitusi persamaan (2.17) ke dalam rumus Newton-Raphson, persamaan (2.14) sehingga diperoleh

(2.18) yang merupakan prosedur iterasi metode secant. Dalam hal ini, diperlukan dua buah tebakan awal akar, yaitu dan . Kondisi berhenti iterasi sama dengan metode Newton-Raphson, menggunakan persamaan (2.15) atau (2.16).

2.4 Jaringan Syaraf Tiruan 2.4.1 Jaringan Syaraf Tiruan

Otak manusia memiliki struktur yang sangat kompleks dan memiliki kemampuan luar biasa. Otak terdiri dari jaringan-jaringan syaraf (neuron) dan penghubung yang disebut sinapsis. Neuron bekerja berdasarkan impuls/sinyal listrik yang diberikan pada neuron dan melanjutkannya pada neuron lain. Diperkirakan manusia memiliki neuron dan sinapsis [11]. Sehingga

tubuh dengan kecepatan yang lebih tinggi dibandingkan komputer. Sebagai perbandingan, pengenalan wajah seseorang yang sedikit berubah (misalnya memakai topi) akan lebih cepat dilakukan manusia dibandingkan komputer. Kerja otak yang luar biasa merupakan salah satu mahakarya dari Sang Pencipta, yang sesuai dengan penggalan ayat “sungguh, Kami telah menciptakan manusia dalam bentuk sebaik-baiknya” (Q.S At-Tin: 4).

Neuron memiliki 3 komponen penting yaitu dendrit, soma dan axon. Dendrit menerima sinyal dari neuron lain. Berikutnya, soma menjumlahkan semua sinyal-sinyal yang masuk. Kalau penjumlahan tersebut cukup kuat dan melebihi batas ambang (threshold), maka sinyal tersebut akan diteruskan ke sel lain melalui axon. Gambar 2.4 menunjukkan komponen-komponen neuron.

Gambar 2.4 Komponen-komponen neuron, gambar di atas dari [11].

Jaringan syaraf tiruan merupakan salah satu representasi buatan dari otak manusia yang selalu mencoba untuk mensimulasikan proses pembelajaran terhadap pengetahuan/pengalaman pada otak manusia. Hal ini menyerupai kerja otak dalam dua hal yaitu: neuron memperoleh pengetahuan melalui suatu proses belajar dan kekuatan hubungan antar neuron yang dikenal dengan bobot sinapsis digunakan untuk menyimpan pengetahuan [3]. Oleh karena itu, komponen-komponen pada jaringan syaraf, antara lain:

b. adanya hubungan antara neuron-neuron tersebut, yang berfungsi mentransfer sinyal informasi,

c. penghubung antar neuron memiliki bobot yang akan memperkuat/ memperlemah sinyal, dan

d. untuk menentukan output, setiap neuron menggunakan fungsi aktivasi. Dengan demikian, jaringan syaraf tiruan ditentukan oleh 3 hal:

a. arsitektur jaringan, yaitu pola hubungan antar neuron,

b. metode training/learning/algoritma, yaitu metode untuk menentukan bobot penghubung, dan

c. fungsi aktivasi

2.4.2 Arsitektur Jaringan

Arsitektur jaringan yang sering dipakai dalam jaringan syaraf tiruan terdiri dari 3 macam.

a. Jaringan Lapisan Tunggal (Single Layer Network)

Dalam jaringan ini, sekumpulan input neuron dihubungkan langsung dengan sekumpulan outputnya.

Gambar 2.5 Jaringan Lapisan Tunggal

menyatakan bobot hubungan antara neuron input ke-i dengan neuron output ke-j. Semua neuron input dihubungkan dengan semua neuron output, meskipun dengan bobot yang berbeda-beda. Tidak ada neuron input yang dihubungkan dengan neuron input lainnya. Demikian pula dengan neuron output. Contoh perhitungan jaringan syaraf tiruan lapisan tunggal: diberikan jaringan dengan satu input dan satu output

output yang diinginkan = 1, konstanta belajar , dengan fungsi aktivasi undak biner (hardlimit)

langkah 1: menghitung penjumlahan bobot

, langkah 2: hitung fungsi aktivasi

karena u = -7 < 0, maka f(u) = 0,

langkah 3: perubahan bobot

langkah 4: ulang kembali langkah ke-1 sampai ke-3, hingga output yang dihasilkan sama dengan target, dengan menggunakan bobot yang telah diperbaharui.

2

-1

input output

b. Jaringan Lapisan Jamak (Multi Layer Network)

Dalam jaringan ini, selain neuron input dan output, ada neuron lain yang sering disebut lapisan tersembunyi (hidden layer).

Gambar 2.6 Jaringan Lapisan Jamak

Gambar 2.6 menunjukkan jaringan dengan buah neuron input , buah neuron tersembunyi dan buah neuron output

.

c. Jaringan Recurrent

Jaringan recurrent adalah jaringan yang mengakomodasi output jaringan untuk menjadi input pada jaringan yang sama dalam rangka menghasilkan output jaringan berikutnya, sehingga akan menjadikan jaringan rileks dalam keadaan stabil karena tidak adanya masukan dari luar [12]. Jaringan recurrent mempunyai buah neuron input, buah neuron tersembunyi dan buah neuron output, seperti pada jaringan feedforward, yang membedakan adalah jaringan recurrent

setidaknya memiliki satu loop umpan balik, yaitu ketika output neuron kembali ke jaringan sebagai input.

Gambar 2.7 Jaringan Recurrent

Pada gambar 2.7, terlihat adanya lapisan konteks (context layer), yang terdiri dari beberapa node. Lapisan inilah yang menerima output dari lapisan tersembunyi, dan mengembalikannya kembali ke lapisan tersebut sebagai input. Lapisan konteks diperlukan ketika belajar pola-pola dari waktu ke waktu, yaitu ketika nilai sebelumnya berpengaruh untuk nilai selanjutnya. Karena itulah, jaringan

recurrent dapat dilihat sebagai upaya menggabungkan antara waktu dan memori pada jaringan syaraf tiruan. Ada 2 jaringan yang menggunakan prinsip jaringan

Recurrent, yaitu jaringan Hopfield [13] dan jaringan Elman [14]. Contoh perhitungan jaringan recurrent

2

-1

input output

bias

dengan satu input dan satu output, serta fungsi aktivasi undak biner (hardlimit). Langkah 1: menghitung penjumlahan bobot

,

langkah 2: hitung fungsi aktivasi; karena u = -7 < 0, maka f(u) = 0, yang akan menjadi input kembali,

langkah 3: ulang kembali langkah ke-1 dan ke-2; menghitung penjumlahan bobot, dengan kondisi yang baru

,

hitung fungsi aktivasi; karena , maka , dan proses iterasi berhenti karena .

2.4.3 Metode Pembelajaran

Berdasarkan cara memodifikasi bobotnya, ada 2 macam metode pembelajaran:

a. dengan pelatihan (supervised)

Terdapat sejumlah pasangan data (masukan-target keluaran) yang dipakai untuk melatih jaringan hingga diperoleh bobot yang diinginkan. Pada setiap kali pelatihan, suatu input diberikan ke jaringan. Jaringan akan memproses dan mengeluarkan output. Selisih antara output dengan target (output yang diinginkan) merupakan kesalahan yang terjadi. Jaringan akan memodifikasi bobot sesuai kesalahan tersebut.

b. tanpa pelatihan (unsupervised)

Pada pembelajaran tanpa pelatihan ini, tidak ada pasangan data (masukan-target keluaran) yang diberikan ke jaringan. Perubahan bobot jaringan dilakukan berdasarkan parameter tertentu dan jaringan dimodifikasi menurut ukuran parameter tersebut.

2.4.4 Fungsi Aktivasi

Dalam jaringan syaraf tiruan, fungsi aktivasi digunakan untuk menentukan output suatu neuron. Fungsi aktivasi dibagi menjadi 3 kategori.

a. Fungsi identitas (linear)

Fungsi identitas memiliki nilai output yang sama dengan nilai inputnya, yang ditunjukkan Gambar 2.8. Fungsi identitas dirumuskan sebagai:

. (2.20) Matlab mengenal fungsi aktivasi identitas sebagai purelin.

Gambar 2.8 Fungsi aktivasi identitas (linear)

Fungsi identitas dibagi menjadi dua, yaitu: 1. fungsi saturating linear

Fungsi Saturating Linear dirumuskan sebagai:

Gambar 2.9 Fungsi aktivasi saturating linier

Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai satlin. 2. fungsi symetric saturating linear

Fungsi Symmetric Saturating Linear dirumuskan sebagai:

(2.22)

Gambar 2.10 Fungsi aktivasi symmetric saturating linier

Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai satlins. b. Fungsi threshold

Fungsi threshold dibagi menjadi dua, yaitu: 1. fungsi undak biner (hard limit)

Fungsi Undak Biner (hard limit)dirumuskan sebagai:

(2.23) Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai hardlim.

2. fungsi bipolar (symmetrichard limit)

Fungsi Bipolar (symmetric hard limit)dirumuskan sebagai:

(2.24)

Gambar 2.12 Fungsi aktivasi bipolar (symmetric hard limit)

Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai hardlims.

c. Fungsi sigmoid

Fungsi sigmoid dibagi menjadi dua, yaitu: 1. fungsi sigmoid biner

(2.25) dengan: . Fungsi ini sering digunakan untuk jaringan syaraf yang membutuhkan nilai output pada interval 0 sampai 1. Namun, fungsi ini bisa juga digunakan oleh jaringan syaraf yang nilai outputnya 0 atau 1. Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai logsig.

2. fungsi sigmoid bipolar

Fungsi sigmoid bipolar hampir sama dengan fungsi sigmoid biner, hanya saja outputnya memiliki range antara 1 sampai -1.

Gambar 2.14 Fungsi aktivasi sigmoid bipolar

Fungsi Sigmoid Bipolar dirumuskan sebagai:

(2.26) dengan: . Matlab mengenal fungsi aktivasi

BAB III

JARINGAN HOPFIELD UNTUK PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

3.1 Jaringan Hopfield

Hopfield pertama kali diperkenalkan oleh John Hopfield pada tahun 1982 [6]. Hopfield merupakan jaringan syaraf dengan pelatihan tak terbimbing (unsupervised learning).

3.1.1Jaringan Hopfield Diskrit

Pada [6], John Hopfield memperkenalkan arsitektur jaringan yang kemudian dikenal sebagai jaringan Hopfield. John Hopfield menjabarkan bagaimana kemampuan komputasi dapat dibangun dari jaringan yang terdiri dari komponen-komponen yang menyerupai neuron, atau dengan kata lain John Hofield mengadaptasi aspek neurobiologi ke dalam bentuk rangkaian listrik.

Unit pengolah (processing device) pada jaringan Hopfield disebut neuron. Setiap neuron mempunyai sebuah nilai aktifitas atau keadaan (kondisi) bersifat biner, yaitu dan [15]. Ketika neuron i mempunyai hubungan ke neuron j, maka kekuatan hubungan tersebut didefinisikan sebagai . Jika neuron tidak memiliki hubungan, Kondisi jaringan dapat berubah setiap waktu sesuai dengan perubahan kondisi pada tiap neuron.

Jaringan Hopfield merupakan jaringan syaraf tiruan yang terhubung penuh (fully connected), yaitu bahwa setiap neuron terhubung dengan neuron lainnya [16]. Hubungan-hubungan tersebut adalah hubungan langsung dan setiap pasang

neuron mempunyai hubungan dalam dua arah. Topologi hubungan ini mempunyai jaringan yang bersifat recursive karena keluaran dari tiap neuron memberikan masukan ke neuron yang lain pada lapisan yang sama.

Gambar 3.1 Contoh Jaringan Hopfield

Gambar 3.1 menunjukkan sebuah jaringan Hopfield dengan neuron yang terhubung satu sama lain. Berikut bobot-bobot tersebut digambarkan sebagai vektor W:

.

Bobot-bobot yang terletak pada diagonal utamanya adalah nol, yang menunjukkan bahwa neuron-neuron pada jaringan Hopfield tidak memiliki hubungan dengan dirinya sendiri, ; , dan bobot-bobot simetris, di mana

Interpretasi biologi dari model

Informasi biologi dikirim ke neuron lain rata-rata membutuhkan waktu yang cepat. Lintasan paralel yang membawa informasi yang sama akan meningkatkan kemampuan sistem untuk mengekstraksi ke waktu yang lebih cepat dari rata-rata.

Keterlambatan pada transmisi sinaptik dan pada transmisi impuls sepanjang akson dan dendrit menghasilkan suatu keterlambatan diantara input dan output suatu neuron. Input pada setiap neuron berasal dari arus yang keluar dari sinapsis ke neuron, yang mempengaruhi suatu sel, dinamakan potensial soma, . Sinapsis diaktifkan oleh potensial atau tegangan yang masuk. Input sel ke-i

didefinisikan

(3.1)

dengan representasi kekuatan hubungan sinapsis dari neuron i ke neuron j. Input setiap neuron ke-i, berasal dari dua sumber, arus dari luar (external current)

dan input dari neuron lain didefinisikan

(3.2) Jaringan Hopfield diberikan satu atau lebih vektor input sebagai kondisi awal jaringan, kemudian jaringan akan merespon untuk menghasilkan suatu output. Pada dasarnya, algoritma Hopfield akan mencoba untuk menstabilkan output jaringan, atau dengan kata lain sampai tidak terjadi lagi perubahan.

Gambar 3.2 Arsitektur Jaringan Hopfield Diskrit

Gambar 3.2 menunjukkan pengolahan dasar yang dilakukan oleh neuron jaringan Hopfield biner selama prosedur pembaharuan. Setiap neuron mengambil penjumlahan bobot dari input-inputnya, sesuai persamaan berikut:

(3.3)

dengan = proses = neuron

= bobot neuron ke , = neuron input ke , = neuron output ke , = nilai bias jaringan ke ,

= hasil proses dari neuron input.

Kemudian diproses oleh fungsi transfer, sehingga menghasilkan , , yang akan kembali menjadi input jaringan dan dikalikan dengan . Jaringan Hopfield diskrit menggunakan fungsi aktivasi monoton naik, yaitu satlins

+

(symmetric saturated linear transfer function) [12], yang ditunjukkan pada persamaan (2.22), namun ada juga yang menggunakan fungsi transfer hardlim

[17], yang ditunjukkan pada persamaan (2.23). Contoh perhitungan jaringan Hopfield

dengan dua input dan satu output, serta fungsi aktivasi undak biner (hardlimit). Langkah 1: menghitung penjumlahan bobot

,

langkah 2: hitung fungsi aktivasi; karena u = -4 < 0, maka f(u) = 0, yang akan masuk ke neuron input ke-1,

langkah 3: ulang kembali langkah ke-1 dan ke-2; menghitung penjumlahan bobot, dengan kondisi yang baru neuron input ke-1

,

hitung fungsi aktivasi; karena , maka ,

langkah 4: ulang kembali langkah ke-1 dan ke-2; menghitung penjumlahan bobot, dengan kondisi neuron input ke-2, yang setelah penjumlahan bobot, menghasilkan nilai yang sama

, dan proses iterasi berhenti karena .

2

-1

input output

bias

recurrent

1

Tiap kondisi dari jaringan Hopfield mempunyai fungsi energi yang didefinisikan dengan:

. (3.4)

Fungsi energi ini adalah fungsi objektif yang diminimalkan oleh jaringan. Pembaharuan kondisi dari jaringan merupakan prosedur konvergen dimana energi dari keseluruhan jaringan akan menjadi semakin kecil. Pada akhirnya jaringan akan berada pada kondisi stabil, saat energi berada pada nilai minimum.

Berikut ini adalah uraian prosedur pembaharuan akan mengurangi energi atau memmbuatnya bernilai tetap. Misalkan neuron j adalah neuron yang akan diperbaharui, maka energi

. (3.5)

Ketika neuron j diperbaharui, jika tidak terdapat perubahan kondisi, maka energi akan tetap sama. Jika terjadi perubahan kondisi maka perbedaan energi adalah:

(3.6)

dengan . Jika berubah menjadi lebih besar nilainya, maka

, dan setelah pembaharuan , maka . Jika berubah menjadi lebih kecil nilainya, maka , dan setelah pembaharuan

3.1.2Jaringan Hopfield Kontinu

Pada tahun 1984, Hopfield mengembangkan rancangan jaringan biner sehingga neuron-neuron dapat memperhitungkan nilai-nilai kontinu [18]. Pengembangan dari jaringan Hopfield ini adalah jaringan Hopfield kontinu. Kerja jaringan Hopfield kontinu ini menyerupai kerja jaringan diskrit, tetapi jaringan ini mempunyai kemampuan lebih karena tidak dibatasi pada nilai biner (0 dan 1) dan arsitekturnya lebih kompleks. Perbedaannya fungsi aktivasi yang digunakan adalah fungsi logsig (fungsi sigmoid), yang ditunjukkan pada persamaan (2.25).

Dalam jaringan Hopfield kontinu, arsitektur dari jaringan ditentukan sehingga perubahan neuron-neuronnya setiap saat digambarkan secara kontinu. Pada sistem biologi, kapasitansi C membran sel, transmembran hambatan R, dan hambatan sinapsis antara neuron dan . Sehingga terdapat sebuah persamaan hambatan-kapasitansi (RC) yang menentukan perubahan dari .

. (3.7) merepresentasikan arus masuk listrik ke sel i karena potensial dari sel j. Persamaan energinya adalah:

. (3.8)

3.2 Jaringan Hopfield Modifikasi

Jaringan Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier, menggunakan prinsip jaringan Hopfield kontinu, karena nilai input dan output yang diharapkan pada jaringan tidak hanya biner (0 atau 1), tetapi juga bilangan riil (antara 0 sampai 1).

Jumlah neuron pada jaringan sama dengan jumlah variabel yang akan dicari solusinya. Hubungan antar neuron pada jaringan Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier bergantung pada hubungan antar variabel persamaan dengan koefisien, yang diturunkan sebagai bobot pada jaringan. Hubungan antar variabel pada persamaan nonlinier merupakan hubungan nonlinier, karena itulah jaringan Hopfield harus dimodifikasi. Arsitektur jaringan Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ditunjukkan pada gambar 3.3.

Gambar 3.3 menunjukkan sistem sebanyak neuron yang saling berhubungan nonlinier. Unit-unit pengolah atau neuron dimodelkan sebagai amplifier dengan hubungan input-output nonlinier, yang ditunjukkan pada gambar sebagai fungsi aktivasi, Fungsi ini diasumsikan dapat diturunkan, dan monoton naik. Fungsi aktivasi yang paling umum adalah fungsi sigmoid, yaitu:

(3.9) dengan potensial atau tegangan masuk, tegangan keluar. Setiap amplifier

mempunyai sebuah hambatan R, dan sebuah kapasitor C, yang terhubung dengan ke tanah. Pada rangkaian RC juga terdapat arus dari luar, dapat menjadi nilai bias, yang secara efektif sebagai nilai masalah yang spesifik yang sesuai data pada masalah.

Hubungan nonlinier pada neuron, yaitu menggabungkan perkalian dan penjumlahan linier. Hal ini dilihat pada gambar, proses product (perkalian) menghasilkan fungsi , dimana . Fungsi adalah kombinasi dari peubah Output dari neuron perkalian secara linier dikalikan dengan bobot , yang merupakan arus-arus masuk, melalui resistor-resistor konduktansi , yang menghubungkan antara neuron i dan neuron j, atau kekuatan sinapsis.

Berdasarkan Hukum Kirchoff I [19], jumlah arus listrik yang masuk ke suatu titik simpul sama dengan jumlah arus listrik yang keluar dari titik simpul tersebut. Hukum Kirchoff I secara matematis dapat dituliskan sebagai

Arus listrik adalah gerakan atau aliran muatan listrik. Muatan listrik dalam rangkaian, didefinisikan sebagai

, (3.11) dengan muatan listrik, kapasitansi, dan tegangan listrik. Dalam suatu selang waktu ( ), arus listrik yang mengalir

(3.12) Karena pada rangkaian terdapat hambatan , maka berlaku Hukum Ohm [20]

atau . (3.13) Jadi, arus listrik total yang bergerak pada rangkaian RC tersebut adalah

, (3.14)

maka perubahan arus listrik I dalam setiap satuan waktu t

. (3.15) Pada permasalahan ini, tegangan V adalah , yang merupakan input pada

neuron-j, dan berdasarkan persamaan (3.7), arus yang masuk ke amplifier, yang merupakan input jaringan

. (3.16) Output dari jaringan adalah . Fungsi aktivasi mempunyai invers

_{. Sehingga persamaan (3.16) dapat dituliskan kembali menjadi}

(3.17) Sama halnya dengan jaringan Hopfield biasa yang mempunyai fungsi energi, dimana fungsi energi akan menjadi semakin kecil (

pembaharuan kondisi pada jaringan. Oleh karena itu, dalam rangka memecahkan masalah, yang berupa persamaan atau sistem persamaan nonlinier, dengan metode Hopfield modifikasi, masalah harus diformulasikan ke fungsi energi. Fungsi energi jaringan Hopfield pada masalah ini didefinisikan:

. (3.18) Persamaan (3.18) dapat ditulis

, (3.19) karena merupakan persamaan atau sistem persamaan nonlinier, persamaan (2.7), , dan

, dengan , maka persamaan (3.19) menjadi

(3.20) dengan

,

yang merupakan fungsi energi, untuk memformulasikan persamaan atau sistem persamaan nonlinier. Jika formulasi fungsi energi tepat, maka fungsi energi dapat digunakan untuk mendapatkan nilai bobot dan bias dari jaringan, dengan cara membandingkan persamaan (3.20) dengan persamaan (3.16).

Perubahan kondisi jaringan dalam rangka mencari solusi, sesuai perubahan kondisi input ke neuron-j terhadap waktu, yang ditunjukkan oleh persamaan diferensial berikut:

Simulasi numerik jaringan dengan bobot dan bias yang telah didapatkan, akan menghasilkan solusi yang diinginkan hingga prosedur konvergen terpenuhi. Secara numerik, simulasi jaringan menggunakan metode Euler:

(3.22)

3.3 Algoritma Hopfield untuk Penyelesaian Persamaan dan Sistem Persamaan Nonlinier

Penyelesaian persamaan atau sistem persamaan nonlinier polinomial terdiri dari beberapa tahapan:

a. formulasikan persamaan atau sistem persamaan nonlinier polinomial dalam bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20),

b. differensialkan persamaan fungsi energi yang didapatkan, sesuai dengan persamaan (3.21), untuk mendapatkan persamaan Hopfield, sehingga dapat ditentukan nilai bobot dan bias pada jaringan,

c. inisialisasi nilai-nilai awal pada , dan ,

d. lakukan simulasi dengan Metode Euler persamaan (3.22) untuk memperbaharui ,

e. perbaharui nilai , dengan persamaan (3.9), f. lakukan langkah d dan e hingga syarat terpenuhi.

start

persamaan atau sistem persamaan yang akan

dicari solusi

bentuk ke persamaan energi, persamaan (3.18)

differensialkan fungsi energi, sesuai persamaan (3.19)

didapatkan persamaan Hopfield dengan W dan I

lakukan simulasi dengan Metode Euler, persamaan (3.20), untuk

memperbaharui u(t) berikan nilai awal pada t = 1, x(1) dan

u(1)

perbaharui nilai x(t), dengan persamaan (3.7)

akar = x

end ya tidak





x

Gambar 3.4 FlowchartAlgoritma Hopfield untuk penyelesaian persamaan dan sistem

persamaan nonlinier

9 2

21 20

BAB IV

APLIKASI JARINGAN HOPFIELD MODIFIKASI PADA PERSAMAAN DAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

Pada bab ini akan dibahas mengenai penerapan jaringan Hopfield modifikasi serta langkah-langkahnya dalam menyelesaikan contoh persamaan dan sistem persamaaan nonlinier yang diberikan.

4.1 Persamaan Polinomial

4.1.1 Contoh Persamaan Polinomial Sederhana

Diberikan persamaan polinomial berderajat 1,

(4.1) dengan , dan . Untuk persamaan di atas akan diselesaikan dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi.

Langkah 1: Memformulasikan persamaan nonlinier polinomial (4.1) dalam bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)

= (4.2)

Langkah 2: Menurunkan persamaan fungsi energi (4.2), sesuai dengan persamaan (3.21)

untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk :

(4.3)

Bandingkan persamaan (4.3) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk persamaan berpangkat tertinggi 1

Jadi, didapat dan , yang akan digunakan sebagai bobot dan nilai bias pada jaringan. Gambar 4.1 menunjukkan arsitektur jaringan Hopfield untuk penyelesaian persamaan nonlinier kasus ini.

W1



x

x

I

R C

Gambar 4.1 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan nonlinier,

Langkah 3: Inisialisasi nilai-nilai awal, dan

Langkah 4: Melakukan simulasi menggunakan Metode Euler, persamaan (3.22)

untuk memperbaharui nilai

Langkah 5: Memperbaharui nilai , dengan persamaan (3.9)

Langkah 6: Mengulang langkah 4 dan 5 hingga syarat terpenuhi Iterasi ke-1

dan , = 1

Iterasi ke-2

256

hingga syarat dipenuhi (misalnya ), dan didapat nilai

pada iterasi ke-106. Hal ini terlihat pada gambar 4.2, iterasi yang dilakukan memperkecil eror dan konvergen ke arah .

Gambar 4.2 Grafik eror persamaan – dengan dan

0 20 40 60 80 100 120 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

e

ro

r

Percobaan juga dilakukan dengan nilai dan yang berbeda, kemudian dibandingkan dengan penyelesaian persamaan menggunakan metode Bisection, yang dapat dilihat pada tabel 4.1.

Tabel 4.1 Penyelesaian persamaan – dengan dan yang berbeda

Nilai Persamaan (4.1) Banyak Iterasi Eror

0.3 0 0.6 106

-1.5 0.25 0.6 118

dengan metode Bisection

Nilai Persamaan (4.1) Banyak Iterasi Eror

0.3 1 0.6 - 45

-1.5 2 0.6 - 47

Berdasarkan tabel 4.1, metode Hopfield modifikasi memberikan yang sama dengan pencarian solusi menggunakan metode Bisection, yang dilakukan dengan nilai awal, , yang berbeda, sekalipun terdapat perbedaan yang cukup signifikan dari banyaknya iterasi yang dilakukan metode Hopfield modifikasi. Dilihat dari nilai eror yang dihasilkan, metode Hopfield modifikasi, menghasilkan nilai eror yang lebih besar dibandingkan dengan metode Bisection,

walaupun perbedaan tersebut tidak terlalu signifikan.

4.1.2 Contoh Persamaan Polinomial Berderajat Tinggi

Berdasarkan pembahasan pada bab 3, metode jaringan Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan, tidak hanya dapat digunakan pada persamaan

sederhana saja, namun juga dapat digunakan pada persamaan yang rumit. Diberikan persamaan dengan pangkat tertinggi 4,

(4.4) dengan

. Untuk persamaan di atas akan diselesaikan dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi.

Langkah 1: Memformulasi persamaan nonlinier polinomial (4.4) dalam bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)

=

(4.5)

Langkah 2: Menurunkan persamaan fungsi energi (4.5), sesuai dengan persamaan (3.21)

untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk:

Bandingkan persamaan (4.6) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk persamaan berpangkat tertinggi 4

Jadi, didapat

dan , yang akan digunakan sebagai bobot dan nilai bias pada jaringan. Untuk persamaan yang diberikan, diperoleh

dan

. Gambar 4.3 menunjukkan arsitektur jaringan Hopfield untuk penyelesaian persamaan nonlinier polinomial berderajat empat.

W4 W3 W2 W1 W5 W7 W6



      x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x x I R C

Gambar 4.3 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan nonlinier,

Langkah 3: Inisialisasi nilai-nilai awal dan

untuk memperbaharui nilai

Langkah 5: Memperbaharui nilai , dengan persamaan (3.9)

Langkah 6: Mengulang langkah 4 dan 5 hingga syarat terpenuhi Iterasi ke-1

dan , = 1

Iterasi ke-2

hingga syarat dipenuhi (misalnya ), dan didapat nilai

pada iterasi ke-114. Hal ini terlihat pada gambar 4.4, iterasi yang dilakukan memperkecil eror dan konvergen ke arah .

Gambar 4.4 Grafik eror persamaan –

dengan

Percobaan dilakukan dengan memberikan kondisi awal ( dan ) yang berbeda, kemudian dibandingkan dengan penyelesaiaan persamaan menggunakan metode

Newton-Raphson, yang dapat dilihat pada tabel 4.2.

0 20 40 60 80 100 120 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

iterasi

e

ro

Tabel 4.2 Penyelesaian persamaan polinomial –

dengan dan

yang berbeda

Nilai Persamaan (4.4) Banyak Iterasi Eror

0 0.0001 0.5 94

0.25 -0.5 0.5 114

0.4 0 0.5 97

0.52 1 0.5 107

dengan menggunakan metode Newton-Raphson 0 - Iterasi divergen - - - 0.25 - = 0 - -

0.4 - 0.5 - 5

0.52 - 0.5 - 4

Berdasarkan tabel 4.2, metode Hopfield modifikasi, dengan nilai awal, , yang berbeda juga memberikan yang sama dengan nilai sebenarnya. Di sisi lain, metode Newton-Raphson, dari dua nilai awal, , yang diberikan tidak mendapatkan hasil yang sama dengan nilai sebenarnya, yaitu ketika nilai awal,

, membuat iterasi divergen, dan ketika nilai awal, , menghasilkan turunan pertama sama dengan nol, sehingga iterasi tidak dapat dilakukan. Sedangkan, dua nilai awal lainnya menghasilkan yang sama dengan nilai sebenarnya, dengan jumlah iterasi yang jauh lebih sedikit, dari iterasi dengan metode Hopfield modifikasi, dan menghasilkan eror yang lebih kecil dibandingkan metode Hopfield.

4.2 Sistem Persamaan Polinomial

Metode jaringan Hopfield modifikasi dengan 6 langkah dapat digunakan juga untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan.

4.2.1 Contoh Sistem Persamaan Polinomial

Diberikan sistem persamaan dengan pangkat tertinggi 2,

,

dengan . Untuk sistem persamaan di atas akan diselesaikan dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi, yang sama dengan penerapan jaringan Hopfield modifikasi dalam menyelesaikan persamaan nonlinier.

Langkah 1: Memformulasikan sistem persamaan nonlinier polinomial (4.7) dalam bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)

(4.8)

Langkah 2: Menurunkan persamaan fungsi energi (4.8), sesuai dengan persamaan (3.21)

untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk: (4.9)

Bandingkan persamaan (4.9) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk sistem persamaan berpangkat tertinggi 2

Jadi, didapat

dan , yang akan digunakan sebagai bobot dan nilai bias pada jaringan. Untuk persamaan yang diberikan, diperoleh

dan . Gambar 4.5 menunjukkan arsitektur jaringan Hopfield untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier kasus ini.

W1 W3 W2



  x 2 x 3 x R x I C

Gambar 4.5 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan polinomial dengan

Langkah 3: Inisialisasi nilai-nilai awal dan

Langkah 4: Melakukan simulasi dengan Metode Euler, persamaan (3.22)

untuk memperbaharui nilai

Langkah 5: Memperbaharui nilai , dengan persamaan (3.9)

Langkah 6: Mengulang langkah 4 dan 5 hingga syarat terpenuhi Iterasi ke-1

dan , time step ( ) = 1

Iterasi ke-2

hingga syarat dipenuhi (misalnya ), dan didapat nilai

pada iterasi ke-33. Gambar 4.6, menunjukkan iterasi membuat eror konvergen ke arah .

Gambar 4.6 Grafik Eror Sistem Persamaan dengan dan

Percobaan untuk kasus sistem ini, juga dilakukan dengan nilai awal, dan , yang berbeda, yang dapat dilihat pada tabel 4.3.

Tabel 4.3 Penyelesaian Sistem Persamaan Polinomial dengan dan yang berbeda

Nilai Persamaan (4.7) Banyak Iterasi Eror

1.8 0 0.5 30

-1.1 -2.5 0.5 33

Berdasarkan tabel 4.3, metode Hopfield modifikasi, dengan nilai awal, , yang berbeda juga memberikan yang sama dengan nilai sebenarnya, untuk suatu sistem persamaan nonlinier.

0 5 10 15 20 25 30 35 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

iterasi

e

ro

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Konvergensi bergantung pada nilai awal yang diberikan untuk menghasilkan suatu solusi. Metode Hopfield termodifikasi selalu konvergen untuk sembarang nilai awal, yaitu x(t) dan u(t), hal ini berbeda dengan Newton-Raphson,

yang harus memenuhi syarat ”dekat” dengan solusi, agar iterasi konvergen. Hal ini merupakan kelebihan metode Hopfield modifikasi dibandingkan Newton-Raphson. Namun, menurut hasil penelitian yang dilakukan performa Newton-Raphson lebih baik dibandingkan dengan Hopfield modifikasi. Akan tetapi, waktu yang dibutuhkan untuk keduanya menghasilkan solusi dengan perangkat komputer yang peneliti gunakan tidak signifikan.

Kelebihan lain dari metode Hopfield modifikasi adalah kemampuannya untuk menyelesaikan permasalahan sistem persamaan nonlinier, yang dalam hal ini metode dasar seperti Newton-Raphson, Secant, Bisection tidak dapat digunakan. Hasil dari penelitian yang dilakukan terbukti metode Hopfield modifikasi reliabel dalam menyelesaikan masalah sistem persamaan nonlinier yang diujikan.

5.2Saran

Tujuan pencarian metode penyelesaian persamaan nonlinier adalah metode yang dapat digunakan secara efektif, membutuhkan iterasi yang sedikit, dan selalu konvergen ke solusi. Oleh karena itu, berdasarkan kesimpulan sebelumnya bahwa metode Hopfield modifikasi selalu konvergen namun relatif lebih lambat, dibandingkan metode Newton-Raphson, akan tetapi Newton tidak selalu konvergen, maka saran untuk penelitian selanjutnya adalah metode yang menggabungkan kedua metode tersebut, yaitu langkah pertama menggunakan metode Hopfield modifikasi, dan ketika solusi sudah mendekati solusi yang sebenarnya, metode Newton-Raphson digunakan, serta modifikasi lainnya yang dapat meningkatkan efektifitas maupun efisiensi dalam pencarian solusi persamaan nonlinier maupun sistem persamaan nonlinier.

REFERENSI

[1] Departemen Agama Republik Indonesia & Yayasan Penyelenggara Penterjemah Al-Qur’an (Pentj), Al-Qur’an dan Tafsirnya Jilid VII.

Jakarta: CV. Darma Pala, 1997.

[2] Munir, Rinaldi, Metode Numerik. Bandung: Informatika, 2008.

[3] Haykin, S, Neural Networks: A Comprehensive Foundation. New York: Macmillan College Publishing Co., 1994.

[4] Widrow, B., and M.E. Hoff., “Adaptive switching circuits,” 1960 IRE WESCON Convention Record, New York IRE, 1960, pp. 96–104.

[5] Werbos, Paul J., “Beyond Regression: New Tools for Prediction and Analysis in the Behavioral Sciences,” PhD Thesis, Harvard University, 1974.

[6] Hopfield, J. J., “Neural Network and Physical Systems with Emergent Collective Computational Abilities,” in Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol. 79 no. 8, 1982, pp. 2554-2558. [7] Wilson, G.V. and Pawley, G.S, “On the stability of the Travelling

Salesman Problem algorithm of Hopfield and Tank,” in Biological Cybernetics (1988), Vol. 58, no.1, 1985, pp. 63-70.

[8] Mishra, Deepak and Kalra, Prem K, “Modified Hopfield Neural Network Approach for Solving Nonlinear Algebraic Equations,”

Engineering Letters, 14:1, EL_14_1_23,2007.

[10] Anton, Howard, Dasar-dasar Aljabar Linier Jilid 1. Tangerang: Binarupa Aksara, 2002.

[11] Siang, Jong Jek, Jaringan Saraf Tiruan & Pemprogramannya Menggunakan Matlab. Yogyakarta: Andi, 2009.

[12] Beale, Mark Hudson, Hagan, M.T., and Demuth, Howard B, Neural

Netork Toolbox 7 User’s Guide. Online: MathWorks, 2010.

[13] Li, J., A.N. Michel, and W. Porod, “Analysis and synthesis of a class of neural networks: linear systems operating on a closed hypercube,” IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 36, no. 11, pp. 1405–1422, November 1989.

[14] Elman, J.L., “Finding structure in time,” in Cognitive Science, Vol. 14, 1990, pp. 179–211.

[15] McCulloch, W.S. and Pitts, W., Bull, Math Biophys. 5, 1943, pp. 115-133. [16] Puspitaningrum, Diyah, Pengantar Jaringan Syaraf Tiruan.

Yogyakarta: Andi, 2006.

[17] Hermawan, Arief, Jaringan Saraf Tiruan Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Andi, 2006.

[18] Hopfield, J. J., “Neurons with Graded Response have Collective Computational Abilities,” in Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol. 81, 1984, pp. 3088-3092.

[19] Oldham, Kalil T. Swain, “The doctrine of description: Gustav Kirchoff, classical physics, and the purpose of all science,” in 19th -century. Germany: ProQuest, 2008.

[20] Ohm, Georg Simon, The Galvanic Circuit Investigated Mathematically. New York: D. Van Nostrand, 1891.

Lampiran 1

Program Metode Hopfield Modifikasi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Sistem Persamaan Nonlinier

%nb utk persamaan pangkat yang lebih kecil dibuat maksimal

b = input('Masukkan banyaknya persamaan dalam sistem = ');

for j = 1:b

n = input('Masukkan pangkat tertinggi fungsi'); for i = 1:n+1

mat(j,i) = input('Masukkan input ke-i = '); end

end

c = mat(1,:);

for l = 2:b

c = c - mat(l,:);

end

c

energi = zeros;

for k = 1:b

e(k,:) = conv(mat(k,:),mat(k,:)); energi = energi + e(k,:);

end

energi

weight = -0.5*(polyder(energi))

u(1) = input('Masukkan nilai u(1) = '); x(1) = input('Masukkan nilai x(1) = '); i = 1;

while (abs(polyval(c,x)) > 10e-15)

g(i) = polyval(weight,x(i)); u(i+1) = u(i) + g(i);

x(i+1) = logsig(u(i+1));

eror(i) = abs(0.6-x(i)); toc;

plot(eror)

table = [i u(i+1) x(i+1) eror(i)]

m = polyval(c,x); i = i+1;

end

Output Program untuk polynomial berderajat 1, persamaan (4.1) Masukkan banyaknya persamaan dalam sistem = 1

Masukkan pangkat tertinggi fungsi 1 Masukkan input ke-i = 1

c =

1.0000 -0.6000 energi =

1.0000 -1.2000 0.3600 weight =

-1.0000 0.6000 Masukkan nilai u(1) = 0 Masukkan nilai x(1) = 0.3 table =

1.0000 0.3000 0.5744 0.3000 2.0000 0.3256 0.5807 0.0256 3.0000 0.3449 0.5854 0.0193 4.0000 0.3595 0.5889 0.0146 5.0000 0.3706 0.5916 0.0111 6.0000 0.3790 0.5936 0.0084 7.0000 0.3854 0.5952 0.0064 8.0000 0.3902 0.5963 0.0048 9.0000 0.3939 0.5972 0.0037 10.0000 0.3967 0.5979 0.0028 11.0000 0.3988 0.5984 0.0021 12.0000 0.4004 0.5988 0.0016 13.0000 0.4016 0.5991 0.0012 14.0000 0.4025 0.5993 0.0009 15.0000 0.4032 0.5995 0.0007 16.0000 0.4038 0.5996 0.0005 17.0000 0.4042 0.5997 0.0004 18.0000 0.4045 0.5998 0.0003 19.0000 0.4047 0.5998 0.0002 20.0000 0.4049 0.5999 0.0002 21.0000 0.4050 0.5999 0.0001 22.0000 0.4051 0.5999 0.0001 23.0000 0.4052 0.5999 0.0001 24.0000 0.4053 0.6000 0.0001 25.0000 0.4053 0.6000 0.0000 26.0000 0.4054 0.6000 0.0000 27.0000 0.4054 0.6000 0.0000 28.0000 0.4054 0.6000 0.0000 29.0000 0.4054 0.6000 0.0000 30.0000 0.4054 0.6000 0.0000 31.0000 0.4054 0.6000 0.0000 32.0000 0.4054 0.6000 0.0000 33.0000 0.4054 0.6000 0.0000

34.0000 0.4055 0.6000 0.0000 35.0000 0.4055 0.6000 0.0000 36.0000 0.4055 0.6000 0.0000 37.0000 0.4055 0.6000 0.0000 38.0000 0.4055 0.6000 0.0000 39.0000 0.4055 0.6000 0.0000 40.0000 0.4055 0.6000 0.0000 41.0000 0.4055 0.6000 0.0000 42.0000 0.4055 0.6000 0.0000 43.0000 0.4055 0.6000 0.0000 44.0000 0.4055 0.6000 0.0000 45.0000 0.4055 0.6000 0.0000 46.0000 0.4055 0.6000 0.0000 47.0000 0.4055 0.6000 0.0000 48.0000 0.4055 0.6000 0.0000 49.0000 0.4055 0.6000 0.0000 50.0000 0.4055 0.6000 0.0000 51.0000 0.4055 0.6000 0.0000 52.0000 0.4055 0.6000 0.0000 53.0000 0.4055 0.6000 0.0000 54.0000 0.4055 0.6000 0.0000 55.0000 0.4055 0.6000 0.0000 56.0000 0.4055 0.6000 0.0000 57.0000 0.4055 0.6000 0.0000 58.0000 0.4055 0.6000 0.0000 59.0000 0.4055 0.6000 0.0000 60.0000 0.4055 0.6000 0.0000 61.0000 0.4055 0.6000 0.0000 62.0000 0.4055 0.6000 0.0000 63.0000 0.4055 0.6000 0.0000 64.0000 0.4055 0.6000 0.0000 65.0000 0.4055 0.6000 0.0000 66.0000 0.4055 0.6000 0.0000 67.0000 0.4055 0.6000 0.0000 68.0000 0.4055 0.6000 0.0000 69.0000 0.4055 0.6000 0.0000 70.0000 0.4055 0.6000 0.0000 71.0000 0.4055 0.6000 0.0000 72.0000 0.4055 0.6000 0.0000 73.0000 0.4055 0.6000 0.0000 74.0000 0.4055 0.6000 0.0000 75.0000 0.4055 0.6000 0.0000 76.0000 0.4055 0.6000 0.0000 77.0000 0.4055 0.6000 0.0000 78.0000 0.4055 0.6000 0.0000

80.0000 0.4055 0.6000 0.0000 81.0000 0.4055 0.6000 0.0000 82.0000 0.4055 0.6000 0.0000 83.0000 0.4055 0.6000 0.0000 84.0000 0.4055 0.6000 0.0000 85.0000 0.4055 0.6000 0.0000 86.0000 0.4055 0.6000 0.0000 87.0000 0.4055 0.6000 0.0000 88.0000 0.4055 0.6000 0.0000 89.0000 0.4055 0.6000 0.0000 90.0000 0.4055 0.6000 0.0000 91.0000 0.4055 0.6000 0.0000 92.0000 0.4055 0.6000 0.0000 93.0000 0.4055 0.6000 0.0000 94.0000 0.4055 0.6000 0.0000 95.0000 0.4055 0.6000 0.0000 96.0000 0.4055 0.6000 0.0000 97.0000 0.4055 0.6000 0.0000 98.0000 0.4055 0.6000 0.0000 99.0000 0.4055 0.6000 0.0000 100.0000 0.4055 0.6000 0.0000 101.0000 0.4055 0.6000 0.0000 102.0000 0.4055 0.6000 0.0000 103.0000 0.4055 0.6000 0.0000 104.0000 0.4055 0.6000 0.0000 105.0000 0.4055 0.6000 0.0000 106.0000 0.4055 0.6000 0.0000

[10] Anton, Howard, Dasar-dasar Aljabar Linier Jilid 1. Tangerang: Binarupa Aksara, 2002.

[11] Siang, Jong Jek, Jaringan Saraf Tiruan & Pemprogramannya Menggunakan Matlab. Yogyakarta: Andi, 2009.

[12] Beale, Mark Hudson, Hagan, M.T., and Demuth, Howard B, Neural

Netork Toolbox 7 User’s Guide. Online: MathWorks, 2010.

[13] Li, J., A.N. Michel, and W. Porod, “Analysis and synthesis of a class of neural networks: linear systems operating on a closed hypercube,” IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 36, no. 11, pp. 1405–1422, November 1989.

[14] Elman, J.L., “Finding structure in time,” in Cognitive Science, Vol. 14, 1990, pp. 179–211.

[15] McCulloch, W.S. and Pitts, W., Bull, Math Biophys. 5, 1943, pp. 115-133. [16] Puspitaningrum, Diyah, Pengantar Jaringan Syaraf Tiruan.

Yogyakarta: Andi, 2006.

[17] Hermawan, Arief, Jaringan Saraf Tiruan Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Andi, 2006.

[18] Hopfield, J. J., “Neurons with Graded Response have Collective

Computational Abilities,” in Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol. 81, 1984, pp. 3088-3092.

[19] Oldham, Kalil T. Swain, “The doctrine of description: Gustav Kirchoff, classical physics, and the purpose of all science,” in 19th -century. Germany: ProQuest, 2008.

[20] Ohm, Georg Simon, The Galvanic Circuit Investigated Mathematically. New York: D. Van Nostrand, 1891.

Lampiran 1

Program Metode Hopfield Modifikasi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Sistem Persamaan Nonlinier

%nb utk persamaan pangkat yang lebih kecil dibuat maksimal

b = input('Masukkan banyaknya persamaan dalam sistem = ');

for j = 1:b

n = input('Masukkan pangkat tertinggi fungsi'); for i = 1:n+1

mat(j,i) = input('Masukkan input ke-i = '); end

end

c = mat(1,:);

for l = 2:b

c = c - mat(l,:);

end

c

energi = zeros;

for k = 1:b

e(k,:) = conv(mat(k,:),mat(k,:)); energi = energi + e(k,:);

end

energi

weight = -0.5*(polyder(energi))

u(1) = input('Masukkan nilai u(1) = '); x(1) = input('Masukkan nilai x(1) = '); i = 1;

while (abs(polyval(c,x)) > 10e-15)

g(i) = polyval(weight,x(i)); u(i+1) = u(i) + g(i);

x(i+1) = logsig(u(i+1));

eror(i) = abs(0.6-x(i)); toc;

plot(eror)

table = [i u(i+1) x(i+1) eror(i)]

m = polyval(c,x); i = i+1;

end

Output Program untuk polynomial berderajat 1, persamaan (4.1) Masukkan banyaknya persamaan dalam sistem = 1

Masukkan pangkat tertinggi fungsi 1 Masukkan input ke-i = 1

c =

1.0000 -0.6000 energi =

1.0000 -1.2000 0.3600 weight =

-1.0000 0.6000 Masukkan nilai u(1) = 0 Masukkan nilai x(1) = 0.3 table =

1.0000 0.3000 0.5744 0.3000 2.0000 0.3256 0.5807 0.0256 3.0000 0.3449 0.5854 0.0193 4.0000 0.3595 0.5889 0.0146 5.0000 0.3706 0.5916 0.0111 6.0000 0.3790 0.5936 0.0084 7.0000 0.3854 0.5952 0.0064 8.0000 0.3902 0.5963 0.0048 9.0000 0.3939 0.5972 0.0037 10.0000 0.3967 0.5979 0.0028 11.0000 0.3988 0.5984 0.0021 12.0000 0.4004 0.5988 0.0016 13.0000 0.4016 0.5991 0.0012 14.0000 0.4025 0.5993 0.0009 15.0000 0.4032 0.5995 0.0007 16.0000 0.4038 0.5996 0.0005 17.0000 0.4042 0.5997 0.0004 18.0000 0.4045 0.5998 0.0003 19.0000 0.4047 0.5998 0.0002 20.0000 0.4049 0.5999 0.0002 21.0000 0.4050 0.5999 0.0001 22.0000 0.4051 0.5999 0.0001 23.0000 0.4052 0.5999 0.0001 24.0000 0.4053 0.6000 0.0001 25.0000 0.4053 0.6000 0.0000 26.0000 0.4054 0.6000 0.0000 27.0000 0.4054 0.6000 0.0000 28.0000 0.4054 0.6000 0.0000 29.0000 0.4054 0.6000 0.0000 30.0000 0.4054 0.6000 0.0000 31.0000 0.4054 0.6000 0.0000 32.0000 0.4054 0.6000 0.0000 33.0000 0.4054 0.6000 0.0000

34.0000 0.4055 0.6000 0.0000 35.0000 0.4055 0.6000 0.0000 36.0000 0.4055 0.6000 0.0000 37.0000 0.4055 0.6000 0.0000 38.0000 0.4055 0.6000 0.0000 39.0000 0.4055 0.6000 0.0000 40.0000 0.4055 0.6000 0.0000 41.0000 0.4055 0.6000 0.0000 42.0000 0.4055 0.6000 0.0000 43.0000 0.4055 0.6000 0.0000 44.0000 0.4055 0.6000 0.0000 45.0000 0.4055 0.6000 0.0000 46.0000 0.4055 0.6000 0.0000 47.0000 0.4055 0.6000 0.0000 48.0000 0.4055 0.6000 0.0000 49.0000 0.4055 0.6000 0.0000 50.0000 0.4055 0.6000 0.0000 51.0000 0.4055 0.6000 0.0000 52.0000 0.4055 0.6000 0.0000 53.0000 0.4055 0.6000 0.0000 54.0000 0.4055 0.6000 0.0000 55.0000 0.4055 0.6000 0.0000 56.0000 0.4055 0.6000 0.0000 57.0000 0.4055 0.6000 0.0000 58.0000 0.4055 0.6000 0.0000 59.0000 0.4055 0.6000 0.0000 60.0000 0.4055 0.6000 0.0000 61.0000 0.4055 0.6000 0.0000 62.0000 0.4055 0.6000 0.0000 63.0000 0.4055 0.6000 0.0000 64.0000 0.4055 0.6000 0.0000 65.0000 0.4055 0.6000 0.0000 66.0000 0.4055 0.6000 0.0000 67.0000 0.4055 0.6000 0.0000 68.0000 0.4055 0.6000 0.0000 69.0000 0.4055 0.6000 0.0000 70.0000 0.4055 0.6000 0.0000 71.0000 0.4055 0.6000 0.0000 72.0000 0.4055 0.6000 0.0000 73.0000 0.4055 0.6000 0.0000 74.0000 0.4055 0.6000 0.0000 75.0000 0.4055 0.6000 0.0000 76.0000 0.4055 0.6000 0.0000 77.0000 0.4055 0.6000 0.0000 78.0000 0.4055 0.6000 0.0000 79.0000 0.4055 0.6000 0.0000

80.0000 0.4055 0.6000 0.0000 81.0000 0.4055 0.6000 0.0000 82.0000 0.4055 0.6000 0.0000 83.0000 0.4055 0.6000 0.0000 84.0000 0.4055 0.6000 0.0000 85.0000 0.4055 0.6000 0.0000 86.0000 0.4055 0.6000 0.0000 87.0000 0.4055 0.6000 0.0000 88.0000 0.4055 0.6000 0.0000 89.0000 0.4055 0.6000 0.0000 90.0000 0.4055 0.6000 0.0000 91.0000 0.4055 0.6000 0.0000 92.0000 0.4055 0.6000 0.0000 93.0000 0.4055 0.6000 0.0000 94.0000 0.4055 0.6000 0.0000 95.0000 0.4055 0.6000 0.0000 96.0000 0.4055 0.6000 0.0000 97.0000 0.4055 0.6000 0.0000 98.0000 0.4055 0.6000 0.0000 99.0000 0.4055 0.6000 0.0000 100.0000 0.4055 0.6000 0.0000 101.0000 0.4055 0.6000 0.0000 102.0000 0.4055 0.6000 0.0000 103.0000 0.4055 0.6000 0.0000 104.0000 0.4055 0.6000 0.0000 105.0000 0.4055 0.6000 0.0000 106.0000 0.4055 0.6000 0.0000