Terminologi Graf dan Beberapa Graf Seder

TERMINOLOGI DASAR
Ada beberapa terminologi (istilah) dasar yang berkaitan dengan graph. Beberapa
diantaranya dijabarkan sebagai berikut:
 Subgraph dan Komplemen Subgraph
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graph. G1 = (V1, E1) adalah subgraph dari G jika V1 ⊆
V dan E1 ⊆ E. Sedangkan Komplemen dari subgraph G1 terhadap graph G adalah graph
G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E – E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang
anggota-anggota E2 bersisian dengannya.
Perhatikan Gambar 1.9 berikut

(a)

(b)

(c)

Gambar 1.9. (a). Graph G; (b). Subgraph dari G (G1); (c). Komplemen dari G1.

 Subgraph yang Direntang (Spanning Subgraph)
Subgraph G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan spanning subgraph jika V1 = V. Dalam hal ini
G1 mengandung semua simpul dari G.


(a)

(b)

(c)

Gambar 1.10. (a). Graph G; (b). Subgraph dari G; (c). Spanning subgraph



Derajat (Degree)
Derajat suatu simpul pada graph, disimbolkan d(v) adalah jumlah sisi yang bersisian
dengan simpul tersebut.

(a)

(b)

(c)


Gambar 1.11. (a). Graph G1; (b). Graph G2; (c). Graph G3.
Pada Graph G1: d(1) = d(4) = 2
d(2) = d(3) = 3
Pada Graph G2: d(1) = 3, bersisian dengan ruas ganda.
d(3) = 4, bersisian dengan loop.
Catatan: loop dihitung berderajat dua; d(v) = 2. Hal ini dikarenakan loop
direpresentasikan sebagai (v, v) dan simpul v bersisian dua kali pada sisi
(v, v).
Pada Graph G3: d(5) = 0, disebut simpul terpencil / simpul terisolasi.
d(4) = 1, disebut simpul akhir atau simpul bergantung.
Lemma Jabat Tangan
Jumlah derajat semua simpul pada suatu graph adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi
pada graph tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka

d ( v )=2∨E∨¿
∑¿
veV

Lemma jabat tangan juga benar untuk graph berarah, dalam hal ini d(v) = din(v) + dout(v)

Perhatikan kembali Gambar 1.11.
Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 1.11.(a) adalah
d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 5

Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 1.11.(b) adalah
d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 5
Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 1.11.(c) adalah
d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) = 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 4



Ketetanggaan (Adjacent)
Dua buah simpul dikatakan bertetangga jika keduanya terhubung langsung dengan
sebuah sisi.
Perhatikan kembali Gambar 1.11.
Pada graph G1, simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan simpul 3, tetapi tidak
bertetangga dengan simpul 4.




Bersisian (Incidency)
Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v.
Perhatikan kembali Gambar 1.11.
Sisi e4 pada graph G2 bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3.



Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.
Perhatikan graph G3 pada Gambar 1.11.
Simpul 5 adalah simpul terpencil.]



Graph Kosong (Null Graph atau Empty Graph)
Graph kosonng adalah graph yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.
Graph kosong biasa ditulis dengan Nn dengan n adalah jumlah simpul.

Gambar 1.12. Graph Kosong N5




Gelang (Loop)
Loop adalah sisi yang menghubugkan sebuah simpul yang sama. e5 pada Graph G2
Gambar 1.11 disebut loop.



Lintasan (Path)
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujan vn di dalam graph G
adalah barisan berselang seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1,
e2, ..., vn-1, en, vn sedmikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ..., en = (vn-1, vn) adalah sisisisi dari graph.
Catatan:
Simpul dan sisi yang dilalui didalam lintasan boleh berulang.
Sebuah lintasan dikatakan lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya
berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali).
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan
tertutup (closed path), sedangkan lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada
simpul yang sama disebut lintasan terbuka (open path).
Mislanya pada Gambar 1.11 (b); 1, e1, 2, e4, 3, e5, 3, adalah lintasan dari simpul 1 ke

simpul 3 yang melalui sisi e1, e4, dan e5.



Sirkuit atau Siklus (Cycle)
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.
Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana jika setiap sisi yang dilalui berbeda. Pada
Gambar 1.11(a), 1 , 2, 3, 1, adalah sebuah sirkuit sederhana dengan panjang 3, yang
dihitung berdasarkan jmlah sisi di dalam sirkuit tersebut. Sedangkan 1, 2, 3, 4, 2, 1,
bukan merupakan sirkuit sederhana karena sisi (1, 2) dilalui sebanyak dua kali.



Cut-set
Cut-set dari graph terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G
menyebabkan G tidak terhubung. Jadi cut-set menghasilkan dua buah komponen
terhubung. Yang harus diingat adalah di dalam cut-set tidak boleh mengandung
himpunan bagian yang juga merupakan cut-set.

Gambar 1.13. Sebuah graph terhubung menjadi sebuah graph tak terhubung dikarenakan

adanya cut set.
Pada Gambar 1.13, jika kita membuang (1, 2), (1, 4), (6, 4), dan (6, 5) maka graph
menjadi tidak terhubung. Jadi himpunan {(1, 2), (1, 4), (6, 4), (6, 5)} adalah cut-set.
Himpunan {(1, 2), (2, 4)} juga merupakan cut-set. Tetapi himpunan {(1, 2), (2, 4), (4, 5)}
bukan merupakan cut-set karena terdapat {(1, 2), (2, 4)} yang juga merupakan cut-set dan
merupakan himpunan bagian dari {(1, 2), (2, 4), (4, 5)}.

GRAPH SEDERHANA KHUSUS
Beberapa graph sederhana khusus yang biasa dijumpai adalah


Graph Lengkap (Complete Graph)
Graph lengkap adalah graph sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke
semua simpul lainnya. Graph lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan
Kn. Setiap simpul Kn berderajat n – 1. Jumlah sisi pada graph lengkap yang terdiri
dari n buah simpual adalah n(n – 1)/2. Rumus ini diperoleh sebagai berikut : untuk 1
buah simpul terdapat (n – 1) buah sisi ke (n – 1) simpul lainnya, maka untuk n buah
simpul terdapat n(n – 1) buah sisi. Karena setiap sisi terhitung dua kali untuk
pasangan simpul yang bersisian dengannya, maka jumlah sisi seluruhnya dibagi dua
yaitu n(n – 1)/2.

Perhatikan Gambar 1.14 berikut

Gambar 1.14. Graph lengkap K1 sampai K6



Graph Lingkaran
Graph lingakaran adalah graph sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua.

Graph lingkaran dengan n buah simpul dilambangkan dengan Cn. Jika simpul-simpul
pada Cn adalah v1, v2, ..., vn, maka sisi-sisinya adalah (v1, v2), (v2, v3), ..., (vn-1, vn),
dan (vn, v1). Dengan kata lain, ada sisi dari simpul terakhir, vn, ke simpul pertama,
v1.
Perhatikan Gambar 1.15 berikut

C3

C4

Gambar 1.15. Graph lingkaran C1 sampai C6


C5

C6



Graph Teratur (Reguler Graph)
Graph teratur adalah graph yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. apabila
derajat setiap simpulnya adalah r maka graph tersebut disebut sebagai graph teratur
berderajat r. Jumlah sisi pada graph teratur berderajat r dengan n buah simpul adalah nr/2.
Perhatikan Gambar 1.16 berikut:

(a). n = 4, r = 3

(b). n = 6, r = 3

(c). n = 8, r = 3

Gambar 1.16. Graph teratur




Graph Bipartit (Bipartite Graph)
Graph G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan
bagian V1 dan V2 sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah
simpul di V1 ke sebuah simpul di V2, disebut graph bipartit dan dinyatakan sebagai
G(V1, V2). Dengan kata lain, setiap pasang simpul di V1 (demikian pula dengan
simpul-simpul di V2) tidak bertetangga.
Perhatikan Gambar 1.17 berikut

Gambar 1.17. Graph bipartit

Apabila setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di V2, maka
G(V1, V2) disebut sebagai graph bipartit lengkap (complete bipartite graph),
dilambangkan dengan Km,n. Jumlah sisi pada graph bipartit lengkap adalah mn.
Graph bipartit dapat digunakan sebagai model masalah penempatan tenaga
kerja dengan titik-titik di V1 sebanyak m buah ditafsirkan sebagai m lowongan jenis
pekerjaan dan titik-titik di V2 ditafsirkan sebagai n orang pelamar yang dapat
menempati satu atau lebih lowongan ini. Sisi-sisi mewakili jenis-jenis lowongan

pekerjaan yang dapat diisi oleh seorang pelamar sesuai dengan kemampuannya. Salah
satu persoalannya ialah dapatkah setiap pelamar ini ditempatkan pada posisi yang
sesuai dengan kemampuannya? Misalnya sebuah graph bipartit mencerminkan ada 3
lowongan pekerjaan dengan 4 pelamar, dan tafsirannya ialah pelamar pertama
mempunyai kemampuan untuk menempati salah satu dari ketiga jenis pekerjaan,
pelamar kedua dan ketiga mampu untuk jenis pekerjaan pertama dan ketiga,
sedangkan pelamar keempat hanya mampu untuk jenis pekerjaan kedua. Penerimaan
pegawai akan lebih obyektif apabila berpedoman pada nilai hasil seleksi kemampuan
pelamar. Setiap nilai ini biasanya dicantumkan bersebelahan dengan sisinya yang
sepadan dan dikenal sebagai bobot sisinya. Graph yang setiap sisinya mempunyai
bobot disebut graph berbobot.