Matematika I

Fakultas

Program Studi

Teknik

Teknik Sipil

TatapMuka

Kode MK

DisusunOleh

90016

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

Abstract

Kompetensi

Dalam modul ini dibahas mengenai
berbagai
macam
cara
untuk
menghitung turunan suatu fungsi,
diantaranya dengan menggunakan
aturan rantai. Aturan rantai ini
merupakan suatu tools yang sangat
mempermudah
untuk
menghitung
suatu fungsi yang jika dihitung dengan
menggunakan rumus biasa akan
memakan waktu lama dan rumit.
Penulisan
simbol
turunan
juga

dipermudah oleh Leibniz.

Setelah membaca modul ini diharapkan
mahasiswa dapat :
1. Menyelesaikan
persoalanpersoalan
turunan
dengan
menggunakan
rumus-rumus
dasar
2. Memecahkan
persoalan
turunan
yang lebih
rumit
dengan menggunakan aturan
rantai.

1. RUMUS-RUMUS U

UNTUK MENGHITUNG TURUNAN
Aturan Fungsi Kons
nstanta
Jika f(x) = k, dengan
n k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’(x)
f’ = 0
D(k) = 0

Bukti :
lim

lim

→

→

lim 0
→

0

y
(x,k)

(x + h, k)

x

x+h

x

f(x) = k

Aturan Fungsi Identitas
tas
Jika f(x) = x, maka f’(x)) = 1
D(x) = 1

Grafik f(x) = x merupakan
n sebuah
s
garis yang melalui titik asal deng
ngan kemiringan 1.
Sehingga kita dapat menduga
ga turunan fungsi ini adalah 1 untuk semua x.

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

Bukti :
lim

lim

→

lim

→

→

1

y
(x + h, x + h)

(x,x)

h
h

x

x

x+h

f(x) = x

Sebelum menyatakan aturan
n Rumus selajutnya, kita ingatkan kembali se
sesuatu dari aljabar:
bagaimana memangkatkan sesuatu
se
binomial.
2
3
4

3
6

4

⋮
2

1

⋯

Aturan Pangkat
Jika f(x) = xn, deng
ngan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x)
f’ = nxn-1
D(xn) = nxn-1

Bukti :

lim
→

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

"

lim

http://www.mercubuana.ac.id

→

⋯

lim
→

lim
→

#

⋯

&

Di dalam kurung siku, semu

ua suku kecuali yang pertama mempunyai
ai h sebagai faktor,
sehingga masing-masing suku
ku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol.
no Jadi

f’(x) = nxn-1

Aturan Kelipatan Kon
onstanta
Jika k suatu konstanta
ta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan,, m
maka (kf)’(x)
= k. f’(x)

Bukti :
Andaikan F(x) = k. f(x). Maka
$

lim

→

$

$

lim
→

lim .

.

.

lim

→

→

.

Aturan Jumlah
gsi yang terdiferensialkan, maka (f + g)’(x) = f ’ (x) + g’(x)
Jika f dan g fungsi-fungs
D[f(x) + g(x)] = Df(x) + Dg(x)

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

Aturan Selisih
ang terdiferensialkan, maka (f - g)’(x) = f ’ (x) - g’(x)
Jika f dan g fungsi-fungsi yang
D[f(x) - g(x)] = Df(x) - Dg(x)

Aturan Hasilkali
Andaikan f dan g fungsi-fungs
gsi yang dapat didiferensialkan, maka (f . g)’(x)
g)’ = f(x).g’(x) +
g(x).f’(x)
D[f
D[f(x).g(x)]
= f(x).Dg(x) + g(x).Df(x)

Bukti
Andaikan f(x) = f(x)g(x). Maka
lim

$

→

$

'

lim
→

'

'

lim
→

'

lim (

.

→

lim
→

. lim
→

'

'

'

'
'

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

$

'
'

.

'

. lim

'

http://www.mercubuana.ac.id

'
)

→

Aturan Hasil
silbagi
Andaikan f dan
da g fungsi-fungsi yang dapat didiferensial
ialkan
dengan g(x)
x) ≠ 0. Maka
'

3 4
'

5

6 7
8 7

'

'

8 7 56 7
6 7 58 7
89 7

Bukti
Andaikan f(x) = f(x)/g(x). Maka

$

lim
→

lim
→

lim
→

'

'
lim (
→

$

/ 01

/ 0

2 01

2 0

'
'

.

'

1
'

'
'

'

+,- .('

'

→

#'

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

$

'

&

'

http://www.mercubuana.ac.id

1
'

.
)

'

'
1
'

1
'

)
:

CONTOH SOAL :
Carilah turunan dari :
1.

5x2 + 7x – 6

2.

5 + 16
4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x

3.

(3x2 – 5)(2x4 – x)

4.

0;1

0

Penyelesaian

1. < 5

7

6

< 5

7

5<

7<

5 .2
10

2.

< 6
<

7 .1

< 6
0

7

D(4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x + 16)
= D(4x6) – D(3x5)–
– D(10x2)+ D(5x) + D(16)
= 4D(x6) – 3D(x5)–
– 10D(x2)+ 5D(x) + D(16)
= 4(6x5) – 3(5x4)– 10(2x)+ 5(1) + 0
= 24x5 – 15x4 – 20x+
20x 5

3.

x)
D[(3x2 – 5)(2x4 – x)]
= (3x2 – 5) D(2x4 – x) + (2x4 – x) D(3x2 – 5)
= (3x2 – 5)( 8x3 – 1)
1 + (2x4 – x)(6x)
= 24x5 – 40x3 – 3x2 + 5 + 12x5 – 6x2

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

http://www.mercubuana.ac.id

= 36x5 – 40x3– 9x2 + 5
Atau, dengan men
enggunakan cara lain, pertama kalikan dulu baru
ba di turunkan
D[(3x2 – 5)(2x4 – x)]
x
= (3x2 – 5)(2x4 – x) = 6x6 – 10x4 – 3x3 + 5x
= D(6x6) – D(10x4) – D(3x3) + D(5x)
= 6D(x6) – 10D(x4) – 3D(x3) + 5D(x)
= 6(6x5) – 10(4x3) – 3(3x2) + 5(1)
= 36x5 – 40x3– 9x2 + 5

4.

0; 1

0