persamaan dan pertidaksamaan Nilai Mutlak
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
MA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012)
Hendra Gunawan∗
∗ Dosen FMIPA - ITB
E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id.
August 16, 2011
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik
bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional. Himpunan
semua bilangan asli dilambangkan dengan N, yakni
N := {1, 2, 3, . . . }.
Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z, yakni
Z := {0, ±1, ±2, ±3, . . . }.
(Tanda . . . di sini menyatakan ‘dan seterusnya’, yang mengasumsikan bahwa pembaca telah mengetahui pola yang ada.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Sementara itu, himpunan semua bilangan rasional dilambangkan
dengan Q, yakni
Q :=
p
: p ∈ Z, q ∈ N, dan FPB(p, q) = 1 .
q
(Di sini FPB(p, q) menyatakan faktor persekutuan terbesar dari p
dan q. Sebagai contoh, FPB(6, 10) = 2.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Selain itu, anda juga diasumsikan telah mengenal notasi bilangan
dalam bentuk desimal. Sebagai contoh,
1 = 1.00000 . . .
1
= 0.50000 . . .
2
1
= 0.33333 . . .
√3
2 = 1.41421 . . .
e = 2.71828 . . .
π = 3.14159 . . .
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang ‘berhenti’,
seperti 12 = 0.5, dan sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal
yang ‘berulang’, seperti 31 = 0.33333 . . . . Bilangan rasional
senantiasa dapat dinyatakan dalam bentuk desimal yang berhenti
atau berulang.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Bilangan yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun
√
berulang merupakan bilangan irasional. Sebagai contoh, 2 yang
memang bukan merupakan bilangan rasional mempunyai bentuk
desimal tak berhenti ataupun berulang. Contoh lainnya, bilangan
0.1010010001 . . .
merupakan bilangan irasional.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Himpunan semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut
sebagai himpunan bilangan real, yang dilambangkan dengan R.
Dalam hal ini, kita mempunyai
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Pada pembahasan selanjutnya, kita akan mempelajari sifat-sifat
bilangan real secara lebih mendalam.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
1
dalam bentuk desimal. Apakah bentuk
Nyatakan 12
desimalnya berhenti atau berulang?
2
Nyatakan 0.123123123 . . . sebagai bentuk pecahan.
3
Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi
persamaan x 2 = 2. (Petunjuk. Gunakan metode pembuktian
tak langsung.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Himpunan bilangan real R memenuhi Sifat Lapangan yang terkait
dengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya, yakni:
A1. x + y = y + x untuk setiap x, y ∈ R.
A2. (x + y ) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y , z ∈ R.
A3. Terdapat 0 ∈ R sedemikian sehingga x + 0 = x untuk setiap
x ∈ R.
A4. Untuk setiap x ∈ R terdapat −x ∈ R sedemikian sehingga
x + (−x) = 0.
A5. xy = yx untuk setiap x, y ∈ R.
A6. (xy )z = x(yz) untuk setiap x, y , z ∈ R.
A7. Terdapat 1 ∈ R, 1 6= 0, sedemikian sehingga x · 1 = x untuk
setiap x ∈ R.
A8. Untuk setiap x ∈ R, x 6= 0, terdapat x −1 ∈ R sedemikian
sehingga x(x −1 ) = 1.
A9. x(y + z) = xy + xz untuk setiap x, y , z ∈ R.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Perlu diingat bahwa 0 tidak mempunyai unsur kebalikan, dan
secara umum pembagian dengan 0 tidak didefinisikan. Sehubungan
dengan itu tidak benar bahwa
1
= ∞.
0
Walaupun kelak lambang ∞ (baca: tak hingga atau tak terhingga)
akan sering digunakan, ia tidak menyatakan sebuah bilangan real.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 1 (Hukum Pencoretan)
Misalkan x, y , dan z adalah bilangan real sembarang.
(a) Jika x + z = y + z, maka x = y .
(b) Jika xz = yz dan z 6= 0, maka x = y .
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Bukti. (a) Misalkan x + z = y + z. Tambahkan kedua ruas dengan
−z, sehingga kita dapatkan
(x + z) + (−z) = (y + z) + (−z).
Dengan menggunakan sifat asosiatif dan sifat unsur lawan, kita
peroleh
x + 0 = y + 0,
dan berdasarkan sifat unsur identitas pada penjumlahan, kita
sampai pada kesimpulan bahwa x = y .
(b) Serupa dengan (a); dapat dicoba sebagai latihan.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
2
Buktikan Teorema 1 bagian (b).
Diketahui bilangan real a sembarang. Buktikan bahwa
1
2
3
4
3
a.0 = 0.
(−1)a = −a.
−(−a) = a.
(−1)(−1) = 1.
Diketahui bilangan real a dan b. Buktikan jika ab = 0, maka
a = 0 atau b = 0.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Selain memenuhi Sifat Lapangan, sistem bilangan real R dengan
operasi penjumlahan dan perkalian juga memenuhi Sifat Urutan,
yakni terdapat himpunan bagian P ⊆ R yang bersifat:
B1. Jika x, y ∈ P, maka x + y ∈ P.
B2. Jika x, y ∈ P, maka xy ∈ P.
B3. Jika x ∈ P, maka −x ∈
/ P.
B4. Jika x ∈ R, maka: atau x ∈ P, atau x = 0, atau −x ∈ P.
Bilangan x ∈ P disebut sebagai bilangan positif.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Selanjutnya kita tuliskan x < y (y > x) apabila y − x ∈ P; dan
x ≤ y (y ≥ x) apabila x < y atau x = y .
Notasi x < y (y > x) dibaca ‘x lebih kecil daripada y ’ (‘y lebih
besar daripada x’). Sementara itu, x ≤ y (y ≥ x) dibaca ‘x lebih
kecil daripada atau sama dengan y ’ (‘y lebih besar daripada atau
sama dengan x’.
Catat bahwa x > 0 berarti x ∈ P, yakni x merupakan bilangan
positif.
Diberikan tiga bilangan real a, b, dan c, notasi a < b < c berarti
a < b dan b < c. Sebagai contoh, kita mempunyai 0 < 12 < 1.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Perhatikan bahwa, menurut sifat B4, untuk sembarang bilangan
real a dan b, terdapat tiga kemungkinan dan hanya satu di antara
tiga kemungkinan tersebut yang benar — yaitu:
atau a > b, atau a = b, atau a < b.
Sifat ini dikenal sebagai Hukum Trikotomi.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 2
.
(i) Jika a > b dan b > c, maka a > c.
(ii) Jika a > b dan c ∈ R, maka a + c > b + c.
(iii) Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc; Jika a > b dan c < 0,
maka ac < bc.
Bukti. (i) Misal a > b dan b > c. Maka, a − b ∈ P dan b − c ∈ P.
Menurut sifat B1, a − c = (a − b) + (b − c) ∈ P. Jadi a > c.
Bukti bagian (ii) dan (iii) diserahkan sebagai latihan.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Contoh 3
Fakta bahwa 1 > 0 dapat dibuktikan kebenarannya dengan
menggunakan sifat-sifat pada Teorema 2. Ingat bahwa 1 6= 0.
Karena itu tinggal ada dua kemungkinan: atau 1 < 0 atau 1 > 0.
Andaikan 1 < 0. Tambahkan kedua ruas dengan −1, kita peroleh
0 < −1 atau −1 > 0. Akibatnya [lihat Soal Latihan 0.2 No. 2(d)],
kita peroleh 1 = (−1)(−1) > 0, bertentangan dengan pengandaian
semula. Dengan demikian tidak mungkin 1 < 0, dan karena itu
mestilah 1 > 0.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Contoh 4
Misalkan diketahui a < b + ǫ untuk setiap ǫ > 0. Maka dapat
disimpulkan bahwa a ≤ b. (Andaikan a > b. Maka, untuk
ǫ = a + (−b) := a − b, berlaku a < b + (a − b) = a, sesuatu yang
mustahil.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
Buktikan Teorema 2 bagian (ii) dan (iii).
2
Buktikan jika a > 0, maka
kebalikan dari a.)
3
Buktikan jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.
4
Buktikan jika a < b dan A, B > 0, maka
5
Diketahui x, y > 0. Buktikan x < y jika dan hanya jika
x 2 < y 2.
6
Buktikan jika b − ǫ < a < b + ǫ untuk setiap ǫ > 0, maka
a = b.
Hendra Gunawan
1
a
> 0. (Di sini
a
A
1
a
menyatakan
<
MA5032 ANALISIS REAL
a+b
A+B
<
b
B.
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Untuk n ∈ N, kita tuliskan x n = x x · · · x (n kali).
Asumsi berikutnya tentang sistem bilangan real (yang akan dibahas
pada Bab 1) menjamin eksistensi akar ke-n. Persisnya, diberikan
y ≥ 0, terdapat sebuah bilangan x ≥ 0 (tunggal) sedemikian
sehingga
y = x n.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Untuk y ≥ 0, nilai x ≥ 0 yang memenuhi persamaan y = x n
disebut sebagai akar ke-n dari y dan dilambangkan dengan
x = y 1/n .
√
Khususnya, untuk n = 2, kita gunakan notasi y = y 1/2 . Catat
√
bahwa dalam hal ini senantiasa berlaku y ≥ 0. Jika y > 0, maka
tentu saja terdapat dua buah bilangan yang kuadratnya sama
√
√
dengan y , yaitu y yang bernilai positif dan − y yang bernilai
√
√
√
negatif. Notasi ± y berarti ‘ y atau − y ’.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Jika r = m
n adalah suatu bilangan rasional positif dan y ≥ 0, kita
definisikan
y r := (y 1/n )m .
Jika r adalah suatu bilangan rasional negatif, maka −r merupakan
bilangan rasional positif dan karenanya y −r terdefinisi. Khususnya,
jika y > 0, maka kita dapat mendefinisikan y r sebagai
y r :=
1
y −r
.
Kita juga mendefinisikan y 0 = 1. Dengan demikian, jika y > 0,
maka y r terdefinisi untuk semua bilangan rasional. (Definisi y x
untuk bilangan irasional x harus menunggu hingga pembahasan
berikutnya.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Seperti telah disinggung di atas, untuk y > 0, persamaan x 2 = y
√
mempunyai dua buah solusi, yaitu x = ± y . Persamaan x 2 = y di
sini merupakan suatu persamaan kuadrat. Bentuk umum
persamaan kuadrat (dalam x) adalah
ax 2 + bx + c = 0,
dengan a 6= 0.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, persamaan
kuadrat ax 2 + bx + c = 0 tidak mempunyai solusi atau akar real
jika b 2 − 4ac < 0, mempunyai sebuah akar real (tunggal) jika
b 2 − 4ac = 0, dan mempunyai dua buah akar real berbeda jika
b 2 − 4ac > 0. Dalam hal b 2 − 4ac ≥ 0, akar persamaan kuadrat di
atas diberikan oleh rumus
√
−b ± b 2 − 4ac
x=
.
2a
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Akar persamaan kuadrat merupakan titik potong grafik persamaan
y = ax 2 + bx + c (yang berbentuk parabola) dengan sumbu-x
pada sistem koordinat Cartesius. (Pembaca diasumsikan telah
mengenal sistem koordinat Cartesius dan grafik persamaan
padanya.) Ingat bahwa grafik persamaan kuadrat terbuka ke atas
jika a > 0, atau terbuka ke bawah jika a < 0.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
Misalkan koefisien a, b dan c pada persamaan kuadrat
ax 2 + bx + c = 0 merupakan bilangan√rasional (dengan, tentu
saja, a 6= 0). Buktikan jika α = r + s 2 merupakan akar√
persamaan ini, dengan r dan s rasional, maka β = r − s 2
juga merupakan akar.
2
Misalkan n ∈ N dan a1 , . . . , an dan b1 , . . . , bn adalah bilangan
real. Buktikan bahwa
(a1 b1 + · · · + an bn )2 ≤ (a12 + · · · + an2 )(b12 + · · · + bn2 ).
(Catatan. Ketaksamaan ini dikenal sebagai ketaksamaan
Cauchy-Schwarz.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Jika x adalah bilangan real, maka nilai mutlak x, ditulis |x|,
didefinisikan sebagai
x, jika x ≥ 0,
|x| =
−x, jika x < 0.
Sebagai contoh, |2| = 2, |0| = 0, dan | − 5| = −(−5) = 5. Jelas
bahwa |x| ≥ 0 untuk setiap x.
√
Perhatikan pula bahwa |x|2 = x 2 , dan karenanya x 2 = |x| untuk
setiap x.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 5
Untuk setiap bilangan real x berlaku
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 6
Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku
|ab| = |a| · |b|.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 7 (Ketaksamaan Segitiga)
Untuk setiap a, b ∈ R berlaku
|a + b| ≤ |a| + |b|.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku
|a + b|2 = (a + b)2
= |a|2 + 2ab + |b|2
≤ |a|2 + 2|a| · |b| + |b|2
= (|a| + |b|)2 .
Karena itu (lihat Soal Latihan 0.3 No. 4), kita peroleh
|a + b| ≤ |a| + |b|,
sebagaimana kita harapkan.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
Buktikan Teorema 5.
2
Buktikan Teorema 6.
3
Buktikan bahwa |a| < b jika dan hanya jika −b < a < b.
4
5
Buktikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku
|a − b| ≥ |a| − |b| dan juga |a − b| ≥ |a| − |b| .
Buktikan jika a < x < b dan a < y < b, maka
|x − y | < b − a. Berikan interpretasi geometrisnya.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
MA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012)
Hendra Gunawan∗
∗ Dosen FMIPA - ITB
E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id.
August 16, 2011
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik
bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional. Himpunan
semua bilangan asli dilambangkan dengan N, yakni
N := {1, 2, 3, . . . }.
Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z, yakni
Z := {0, ±1, ±2, ±3, . . . }.
(Tanda . . . di sini menyatakan ‘dan seterusnya’, yang mengasumsikan bahwa pembaca telah mengetahui pola yang ada.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Sementara itu, himpunan semua bilangan rasional dilambangkan
dengan Q, yakni
Q :=
p
: p ∈ Z, q ∈ N, dan FPB(p, q) = 1 .
q
(Di sini FPB(p, q) menyatakan faktor persekutuan terbesar dari p
dan q. Sebagai contoh, FPB(6, 10) = 2.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Selain itu, anda juga diasumsikan telah mengenal notasi bilangan
dalam bentuk desimal. Sebagai contoh,
1 = 1.00000 . . .
1
= 0.50000 . . .
2
1
= 0.33333 . . .
√3
2 = 1.41421 . . .
e = 2.71828 . . .
π = 3.14159 . . .
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang ‘berhenti’,
seperti 12 = 0.5, dan sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal
yang ‘berulang’, seperti 31 = 0.33333 . . . . Bilangan rasional
senantiasa dapat dinyatakan dalam bentuk desimal yang berhenti
atau berulang.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Bilangan yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun
√
berulang merupakan bilangan irasional. Sebagai contoh, 2 yang
memang bukan merupakan bilangan rasional mempunyai bentuk
desimal tak berhenti ataupun berulang. Contoh lainnya, bilangan
0.1010010001 . . .
merupakan bilangan irasional.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Himpunan semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut
sebagai himpunan bilangan real, yang dilambangkan dengan R.
Dalam hal ini, kita mempunyai
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Pada pembahasan selanjutnya, kita akan mempelajari sifat-sifat
bilangan real secara lebih mendalam.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
1
dalam bentuk desimal. Apakah bentuk
Nyatakan 12
desimalnya berhenti atau berulang?
2
Nyatakan 0.123123123 . . . sebagai bentuk pecahan.
3
Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi
persamaan x 2 = 2. (Petunjuk. Gunakan metode pembuktian
tak langsung.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Himpunan bilangan real R memenuhi Sifat Lapangan yang terkait
dengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya, yakni:
A1. x + y = y + x untuk setiap x, y ∈ R.
A2. (x + y ) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y , z ∈ R.
A3. Terdapat 0 ∈ R sedemikian sehingga x + 0 = x untuk setiap
x ∈ R.
A4. Untuk setiap x ∈ R terdapat −x ∈ R sedemikian sehingga
x + (−x) = 0.
A5. xy = yx untuk setiap x, y ∈ R.
A6. (xy )z = x(yz) untuk setiap x, y , z ∈ R.
A7. Terdapat 1 ∈ R, 1 6= 0, sedemikian sehingga x · 1 = x untuk
setiap x ∈ R.
A8. Untuk setiap x ∈ R, x 6= 0, terdapat x −1 ∈ R sedemikian
sehingga x(x −1 ) = 1.
A9. x(y + z) = xy + xz untuk setiap x, y , z ∈ R.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Perlu diingat bahwa 0 tidak mempunyai unsur kebalikan, dan
secara umum pembagian dengan 0 tidak didefinisikan. Sehubungan
dengan itu tidak benar bahwa
1
= ∞.
0
Walaupun kelak lambang ∞ (baca: tak hingga atau tak terhingga)
akan sering digunakan, ia tidak menyatakan sebuah bilangan real.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 1 (Hukum Pencoretan)
Misalkan x, y , dan z adalah bilangan real sembarang.
(a) Jika x + z = y + z, maka x = y .
(b) Jika xz = yz dan z 6= 0, maka x = y .
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Bukti. (a) Misalkan x + z = y + z. Tambahkan kedua ruas dengan
−z, sehingga kita dapatkan
(x + z) + (−z) = (y + z) + (−z).
Dengan menggunakan sifat asosiatif dan sifat unsur lawan, kita
peroleh
x + 0 = y + 0,
dan berdasarkan sifat unsur identitas pada penjumlahan, kita
sampai pada kesimpulan bahwa x = y .
(b) Serupa dengan (a); dapat dicoba sebagai latihan.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
2
Buktikan Teorema 1 bagian (b).
Diketahui bilangan real a sembarang. Buktikan bahwa
1
2
3
4
3
a.0 = 0.
(−1)a = −a.
−(−a) = a.
(−1)(−1) = 1.
Diketahui bilangan real a dan b. Buktikan jika ab = 0, maka
a = 0 atau b = 0.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Selain memenuhi Sifat Lapangan, sistem bilangan real R dengan
operasi penjumlahan dan perkalian juga memenuhi Sifat Urutan,
yakni terdapat himpunan bagian P ⊆ R yang bersifat:
B1. Jika x, y ∈ P, maka x + y ∈ P.
B2. Jika x, y ∈ P, maka xy ∈ P.
B3. Jika x ∈ P, maka −x ∈
/ P.
B4. Jika x ∈ R, maka: atau x ∈ P, atau x = 0, atau −x ∈ P.
Bilangan x ∈ P disebut sebagai bilangan positif.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Selanjutnya kita tuliskan x < y (y > x) apabila y − x ∈ P; dan
x ≤ y (y ≥ x) apabila x < y atau x = y .
Notasi x < y (y > x) dibaca ‘x lebih kecil daripada y ’ (‘y lebih
besar daripada x’). Sementara itu, x ≤ y (y ≥ x) dibaca ‘x lebih
kecil daripada atau sama dengan y ’ (‘y lebih besar daripada atau
sama dengan x’.
Catat bahwa x > 0 berarti x ∈ P, yakni x merupakan bilangan
positif.
Diberikan tiga bilangan real a, b, dan c, notasi a < b < c berarti
a < b dan b < c. Sebagai contoh, kita mempunyai 0 < 12 < 1.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Perhatikan bahwa, menurut sifat B4, untuk sembarang bilangan
real a dan b, terdapat tiga kemungkinan dan hanya satu di antara
tiga kemungkinan tersebut yang benar — yaitu:
atau a > b, atau a = b, atau a < b.
Sifat ini dikenal sebagai Hukum Trikotomi.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 2
.
(i) Jika a > b dan b > c, maka a > c.
(ii) Jika a > b dan c ∈ R, maka a + c > b + c.
(iii) Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc; Jika a > b dan c < 0,
maka ac < bc.
Bukti. (i) Misal a > b dan b > c. Maka, a − b ∈ P dan b − c ∈ P.
Menurut sifat B1, a − c = (a − b) + (b − c) ∈ P. Jadi a > c.
Bukti bagian (ii) dan (iii) diserahkan sebagai latihan.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Contoh 3
Fakta bahwa 1 > 0 dapat dibuktikan kebenarannya dengan
menggunakan sifat-sifat pada Teorema 2. Ingat bahwa 1 6= 0.
Karena itu tinggal ada dua kemungkinan: atau 1 < 0 atau 1 > 0.
Andaikan 1 < 0. Tambahkan kedua ruas dengan −1, kita peroleh
0 < −1 atau −1 > 0. Akibatnya [lihat Soal Latihan 0.2 No. 2(d)],
kita peroleh 1 = (−1)(−1) > 0, bertentangan dengan pengandaian
semula. Dengan demikian tidak mungkin 1 < 0, dan karena itu
mestilah 1 > 0.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Contoh 4
Misalkan diketahui a < b + ǫ untuk setiap ǫ > 0. Maka dapat
disimpulkan bahwa a ≤ b. (Andaikan a > b. Maka, untuk
ǫ = a + (−b) := a − b, berlaku a < b + (a − b) = a, sesuatu yang
mustahil.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
Buktikan Teorema 2 bagian (ii) dan (iii).
2
Buktikan jika a > 0, maka
kebalikan dari a.)
3
Buktikan jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.
4
Buktikan jika a < b dan A, B > 0, maka
5
Diketahui x, y > 0. Buktikan x < y jika dan hanya jika
x 2 < y 2.
6
Buktikan jika b − ǫ < a < b + ǫ untuk setiap ǫ > 0, maka
a = b.
Hendra Gunawan
1
a
> 0. (Di sini
a
A
1
a
menyatakan
<
MA5032 ANALISIS REAL
a+b
A+B
<
b
B.
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Untuk n ∈ N, kita tuliskan x n = x x · · · x (n kali).
Asumsi berikutnya tentang sistem bilangan real (yang akan dibahas
pada Bab 1) menjamin eksistensi akar ke-n. Persisnya, diberikan
y ≥ 0, terdapat sebuah bilangan x ≥ 0 (tunggal) sedemikian
sehingga
y = x n.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Untuk y ≥ 0, nilai x ≥ 0 yang memenuhi persamaan y = x n
disebut sebagai akar ke-n dari y dan dilambangkan dengan
x = y 1/n .
√
Khususnya, untuk n = 2, kita gunakan notasi y = y 1/2 . Catat
√
bahwa dalam hal ini senantiasa berlaku y ≥ 0. Jika y > 0, maka
tentu saja terdapat dua buah bilangan yang kuadratnya sama
√
√
dengan y , yaitu y yang bernilai positif dan − y yang bernilai
√
√
√
negatif. Notasi ± y berarti ‘ y atau − y ’.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Jika r = m
n adalah suatu bilangan rasional positif dan y ≥ 0, kita
definisikan
y r := (y 1/n )m .
Jika r adalah suatu bilangan rasional negatif, maka −r merupakan
bilangan rasional positif dan karenanya y −r terdefinisi. Khususnya,
jika y > 0, maka kita dapat mendefinisikan y r sebagai
y r :=
1
y −r
.
Kita juga mendefinisikan y 0 = 1. Dengan demikian, jika y > 0,
maka y r terdefinisi untuk semua bilangan rasional. (Definisi y x
untuk bilangan irasional x harus menunggu hingga pembahasan
berikutnya.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Seperti telah disinggung di atas, untuk y > 0, persamaan x 2 = y
√
mempunyai dua buah solusi, yaitu x = ± y . Persamaan x 2 = y di
sini merupakan suatu persamaan kuadrat. Bentuk umum
persamaan kuadrat (dalam x) adalah
ax 2 + bx + c = 0,
dengan a 6= 0.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, persamaan
kuadrat ax 2 + bx + c = 0 tidak mempunyai solusi atau akar real
jika b 2 − 4ac < 0, mempunyai sebuah akar real (tunggal) jika
b 2 − 4ac = 0, dan mempunyai dua buah akar real berbeda jika
b 2 − 4ac > 0. Dalam hal b 2 − 4ac ≥ 0, akar persamaan kuadrat di
atas diberikan oleh rumus
√
−b ± b 2 − 4ac
x=
.
2a
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Akar persamaan kuadrat merupakan titik potong grafik persamaan
y = ax 2 + bx + c (yang berbentuk parabola) dengan sumbu-x
pada sistem koordinat Cartesius. (Pembaca diasumsikan telah
mengenal sistem koordinat Cartesius dan grafik persamaan
padanya.) Ingat bahwa grafik persamaan kuadrat terbuka ke atas
jika a > 0, atau terbuka ke bawah jika a < 0.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
Misalkan koefisien a, b dan c pada persamaan kuadrat
ax 2 + bx + c = 0 merupakan bilangan√rasional (dengan, tentu
saja, a 6= 0). Buktikan jika α = r + s 2 merupakan akar√
persamaan ini, dengan r dan s rasional, maka β = r − s 2
juga merupakan akar.
2
Misalkan n ∈ N dan a1 , . . . , an dan b1 , . . . , bn adalah bilangan
real. Buktikan bahwa
(a1 b1 + · · · + an bn )2 ≤ (a12 + · · · + an2 )(b12 + · · · + bn2 ).
(Catatan. Ketaksamaan ini dikenal sebagai ketaksamaan
Cauchy-Schwarz.)
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Jika x adalah bilangan real, maka nilai mutlak x, ditulis |x|,
didefinisikan sebagai
x, jika x ≥ 0,
|x| =
−x, jika x < 0.
Sebagai contoh, |2| = 2, |0| = 0, dan | − 5| = −(−5) = 5. Jelas
bahwa |x| ≥ 0 untuk setiap x.
√
Perhatikan pula bahwa |x|2 = x 2 , dan karenanya x 2 = |x| untuk
setiap x.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 5
Untuk setiap bilangan real x berlaku
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 6
Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku
|ab| = |a| · |b|.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Teorema 7 (Ketaksamaan Segitiga)
Untuk setiap a, b ∈ R berlaku
|a + b| ≤ |a| + |b|.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku
|a + b|2 = (a + b)2
= |a|2 + 2ab + |b|2
≤ |a|2 + 2|a| · |b| + |b|2
= (|a| + |b|)2 .
Karena itu (lihat Soal Latihan 0.3 No. 4), kita peroleh
|a + b| ≤ |a| + |b|,
sebagaimana kita harapkan.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL
Daftar Isi
0. BILANGAN REAL - BAGIAN I
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Sekilas Bilangan Real
Sifat Lapangan
Sifat Urutan
Akar dan Persamaan Kuadrat
Nilai Mutlak
Soal Latihan
1
Buktikan Teorema 5.
2
Buktikan Teorema 6.
3
Buktikan bahwa |a| < b jika dan hanya jika −b < a < b.
4
5
Buktikan bahwa untuk setiap a, b ∈ R berlaku
|a − b| ≥ |a| − |b| dan juga |a − b| ≥ |a| − |b| .
Buktikan jika a < x < b dan a < y < b, maka
|x − y | < b − a. Berikan interpretasi geometrisnya.
Hendra Gunawan
MA5032 ANALISIS REAL