Pertemuan IX: Optimasi Pertumbuhan dan Aplikasinya

  

CATATAN KULI AH

Pe r t e m u a n I X : Opt im a si Pe r t u m bu h a n

da n Aplik a sin ya

A. Fu n gsi Ek spon e n sia l

  x

• Bentuk Fungsi Eksponesial: y = f(x) = b di m ana basis b > 1, x adalah eksponen, f( x) ∈ ℜ Not e: I st ilah eksponen ( x) berart i pangkat t erhadap sebuah basis bilangan ( b) .

  Bat asan Nilai b:

• b ≠ 1 dan b ≠ 0, karena

  x x f f

  ( x) = 1 = 1; ( x) = 0 = 0, Æ konst an

• 0 < b < 1 dik ecualik an, k ar ena dapat diny at ak an dalam eksponen negat if
• b< 0 dik ecualik an, k ar ena ber ak ibat bany ak nilai f( x ) dengan x

  ½

  adalah bilangan real m enj adi bilangan im aj iner, cont ohnya ( - b)

• Basis y ang populer adalah: e dan 10
• Secar a um um fungsi ek sponensial dir um usk an dalam bent uk : y = variabe t ak bebas b = basis t = variabel bebas a = fakt or skala vert ikal / akt or ‘penekan’ c = fakt or skala horisont al / fakt or ‘pem erluas’

  ct y = ab

  Grafiknya:

• e adalah basis yang disukai (preferred base)

  ( e) = 2.71828…, m erupakan bilangan irasional, yang m em punyai karakt erist ik sbb:

  x

  = Derivatif dari y b

• x ∆ x x x ∆ x x

  b − b b b − b / f x = =

  ( ) lim lim

  ∆ → ∆ → x x

  ∆ x ∆ x

  ∆ x b −

  1

  x x

  = b lim = b (?)

  ∆ → x

  ∆ x

  /

  di x = 0, apa basis b yang mempunyai kemiringan f ( ) = 1 ketika ∆ x →

  Jawabnya : ∆ x b −

  1

  / f ( ) = b lim = ln b

  ∆ x →

  ∆ x Perhatikan tabel basis b , mana yang menghasilk an

  / f ( )

  = 1 ketika ∆ x → ? Jadi bilangan t ersebut adalah ( e) = 2.71828…

  ∆x e −

  1

  sehingga : lim =

  1

  → ∆x

  ∆x ∆x e −

  1

  / x x x f (x) = e lim = e (

  1 ) = e

  → ∆x

  ∆x

  x

  Grafik for f( x) = e

  x f(x) = e d imana b = e

  ∞ , ∞ - domain dari x : ( ) jangkauan dari y : ( , ∞ ) perpotonga n sb y : 1 -

  idak ada

  perpotonga n sb - x : t asimptot horisontal : y = ketika x → ∞ -

  /

  Pada ( 0,1), nilai dari f ( ) =

  1

• Karakteristik fungsi eksponensial natural: _t

  Derivatif dari y = e adalah : _t dy d d e d t _{t ( ) t t}

  ( ) = e = = e ( ) 1 = e = y

  ( ) dt dt d t dt ₂ ( ) d y d d d _{t t t}

  ⎛ ⎞ = e = e = e ₂ ⎜ ⎟ dt dt dt dt

  ⎝ ⎠ _rt Sedang derivatif dari _{rt rt} V = Ae (fungsi eksponen natural secara umum) dV dAe d Ae d ( ) rt _rt

  ( ) = = = r Ae = rV

  ( ) dt dt d ( ) rt dt

B. Fu n gsi Ek spon e n sia l N a t u r a l da n M a sa la h Pe r t u m bu h a n

  m

• Bilangan e m em punyai hubungan dengan fungsi f(x)= (1+ 1/ m ) _m

  1 ⎞

  ⎛ + Basis e ≡ lim

  1 _m ⎜ ⎟

  → ∞ m

  ⎝ ⎠

• Untuk m encari bilangan e dapat digunakan aproksim asi dengan deret m aclaurin:
• Bunga m aj em uk dan Fungsi Ae
• − + …
• − + − + = =

• … + + + + = = = → =
• … + + + = = = =

  ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ + =

  ∞ → … = … + + + + + = =

  . e e R (x) (x) x e e e

  R (x) n e (x) e (x) e e f(x)

  (x) f (x) f f(x) e R ) x )/n! (x (x f ) x ! (x )/ f "(x ) x )(x f '(x ) f(x f(x) x ^{x n x x x x x (n) n}

  71828

  2

  24

  1

  6

  1

  2

  1

  1

  1 Maclaurin bilangan ke konvergen deret 1 x pada

  6

  1

  2

  1

  1 1 x karena ! !

  2 : maka , : diketahui 2 : x ketika e dari maclaurin Deret

  = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  V Lim

  Ae m r A m

  V rt w rt r m

  rt

  Rum us bunga m aj em uk :

  ( 1 ) mt m r

  A m

  V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎝ ⎛ + ≡

  Dengan A= invest asi awal, r= suku bunga nom inal, m = j um lah pem aj em ukan dalam 1 t ahun, dan t = j um lah t ahun Denga m em anipulasi rum us bunga m aj em uk di at as sbb:

  

1

  1 ( 1 ) / r m w

w

  A m r A m

  ≡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  / rt rt r m m

  ⎢ ⎣ ⎡ ⎟

  ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎥

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎢ ⎣ ⎡ ⎟

  ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≡

  Diket ahui bahwa e

  1 1 lim = ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎝ ⎛ +

  ∞ → ^{m m} m

  m ak a pr oses pem aj em uk an kont inu adalah: ( 1 )

  3 ^{2 2 // / 2 x}

… rt

  Jadi int repret asi dari y = Ae : adalah nilai dari sebuah invest asi $A pada suku bunga nom inal r, dan dim aj em ukkan secara kont inu dalam t kali at as periode invest asi ( # hari, bulan, at au t ahun) ( pert um buhan dalam invest asi)

• Laju Pertum buhan Sesaat Misal

  V adalah nilai di masa depan dari investasi awal (A) atas waktu (t) pada suku bunga (r) yang dimajemukk an secara kontinu, maka didapat : _rt

  V = Ae Future value (V) dV _rt rAe rV

  = = Tingkat Perubahan V ( dV dt )

  dt dV / dt r = L aju Pertumbuha n (r)

  V dV / dt V = Hubungan

  V dengan ( dV dt )

  r

• Pertum buhan Kontinu vs. Pertum buhan Diskrit Misal proses pem aj em ukan bunga diskrit sbb:

  2

3 A, A( 1+ i) , A( 1+ i) , A( 1+ i) …

  Dengan A= invest asi awal, i= suku bunga. Misalkan b= ( 1+ i) ,

  t

  m aka secara um um dapat diringkas m enj adi A( b) , dengan t = j um lah periode. Selanj ut nya dapat dicari bilangan r sehingga didapat :

  r

  ( 1+ i) = b= e Sehingga kit a dapat m engubah bent uk diskrit dalam bent uk kont inu dengan fungsi eksponen nat ural :

  t t rt

  A( 1+ i) = A( b) = A( e) Akibat nya kasus diskrit dapat dianalisis m elalui kasus kont inu. I ni m enj elaskan m engapa fungsi eksponensial nat ural digunakan secara luas dalam analisis ekonom i

• Pendiskontoan dan Pertum buhan Negatif Nilai m asa depan ( fut ure) : V= f( pem aj em ukan dari nilai sekarang ( present ) A)

  rt fakt or penuaan ( rat e of decay)

  −

=

  e disebut fakt or diskont o ( discount fact or) dan –r disebut

  rt

Ve A

  Nilai Sekarang ( present ) A= f( pendiskont oan nilai m asa depan ( fut ure) V) Di sini ^rt

C. Loga r it m a

• Arti Logaritm a

  Y= b

  − = = = =

  = =

  ( )( ) ) ln( ) ln( log log log b u u e u _{e b b}

  1 log 1 log = =

  ) ( ln ln u a u ^a = b b e _{e b} ln

  ( ) / v u v u ln ln ln − =

  ( )

  = ln log =

  Y Y t _e

  =

  Y e

  = log _t

  Y b = Y t _b

  Log Log Log Log Log Log t

  10 ^{10 10 10 10 10} − = − =

  t

  10 3 1000

  1

  1 1 .

  2 01 .

  . 3 001

• Log Biasa dan Log Natural Eksponen biasa :

  Eksponen nat ural : ⇔ Log biasa :

  ⇔ Log biasa :

  ( Y) Cont oh:

  b

  ⇔ t= Log

  1

• Aturan-aturan logaritm a _o

  Hasil kali : _o Hasil Bagi : _o Pangkat : _o Pem balikan Basis ( Base inversion) : _o Konversi Basis ( Base conversion) :

• v u uv ln ln ln =

  D . Fu n gsi Loga r it m a _t t = log Y = ln Y

Y = e e

  ⇔

• Karakteristik fungsi logaritm a: Monoton Naik Jika ln y1 = ln y2, m aka y1 = y2 dan Jika ln y1 > ln y2, m aka y1 > y2
• Bentuk Grafik :

  t t

  Not e : y= e ( biru) , y= 2 ( m erah- at as) , y= ln( t ) ( m erah) , sudut 45 ( hij au)

• Konversi Basis

  r c

  Misal e = b

  r c

  m aka ln e = ln b

  c

  r = ln b = c ln b

  r c ln b ct ( c ln b) t rt

  sehingga: e = e dan y = Ab = Ae = Ae

• Contoh: Carilah pem aj em ukan kontinu dengan suku bunga nom inal per t ahun r yang ekuivalen dengan pem aj em ukan diskrit dengan suku bunga i= 5% pert ahun [ dim aj em ukkan per set engah t ahun ( sem iannually) ] i ^{ct rt}

  1 = 1.025 c

• y = ab = ae dimana a = 1, i = .05, c = 2, t = 1, b =

  r c

  misal e = b

  r ln e = c ln b r = c ln b = _{c ln b t} 2 ln _{2 ln} 1 . 025 ≈ _{1 . 025 1} 4 . 94 % ( ) ( ) y e e

  1 . 050625 = = =

• Aplikasi Kegunaan ut am a dari t ransform asi logarit m a dalam riset ekonom i adalah ket ika m engest im asi fungsi produksi at au perkalian fungsi nonlinear lainnya. Transform asi fungsi produksi ke dalam fungsi logarit m a m em buat nya dapat diest im asi dengan m et ode regresi linier. Misal Q = banyak out put , L = pegawai ( labor) dan K= capit al ( capit al input s) :

  α β

  Fungsi Produksi

  

Q = AL K

  Diam bil t ransform asi logarit m anya m enj adi:

• Di sini nilai α dan β diestim asi dengan regresi linier.

  ln Q ln A α ln L β ln K =

E. D e r iva t if Fu n gsi Ek spon e n sia l da n Fu n gsi Loga r it m a

• Aturan fungsi Log Derivat if dari fungsi log dengan basis e

  d t

  1 Biasa: ln =

  dt t d ln f ( ) t f ′ ( ) t

  Um um : =

  dt f ( ) t

• Aturan fungsi Eksponensial Derivat if dari fungsi eksponensial dengan basis e _t

  Biasa:

  dy de _t

  = = e

  dt dt _t

  Um um : dy de _t = = e

• Kasus untuk Basis b

  Derivat if dari fungsi t ransenden dalam basis b Fungsi eksponensial: _t

  db t b ln b

  =

  dt

  Fungsi Logarit m a:

  d log t _b

  1 =

  dt t ln b

  Derivat if dari fungsi t ransenden dalam basis e Fungsi eksponensial: _t de t

  e

  = dt Fungsi Logarit m a:

  d log t d ln t _e

  1 = =

  dt dt t

• Derivatif yang lebih tinggi

  Derivat if dari fungsi t ransenden dalam basis e Eksponensial: Logart m a: _t

  de t d log t d ( ) ln t _e

  1 e

  = = = dt dt dt t _{2 t 2 1} − d e t d log t d t −

_e

  1 ( ) e ₂ = = = _{2 2} dt dt dt t _{3 t 3 − 2} d e t d log t d − t _e

  2 ( ) ₃ = e = = _{3 3} dt dt dt t _{4 t 4 − 3}

d t d t

d e t log _{e ( )} 2 −

  6 ₄ = e = = _{4 4} dt dt dt t

• Aplikasi Carilah diferensial t ot al dari Fungsi Produksi Q dengan t ransform asi Logarit m a:

  α β Q AK L

  = ln Q ln A ln K ln L = α β + + d ln Q d ln A d ln K d ln L

  ( ) ( ) = α ( ) β ( ) + + dQ

  1

  α β

  = + + dA dK dL

• Masalah Penyim panan Anggur Nilai sekarang ( Present value) : A( t ) = Ve
• rt
• =

  

1

_{2 1 2} ¹ = − = = ⎟⎟

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  ⎠ ⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− =

  − =

  

−

− r t dt dA A r t dt dA

  ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  − =

  − A r t dt dA ₂ ¹

  2

  − ₂ ¹

  − _{½ ½} ln ln ln

ln ln ln

^½ r t A dt dA
• 2
• Masalah penebangan kayu

  ⎜ ⎝ ⎛

  D . Opt im a si Ke t e pa t a n W a k t u ( Tim in g)

  dan Pert um buhan nilai ( V) sebagai fungsi wakt u:

  Maka nilai sekarang dari V dapat dinyat akan sebagai: Transform asi Logarit m anya: Dengan m endiferensiasi ke dua sisi didapat : Karena A ≠0, kondisi dA/ dt= 0 Dapat dipenuhi j ika dan hanya j ika : _{2 2 1}

  2

  1

  1 ⎟ ⎠ ⎞

  = =

  A e k t ^{rt t} − + = − + =

  − r

t

r t

  t * adalah wakt u penyim panan yang opt im um

  Misal nilai kayu ( yang t elah dit anam pada suat u lahan) ^t

  V =

ke

_{rt t rt t} A ke e ke t

  − − = = ^½

  ) ( ( )

  ( ) ( ) rt t k e rt t k

  1

  Kem udian V diubah m enj adi nilai sekarangnya: _rt

  −

  A ( ) t = Ve Didapat : _{t − rt 1 2} A t

  2 e ( ) =

  Transform asi Logarit m anya: _{1 2}

• −

  ln A ( ) t = ln( 2 ) ln ( e ) = t ln( ^{t rt 1 2} 2 ) − rt

  Dengan m endiferensiasi ke dua sisi didapat :

  d ln A ( ) t

  1 dA

  1

  − ^{1 2}

  = = t ln 2 − r

  dt A dt

  2 Karena A ≠0, kondisi dA/ dt= 0

  dA

  1 ^{1 2}

  1 ^{1 2} ⎛ − ⎞ −

  A t ln

  2 r t ln 2 r = − = = −

  ⎜ ⎟

  dt

  2

  2 ⎝ ⎠

  Dapat dipenuhi j ika dan hanya j ika : ₂

  1 _{1 2 1 2 ⎛ ⎞} 2 r ln

  2

  − − r = t * ln

  2 t = t = ⎜ ⎟ 2 ln

  2 2 r ⎝ ⎠ t * adalah wakt u penebangan yang opt im um

  La t ih a n : _{2 t} = , berapa

1. Jika nilai anggur berkem bang sesuai dengan fungsi

  V K e

  lam a pem buat anggur akan m enyim pan anggurnya?