CATATAN KULIAH Pertemuan VII: Konsep Total Derivatif dan Aplikasinya pada Komparatif Statik

  

CATATAN KULI AH

Pe r t e m u a n V I I : Kon se p Tot a l D e r iva t if

da n Aplik a sin ya pa da Kom pa r a t if St a t ik

A. D ife r e n sia l

• Masalah yang Dihadapi: Bagaimana analisis komparatif-statik jika tidak ada solusi bentuk-ringkas (reduced-form) dikarenakan oleh bentuk umum dari model?
• Contoh: Bagaimana menghitung ∂Y / ∂T jika:

  Y = C(Y, T ) + I + G

• Model ini mengandung fungsi umum, sehingga tidak bias diperoleh solusi bentuk ringkas yang e k splisit . Di sini T dapat mempengaruhi C secara langsung atau secara tidak langsung melalui Y (artinya variabel dependen (yaitu Y dan T ) dari fungsi C tidak bebas satu dengan yang lain). Hal ini melanggar asumsi derivatif parsial. Solusi: • Jawabannya adalah kembali ke konsep diferensiasi total.

  Berdasarkan proses diferensiasi total dapat membawa ke konsep derivatif total.

• Oleh karena itu harus dipahami dahulu KONSEP DIFERENSIAL
• Simbol dy/dx yaitu simbol untuk derivatif dari fungsi y=f(x), seringkali dianggap sebagai entitas tunggal. Sekarang akan diinterpretasikan kembali sebagai suatu perbandingan dari 2 kuantitas dy dan dx. Simbol dy dan dx masing-masing disebut diferensial dari y dan x.
• Sebuah diferensial menggambarkan perubahan dalam y sebagai hasil dari perubahan dalam x dari sembarang nilai awal x dalam domain fungsi y = f(x).

  dy ∆ y y = f ( x ) = kemiringan garis = f ' ( x ) = Lim

• Berdasar definisi derivatif:
_x

  ∆ → dx ∆ x

  Selanjutnya f '(x) dapat dipandang sebagai aproksimasi dari dy: Interpretasi Geometrik dari diferensial dy dan dx

  f (x) y=f(x)

  Kemiringan= f ∆x)-f(x

• (x )

  f ∆x) (x + (x ^{1 -x )} f’(x) dy f

  (x ) ₁ x x dx x

• Istilah “diferensiasi” selanjutnya dapat berarti:

  Proses mencari diferensial (dy)

• (dy/dx) dipandang sebagai operator yang mengubah (dx)
• – menjadi (dy) ketika dx →0

  dy

  ⎛ ⎞

  

dy dx

  = ⎜ ⎟

  dx

  ⎝ ⎠ Proses mencari turunan/derivatif (dy/dx) atau

• (dy/dx) dipandang sebagai diferensiasi terhadap x
• –

  ( ) dy dy

  ⎛ ⎞ =

  ⎜ ⎟

  

( ) dx dx

  ⎝ ⎠ Diferensial dan Elastisitas Titik

  d = f(P) (fungsi permintaan)

• Misal Q • Elastisitas Permintaan terhadap Harga, didefinisikan sbg:

  dQ

( dQ ) ⎛ d ⎞

_d

  ⎜ ⎟

  dP

  % ∆ Q Q _{d d ⎝ ⎠} Fungsi Magjinal ≡ = = =

  ε _d

  ( ) dP Q

  % ∆ P d Fungsi Rata − rata

  P P elastik jika ε > _{d d} 1 , inelastik jika ε <

  1 Contoh:

1. Carilah elastisitas titik permintaan jika fungsi permintaan adalah

  Q=100-2P. Fungsi Marjinal dan fungsi rata-ratanya dari fungsi permintaan ini adalah : dQ/dP=-2 dan Q/P=(100-2P)/P, sehingga

  dQ

  ⎛ ⎞ _d ⎜ ⎟

  dP

  − P ⎝ ⎠ perbandingannya adalah:

  ε ≡= = _d

  

Q

_d

  50 − P

  P

B. D ife r e n sia l Tot a l

• Konsep diferensial selanjutnya diperluas untuk fungsi dua atau lebih variabel bebas.
• Misal y = f (x1, x2), maka diferensial total dy adalah:

  ∂ y ∂ y

  = _{1 2} ∂ x ∂ x _{1 2} Dengan notasi yang lain:

• dy dx dx

  = _{1 1 2 2}

• dy f dx f dx

• Kasus yang lebih umum misalnya fungsi utilitas

  U = U (x , x , …, x )

  1 2 n

• Diferensial total dari U adalah:

  ∂ U ∂ U ∂ U = + + + dU dx dx dx _{1 2 " n}

  ∂ x ∂ x ∂ x _{1 2 n}

  i adalah utilitas marjinal dari barang x i

• ∂U/ ∂x

  i adalah perubahan dalam konsumsi dari barang x i

• dx
• dU sama dengan jumlah dari perubahan marjinal dari setiap barang dalam fungsi konsumsi.

  Contoh:

  2

  3

1. Carilah diferensial total dari fungsi U(x , x ) =x + x + x x

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  ∂ U ∂ U

  = = _{2 2} ² ₁ ∂ x ₁

• U =
₁ 2 x x ₁ + = _{2 U} 3 x x

  ∂ x ₂ Dan ₂

  dU ( 2 x x ) dx ( 3 x x ) dx = + + + _{1 2 1 2 1 2} C. At u r a n - a t u r a n D ife r e n sia l

  1 ,x 2 ) caranya :

• Untuk mencari diferensial total dy, dari fungsi y=f(x

  1. dan f terhadap x dan x

  1

  

2

  1

  2 Cari derivatif parsial f

  2. dan f dalam persamaan dy = f .dx + f .dx

  1

  2

  1

  1

  2

  2 Substitusi f • Cara yang lain dengan menggunakan Aturan-aturan diferensial.

  Misal k adalah fungsi konstan; u = u(x

  1 ); v = v(x 2 )

  1. dk = 0 (Aturan Fungsi Konstan)

  n n-1

  2. d(c.u ) = c.nu .du (Aturan Fungsi Pangkat) 3. d(u ± v) = du ± dv (Aturan Penambahan dan Pengurangan) 4. d(uv) = v.du + u.dv (Aturan Perkalian)

• = a.

1. Cari diferensial total dari

• ∂ ∂
• ∂
• ⎟ ⎠ ⎞

  4

  = ∂ ∂

  2

  

4

  4

  1

  2

  3 ²

⁴

^{2 4 2}

²

^{2 4 2}

²

^{2 4 2 4 2 2 2 2 2}

  ( ) [ ] [ ] [ ]

[ ]

dx

y x dy dx x yx x dy x x yxdx dx x dy x x yxdx dx x dy x dx x x xdx y x dy dx x x x d y x y x d x x x y x d

  ∂ ∂

  2

  ⎜ ⎝ ⎛ +

  ⎟ ⎠ ⎞

  ∂ =

  ∂ ∂

  x y x x x y x x x x x y x y x x x x y x x x z

  1

  2

• − + ∂

  4

  ⎛ +

  1 ( 4 ) ) (

  2

  1

  2

  2

  1 ) ) 2 ( ( ) (

  4

  2

  4

  1

  2

  2

  4

  4

  1

  4

  2

  2

  1 ) ( ) (

  2

  ²

  2

  2

²

^{2 2 2}

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  − =

  v udv vdu v u d

  2 1 + − =

  2

  2

  2

  x y x dy x dz _{3 2}

  Maka: dx

  y x z

  ₂ 2x

  5. (Aturan Pembagian) Contoh:

  1

  2

  2

  2

  ( 2 )

  2 ) 2 (

  ( ) ( ) _{3 4 2} ^{2 2 2 2 2}

  =

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ =

  ⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟ ⎠ ⎞

  ∂ ∂

  ⎜ ⎝ ⎛

  ∂ ∂

  ⎜ ⎝ ⎛

  = ⎟ ⎠ ⎞

  x x y y x x y x y x x y y z dx x z dy y z dz

  2

• − =
• − =

b. Dengan Aturan diferensial:

• − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝
>− = − − = − − + =
• −
• − =
• Tidak seperti derivative parsial, derivative total tidak mensyaratkan fungsi eksplisit.
• Cara mencari derivatif total dari diferensial total adal
• Diberikan fungsi y = f (x
• Selanjutnya Diferensial Total dy adalah:
• Maka Derivatif Total dari y terhadap x
• =
• = ...
_{2 2 1 1} ^{2 2 1} 1<

• + + + =

  "
• INGAT : Ada dua simbol yang mirip yang harus dibedakan, yaitu : derivatif total
2<
• Contoh: 1.
³ ₂ ² _{1 2 1}

  "

  ∂ ∂

  ∂ ∂

  ∂ ∂

• = 1 .
• =
• = b.
• =
• =
^{n n n n} dx f dx f dx f dy dx x y dx

x

y

dx x y dy

  − + =

  1 _{2 1 2 1} v f f dv dx f dv dx f dv dy x x x x

  2

  2

  ) 12 .( 3 .

  1 _{2 1} dx f dx f dy x x

  2

  1 x x x x f u f du dx f du dx f du dy

  2

  10 . _{2 1} ^{2 1}

  2

  1 _{2 1} dx f dx f dy x x

  − = + = = Carilah dy/du dan dy/dv ! a.

  v u x v u x x x f y

  3 , 5 ) (

  4

  . Simbol yang terakhir hanya merupakan salah satu komponen dari simbol pertama.

  ∂ ∂

  x y

  dan diferensial total ₂

  dx dy

  2

  didapat dengan membagi kedua sisi dengan dx

  2

  1 , x 2 , …, x n )

  D . D e r iv a t if Tot a l

  2 ^{2 2 1 1 2} dx dx f f dx dx f dx dy _{n n}

• =
• =

E. D e r iva t if da r i Fu n gsi- fu n gsi I m plisit

• Konsep diferensial total memungkinkan untuk mencari derivatif dari fungsi implisit.
• Fungsi eksplisit: y = f(x) mudah diubah menjadi fungsi implicit F(y, x)=0 tetapi arah sebaliknya belum pasti.
• Contoh fungsi implisit F(y,x)=y
• x
• 9 =0 (Persamaan lingkaran)

• Fungsi Implisit F(y, x

  …, x

  1

  …, x

  m

  ), contohnya dengan membatasi jangkauan (range) y = f(x

  1 …, x m ), sehingga setiap vektor (x 1 …,

  x

  m ) dipetakan tepat satu nilai y.

  Maka: i) Terdapat fungsi y dalam bentuk y = f(x

  1

  ) dan ii) Masih memenuhi F(y, x

  m

  1 …, x m ) untuk setiap titik di N sedemikian

  sehingga F ≡ 0

  2

  2

  9

  9

  x y x y

  − ± = − =

  Di sini dapat dibatasi jangkauan (range) y menjadi dua bagian agar fungsi diatas menjadi fungsi eksplisit, yaitu (0,∞) dan (-∞,0) Sehingga didapat :

  b) Jika pada titik (y , x1 , …, xm ), dapat dikonstruksi lingkungan (neighborhood) N dari (x

  and F y ≠0

  m

  , …, F

  2.

  4 ( 2 )

  , 3 ) ( ^{2 2} + + = = − = =

  w w w g x w x w x f y

  Carilah dy/dw !

  dw f dx f dy _{w x}

  3 10 ) ) 2 (

  1 4 .( = 3 + = − + +

  w w w f dw dx f dw dy _{w x}

  2

  2

  1

  …, x

  m

  ) = 0 dapat diubah menjadi Fungsi eksplisit: y = f(x) bila memenuhi TEOREMA FUNGSI IMLISIT berikut ini, yaitu :

  a) Jika F mempunyai derivative parsial kontinu F

  y

  , F

  1

• Contoh aplikasi Teorema Fungsi Implisit:

1. Untuk F(y,x)=y

• x
• 9 =0 (Persamaan lingkaran),
_{2 2 2}

  ²

  Æ (0,∞) y = 9 − x dan ₂

  −

  Æ (-∞,0) y = − 9 − x Derivatif dari Fungsi Implisit Untuk mencari derivatif fungsi implisit dapat digunakan 2 cara :

  1. Diubah dahulu menjadi fungsi eksplisit (kalau bisa) atau gunakan

  2. Konsep diferensial total dalam bab sebelumnya Contoh :

  2

  2

  1. Carilah derivatif dy/dx dari fungsi F(y,x)=y +x -9 =0

  a. Diketahui fungsi eksplisitnya : ²

• (0,∞) Æ y =

  9 x − +

• dy

  1 1 x x − −

  = ( − 2 x ) = = _{2 2} +

  dx

  2

  y

  9 − x 9 − x dan ₂

  −

  (-∞,0) Æ y 9 x = − −

  − dy

  1 1 x x −

  = − ( − 2 x ) = = _{2 2} −

  dx

  2

  y

  9 − x 9 − x

  b. Dengan diferensial total

  dF = + F dx F dy x y dF dy

  = x y dx dx dy

• F F

  =

• F F

  x y dx dy F x x

  2

  x

  = − = − = −

  dx F y y

  2

  y

  2

  2

  2

  

3

  2. Jika F(z, x, y) = x z + xy – z + 4yz = 0, maka

  2 xy 4 z = − = − _z ² +

• F dz y

  dy F

  2 x z 3 z 4 y − ² F. St a t ik a Kom pa r a t if da r i M ode l- m ode l Fu n gsi Um u m

  1. Model Pasar (Market Model) Misalkan fungsi permintaan dan penawaran dari sebuah komoditi adalah: _{/ /} 1 ) Q = D ( P , Y ) ( D &lt; ; D &gt; ) _{d P Y / /} 2 ) , ( ; )

  Q = S ( P T ) S &gt; S &lt; _{s P T}

  Di mana Y = Pendapatan, T = pajak dan P = harga Semua turunan bersifat kontinu. Variabel Endogen : Q, P Variabel Eksogen : Y , T

  F (P, Q; Y , T ) = D( P , Y ) – Q ≡ ₁ F (P, Q; Y , T ) = S( P , T ) – Q ≡ _{2 * * * *}

  Carilah dQ dY , dQ dT , dP dY , dP dT Total derivatif nya : ^{/ /} +

  D d P D dY − d Q = _{P Y}

• S d P S dT − d Q = _{P T}
^{/ /}

  Atur sehingga : _{/ /}

  D d P − d Q = − D dY _{/ / P Y} S d P d Q S dT _{P T} − = −

  Ubah dalam bentuk matriks : _{/ /} ⎡ ⎤ dY

  ⎡ D − _P 1 ⎤ ⎡ d P ⎤ − D ⎡ ⎤ _Y =

  ⎢ / ⎥ ⎢ / ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

  dT S − _P 1 d Q − S _T

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Hitung tanda dari Determinan Jacobiannya : Hitunglah Persamaan derivatif total – parsial terhadap Y dan T dari matriks di atas:

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  1

  Sehingga di dapat :

  ; ; ; _{/ /} ^{/ /} _{/ /} ^/ &gt; − = &gt; −

  = _{P P} ^{Y P} _{P P} ^Y D S D S dY Q d dan D S

  D dY P d b.

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  = ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎣ ⎡

  − ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎣ ⎡

  − −

  − ^{/ / / / /}

  1

  dY Q d dY P d

  1

  dT Q d dT P d

  S D S D S T _{P P P P}

  Sehingga didapat :

  ; _{/ /}

^{/ /}

_{/ /} ^/ &lt; − − = &gt;

  − − = _{P P}

^{T P}

_{P P} ^T

  D S S D dT Q d dan D S

  S dT P d

  1

  _/ 1 _{/ /} ^/ &gt; − =

  − −

  = _{P P P} ^P

  D D S D S ^Y _{P P P P}

  −

  ⎣ ⎡ − =

  1

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎣ ⎡ − −

  ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎣ ⎡− = ⎥

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥

  ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

  − / _/ ^{/ / / /}

  1

  1

  1 T _P ^{P Y P P} S dT Q d dT P d

  − −

  S D D dY Q d dY P d

  S D

  Dapatkan solusinya dengan metode Matriks Invers :

  a. ;

  1

  1

  1 ^/ _{/ / / /} ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  = ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎣ ⎡−

  ⎥ ⎦ ⎤

  ⎢ ⎣ ⎡

  D S S D J