IN minimal astfel ca

  

Capitolul 4

FORMULA LUI TAYLOR. EXTREME

  3

  3

  2 Exemplul 1. Sã se dezvolte polinomul f(x,y,z) = x +y +xyzz +xy+xz+1 dupã puterile lui x1, y+1 ºi z1.

  Rezolvare. Vom folosi dezvoltarea Taylor a funcþiei f în jurul punctului

  3

  4

  a=(1, 1,1) IR . Cum f este un polinom de gradul al treilea d f=0, deci R

  3 (x,y,z)=0 ºi

  formula lui Taylor este:

  1

  1

  

2

  3 f ( x , y , z )  f ( 1 ,  1 , 1 )  d f ( x  1 , y  1 , z 

1 )  d f ( x 

1 , y  1 , z  1 )  d f ( x  1 , y  1 , z  1 )

  ( 1 ,  1 , 1 ) (

1 , 

1 , 1 ) ( 1 ,  1 , 1 )

  2

  6

  2

2 Dar df

  3 x dx 3 y dy yzdx zxdy xydz 2 zdz ydx xdy dx dz ,          

  2

  2

  2

  2

  d f 6 xdx 6 ydy ( zdy ydz ) dx ( zdx xdz ) dy ( ydx xdy ) dz 2 dz 2 dxdy , iar          

  3

  3

  d f  6 ( dx  dy  dxdydz ) .

  3

  2

  2

  2

  2 Calculãm acum f(1,1,1)=2, d f 

  2 dx  5 dy  4 dz , d f 6 dx 6 dy 2 dz    

    ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 )

   4 dxdy  2 dydz  2 dzdx ; prin urmare:

  2

  2

  2

  f ( x , y , z )

  2 2 ( x 1 ) 5 ( y 1 ) 4 ( z 1 ) 3 ( x 1 ) 3 ( y 1 ) ( z 1 )               

  3

  3

  2 ( x 1 )( y 1 ) ( y 1 )( z 1 ) ( z 1 )( x 1 ) ( x 1 ) ( y 1 ) ( x 1 )( y 1 )( z 1 ) .                 

  Observaþie. Polinomul f din exemplul precedent este un vector din spaþiul

  liniar IR [x,y,z] al polinoamelor de trei variabile de grad mai mic sau egal cu trei

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  exprimat în baza canonicã B ={1, x, y, z, xy, yz, x , y , z , x y, x z, y x, y z, z x, z y,

  c

  3

  3

  3

  x , y , z , xyz} (dim IR [x,y,z]=20). Dezvoltarea lui f dupã puterile lui x1, y+1, z1

  3

  înseamnã de fapt exprimarea acestui vector în baza B= {1, x1, y+1, z1, (x1)(y+1),

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  (y+1)(z1), (x1)(z1), (x1) , (y+1) , (z1) , (x1) (y+1), (x1) (z1), (y+1) (x1),

  2

  2

  2

  3

  3

  3 (y+1) (z1), (z1) (x1), (z1) (y+1), (x1) , (y+1) , (z1) , (x1) (y+1) (z1)}.

  Exemplul 2. Folosind formula lui Taylor de ordinul al treilea sã se calculeze 2,1 valoarea aproximativã a numãrului (0,9) . y

  în punctul (x,y)=(0,9;

  Rezolvare. Ne intereseazã valoarea funcþiei f(x,y)=x

  2,1); vom alege drept punct (a,b) în jurul cãruia vom dezvolta funcþia f unul în care

  

putem calcula exact funcþia f ºi derivatele sale parþiale ºi, totodatã, cât mai apropiat

  de (x,y). Fie deci (a,b)=(1,2). Atunci: _{2 , 1}

  1 ² ( , 9 )  f ( x , y )  T ( x , y )  f ( _{3 (} 1 , 2 )  d f ( x  a , y  b )  d f ( x  a , y  b )  _{1 , 2 ) ( 1 , 2 )}

  2

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1   

  3

  2

  3

   d f ( x  a , y  b )  1  d f ,  d f ,  d f , .

            

  ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 )

  6

  10

  10

  2

  10

  10

  6

  10

  10      

     y 1 y 2 y 1 y

  2 Cum d f yx dx x ln xdy |

  2 dx ,    d f  x dxdy  y ( y  1 ) x dx 

  ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 )     y 1 y 1 y y

  1

  2

  x ln x dx yx dx x ln xdy ln xdy x d xdy | dxdy 2 dx dxdy         

     (1,2)

  2

  7

  3

  2 2 ,

  1

   2 dx ( dx  dy ) , iar d f 7 dx dy , rezultã cã ( , 9 )  1    , 807 .

  

  ( 1 , 2 )

  10 1000

  2,1

  Sã remarcãm cã aproximarea de ordinul 0 este (0,9) (x,y)=1, iar cea de T

  2,1

  ordinul al doilea este (0,9) T (x,y)=0,8. În nici unul din aceste cazuri nu avem o

  1

  estimare a erorii comise. Dacã dorim sã calculãm o expresie cu o precizie prestabilitã R .  trebuie sã gãsim un nIN astfel ca  

  n

  4 , 1  , 9 cu douã zecimale exacte.

  4 Exemplul 3. Sã calculãm N 

  1

  1

  2

  4 f ( x , y ) x y pe care o dezvoltãm în jurul punctului (4; 1).

  Considerãm funcþia  Deoarece N=f(x,y) unde x=4,1 ºi y= 0,9, conform formulei lui Taylor existã (4; 4,1) ºi (0,9; 1) astfel încât:

  n 1 

  1 1  k

  N  f ( 4 , 1 )  d f ,   R ( x , y ) ,   ( 4 , 1 ) n

   k !

  10

  10 k  1  

  1

  1

  1

     n

  1

  unde R ( x , y )  d f ,  . Trebuie sã gãsim un nIN minimal astfel ca

      n ( , )

  ( n  1 )!

  10

  10  

  

2 R ( x , y )

  10 , unde (x,y)=(4,1; 0,9). Deoarece: 

  n

  1

  1

  1

  1

  1  

  R ( x , y )  d f ,   f ' (  ,  )  f ' (  ,  )  f ' (  ,  )  f ' (  ,  ) ,

      ( , ) x y  x y 

  10

  10

  10

  10

  10   iar

  1

  1 

  1

  1 1 

  1

  3

  2

  4

  f ' (  ,  )     f ' ( , ) , atunci R ( x , y )  ºi     ºi

  x y

  3

  4

  2

  2

  4

  2

  40  aproximarea de ordinul zero: NT (x,y)=f(4,1)=2 nu pare sã fie satisfãcãtoare. Sã

  încercãm o estimare cât mai finã pentru restu l de ordinul întâi. Cum

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  2   '' '' ''

  R ( x , y ) d f , f ^{2 ( , ) f ( , ) f 2 ( , )}            

  1 (  ,  )   xy x

  2

  2 2 y

  2

  10

  10

  2

  10

  10

  10  

  1

  '' '' ''

   f ^{2 (  ,  ) } 2 f (  ,  )  f ^{2 (  ,  )}

   xy  x y

  200 iar

  3

  1 

  1

  1

  ''

  2

  4

  f (  ,  )     , ₂

  x

  4

  32

  

  1

  3 

  1

  1

  1

  10

  5

  ''

  2

  4

  4

  f ( , ) ,         

  xy

  8

  8

  2

  9

  24

  

  

7

  1

  7

  3

  3 1  10 

  3

  10

  5

  ''

  2

  4

  4

  f (  ,  )          _{2  } 2  ,

  y

  16

  16

  2

  9

  32

  9

  24   1 

  1

  10 5 

  1 rezultã cã R ( x , y )     , deci putem afirma cu certitudine cã  

  1

  200

  32

  24 24 100   aproximarea de ordinul întâi:

  

  1 1 

  1

  1 1  N  T ( x , y )  f ( 4 , 1 )  d f ,   2     2  , 025  1 , 975

     

  1 ( 4 , 1 )

  10

  10

  10

  4

  2     este o evaluare cu douã zecimale exacte a numãrului N. f(x,y,z) = 

  3 (0,0,0)

  4 - 4xyz.

  f

  Deci punctele (0,0,0), (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) sunt posibile puncte de extrem. Hessiana funcþei f în punctul curent este: H

  3 z 3 y 3 x

  ) yz x ( , 4 ) z y , x ( ` f

  ) zx y ( , 4 ) z y , x ( ` f

  ) xy z ( , 4 ) z y , x ( ` f

          

      

  Rezolvare. Determinãm mai întâi punctele staþionare rezolvând sistemul:

  4

      

  4

   IR, f(x,y,z)=x

  3

  

Exemplul 5. Sã se determine extremele locale ale funcþiei f : IR

  , n3 atunci folosim o dezvoltare de ordin superior în formula lui Taylor; dacã primele derivate parþiale nenule sunt de ordin impar, atunci punctul staþionar nu este extrem pentru f.

  n

  anuleazã ºi f este de clasã C

  Observaþie. Dacã într-un punct staþionar a al funcþiei f diferenþiala a doua se

  = 5<0, deci punctul (2, 2) nu este un extrem al funcþiei f.

  2

  (x,y,z)=4     

       

  1

  2

  3

  

3

  3

  f = 24(xdx

  3

   zdxdy ydxdz  , avem d

  

2



  2

  2

       zdxdy 2 dz z dy y dx x 3 4 f d

  2

     

  f=0. Vom studia semnul diferenþialei de ordinul trei în (0,0,0). Cum

  2 (0.0.0)

  (0,0,0) este matricea nulã, d

  f

  (a). Deoarece H

  3 .

  z 3 x y x y 3 z y z x

  2

  2

  = 1<0, 

  (2,1) = 1 > 0 rezultã cã (2,1) este un punct de minim local pentru f ºi f min =23/2. În sfarºit, în (2, 2) avem 

  

Exemplul 4. Sã determinãm extremele locale ale funcþiei f : IR

  3

  2 y

  ) 2 y y y , x ( ` f 2 x ) 3 x y , x ( ` f

         

     

  ) rezultã cã putem determina toate punctele de extrem prin metoda descrisã: Pasul 1. Determinãm punctele staþionare din sistemul:

  2

  (IR

  2

         . Cum fC

  2

  2 x

  3

  2

  3 x ) y , x ( f

  3

  2 x

  2

  2 y 3 y x

  2

  IR, 13 y

  2

  2

  , deci punctele (1,1), (1,-2), (2,1) ºi (2,-2) sunt conform teoremei lui Fermat posibile puncte de extrem.

  2

  1 =1 ºi 

  (2,1) = 1, 

  1

  Deoarece 

  max =f(1, 2)=79/6.

  f

  2 = 5 > 0, deci (1,-2) este un maxim local ºi

  = 1 < 0, 

  1

  În punctul (1, 2), 

  2 =1, deci acest punct nu este punct de extrem pentru f.

  În (1,1), 

  Pasul 2. Studiem natura punctelor staþionare folosind criteriul lui Sylvester. Hessiana funcþiei f în punctul curent este :

  2 (x,y)=(2x3)(2y1).

  (x,y)=2x3, 

  1

  2 , iar 

  2 3 x

    1 y

    

  (x,y)=   

  f

  H

• y
• z
• ydy
• zdz
• dxdydz), deci d

  3

  24dxdydz, adicã d (0,0,0) f(x,y,z) = 24xyz, care este o formã ternarã ce îºi schimbã semnul în orice vecinãtate a originii; prin urmare (0,0,0) nu este un punct de extrem pentru f.

  3

  1

  1  

     

  2

  (b). Deoarece H (1,1,1)=4

  1

  3 1 , avem =12, = 8  4 ,    

  f

  1

  2

     

  1

  1

  3  

   

  3

  = 16 

  4 

  

3 >0 ºi conform criteriului lui Sylvester, (1,1,1) este un minim local, iar

f =f(1,1,1)=-1. min

  (c). Deoarece f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y), pentru a studia natura punctelor staþionare rãmase este suficient sã analizãm natura punctului (1,-1,-1). Cum

  3

  1

  1    

  2

  3 H (1,-1,-1)=4

  1

  3 1 , avem  = 12,  = 8  4 ,  = 16  4 > 0; rezultã cã 

  f

  1

  2

  3

     

  1

  1

  3 

    = f(1,1,1)= f(1,1,1)= cele trei puncte sunt de minim local pentru f ºi f

  min f(1,1,1)= 1.

  Exemplul 6. Dintre toate paralelipipedele drepte pentru care suma lungimilor laturilor este egalã cu a>0 sã se determine cel al cãrui volum e maxim. Rezolvare. Fie x,y,z lungimile laturilor unui asemenea paralelipiped; atunci

  volumul sãu este :

  3 V(x,y,z) = xyz, unde V:A={(x,y,z) IR | x + y + z = a, x,y,z > 0}. Valoarea

  maximã a funcþiei V coincide cu cea a funcþiei f(x,y) = V(x,y,a-x-y) = xy(a – x – y ),

  2

  unde f este de clasa C pe

2 B = {(x,y) IR

  | x , y > 0 , x + y a}. Determinãm punctele staþionare din sistemul:

  2

   f ` ( x , y ) ay 2 xy y 2 x y a       

  x

   

  2

  f ` ( x , y ) ax x 2 xy x 2 y a       

  y

   a a  

  , , iar Deci singurul punct staþionar este  

  3

  3   a a

   

  2  

    2 y a 2 x 2 y a a   

     

  3

  3   H , = = .

  f  

   

   

  3 3 a 2 x 2 y 2 x a a a a     

       , 

  2  

  

  3 3   

  3

  3  

  2

  a a a a  

  Atunci  = -2 < 0,  = > 0, deci ,

  1 2   este un maxim local pentru f ºi

  3

  3

  3

  3  

  3

  a a a   f = f = .

  ,

  max  

  3

  3

  27   a a

    Nu avem însã certitudinea cã

  , este un maxim absolut. Considerãm funcþia:  

  3

  3  

  2

  g:B ={(x,y)IR x,y  0, x+ya}  IR, g(x,y)=xy(a–x–y). Cum g este o funcþie y D(0,a) B x

  C(a,0)

  continuã pe un compact rezultã cã ea este mãrginitã ºi îºi atinge marginile. Pe a a   interiorul lui B , adicã pe B am vãzut cã existã un singur extrem: , .  

  3

  3  

  Rãmâne sã determinãm extremele pe frontierã. Pe segmentul OC avem y=0 ºi x[0,a], deci funcþia h(x)= g(x,0) = 0 este constantã; analog pe OD; pe CD avem x+y=a, x[0,a] ºi k(x)=g(x,a-x)=0. Prin urmare imaginea funcþiei g este

  3

   a  a a

    Im g=g(B )= ,

  , este un ºi maximul ei absolut este atins în interior; deci  

   

  27

  3

  3  

    a a a   maxim absolut pentru f, iar , ,   este un maxim absolut pentru V. În consecinþã,

  3

  3

  3   a parealelipipedul cãutat este cubul de laturã .

  3

  p Observaþie. Dacã f : A  IR  IR este o funcþie continuã ºi A este o mulþime

  compactã, atunci extremele sale absolute se determinã astfel: (a) determinãm extremele locale pe Å, (b) determinãm extremele locale pe frontiera Fr A; atunci maximul absolut e cel mai mare maxim local, iar minimul global este cel mai mic minim local (dintre cele determinate la (a) ºi (b)). Pentru funcþiile de douã variabile problema determinãrii extremelor pe frontierã se reduce, ca în exemplul precedent, la determinarea extremelor unor funcþii de o singurã variabilã. În cazul funcþiilor de trei variabile determinarea extremelor pe frontierã revine la studiul extremelor unor funcþii de douã variabile, º.a.m.d. Ne vom ocupa de aceastã problemã în secþiunea consacratã extremelor cu legãturi.

  Exemplul 7. Determinaþi extremele absolute ale funcþiei f(x,y) = xy pe domeniul triunghiular de vârfuri O(0,0), A(1,0), B(0,2).

  2

  | x,y  0,

  Rezolvare. Domeniul de definiþie al funcþiei f este D={(x,y) IR x + y / 2 1}. y B

  D x A _

  D ={(x,y)|x,y > 0, 2x + y <2} sistemul:

1. Pe interiorul mulþimii D, deci pe

  f ` y  

  

  x

   f ` x  

  y

   _{ } D f nu are are o unicã soluþie (0,0) D . Neavând puncte staþionare rezultã cã pe extreme locale.

  2. Pe frontiera Fr D=OABO considerãm cazurile:

  2.1. Pe segmentul [OA] avem y = 0 ºi x[0,1]. Funcþia g(x) = f(x,0) = 0 este constantã pe [0,1].

  2.2. Pe segmentul [OB] avem x = 0 ºi y[0,2]. Funcþia h(y) = f(0,y) = 0 este constantã pe [0.2].

  2.3. Pe segmentul deschis AB avem y = 2 - 2x, x(0,1). Atunci funcþia k(x) =

  1

  1

  1 f(x,2-2x) = 2x(1-x) are un maxim în x = , k = k( ) = .

  max

  2

  2

  2 Prin urmare f =

  min = f(x,0) = f(0,y) = 0, pentru x[0,1], respectiv y[0,2] ºi f max

  1

  1

  1 f( ,1) = , iar Im f = f(D) = [0, ].

  2

  2

2 Observaþie. Sã presupunem cã sunt îndeplinite condiþiile din teorema

  3

  2

  f x , y , z , f : A

  IR  IR, fC (A) sã funcþiilor implicite astfel ca ecuaþia     z  z x , y într-o vecinãtate a punctului a , b , c A a , b defineascã funcþia      . Dacã   este un punct de extrem local al funcþiei z putem sã determinãm condiþii simple (ca în cazul funcþiilor de o variabilã definite implicit – vezi exemplul 11, cap. 3 ºi observaþia care îl precede) pentru a stabili natura sa. Cum derivatele de ordinul întâi sunt:

   f   z f z

   y

  x

    ,  

    x f y f 

  

  z z

  punctul  a , b , c  trebuie sã fie o soluþie a sistemului:  f  x , y , z  f   x , y , z  , f  x , y , z   ,

   , 

  x y

  iar f   a , b , c  . Atunci: 

  z

                f ^{2 f z f f f f 2 z f 2  a , b , c }

   xz x  z x  zx x  _{x z x}

  , z  a , b     _{x 2   2}   f f a , b , c _{z z a , b , c}  

     f ^{2  a , b , c }

   f a , b , c

    y xy

      ^{2   .} z  a , b  ºi z   a , b

  xy y

    f  a , b , c  f a , b , c

    z z

  2 z  z  ^{2 z  z }

  Prin urmare, dacã ^{2 (a,b) (a,b)( (a,b)) 2 (a,b) }  0, atunci pentru

  xy x y x

  0 punctul a , b z z a , b c , iar dacã z  ^{2 (a,b) 0}

    este un minim local pentru z ºi     min x z z a , b c

  atunci   a , b z  z   x , y     . este un maxim local al funcþiei implicite ºi

  max

  z  z x , y definitã implicit de

  Exemplul 8. Sã se determine extremele funcþiei  

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  x y z 2 x z . ecuaþia     

   

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  f x , y , z x y z x z 2 este de

  Rezolvare. Desigur funcþia          

  3

  2

  2

  2

  2

  clasã C pe IR , iar f  x , y , z 4 z x y z 2 z este nenulã pentru z  . Prin

          z z  z x , y într-o vecinãtate a unui punct urmare ecuaþia datã determinã unic funcþia  

  3

  a , b , c

  IR a , b , c , c0 astfel

     , cu c0, care verificã aceastã ecuaþie. Vom determina  

  ca funcþia implicitã z  z(x,y) sã admitã punctul (a,b) ca punct staþionar din sistemul

  2

  2

  2 ^{2 2 2}

  f(x,y,z)0,  , ; f  x , y , z   4 x x  y  z  2 x  f   x , y , z   4 y x  y  z 

      x ^y

  obþinem xy0 ºi z1. Conform teoremei funcþiilor implicite existã douã funcþii

  2

  z , z C U , unde U V     care admit punctul (0,0) ca punct staþionar, iar

  1 2   ,

  z , 1 z , 1 .

     ºi    

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 f  ^{2 f  f  2} Dar (x,y,z) 4(x +y +z )+8x +2, (x,y,z) 4(x +y + z )+8y ,

  (x,y,z) 8xy ºi

  xy x y

  Iar f  ^{2 (0,0,1)  6, f  (0,0,1)  0,  f }

  f ^{2  , , }

1  

4 ºi (0,0,1)  6. Aºadar hessiana z x xy y

  este funcþiei z

  1

  

  1    

  2 H , ,

     z ₁

    

  3  

  2 1   (0,0)1.    ºi , deci funcþia z

  1 are un maxim local în (0,0) ºi z 1 max  z

  1

  1

  2

  3 Analog

  1    

  2 H   , , 

  z ₂

   

  3  

  2 iar   1  ,   

  ; prin urmare funcþia z

  2 are un minim local în origine ºi z 2 min

  1

  2

  3  z (0,0)1.

2 Exemplul 9. Sã se determine imaginea funcþiei

  2

  2

  2

  f : A={(x,y)  | x + y , f x , y x y

  13

      

  ≤ 1}

  2 A 

  IR ; prin urmare

  Rezolvare. Funcþia f este continuã pe compactul

  imaginea f(A) este compactã în IR (teorema 15, cap.1) ºi f îºi atinge marginile

  '

  (teorema 16, cap.1). Rãmâne sã determinãm aceste margini. Cum f 1 , pe   _

  x

  2

  2

  interiorul A  ( x , y ) | ( x  y 

  1 nu existã puncte staþionare, deci nici extreme

   

  (teorema lui Fermat); prin urmare extremele sunt atinse pe frontiera mulþimii A,

  2

  2

2 FrA = {(x,y)  IR | x + y = 1}, ceea ce înseamnã cã trebuie sã determinãm

  2

  2

  x y 1 . Fie  extremele funcþiei f cu legãtura     IR multiplicatorul lui Lagrange; funcþia lui Lagrange este:

  2

2 L x , y , x y

  13 x y 1 ,

             

  iar sistemul *** este format din ecuaþiile:

  2

  2

   L 

  1 2 x , L 

  1 2 y , L  x  y  1  ,        

  



x y

  1

  1

  1

  1

  1

  1 deci x   , y   2  1 . Pentru avem x= , y

  ºi      ºi

  2

  2  2  4 

  2

  2

  2

  1

  1

  1 pentru x  y    obþinem ºi   . Calculãm diferenþiala de ordinul al

  2

  2

  2

  1

  1 F x , y L x , y , unde  este constantã ( sau ). doilea a funcþiei           

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  d F 2 dx dy . x y

  1 Obþinem      Prin diferenþierea legãturii    obþinem xdx+ydy=0 ºi cum y=-x0, dx=dy; deci forma pãtraticã  este definitã prin

  2

  2

  

    h

  4 dx   h 4 h .    

  1

  1

  1

  2

   Dacã ,   h 

  2 2 h este pozitiv definitã, deci ( , ) este un  

  

  2

  2

  2

  1

  1

  1 =f(  , )=13- 2 ; dacã    ,  este negativ minim absolut pentru f ºi f min

  2

  2

  2

  1

  1 definitã, ( ,  ) este un maxim global pentru f ºi f max =13+ 2 . În consecinþã

  2

  2 imaginea funcþiei f este f(A)= 13- 2 ,13+ 2 .

  3

   IR, f x, y, z =xyz

  Exemplul 10. Sã se determine extremele funcþiei f : IR   cu legãturile x + y + z = 5 ºi xy + yz + zx = 8.

  Rezolvare. Fie  multiplicatorii lui Lagrange. Atunci funcþia lui Lagrange

  este: L x , y , z , , xyz x y z 5 xy yz zx 8 iar sistemul *** este

                    

  format din ecuaþiile:

  ' '

  '

  L yz y z =0,   á  â  =0, L xy x y =0,         L zx  z x         

  x y z ' '

  L  x  y  z  5  , L xy yz zx 8 .

      

   

  Sã remarcãm întâi cã sistemul este simetric în x,y,z ºi cã prin adunarea primelor trei relaþii obþinem 8+310=0. Cu aceste constatãri punctele staþionare ale funcþiei L sunt:

• pentru  = 4,  = -2, x , y , z 2 ,

  2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 ,

  2

            

  4

  7

  4

  7

  7

  7

  4

  4 

   4

       

• pentru =16, = -4, x , y , z , , , , , , , ,

    

         

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  3      

   

2 Calculãm acum d F

  , unde F(x,y,z)=L(x,y,z, cu  constante; obþinem

  2 = zdy ydz dy dz dx zdx xdz dz dx dy ydy xdy dx dy dz .

  d F                    

  

     

  Prin diferenþierea legãturilor avem dx+dy+dz=0 ºi (y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz=0 (1)

  Cazul 1. Pentru =4, = -2, (x,y,z)=(2,2,1) din sistemul (1) obþinem dz = 0 ºi

  2

  2

  dy= - dx, iar d F 2 dx . Prin urmare (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2) sunt puncte de  

   2 , 2 , 1  = 4.

  minim ale funcþiei f cu legãturile date ºi f min

  16

  4

  4

  7 Cazul 2. Pentru   ,    , x  y  , z  obþinem dz = 0 ºi dy= -dx,

  9

  3

  3

  3

  4

  4

  7

  4

  7

  4

  7

  4

  4      

  2

  2

  iar d F   2 dx , , , , , , , , sunt puncte de . În consecinþã      

   

  4

  4

  7  , , 

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  3      

  

  3

  3 3 

  maxim local pentru funcþia f cu legãturile x + y + z -5 = 0 ºi xy + yz + zx – 8 = 0, iar 

  4

  4 7  112 f  f , ,  .  

  max

  3

  3

  3

  27  

• y
• z
• y
• z
• – 1 + 0; v – u = 0 ºi w – u – 2 = 0
• (y - u)
• (z – u - 2)
• y
• z
• (y - v)
• (x
• y
• z
• 1) (5) Sã determinãm punctele staþionare pentru L din:
• (z – u - 2)
• y
• z

  1

  6

  2 , u

  3

    . Prin urmare din (6) obþinem:

    

  1

  5

  1

  2

  . (9) Conform criteriului lui Sylvester, pentru ca forma pãtraticã (9) sã fie pozitiv definitã este necesar ca

  2

  2

  

2

  4

  6

  5

  3 dxdy 2 dy 5 dx

        du dy dx 3 du

   

   

     

   2

  ) 7 (

  

  ) 7 (

  2

  )+3du

  2

  2

  2 , z

  1 , y x

  )] = = 2[(+1) (dx

  2 ,

     .

    

      

    

    

    

      

  1 ) d D , S ( d

  6

  1 ,

  6

  2 ,

  6

  3

  3

  2 ,

  3

  4 ,

  3

  5

  3

  2

  2

  3

   

  (10) Din punct de vedere geometric problema este unic determinatã; prin urmare distanþa de la sfera S la dreapta D este, conform formulelor (10), (1) ºi (2):

  1         

  2

  2

  2

  2

  L’ x = 2 [( + 1)x - u] = 0, L’ y = 2[( + 1)y - u] = 0, L’ z = 2[( + 1)z – u - 2] = 0, L’

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  L (x, y, z, u, ) = (x - u)

  (4) Funcþia lui Lagrange este în acest caz:

  2 – 1 = 0.

  2

  2

  (3) cu singura legãturã x

  2

  2

  (2) Deoarece funcþia lui Lagrange asociatã are nouã variabile (cele ºase ale funcþiei g plus trei multiplicatori) iar derivatele sunt complicate, vom încerca sã simplificãm problema. Sã constatãm întâi cã punctul de minim al funcþiei g coincide cu cel al funcþiei: f (x, y, z, u) = (x - u)

  2

  2

  2

  2

  (1) Problema noastrã constã în determinarea minimului absolut al funcþiei g cu legãturile: x

  w z v y u x     

  2

  2

  2

       

  defineºte o funcþie de ºase variabile: d (P, M) = g (x, y, z, u, v, w) =

  Rezolvare. Distanþa de la un punct M (x, y, z)  S la un punct P( u, v, w) D

  2 = 1 la dreapta de ecuaþii D : y = x, z = x +2.

  2

  2

  u

  

Exemplul 11. Sã se determine distanþa de la sfera de ecuaþie S : x

  3

  2

  2

  2

  2

  Ne intereseazã doar minimul funcþiei auxiliare F (x, y, z, u) = L (x, y, z, u, ) (8) unde  este o constantã. Diferenþiind obþinem succesiv: dF = 2[(x-u)(dx-du) + (y-u)(dy-du) + (z-u-2)(dz-du) + (xdx+ydy+zdz)], d

  1 dz   (7)

  2

  dy dx

   

  (6) Diferenþiind legãtura (4), din (6) rezultã:

        

    

  2 u    

  2 , y x

  = 2(x + y + z - 3u – 2) = 0 ºi L’ = x

  3

  ) 1 (

  4 , z

  3

  1

  2 1 ,

  2

  3

   

  Rezolvând acest sistem obþinem:

  2 – 1 = 0.

  2

  2

  2

2 F = 2[(dx-du)

• (dy-du)
• (dz-du)
• (dx
• dy
• dz
• dy
• dz
• 2du (dx + dy + dz)]
EXERCIÞII PROPUSE

Exercþiul 1. Sã se dezvolte dupã puterile lui x + 1, y + 1, z – 1 polinoamele

  3

  3

  (a) f(x, y) = x + y

• – 3 x y + 13

  3

  3

  3

  2

  2

  (b) f(x, y, z) = x + y - z + 3x y – 3xy + z – z + 22

  2

  2 Rãspuns. (a) f (x, y) = 8 + 6(x + 1) + 6(y + 1) – 3 (x + 1) – 3(y + 1) – 3(x +

  3

  3

• 1)(y + 1) + (x +1) + (y + 1)

  ; (b) f(x, y, z) = 13 + 12(x + 1) + 15(y + 1) – 2 (z - 1) –

  2

  2

  2

  3

  3

  3

• (y + 1)
• 2 +6(x + 1) (y + 1).
• – 6(x + 1) – 3 (y + 1) – 2 (z - 1) – 9(x + 1)(y + 1) +(x + 1) – (z - 1)

  Exerciþiul 2. Sã se scrie polinomul Taylor de gradul al doilea pentru:

  2

  2

  (a) f(x, y) = ln(x + x + y ) în punctul (0,1)

  x

  (b) f(x,y,z) = e arctg (y + z) în punctul (0,0,1)

  1 

  2

  2

  2

  2 Rãspuns. (a) T

  (x,y) = x (x, y, z)= x

  2 – y

• – 2 – 2xy – y +3x – 3; (b) T

  2

  8

  1

  1

  5

  5

  3

   1  

  2 xy +   x y+ z+ .

• 4
• –z xz – 2yz +
•  

  2

  4

  2

  2

  2

  2

  2

   

  

Exerciþiul 3. Folosind formula lui Taylor de ordinul al doilea sã se arate cã:

  3

  3

  (a) 1 ,

  01 1 ,

  99 2 , 9851

       

  3

  (b) 1 , 03  , 98  1 , 0081

  1,02

  (c) (1,1)  1,1021

  1,2 1,01 1,001

  = (1,1) = (0,99) + (1,01) +

  Exerciþiul 4. Sã se determine E ºi E

  1

  2 0,99 0,99 0,999 1,01

• (1,001) = (1,01) + (0,99) + (0,999) cu trei zecimale exacte.

  ºi E

3 Rãspuns. E  1,121; E  3,001; E  2,999.

  1

  2

  

3

Exerciþiul 5. Sã se determine extremele locale ale funcþiilor

  370

  3

  2

  2

  2

  (a) f(x,y) = x + x + 2y +

• – 3xy – 2xy + 3y

  27

  3

  3

  2

  (b) f(x,y) = 2x +(y-x)

• – y

  x

  (c) f(x,y) = e (cos y – x) + cos y

  2

  2

  2

  (d) f(x,y,z) = x + y + z

• – xy + x – 2z

  3

  2

  2

  (e) f(x,y,z) = x + y + z + 12xy + 2z

  2

  2

  2 y z (f) f(x,y,z) = x +

    x 4 x y x y z

  (g) f(x,y,z) = , x,y,z >0   y z z x x y

    

  3

  3

  3

  2

  2

  (h) f(x,y,z) = x + y y + 3z + 13

• – z – x

   

  1