Bab 6 Rotasi Benda Tegar

Rotasi Benda Tegar

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

1

Perhatikan gerak CD, daun kipas angin, balingbaling, atau jarum alat-alat ukur? Masingmasingnya melibatkan benda yang berputar
disekitar suatu titik yang diam. Gerak berputar
pada suatu sumbu tetap ini disebut Gerak
Rotasi.

Gerak rotasi terjadi dalam semua
skala, mulai dari gerak elektron
dalam atom sampai gerak seluruh
galaksi di alam semesta.
Pada bab ini akan dipelajari gerak benda yang berotasi. Benda disini
dianggap memiliki ukuran dan bentuk yang tetap yang memiliki gerak
rotasi dan translasi. Benda yang ukuran dan bentuknya tidak berubah
ini disebut Benda Tegar (Rigid Body).
Afdal, Jurusan Fisika Universitas
2

Beberapa Fenomena Rotasi yang Lain

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

3

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

4

Gerak Melingkar Homogen
Gerak rotasi = gerak dalam lintasan lingkaran.
Apakah arti begerak dalam sebuah lingkaran? Jari-jari
(radius) harus tetap!

Dalam gerak melingkar radius tetap, tetapi sudut (arah)
selalu berubah. Jadi gerak melingkar adalah gerak
dipercepat.
Di sini dianggap sudut berubah dengan laju tetap. Tipe

gerak ini disebut gerak melingkar seragam ---> Gerak
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

5

Huruf mana yang bergerak
lebih cepat?

A

B

Perhatikan dua buah titik A dan B pada sebuah piringan
yang berputar. Kedua titik menempuh sudut atau putaran
yang sama dalam waktu yang sama. Tetapi kelajuna linier
keduanya tidak sama. Jadi, benda tegar tidak dapat
diperlakukan sebagai sebuah titik (partikel).
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

6

Besaran-Besaran Angular
Posisi Sudut (θ)
Angular Position

P

Salah satu cara mendeskripsikan
gerak rotasi benda ini adalah
dengan menentukan koordinat
(x, y) dari titik terntu pada
benda, misalnya titik P. Tetapi
cara ini kurang menguntungkan
karena setiap saat harus
ditentukan dua buah nilai, yaitu
x dan y. Sebagai gantinya
perhatikan garis OP. Garis OP ini
posisinya tetap pada jarum.
Sudut (θ) yang dibentuk garis
OP dengan sumbu-x dapat

digunakan untuk
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

O

7

Satuan Sudut
s=r
1 rad

r

Satuan yang umum dipakai untuk
menyatakan besar suatu sudut adalah
radian.
Satu Radian = besar sudut yang dibentuk di
pusat lingkaran saat panjang busur yang
dibentuk sama panjang dengan jari-jari
lingkaran (r).

Panjang satu keliling lingkaran adalah 2πr. Sedangkan
besar sudut untuk satu putaran penuh adalah 360o.
Sehingga,

3600
1rad 
 57,30
2
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

2

1 
rad 
rad
360
180
0

8

Kecepatan Sudut (ω)
Angular Velocity

Perhatikan sebuah titik pada
sebuah roda yang berotasi pada
sumbu
tetap O.
Gerak melingkar dapat dideskripsikan
dalam laju perubahan sudut θ. Misalnya
pada waktu t1 garis OP membentuk sudut
θ1 terhadap sumbu-x. Pada waktu
berikutnya (t2) sudut berubah menjadi θ2.
Maka dapat
kecepatan sudut
2  didefenisikan


 av  (ωav1) 

rata-rata

t2  t1

t

Kecepatan sudut
sesaat, ω
 d
  lim

t  0  t
dt
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

d

dt
9

Percepatan Sudut (α)
Angular Acceleration

Saat mengayuh pedal sepeda lebih kuat atau mengerem,
maka roda sepeda sedang mendapat percepatan sudut.
Misalnya pada waktu t1, keceptan sudut adalah ω1 . Pada
waktu berikutnya (t2) kecepatan sudut berubah menjadi ω2.
Maka dapat didefenisikan percepatan sudut rata-rata (αav):

 f   i 
 av 

t f  ti
t
Percepatan sudut
sesaat, α
  d
  lim

t  0

t
dt
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

d

dt
10

Jarak dari sumbu putar (R)
Jarak (R) dari suatu titik (misalnya P) ke sumbu putar (O)
adalah jarak tegak lurus dari titik tersebut ke sumbu
putar

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

11




Arah Kecepatan Sudut
z


r


v

y
x

Aturan tangan kanan
Arah kecepatan sudut searah
dengan arah sumbu putar.

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

  

v  r
 
v   r sin 

12

Hubungan Kinematika Linier dan Angular

R

( AB / 2)
sin   / 2  
R
Untuk θ kecil berlaku

sin   

AB  s

sin   / 2    / 2

AB / 2  s / 2
(s / 2)
 / 2 
R



v  lim vav  lim R
 R lim
 R
t  0
t  0
t  0
t
t

v  R
Percepatan Tangensial (atan)

atan

dv

dt

atan

d
d
  R   R
dt
dt

s  R
s R

vav 

R
t
t
t
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

v  R

atan  R
13

Percepatan Radial (arad)
Disebut Percepatan centripetal (ac)

Percepatan rata-rata
dalam selang waktu
Δt :  v
R

a

t

Percepatan
sesaat:

R


v
a  lim
t  0  t
Dengan arah menuju
pusat putaran
 rˆ

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

14

A

  s / 2
sin 
R
2 

B

 
s  2 R sin  
2 

 
v  2v sin  
2 
Untuk θ kecil berlaku

Untuk θ kecil
berlaku

sin

 

2
2

 v  v 
v
 
v
v vt

v
R
v v 2

t R

sin   

s  R


v
a  lim
t  0  t

  
sin  
2  2

s
 
R

 v2
a 
R

v  v

s  vt

AB  s

v t
 
R

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Dengan arah menuju pusat
putaran


v2
ac   rˆ
R

15

Percepatan gerak melingkar


v2
ac   rˆ
R
dengan arah menuju pusat
putaran (percepatan sentripetal)

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Tanpa gaya sentripetal, suatu
benda akan yang bergerak akan
terus bergerak dalam lintasan
lurus.

Dengan gaya sentripetal, suatu
benda akan yang bergerak akan
dipercepat dan mengubah
arahnya.

16

Pada kasus α konstan maka
α dapat diintegralkan untuk
memperoleh ω dan θ sebagai
fungsi waktu

  konstan

  0 t
2

 

d
d 

dt
dt 2

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

12





t

t
0
0
2

17

Perbandingan kinematika rotasi dan translasi
Angular

Linear

  konstan

a  konstan

   0  t

v  v 0  at

1
  0   0 t   t 2
2

1
x  x0  v0t  at 2
2

Untuk sebuah titik pada jarak R dari sumbu rotasi:

x  R

v R

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

atan   R

v2
ac    2 R
R

18

CD berputar dengan kelajuan sudut w =
33,33 putaran/menit. Berapa sudut yang
ditempuh per detik?
  33,33rot/ min  33,33rot / 60 sec

  0,5555rot / sec
  0,5555  360o / sec  199,98o / sec

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

19

Contoh:
Sebuah grindstone berputar dengan percepatan sudut
tetap a = 0,35 rad/s2. Pada t = 0, kecepatan angularnya
wo= - 4.6 rad/s2 dan garis referensi berada pada posisi
horizontal qo=0.
(a) Berapa waktu untuk garis referensi untuk
mencapai posisi q = 5,0 putaran?
(b) Gambarkan rotasinya antara t = 0 dand t = 32 s.
(c) Kapan grindstone berhenti?

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

20

***Rotational intro: The blades of an electric blender are
whirling with an angular velocity of +375 rad/s while the
“puree” button is pushed in, as Figure 8.11 shows. When the
“blend” button is pressed, the blades accelerate and reach a
greater angular velocity after the blades have rotated through
an angular displacement of +44.0 rad (seven revolutions). The
angular acceleration has a constant value of +1740 rad/s2. Find
the fnal angular velocity of the blades.

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

21

Gambar menunjukkan suatu peralatan yang dapat digunakan
untuk mengukur kelajuan peluru. Alat mempunyai dua
peringan berputar, yang terpisah pada jarak d = 0,850 m dan
berotasi dengan kelajuan sudut 95,0 rad/s. Peluru awalnya
menembus piringan kiri kemudian piringan kanan. Jika
perpindahan angular antara dua lubang peluru adalah 0,24
rad, berapa kelajuan peluru?

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

22

Seseorang menurunkan ember ke dalam sumur dengan pemutar
yang berdiameter 0,4 m. Pemuatar bergerak dengan kelajuan
tangesial konstan 1,20 m/s dalam lintasan lingkaran. Pemutar
terhubung dengan sebuah kumparan dimana tali ember
dililitkan. Bila diameter kumparan adalah 0,1 m, berapa kelajuan
ember turun?

--->

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

23

Seseorang menurunkan ember ke dalam sumur dengan pemutar
yang berdiameter 0,4 m. Pemuatar bergerak dengan kelajuan
tangesial konstan 1,20 m/s dalam lintasan lingkaran. Pemutar
terhubung dengan sebuah kumparan dimana tali ember
dililitkan. Bila diameter kumparan adalah 0,1 m, berapa kelajuan
ember turun?

k  p
--->

vk v p

rk rp
rk
0,05m
vk  v p 
1, 2m/s=0,3m/s
rp
0, 2m

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

24

Kombinasi dua-rodagigi digunakan untuk mengangkat
beban L dengan kelajuan konstan arah ke atas 2,50 m/s. Tali
penggantung beban dililitkan pada silinder dibelakang
rodagigi besar. Tentukan kecepatan angular (besar dan
arah) dari roda gigi besar dan kecil.

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

25

Suatu roda dengan jari-jari R = 0,4 m berotasi pada sumbu
tetap. Sebuah tali dililitkan pada roda. Dimulai pada t = 0,
tali ditarik sehingga roda bergerak dengan percepatan
konstan a = 4 m/s2. Berapa putaran yang dibuat roda
dalam 10 sekond? (Satu putaran = 2 radians)

α= a / R = 4 / 0,4 = 10
rad/s2

a

  0   0t 
R

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

1
 t2
2

= 0 + 0(10) + ½ (10)(10)2 =
500 rad
1 rot
 500 rad x
2 rad
 80 putaran
26

m4

Energi dalam Gerak Rotasi

Suatu benda tegar terdiri atas sejumlah
partikel dengan massa m1, m2, ….
Masing-masing pada jarak r1, r2, … dari
sumbu rotasi. Benda tegar berotasi
vi 
 benda
i
dengan kecepatan sudut
ω.rSaat
tegarkinetik
berotasi,
kecepatan
partikel ke vi
nergi
partikel
ke-i:
I
dinyatakan
1
1oleh
2
i i

2

2

m v  mi ri 
2
2
nergi kinetik total:
1
1
2 2
K  m1r1   m2r22 2  ...
2
2
1
1 1

2
2
K   mi ri    mi ri 2  2
2 i 2
i 2


Besaran dalam tanda kurung disebut
momen inersia (I) benda.

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

m3

2
m
r
 ii
i

r1



r4
r3

r2

m1

m2

Apa arti I secara
fsis?

Bandingkan EK rotasi dengan EK
translasi

1 2
K  I
2

1 2
K  mv
2

EK rotasi

EK
translasi
Jadi, momen inersia (I) dalam
gerak rotasi analogi dengan
massa dalam gerak tranlasi
27

Menghitung Momen Inersia
A. Momen Inersia Sistem Partikel

Perhatikan sistem N
partikel diskrit yang
diputar terhadap
suatu titik tetap O.
Momen inersianya
adalah I:N
2
I   mi ri
i 1

dimana
ri adalah jarak dari partikel ke-i dengan massa mi ke ke
sumbu putar O
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

28

Contoh: moment inersia sisitem partikel
Empat buah titik massa dengan
massa yang sama yaitu m berada
pada sudut-sudut bujursangkar
dengan jari-jari L. Tentukan
momen inersianya bila diputar
dengan sumbu putar tegak lurus
L/2
pusat bujursangkar.
m

r

m

L
m

m

Keempat partikel mempunyai
jarak yang sama ke sumbu
putar yaitu r.2
2

L2
L2
L2
L2
I   mi ri  m m  m  m
2
2
2
2
i 1
2

1
2
I  mL
2

L  L
r 2  2  
2
2 

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

29

Contoh: moment inersia sisitem partikel
Hitung I untuk benda yang
sama dengan contoh yang
sama, tetapi dengan sumbu
putar melewati titik pusat,
sejajar dengan bidang (lihat
gambar):

N

I   mi ri 2
i 1

I  mL2  mL2  m 0 2  m 0 2
I 

N



i 1

m i ri 2

L2
L2
L2
L2
I  m m m m
4
4
4
4

I  2 m L2
Untuk suatu objek tertentu, I dapat
berbeda-beda bergantung pada posisi
sumbu rotasi.

I  m L2
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

30

Soal Latihan: moment inersia sisitem partikel
Suatu bentuk segitiga dibuat dari bola-bola identik dan
batang kaku tak-bermassa. Tentukan momen inersia, bila
sumbu putar masing-masing adalah Ia, Ib, dand Ic.

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

31

B. Momen Inersia Benda kontinu
dm

I  lim  ri 2  m i  r 2 dm  r 2  dV
 mi  0

i

2

I   r dV

ρ adalah massa jenis
benda

Benda 1 dimensi:
2

x
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

I   x dx
32

Batang 1 Dimensi

M

L

Suatu batang 1 dimensi dengan
panjang L dan massa M diputar
ditengah-tengah batang tegak
dm  dx
lurus bidang xy. Benda
homogen (rapat massa (λ)
konstan). Hitunglah momen
2
2
I

x
dm


x

 dx
inersianya.
L/2

1 2 
I  x dx   x 
3 L / 2
L / 2
L/2

2

3
3

1 L   L  
       
3 2   2  

1 3 1
1
2
I  L  L L  ML2
12
12
12

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

33

I  MR

2

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

1
2
I  MR
2

34

I  MR

2

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

1
2
I  MR
2

35

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

36

Teorema Sumbu Sejajar
Bila momen inersia benda padat dengan massa M yang
diputar terhadap sumbu yang melewati pusat massa (ICM)
diketahui. Maka momen inersia terhadap sumbu yang
2
I

I

Md
sejajar dengan sumbu CM
yang melewati pusat massa dan
berada pada jarak h diberikan oleh:

CM

d

1
I CM  MRo2
2

I ?
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Jadi jika ICM, akan
mudah
menghitung
momen inersia
terhadap sumbu
lain yang sejajar.

37

Suatu batang 1 dimensi:
panjang L, massa M, rapat
massa homogen. Berapa
momen inersia bila sumbu
putar pada salah satu ujung
Hitung
batang.langsung

Dengan Teorema Sumbu Sejajar

IU  x 2 dm   x 2 dx
L

IU   x 2 dx
0

L

3
3
1  1

IU    x 3    
L

0





3 0 3 

1 3 1
IU   L   L  L2
3
3

1 2
IU  ML
3
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

I CM

1
 ML2
12

D  L/2

I  I CM  MD 2
1
2
2
IU  ML  M  L / 2 
12

1 2
IU  ML
3
38

d

I  I cm  Md

2

1
2
2
 MR0  MR0
2
3
2
 MR0
2

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

39

Dinamika Gerak Rotasi

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

40

Torsi (Torque,

τ)

F

Benda yang awalnya diam akan
mengalami gerak translasi bila
ada gaya total yang bekerja.

Apa yang menyebabkan
suatu benda berputar
(berotasi) dan apa yang
menentukan besar
percepatan sudut benda?
Bagaimana cara membuat
mainan ini berputar?

Faktor yang menentukan
percepatan benda:

Massa  Makin besar
massa makin kecil
percepatan
Gaya  makin besar gaya
(makin cepat kelajuannya
bertambah).
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Diberi gaya!
Didorong atau
ditarik.
Apakah setiap gaya yang
diberikan akan membuat
benda berputar?
41

Bagaimana sifat gaya yang menentukan seberapa efektif gaya
tersebut menyebabkan atau mengubah gerak rotasi? Bayangkan
anda akan membuka pintu yang berputar pada engsel atau akan
membuka baut dengan sebuah kunci. Faktor apa saja yang
mempengaruhi efektiftas gaya yang diberikan terhadap
perputaran pintu atau baut.

Besaran yang menunjukkan keefektifan suatu gaya dalam
mengubah kecepatan rotasi disebut torsi ( t).
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

42

F1

F2
F3

Gaya F1, F2 dan F3 bekerja di titik yang sama dan arah yang
sama terhadap sumbu putar (engsel pintu). Tetapi gaya F3
yang terbesar akan memberikan perubahan kecepatan
sudut yang paling besar terhadap pintu.

 F

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

43

F1

F2
F2

Gaya F1, F2 dan F3 sama besar, tetapi gaya F3 menghasilkan
torsi (τ) yang lebih besar dalam memutar pintu daripada
gaya F2 dab F3 karena jaraknya (r) ke sumbu putar lebih
jauh.

 r

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

44

Suatu gaya F bekerja pada suatu sudut f terhadap lengan
yang sedang berputar terhadap suatu titik pivot. R adalah
jarak antara titik pivot dan F. Maka bagian gaya yang
efektif dalam memutar pintu adalah sebesar F sinf.

  sin 
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

45

  rF sin 

Torsi adalah sebuah
  dimana
vektor,

r
 
F

Jadi, torsi dapat ditulis
sebagai perkalian silang
antara vektor perpindahan Arah torsi sesuai arah

 gerak
r bila diputar
dengan vektor
gaya:
F
sekrup putar kanan

 
dari  menuju
  r F


F

Besar torsi
adalah

  rF sin 


r  r  jarak gaya ke sumbu putar

F  Besar gaya


  Sudut antara r dan F
Afdal, Jurusan Fisika Universitas


r







r




F

F


r

46

Bila terdapat beberapa torsi bekerja pada sebuah
benda, maka torsi total adalah jumlah vektor dari
masing-masing torsi. {Hati-hati dengan
penjumlahan vektor}
Torsi Positif atau negatif
1.

2.
3.

Torsi positif bila arah rotasi berlawanan dengan arah
putaran jam dan torsi negatif bila rotasi searah putaran
jam.
Dapat juga digunakan aturan yang merupakan kebalikan dari
aturan pertama.
Dapat juga ditetapkan, torsi yang menyebabkan putaran yang
searah dengan arah gerak translasi sebagai torsi positif.

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

47

Contoh: Tentukan torsi total pada roda

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

48

Contoh: Tentukan torsi total pada roda
1  F1 (R1 sin 90 )
 (50,0 N)(0, 300 m)  15,0 Nm

2  F2 (R2 sin 60 )
 (50,0 N)(0,500 m)(0,866)
 21,7 Nm

net  1 (c.c.w)  2 (c.w.)
 1 ( 1)  2 ( 1)
 (15,0 Nm)- (21,7 Nm)
 -6,7 Nm  6,7 Nm (c.w.)
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

c.w: clock wise
c.c.w: counter clock
wise

49

Latihan:

Calculate the torque on the 2.00-m long
beam due to a 50.0 N force (top) about
(a) point C (= c.m.)
(b) point P

Calculate the torque on the 2.00-m long
beam due to a 60.0 N force about
(a) point C (= c.m.)
(b) point P
Calculate the torque on the 2.00-m long
beam due to a 50.0 N force (bottom) about
(a) point C (= c.m.)
(b) point P
Calculate the net torque on the 2.00-m
long beam about
(a) point C (= c.m.)
(b) point P
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

50

Latihan: Tentukan massa m untuk
mengimbangi mobil

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

51

Momentum Sudut
Telah dilihat beberapa besaran fsis yang memiliki analogi

L rotasi
dalam gerak rotasi. Analogi momentum dalam gerak
disebut momentum sudut (
).
Hubungan momentum linier dengan momentum
sudut

 
mirip dengan hubungan antara gaya
torsi, di mana
 dengan
r F


Untuk partikel dengan massa m, v


kecepatan
p  mv
Momentum
Linier:
Momentum sudut didefenisikan
sebagai:
 


L  r  mv
  
Lrp

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

52

  
Lrp

 dp
F
dt


 dp

r F r 
dt


d   dr   dp
r  p    p  r 
dt
dt
dt
d  
  
L  v  mv  r  F
dt

 


dL

 
dt
Perubahan momentum sudut
sama dengan torsi.

L  momentum sudut


 : torsi total
Pada gerak translasi hubungan
ini mirip dengan,

 
dp
F
dt

0
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

53

  
v  r
   
 
 
L  r  p  r  m v  r  m   r 


  
  
L m
  r r   r  r  




  2
 
r r  r dan r   0


2 
L  mr 
Untuk banyak partikel



2 
2 
2 
2
2
2
L  m1r1   m2 r2   m3r3   .....=  m1r1  m2 r2  m3r3 
m1r12  m2 r22  m3r32  ...=

 mr
i

i i

2

I

I : Momen inersia



L  I
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

54

Kekekalan Momentum Sudut

dL


dt
Jika torsi total yang bekerja pada suatu sistem adalah nol,
maka momentum sudut sistem tetap (kekal)  Hukum
kekekalan momentum
 sudut.

dL

0 
L  kekal
 0 
dt



L f  Li

vf




vi
I f  f  I i i  I f
 Ii
rf
ri
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

55

Bila pemain ski yang
berputar menarik
lengannya ke arah badan,
maka kecepatan putarnya
naik.

Momen inersia
besar
Kecepatan rotasi
kecil

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Momen inersia
kecil
Kecepatan rotasi
besar

56

Contoh:

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Suatu platform datar berbentuk
piringan lingkaran berputar
dalam bidang datar pada sumbu
tak-bergesekan. Platform
bermassa M = 100 kg dan jarijari R = 2 m. Seorang siswa
mempunyai massa m = 60 kg
berjalan dengan lambat dari
pinggir piringan menuju pusat.
Jika kelajuan angular sistem
adalah 2 rad/s saat siswa di
pinggir, berapa kelajuan angular
sistem saat dia mencapai titik r
= 0,5 m dari pusat.

57

Momen inersia sistem adalah jumlah momen inersia piringan
dan siswa:

I i  I P  I S  12 MR 2  mR 2
i

i

Momen inersia sistem setelah siswa berjalan
menuju pusat (If):
2
2

I f  I P  I S  12 MR  mr
f

f

Pada sistem ini tidak ada torsi luar yang bekerja, sehingga
berlaku hukum kekekalan momentum angular.

I f  f  I i i



1
2

MR 2  mR 2  i  12 MR 2  mr 2  f

f





f

200  240 


 2 rad/s   4,1 rad/s
 200  15 

1
2
1
2

MR 2  mR 2 
2

MR  mr

2



Afdal, Jurusan Fisika Universitas

i

58

Latihan:

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

59

Contoh:

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

60

Hukum ke-2 Newton untuk Rotasi



L  I

   dL
 r F 
dt



d
 dL d 

 I  I
 I
dt dt
dt



 I
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Hukum ke-2 Newton untuk Rotasi

61

Ringkasan: Besaran Angular (sudut) and linier
Gerak lurus dengan
percepatan tetap, a.

v xf  v xi  a x t

Gerak rotasi dengan
percepatan tetap, a.

 f   i  t

x f  xi  ( v xi  v xf )t

 f   i  12 ( i   f )t

1 2
x f  xi  v xi t  a x t
2

1 2
 f  i   i t  t
2

1
2

2

2

v xf  v xi  2a x ( x f  xi )
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

2

2

 f   i  2 ( f i )
62

Ringkasan: Besaran Angular (sudut) and linier
Gerak lurus dengan
percepatan tetap, a.

Energi
Kinetik:
Gaya:

Momentum
:
Kerja:

1
K  mv 2
2



F  ma



p  mv
 
W  F s

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

Gerak rotasi dengan
percepatan tetap, a.

Energi
Kinetik:
Torsi:

Momentum
Sudut:
Kerja:

1 2
K R  I
2



  I



L  I
W   
63

Contoh: Dinamika Gerak Rotasi

Sebuah piringan homogen dengan massa M = 2,5
kg dan radius R = 20 cm, dipasang pada sumbu
horizontal tetap. Sebuah balok dengan massa m =
1,2 kg digantung dengan kawat tak-bermassa
yang dililitkan pada piringan. Tentukan
percepatan balok jatuh, percepatan angular
piringan, dan tegangan tali.

Dinamika
Translasi



 F  ma

mg  T  ma

T  mg  ma ....... (1)
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

64

Dinamika Rotasi


 I

  
 r F

T  12 Ma ..... (2)
Substitusi ke
persamaan
(1)
1
2

Ma  mg  ma

  RT sin 90  RT

a (m  12 M )  g

1
I  MR 2
2

g
a
..... (3)
1
m2M

1
RT  MR 2
2

(3)  (2)

T  12 MR
a

R
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

 g

T  M

1
m

M


2
1
2

65

Contoh:
Dua massa m1 (5 kg) dan m2 (10 kg) digantung
pada katrol dengan massa M (3 kg) and radius
R (0,1 m). Tidak ada slip antara tali dengan
katrol.
(a) Apa yang akan terjadi bila massa dilepas?
(b) Tentukan kecepatan massa setelah jatuh 0,5
m?
(c) Berapa percepatan angular katrol pada saat
itu?
Dinamika
Translasi



 F  ma ... (1)

Anggap balok1 yang akan naik dan balok2 yang akan
turun. Tetapkan gaya yang searah a sebagai gaya
posistif, dan sebaliknya.

F

 m1a

F

 m2 a  m2 g  T2  m2 a  T2  m2 g  m2 a

1

2

 T1  m1 g  m1a  T1  m1a  m1 g


a


a

T2  T1  m2 g  m2 a  m1a  m1 g .... (2)
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

66

Dinamika Rotasi


 I

... (3)


 
  r F
Tetapkan torsi yang mengahasilkan putaran
searah dengan percepatan sebagai torsi positif,
dan sebaliknya.
T1 menyebabkan putaran yang
 RT1
1
berlawanan dengan
percepatan yang ditetapkan 
2  RT2
τ1 : negatif.
Sebaliknya untuk T2.  τ1 :
positif.




   R(T

2

 T1 )

1
I  MR 2
2
a

R
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

a
R(T2  T1 )  MR
R
1
2

 (3)

2

1
T2  T1  Ma ... (4)
2
67

( 2 )  ( 4)

1
m2 g  m2a  m1a  m1 g  Ma
2

 m2  m1
a 
m1  m2  1 M

2


g .... Percepatan bila massa katrol diperhitungkan




Dalam bab dinamika partikel massa katrol diabaikan (M
= 0) atau rotasi katrol tidak diperhitungkan Sehingga
percepatan adalah
a

m2  m1
g ..... (percepatan bila massa dan rotasi katrol diabaikan)
m1  m2

Dapat dilihat bahwa percepatan menjadi lebih kecil bila
rotasi dan massa katrol diperhitungkan. Hal terjadi karena
sebagian energi digunakan untuk memutar katrol,
sehingga energi untuk gerak translasi berkurang.
Afdal, Jurusan Fisika Universitas

68

Tentukan kecepatan massa setelah jatuh 0,5 m?

xt  xo  vot  12 at 2
0,5  0  0  12 (3)t 2

a

m2  m1
 10  5 
2
g

10

3
m/s
10  5  1,5 
m1  m2  12 M



t  0,577
v  vo  at  0  3(0, 577)  1, 73 m/s
Berapa percepatan angular katrol
pada saat itu?


a
3

 30 rad/s 2
R 0,1

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

69

Contoh: Bola mengelinding menuruni bidang miring
Sebuah bola dengan massa m dan
radius R mulai dari keadaan diam
pada ketinggian 2 m dan
menggelinding tanpa slip.
Tentukan percepatan linier bola
Dinamika Rotasi
turun.

Dinamika Translasi

N

 F  ma

fs
mg sin 

mg

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

   I

N  mg cos  0

aR
f s R  mR
R

mg sin   f s  maR

f s  52 maR

mg sin   52 maR  maR

2
5

2

5
aR  g sin 
7
70

Bola slip (Lantai Licin)

 F  ma

N

s

mg sin   mas
mg sin 

mg

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

as  g sin 
a slip > a rolling

71

Contoh: Balapan antar benda

Tiga buah benda (bola padat , silinder padat, dan
silinder tipis atau hoop) dilepas dari atas bidang
miring dari keadaan diam tanpa slip. Bagaiamana
urutan benda-benda sampai di bawah bidang
miring?

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

72

Latihan:

Afdal, Jurusan Fisika Universitas

73