3. MATRIKS dan DETERMINAN - MATRIKS dan DETERMINAN.pdf
3. MATRIKS dan DETERMINAN
Matriks
Determinan
Invers Matriks
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Terapan
3.1. Matriks
Definisi 1:
Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemenelemen.
Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa
bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan.
Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks
dengan elemen bilangan real.
Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan
elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil.
Definisi 2:
Matriks A ukuran m×n, disimbolkan Am×n=(aij)m×n adalah
matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n,
ditulis :
a11 a12 L a1n
a 21 a 22 L a 2n
A m × n = a ij
, a ij ∈ R
=
m× n M
M
M
a
m1 a m2 L a mn
( )
Elemen aij suatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan
kolom ke-j.
Matriks dan Determinan
1
Matriks An×n=(aij)n×n disebut matriks bujur-sangkar ukuran n×n.
Diagonal utama matriks An×n adalah elemen-elemen akk ,
k=1,2, ... ,n.
Matriks Identitas, disimbolkan I, adalah suatu matriks bujursangkar dengan elemen-elemen diagonal utama 1 dan elemenelemen selain diagonal utama 0.
Matriks Nol, disimbolkan O, adalah matriks yang semua
elemennya 0.
Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks
kolom, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu baris
disebut matriks baris
Kesamaan Dua Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×n=(aij)m×n dan Bm×n=(aij)m×n maka
A=B hanya bila aij=bij , ∀i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n.
Operasi-Operasi Matriks
1.
Penjumlahan Matriks
Diketahui matriks Am×n dan Bm×n , maka A+B=(aij+bij)m×n
Contoh :
a11 a12
A =
a 21 a 22
a13
b12
b
dan B = 11
a 23
b 21 b 22
a11 + b11 a12 + b12
A + B =
a 21 + b 21 a 22 + b 22
2.
b13
b 23
a13 + b13
a 23 + b 23
Pergandaan Skalar Matriks
Diketahui matriks Am×n dan skalar k, maka kA=(kaij)m×n
Contoh :
Matriks dan Determinan
2
a11 a12
A =
a 21 a 22
3.
a13
ka
maka kA = 11
a 23
ka 21
ka 12
ka 22
ka13
ka 23
Perkalian Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×p dan Bp×n maka perkalian
p
( )m× n , α ij = ∑ a ik b kj
matriks A dan B adalah AB = α ij
k =1
Contoh :
a11 a12
A =
a 21 a 22
b11 b12
a13
dan B = b 21 b 22 maka
a 23
b
31 b 32
3
3 a b
∑k =1 1k k1 ∑k =1 a1k b k 2
AB = 3
3
∑
k =1 a 2k b k1 ∑k =1 a 2k b k 2
a11b11 + a12 b 21 + a13 b 31 a11b12 + a12 b 22 + a13 b 32
=
a 21b11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21b12 + a 22 b 22 + a 23 b 32
Perlu dinyatakan bahwa perkalian matriks tidak komutatif,
artinya AB≠BA
4.
Transpose Matriks
Diketahui A=(aij)m×n maka transpose A adalah AT=(aji)n×m
Contoh :
a11 a12
A =
a 21 a 22
a11
a13
T
maka A = a12
a 23
a
13
a 21
a 22
b 32
Berikut adalah teorema-teorema yang terkait dengan operasioperasi matriks di atas.
Matriks dan Determinan
3
Teorema 1
Jika matriks-matriks Am×n, Bm×n dan Cm×n dan skalar k, maka
berlakulah :
1.
Sifat Komutatif : A+B=B+A
2.
Sifat Assosiatif : A+(B+C)=(A+B)+C
3.
Sifat Distributuf : k(A+B)=kA+kB
4.
(AT)T=A
5.
(A+B)T=AT+BT
6.
(kA)T=kAT
Teorema 2
Jika matriks-matriks Am×p, Bp×q dan Cq×n , maka berlakulah :
1.
(AB)T=BTAT
2.
(AB)C=A(BC)
3.2. Determinan
Determinan, ditulis Det(.) atau |.| adalah suatu fungsi
dengan domain koleksi matriks bujur-sangkar dan kodomain
bilangan real. Jadi, jika A suatu matriks bujur-sangkar, maka
Det(A)=|A|
adalah
suatu
bilangan
real.
Matriks
yang
determinannya tidak nol disebut matriks nonsingular.
Definisi berikut akan menjelaskan tentang nilai determinan
suatu matriks. Definisi dibedakan menjadi determinan matriks
bujur sangkar A1x1 dan matriks Anxn untuk nilai n>1.
Definisi 3:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(a11), maka Det(A)=a11.
Matriks dan Determinan
4
Definisi 4:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(aij)n×n. n≥2.
(a).
Minor (Minor) elemen aij disimbolkan Mij didefinisikan
sebagai determinan matriks yang diperoleh dengan
menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks
A.
Contoh:
a11 a12
a 21 a 22
A=
a
a 32
31
a
41 a 42
(b).
a13
a 23
a 33
a 43
a14
a 24
a 34
a 44
a11
⇒
a13
a14
M 32 = a 21 a 23
a 41 a 43
a 24
a 44
Kofaktor (Cofaktor) elemen aij disimbolkan Cij
didefinisikan oleh Cij=(-1)i+j Mij
(c).
Determinan matriks An×n didefinisikan sebagai berikut:
det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+…+ainCin untuk 1≤i≤n
atau
det(A)=a1jC1j+a2jC2j+…+anjCnj untuk 1≤j≤n.
Sifat 1
Jika A matriks ukuran 2×2, maka determinan dapat dihitung
dengan aturan berikut :
det (A ) =
a11 a12
= a11a 22 − a12 a 21
a 21 a 22
−
Matriks dan Determinan
+
5
Sifat 2 : (Aturan Sarrus)
Jika A matriks ukuran 3×3, maka determinan A dapat
dihitung dengan aturan berikut :
a11 a12
det (A ) = a 21 a 22
a13
a 23
a11
a 21
a 31 a 32
a 33
a 31 a 32
a12
+
−
= a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32
− a13 a 22 a 31 − a11a 23 a 32 − a12 a 21a 33
Teorema 3 (Teorema-Teorema Determinan)
1. Jika A sebarang matriks bujur-sangkar yang memuat satu
baris elemen nol, maka det(A)=0.
2. Jika AT adalah transpose matriks A, maka det(AT)=det(A).
3. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila suatu baris elemen
matriks A dikalikan dengan konstanta k, maka :
det(A∗)=k det(A)
4. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila dua baris elemen
matriks A dipertukarkan, maka :
det(A∗)=−det(A)
5. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila kelipatan dari
suatu baris elemen matriks A, ditambahkan ke suatu baris
elemen yang lain, maka :
det(A∗)=det(A).
Catatan
Operasi-operasi terhadap suatu matriks berikut :
1. Mengalikan suatu baris elemen dengan bilangan k≠0
2. Menukarkan suatu baris dengan suatu baris lainnya
3. Menambahkan k kali suatu baris ke suatu baris lainnya,
Matriks dan Determinan
6
disebut Operasi Baris Elementer (elementary row operations).
Operasi serupa jika dikerjakan pada kolom-kolom suatu
matriks disebut Operasi Kolom Elementer.
3.3. Invers Matriks
Definisi 5:
Diketahui A sebarang matriks bujur-sangkar. Jika dapat
ditemukan matriks A-1 sedemikian hingga AA-1=A-1A=I,
dengan I matriks identitas, maka A dikatakan invertible dan
matriks A-1 disebut invers matriks A.
Teorema 4
1. Jika B dan C masing-masing invers matriks A, maka B=C.
2. Matriks A invertible jika hanya jika det(A)≠0.
3. Jika A invertible, maka det(A-1)=1/det(A).
4. Jika Anxn dan Bnxn invertible maka (AB)-1=B-1A-1
5. Jika A invertible, maka A-1 juga invertible dan (A-1)-1=A.
Definisi 6:
Diketahui A suatu matriks bujur-sangkar ukuran n×n.
1.
Matriks
C11 C12 L C1n
C 21 C 22 L C 2n
, Cij kofaktor elemen aij
C(A ) =
M
M
M
C
C
L
C
n2
nn
n1
disebut Matriks Kofaktor A.
2.
Adjoin matriks A disimbolkan Adj(A), didefinisikan :
Adj(A)=(C(A))T
Matriks dan Determinan
7
Teorema 5 :
Jika A invertible, maka A −1 =
1
Adj(A )
det (A )
Dengan teorema 5 tersebut, maka invers suatu matriks dapat
dicari dengan determinan dan adjoinnya.
Contoh
3 2 − 1
A = 1 6
3 , diperoleh :
2 − 4 0
det(A)=64
6
− 16
4 12
12
12
C(A ) = 4
2
16 , Adj(A ) = 6
2 − 10
− 16 16 16
12 − 10 16
A
−1
4 12 3 16 1 16 3 16
12
1
2 − 10 = 3 32 1 32 − 5 32
=
6
64
1 4
− 16 16 16 − 1 4 1 4
Invers suatu
matriks (jika ada) juga dapat dicari
melalui
serangkaian operasi baris elementer, seperti dinyatakan teorema
berikut ini.
Teorema 6
Jika matriks An×n dapat ditransformasi menjadi matriks
Identitas I melalui serangkaian operasi baris elementer, maka
matriks A nonsingular. Rangkaian operasi baris yang
mentransformasi A menjadi I tersebut akan mentransformasi
I menjadi A-1.
Matriks dan Determinan
8
Ilustrasi teorema :
baris elementer
( A I ) operasi
→ I
A − 1
Contoh :
3 2 − 1
Akan dicari kembali invers matriks A = 1 6
3
2 − 4 0
3 2 − 1 1 0 0
1 2 3 − 1 3 1 3
1 3 B1
( A I ) = 1 6 3 0 1 0 → 1 6 3 0
2 − 4 0 0 0 1
2 − 4
0
0
1
23
−1 3 1 3
− B1+ B2
− 2 B1+ B3
→ 0 16 3 10 3 − 1 3
0 − 16 3 2 3 − 2 3
1
23
−1 3
1
58
→ 0
0 − 16 3 2 3
3 16 B2
1 0 − 3 4
→ 0 1 5 8
0 0
4
− 2 3 B2 + B1
16 3 B2 + B3
1 0 − 3 4
→ 0 1 5 8
0 0
1
1 4 B3
1 0 0
→ 0 1 0
0 0 1
3 4 B3 + B1
− 5 8 B3 + B2
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
13
0
0
− 1 16 3 16 0
0
1
−2 3
38
− 1 8 0
− 1 16 3 16 0
1
1
−1
38
−1 8
− 1 16 3 16
−1 4
14
0
0
1 4
3 16 1 16 3 16
3 32 1 32 − 5 32 = I A −1
1 4
−1 4 1 4
Keterangan : -5/8 B3+B2 artinya, -5/8 kali baris ke-3
ditambahkan ke baris ke-2.
Jadi diperoleh A
Matriks dan Determinan
−1
3 16 1 16 3 16
= 3 32 1 32 − 5 32 .
−1 4 1 4
1 4
9
♦ Dua matriks A dan B dikatakan Ekuivalen Baris (row
equivalent) jika salah satu dari matriks tersebut dapat diperoleh
dari serangkaian operasi baris pada matriks lainnya.
♦ Suatu matriks dikatakan berada pada Bentuk Eselon Baris
Tereduksi (reduced row-echelon form) jika memenuhi :
(i). Pada suatu baris tak nol (tidak semua elemennya nol),
elemen pertama (dari kiri) tak nol adalah 1 (satu).
Elemen tersebut disebut 1 utama.
(ii). Di dalam sebarang dua baris tak nol berurutan, elemen
1 utama di dalam baris lebih rendah, terletak lebih jauh
ke kanan dibandingkan 1 utama pada baris yang lebih
tinggi.
(iii). Baris-baris dengan elemen-elemen semuanya 0 (nol)
terkelompokkan bersama-sama di bagian bawah
matriks.
(iv). Setiap kolom yang memuat elemen 1 utama, maka
elemen lainnya 0.
Catatan : Suatu matriks yang hanya memenuhi keadaan (i),
(ii) dan (iii) saja dikatakan berada pada Bentuk
Eselon Baris.
Contoh: -
Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris
tereduksi
1 0 0 5
0 1 0 3 ,
0 0 1 − 1
1 0 0
0 1 0 ,
0 0 1
0 0
,
0 0
0
0
0
0
1 − 3 0 1
0 0 1 4
0 0 0 0
0 0 0 0
- Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris
Matriks dan Determinan
10
1 5 8 5
0 1 5 3 ,
0 0 1 − 4
1 1 0 0 1 2 5 − 6 0
0 1 0 , 0 0 1 − 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0
1 1
♦ Eliminasi Gauss-Jordan adalah serangkaian operasi baris
elementer yang dikerjakan pada suatu matriks sedemikian
hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
tersebut.
Contoh :
2 − 4 3 B12 1 1 − 2 − 2B1+ B2 1 1 − 2
→
→
0 − 6 7
2 − 4 3
1 1 − 2
1 1 − 2
−1 6 B2
− B2 + B1 1 0 − 5 6
→
→
0 1 − 7 6
0 1 − 7 6
Pada
bagian
terapan,
akan
ditunjukkan
penggunaan
eliminasi Gauss-Jordan tersebut untuk menyelesaikan suatu SPL.
Selanjutnya akan ditinjau pengertian rank suatu matriks
dengan terlebih dahulu mendefinisikan vektor baris dan vektor
kolom suatu matriks.
Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn. Vektor-vektor
u1=(a11, a12, ..., a1n),
u2=(a21, a22, ..., a2n),
∂
um=(am1, am2, ..., amn)
disebut Vektor-vektor Baris matriks A, sedangkan vektor-vektor
a12
a1n
a11
a 22
a 2n
a 21
, ... , v n =
v1 =
, v2 =
M
M
M
a
a
a
mn
m1
m2
disebut Vektor-vektor kolom matriks A.
Matriks dan Determinan
11
Definisi 7
Rank matriks Amxn disimbolkan Rank(A) adalah bilangan yang
menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris (vektorvektor kolom) matriks A yang independen linear.
Sifat 3: Diketahui Amxn. Rank(A)=0 hanya bila A=O.
Teorema 7
Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn dan A≠O.
Rank(A)=r jika dan hanya jika r adalah bilangan bulat
ˆ )≠0, dengan A
ˆ rxr
terbesar sedemikian hingga Det( A
submatriks A.
Keterangan : Submatriks dari suatu matriks A adalah suatu
matriks yang diperoleh dengan menghilangkan satu
atau beberapa baris atau kolom matriks A.
Teorema 8
Diketahui matriks bujursangkar Anxn. Pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen :
(a).
A invertible
(b).
Rank(A)=n
(c).
A ekuivalen baris dengan matriks Identitas In
3.4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 8
Diketahui matriks bujursangkar An×n. Bilangan λ disebut nilai
eigen matriks A, jika terdapat vektor v≠0 sedemikian hingga
Av=λv
Selanjutnya v disebut vektor eigen terhadap nilai eigen λ.
Matriks dan Determinan
12
Diperhatikan bahwa
Av=λv ⇔ (A-λI)v=0 ,
dengan I dan O masing-masing matriks identitas dan matriks nol.
Untuk mendapatkan penyelesaian v≠0, maka harus dipenuhi
det(A-λI)=0.
Persamaan terakhir biasa disebut persamaan karakteristik. Dari
persamaan karakteristik tersebut akan diperoleh penyelesaian
terhadap λ dan selanjutnya untuk setiap nilai λ akan menentukan
suatu vektor v.
Contoh:
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks
2
1
1
A = 6 −1 0
− 1 − 2 − 1
Dari persamaan karakterisitik
det(A-λI)=0
1− λ
⇔
6
−1
2
1
−1 − λ
0
=0
−2
−1 − λ
⇔
λ3+λ2-12λ=0
⇔
λ(λ+4)(λ-3)=0
⇔
λ1=0, λ2=-4 atau λ3=3
untuk λ1=0, diperoleh
(A-λI)v=0
⇔
(A-0⋅I)v=0
⇔
2
1 v1 0
1 − 0
−1 − 0
0 v 2 = 0
6
−1
−2
− 1 − 0 v 3 0
⇔
v1=-1/13 v3 dan v2=-6/13 v3
Matriks dan Determinan
13
− t /13
diperoleh vektor eigen v= − 6t /13 , t ∈ R
t
agar sederhana, dipilih t =-13, sehingga diperoleh vektor eigen
1
v= 6
− 13
Dengan cara serupa, untuk λ2=-4 dan λ3=3 dapat diperoleh
vektor eigen masing-masing
1
− 2
v= − 2 dan v= − 3
− 1
2
Teorema berikut ini sangat berguna untuk menghitung
matriks berpangkat. disamping itu, dapat pula digunakan untuk
meghitung invers suatu matriks (jika ada).
Teorema 9 (Cayley-Hamilton)
Suatu matriks bujur-sangkar akan memenuhi persamaan
karakteristiknya.
Jadi, jika diketahui matriks bujursangkar An×n
dengan
persamaan karakteristik :
(-1)nλn+cn-1λn-1+ cn-2λn-2+…+ c1λ+c0=0
maka menurut teorema Cayley-Hamilton berlakulah :
(-1)nAn+cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I=0
⇔ An=(-1)1-n(cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I)
Terlihat bahwa teorema Cayley-Hamilton dapat digunakan untuk
menghitung matriks berpangkat.
Teorema
Cayley-Hamilton
juga
dapat
digunakan
untuk
menghitung invers suatu matriks, yaitu :
Matriks dan Determinan
14
c 0 I = (− 1)n +1 A n − c n −1A n −1 − c n − 2 A n − 2 − L − c 2 A 2 − c1A
{
{
}
}
⇔ c 0 IA −1 = (− 1)n +1 A n − c n −1A n −1 − c n − 2 A n − 2 − L − c 2 A 2 − c1A A −1
1
(− 1)n +1 A n −1 − c n −1A n − 2 − c n − 2 A n − 3 − L − c 2 A − c1I
⇔ A −1 =
c0
Contoh
− 2 4
Diketahui matriks A =
− 1 3
Akan digunakan Teorema Cayley-Hamilton untuk menghitung A-1
dan Am.
Dari persamaan karakteristik : det(A-λI)=0, yaitu
−2−λ
4
−1
3−λ
= 0 ⇔ (λ + 2)(λ − 3) + 4 = 0
⇔ λ2−λ−2=0
⇔ λ1=−1 atau λ2=2
Berdasarkan teorema, diperoleh
A2−A−2I=0 ⇔ A-1=(A−I)/2 ⇔
− 3 2 2
A −1 =
− 1 2 1
Selanjutnya,
λ2−λ−2=0
⇔
λ2=λ+2
⇔
λ3=λ2+2λ=(λ+2)+2λ=3λ+2
⇔
λ4=3λ2+2λ=3(λ+2)+2λ=5λ+6
⇔
...
⇔
λm=k1λ+k2
Konstanta k1 dan k2 diperoleh dari substitusi λ1=−1 dan λ2=2
yaitu : k1=(2m−(-1)m)/3 , k2=(2m+(-1)m⋅2)/3 dan . Dengan
demikian :
λm=k1λ+k2 ⇔ Am =k1A+k2I
={(2m−(-1)m)/3}A+{(2m+(-1)m⋅2)/3}I
− 20 84
.
untuk m=6 (misalnya) diperoleh A 6 =
− 21 85
Matriks dan Determinan
15
3.5. Terapan
Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sistem Persamaan Linear adalah suatu sistem persamaan
linear yang terdiri dari n persamaan dan m peubah :
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
∂
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
SPL tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk perkalian matrik :
AX=B
dengan
a11 a12 L a1n
x1
b1
a 21 a 22 L a 2n
x2
b2
, X=
dan B =
A=
M
M
M
M
M
x
b
a
n
m
m1 a m2 L a mn
Teorema 10
Diketahui SPL dalam bentuk matriks AX=B, dengan matriks
a11 a12 L a1n
b1
x1
a 21 a 22 L a 2n
b2
x2
A mxn =
, X nx1 =
dan B mx1 =
M
M
M
M
M
b
x
a
L
a
a
m2
mn
m
n
m1
.
~
Diketahui pula A , matriks imbuhan (augmented matriks).
(a).
a11 a12 L a1n
~ a 21 a 22 L a 2n
A =
M
M
M
a
m1 a m2 L a mn
~
Jika Rank(A)=Rank( A ), maka SPL
b1
b2
M
b m
tersebut paling
sedikit mempunyai satu penyelesaian. Dalam hal ini
dikatakan SPL tersebut konsisten.
Matriks dan Determinan
16
(b).
~
Jika Rank(A)=Rank( A )=n, maka SPL tersebut
mempunyai penyelesaian tunggal.
(c).
Jika Rank(A)
Matriks
Determinan
Invers Matriks
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Terapan
3.1. Matriks
Definisi 1:
Matriks adalah suatu susunan persegi-panjang elemenelemen.
Elemen yang dimaksud di dalam definisi 1 dapat berupa
bilangan, fungsi atau anggota suatu himpunan.
Pada bahasan selanjutnya hanya ditinjau matriks-matriks
dengan elemen bilangan real.
Suatu matriks disimbolkan dengan huruf besar sedangkan
elemen suatu matriks disimbolkan dengan huruf kecil.
Definisi 2:
Matriks A ukuran m×n, disimbolkan Am×n=(aij)m×n adalah
matriks dengan banyaknya baris m dan banyak kolom n,
ditulis :
a11 a12 L a1n
a 21 a 22 L a 2n
A m × n = a ij
, a ij ∈ R
=
m× n M
M
M
a
m1 a m2 L a mn
( )
Elemen aij suatu matriks adalah elemen pada baris ke-i dan
kolom ke-j.
Matriks dan Determinan
1
Matriks An×n=(aij)n×n disebut matriks bujur-sangkar ukuran n×n.
Diagonal utama matriks An×n adalah elemen-elemen akk ,
k=1,2, ... ,n.
Matriks Identitas, disimbolkan I, adalah suatu matriks bujursangkar dengan elemen-elemen diagonal utama 1 dan elemenelemen selain diagonal utama 0.
Matriks Nol, disimbolkan O, adalah matriks yang semua
elemennya 0.
Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks
kolom, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu baris
disebut matriks baris
Kesamaan Dua Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×n=(aij)m×n dan Bm×n=(aij)m×n maka
A=B hanya bila aij=bij , ∀i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n.
Operasi-Operasi Matriks
1.
Penjumlahan Matriks
Diketahui matriks Am×n dan Bm×n , maka A+B=(aij+bij)m×n
Contoh :
a11 a12
A =
a 21 a 22
a13
b12
b
dan B = 11
a 23
b 21 b 22
a11 + b11 a12 + b12
A + B =
a 21 + b 21 a 22 + b 22
2.
b13
b 23
a13 + b13
a 23 + b 23
Pergandaan Skalar Matriks
Diketahui matriks Am×n dan skalar k, maka kA=(kaij)m×n
Contoh :
Matriks dan Determinan
2
a11 a12
A =
a 21 a 22
3.
a13
ka
maka kA = 11
a 23
ka 21
ka 12
ka 22
ka13
ka 23
Perkalian Matriks
Diketahui matriks-matriks Am×p dan Bp×n maka perkalian
p
( )m× n , α ij = ∑ a ik b kj
matriks A dan B adalah AB = α ij
k =1
Contoh :
a11 a12
A =
a 21 a 22
b11 b12
a13
dan B = b 21 b 22 maka
a 23
b
31 b 32
3
3 a b
∑k =1 1k k1 ∑k =1 a1k b k 2
AB = 3
3
∑
k =1 a 2k b k1 ∑k =1 a 2k b k 2
a11b11 + a12 b 21 + a13 b 31 a11b12 + a12 b 22 + a13 b 32
=
a 21b11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21b12 + a 22 b 22 + a 23 b 32
Perlu dinyatakan bahwa perkalian matriks tidak komutatif,
artinya AB≠BA
4.
Transpose Matriks
Diketahui A=(aij)m×n maka transpose A adalah AT=(aji)n×m
Contoh :
a11 a12
A =
a 21 a 22
a11
a13
T
maka A = a12
a 23
a
13
a 21
a 22
b 32
Berikut adalah teorema-teorema yang terkait dengan operasioperasi matriks di atas.
Matriks dan Determinan
3
Teorema 1
Jika matriks-matriks Am×n, Bm×n dan Cm×n dan skalar k, maka
berlakulah :
1.
Sifat Komutatif : A+B=B+A
2.
Sifat Assosiatif : A+(B+C)=(A+B)+C
3.
Sifat Distributuf : k(A+B)=kA+kB
4.
(AT)T=A
5.
(A+B)T=AT+BT
6.
(kA)T=kAT
Teorema 2
Jika matriks-matriks Am×p, Bp×q dan Cq×n , maka berlakulah :
1.
(AB)T=BTAT
2.
(AB)C=A(BC)
3.2. Determinan
Determinan, ditulis Det(.) atau |.| adalah suatu fungsi
dengan domain koleksi matriks bujur-sangkar dan kodomain
bilangan real. Jadi, jika A suatu matriks bujur-sangkar, maka
Det(A)=|A|
adalah
suatu
bilangan
real.
Matriks
yang
determinannya tidak nol disebut matriks nonsingular.
Definisi berikut akan menjelaskan tentang nilai determinan
suatu matriks. Definisi dibedakan menjadi determinan matriks
bujur sangkar A1x1 dan matriks Anxn untuk nilai n>1.
Definisi 3:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(a11), maka Det(A)=a11.
Matriks dan Determinan
4
Definisi 4:
Diketahui matriks bujur-sangkar A=(aij)n×n. n≥2.
(a).
Minor (Minor) elemen aij disimbolkan Mij didefinisikan
sebagai determinan matriks yang diperoleh dengan
menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks
A.
Contoh:
a11 a12
a 21 a 22
A=
a
a 32
31
a
41 a 42
(b).
a13
a 23
a 33
a 43
a14
a 24
a 34
a 44
a11
⇒
a13
a14
M 32 = a 21 a 23
a 41 a 43
a 24
a 44
Kofaktor (Cofaktor) elemen aij disimbolkan Cij
didefinisikan oleh Cij=(-1)i+j Mij
(c).
Determinan matriks An×n didefinisikan sebagai berikut:
det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+…+ainCin untuk 1≤i≤n
atau
det(A)=a1jC1j+a2jC2j+…+anjCnj untuk 1≤j≤n.
Sifat 1
Jika A matriks ukuran 2×2, maka determinan dapat dihitung
dengan aturan berikut :
det (A ) =
a11 a12
= a11a 22 − a12 a 21
a 21 a 22
−
Matriks dan Determinan
+
5
Sifat 2 : (Aturan Sarrus)
Jika A matriks ukuran 3×3, maka determinan A dapat
dihitung dengan aturan berikut :
a11 a12
det (A ) = a 21 a 22
a13
a 23
a11
a 21
a 31 a 32
a 33
a 31 a 32
a12
+
−
= a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32
− a13 a 22 a 31 − a11a 23 a 32 − a12 a 21a 33
Teorema 3 (Teorema-Teorema Determinan)
1. Jika A sebarang matriks bujur-sangkar yang memuat satu
baris elemen nol, maka det(A)=0.
2. Jika AT adalah transpose matriks A, maka det(AT)=det(A).
3. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila suatu baris elemen
matriks A dikalikan dengan konstanta k, maka :
det(A∗)=k det(A)
4. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila dua baris elemen
matriks A dipertukarkan, maka :
det(A∗)=−det(A)
5. Jika A∗ adalah matriks yang diperoleh bila kelipatan dari
suatu baris elemen matriks A, ditambahkan ke suatu baris
elemen yang lain, maka :
det(A∗)=det(A).
Catatan
Operasi-operasi terhadap suatu matriks berikut :
1. Mengalikan suatu baris elemen dengan bilangan k≠0
2. Menukarkan suatu baris dengan suatu baris lainnya
3. Menambahkan k kali suatu baris ke suatu baris lainnya,
Matriks dan Determinan
6
disebut Operasi Baris Elementer (elementary row operations).
Operasi serupa jika dikerjakan pada kolom-kolom suatu
matriks disebut Operasi Kolom Elementer.
3.3. Invers Matriks
Definisi 5:
Diketahui A sebarang matriks bujur-sangkar. Jika dapat
ditemukan matriks A-1 sedemikian hingga AA-1=A-1A=I,
dengan I matriks identitas, maka A dikatakan invertible dan
matriks A-1 disebut invers matriks A.
Teorema 4
1. Jika B dan C masing-masing invers matriks A, maka B=C.
2. Matriks A invertible jika hanya jika det(A)≠0.
3. Jika A invertible, maka det(A-1)=1/det(A).
4. Jika Anxn dan Bnxn invertible maka (AB)-1=B-1A-1
5. Jika A invertible, maka A-1 juga invertible dan (A-1)-1=A.
Definisi 6:
Diketahui A suatu matriks bujur-sangkar ukuran n×n.
1.
Matriks
C11 C12 L C1n
C 21 C 22 L C 2n
, Cij kofaktor elemen aij
C(A ) =
M
M
M
C
C
L
C
n2
nn
n1
disebut Matriks Kofaktor A.
2.
Adjoin matriks A disimbolkan Adj(A), didefinisikan :
Adj(A)=(C(A))T
Matriks dan Determinan
7
Teorema 5 :
Jika A invertible, maka A −1 =
1
Adj(A )
det (A )
Dengan teorema 5 tersebut, maka invers suatu matriks dapat
dicari dengan determinan dan adjoinnya.
Contoh
3 2 − 1
A = 1 6
3 , diperoleh :
2 − 4 0
det(A)=64
6
− 16
4 12
12
12
C(A ) = 4
2
16 , Adj(A ) = 6
2 − 10
− 16 16 16
12 − 10 16
A
−1
4 12 3 16 1 16 3 16
12
1
2 − 10 = 3 32 1 32 − 5 32
=
6
64
1 4
− 16 16 16 − 1 4 1 4
Invers suatu
matriks (jika ada) juga dapat dicari
melalui
serangkaian operasi baris elementer, seperti dinyatakan teorema
berikut ini.
Teorema 6
Jika matriks An×n dapat ditransformasi menjadi matriks
Identitas I melalui serangkaian operasi baris elementer, maka
matriks A nonsingular. Rangkaian operasi baris yang
mentransformasi A menjadi I tersebut akan mentransformasi
I menjadi A-1.
Matriks dan Determinan
8
Ilustrasi teorema :
baris elementer
( A I ) operasi
→ I
A − 1
Contoh :
3 2 − 1
Akan dicari kembali invers matriks A = 1 6
3
2 − 4 0
3 2 − 1 1 0 0
1 2 3 − 1 3 1 3
1 3 B1
( A I ) = 1 6 3 0 1 0 → 1 6 3 0
2 − 4 0 0 0 1
2 − 4
0
0
1
23
−1 3 1 3
− B1+ B2
− 2 B1+ B3
→ 0 16 3 10 3 − 1 3
0 − 16 3 2 3 − 2 3
1
23
−1 3
1
58
→ 0
0 − 16 3 2 3
3 16 B2
1 0 − 3 4
→ 0 1 5 8
0 0
4
− 2 3 B2 + B1
16 3 B2 + B3
1 0 − 3 4
→ 0 1 5 8
0 0
1
1 4 B3
1 0 0
→ 0 1 0
0 0 1
3 4 B3 + B1
− 5 8 B3 + B2
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
13
0
0
− 1 16 3 16 0
0
1
−2 3
38
− 1 8 0
− 1 16 3 16 0
1
1
−1
38
−1 8
− 1 16 3 16
−1 4
14
0
0
1 4
3 16 1 16 3 16
3 32 1 32 − 5 32 = I A −1
1 4
−1 4 1 4
Keterangan : -5/8 B3+B2 artinya, -5/8 kali baris ke-3
ditambahkan ke baris ke-2.
Jadi diperoleh A
Matriks dan Determinan
−1
3 16 1 16 3 16
= 3 32 1 32 − 5 32 .
−1 4 1 4
1 4
9
♦ Dua matriks A dan B dikatakan Ekuivalen Baris (row
equivalent) jika salah satu dari matriks tersebut dapat diperoleh
dari serangkaian operasi baris pada matriks lainnya.
♦ Suatu matriks dikatakan berada pada Bentuk Eselon Baris
Tereduksi (reduced row-echelon form) jika memenuhi :
(i). Pada suatu baris tak nol (tidak semua elemennya nol),
elemen pertama (dari kiri) tak nol adalah 1 (satu).
Elemen tersebut disebut 1 utama.
(ii). Di dalam sebarang dua baris tak nol berurutan, elemen
1 utama di dalam baris lebih rendah, terletak lebih jauh
ke kanan dibandingkan 1 utama pada baris yang lebih
tinggi.
(iii). Baris-baris dengan elemen-elemen semuanya 0 (nol)
terkelompokkan bersama-sama di bagian bawah
matriks.
(iv). Setiap kolom yang memuat elemen 1 utama, maka
elemen lainnya 0.
Catatan : Suatu matriks yang hanya memenuhi keadaan (i),
(ii) dan (iii) saja dikatakan berada pada Bentuk
Eselon Baris.
Contoh: -
Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris
tereduksi
1 0 0 5
0 1 0 3 ,
0 0 1 − 1
1 0 0
0 1 0 ,
0 0 1
0 0
,
0 0
0
0
0
0
1 − 3 0 1
0 0 1 4
0 0 0 0
0 0 0 0
- Matriks-matriks berikut ada pada bentuk eselon baris
Matriks dan Determinan
10
1 5 8 5
0 1 5 3 ,
0 0 1 − 4
1 1 0 0 1 2 5 − 6 0
0 1 0 , 0 0 1 − 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0
1 1
♦ Eliminasi Gauss-Jordan adalah serangkaian operasi baris
elementer yang dikerjakan pada suatu matriks sedemikian
hingga diperoleh bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
tersebut.
Contoh :
2 − 4 3 B12 1 1 − 2 − 2B1+ B2 1 1 − 2
→
→
0 − 6 7
2 − 4 3
1 1 − 2
1 1 − 2
−1 6 B2
− B2 + B1 1 0 − 5 6
→
→
0 1 − 7 6
0 1 − 7 6
Pada
bagian
terapan,
akan
ditunjukkan
penggunaan
eliminasi Gauss-Jordan tersebut untuk menyelesaikan suatu SPL.
Selanjutnya akan ditinjau pengertian rank suatu matriks
dengan terlebih dahulu mendefinisikan vektor baris dan vektor
kolom suatu matriks.
Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn. Vektor-vektor
u1=(a11, a12, ..., a1n),
u2=(a21, a22, ..., a2n),
∂
um=(am1, am2, ..., amn)
disebut Vektor-vektor Baris matriks A, sedangkan vektor-vektor
a12
a1n
a11
a 22
a 2n
a 21
, ... , v n =
v1 =
, v2 =
M
M
M
a
a
a
mn
m1
m2
disebut Vektor-vektor kolom matriks A.
Matriks dan Determinan
11
Definisi 7
Rank matriks Amxn disimbolkan Rank(A) adalah bilangan yang
menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris (vektorvektor kolom) matriks A yang independen linear.
Sifat 3: Diketahui Amxn. Rank(A)=0 hanya bila A=O.
Teorema 7
Diketahui matriks Amxn=(aij)mxn dan A≠O.
Rank(A)=r jika dan hanya jika r adalah bilangan bulat
ˆ )≠0, dengan A
ˆ rxr
terbesar sedemikian hingga Det( A
submatriks A.
Keterangan : Submatriks dari suatu matriks A adalah suatu
matriks yang diperoleh dengan menghilangkan satu
atau beberapa baris atau kolom matriks A.
Teorema 8
Diketahui matriks bujursangkar Anxn. Pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen :
(a).
A invertible
(b).
Rank(A)=n
(c).
A ekuivalen baris dengan matriks Identitas In
3.4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 8
Diketahui matriks bujursangkar An×n. Bilangan λ disebut nilai
eigen matriks A, jika terdapat vektor v≠0 sedemikian hingga
Av=λv
Selanjutnya v disebut vektor eigen terhadap nilai eigen λ.
Matriks dan Determinan
12
Diperhatikan bahwa
Av=λv ⇔ (A-λI)v=0 ,
dengan I dan O masing-masing matriks identitas dan matriks nol.
Untuk mendapatkan penyelesaian v≠0, maka harus dipenuhi
det(A-λI)=0.
Persamaan terakhir biasa disebut persamaan karakteristik. Dari
persamaan karakteristik tersebut akan diperoleh penyelesaian
terhadap λ dan selanjutnya untuk setiap nilai λ akan menentukan
suatu vektor v.
Contoh:
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks
2
1
1
A = 6 −1 0
− 1 − 2 − 1
Dari persamaan karakterisitik
det(A-λI)=0
1− λ
⇔
6
−1
2
1
−1 − λ
0
=0
−2
−1 − λ
⇔
λ3+λ2-12λ=0
⇔
λ(λ+4)(λ-3)=0
⇔
λ1=0, λ2=-4 atau λ3=3
untuk λ1=0, diperoleh
(A-λI)v=0
⇔
(A-0⋅I)v=0
⇔
2
1 v1 0
1 − 0
−1 − 0
0 v 2 = 0
6
−1
−2
− 1 − 0 v 3 0
⇔
v1=-1/13 v3 dan v2=-6/13 v3
Matriks dan Determinan
13
− t /13
diperoleh vektor eigen v= − 6t /13 , t ∈ R
t
agar sederhana, dipilih t =-13, sehingga diperoleh vektor eigen
1
v= 6
− 13
Dengan cara serupa, untuk λ2=-4 dan λ3=3 dapat diperoleh
vektor eigen masing-masing
1
− 2
v= − 2 dan v= − 3
− 1
2
Teorema berikut ini sangat berguna untuk menghitung
matriks berpangkat. disamping itu, dapat pula digunakan untuk
meghitung invers suatu matriks (jika ada).
Teorema 9 (Cayley-Hamilton)
Suatu matriks bujur-sangkar akan memenuhi persamaan
karakteristiknya.
Jadi, jika diketahui matriks bujursangkar An×n
dengan
persamaan karakteristik :
(-1)nλn+cn-1λn-1+ cn-2λn-2+…+ c1λ+c0=0
maka menurut teorema Cayley-Hamilton berlakulah :
(-1)nAn+cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I=0
⇔ An=(-1)1-n(cn-1An-1+ cn-2An-2+…+ c1A+c0I)
Terlihat bahwa teorema Cayley-Hamilton dapat digunakan untuk
menghitung matriks berpangkat.
Teorema
Cayley-Hamilton
juga
dapat
digunakan
untuk
menghitung invers suatu matriks, yaitu :
Matriks dan Determinan
14
c 0 I = (− 1)n +1 A n − c n −1A n −1 − c n − 2 A n − 2 − L − c 2 A 2 − c1A
{
{
}
}
⇔ c 0 IA −1 = (− 1)n +1 A n − c n −1A n −1 − c n − 2 A n − 2 − L − c 2 A 2 − c1A A −1
1
(− 1)n +1 A n −1 − c n −1A n − 2 − c n − 2 A n − 3 − L − c 2 A − c1I
⇔ A −1 =
c0
Contoh
− 2 4
Diketahui matriks A =
− 1 3
Akan digunakan Teorema Cayley-Hamilton untuk menghitung A-1
dan Am.
Dari persamaan karakteristik : det(A-λI)=0, yaitu
−2−λ
4
−1
3−λ
= 0 ⇔ (λ + 2)(λ − 3) + 4 = 0
⇔ λ2−λ−2=0
⇔ λ1=−1 atau λ2=2
Berdasarkan teorema, diperoleh
A2−A−2I=0 ⇔ A-1=(A−I)/2 ⇔
− 3 2 2
A −1 =
− 1 2 1
Selanjutnya,
λ2−λ−2=0
⇔
λ2=λ+2
⇔
λ3=λ2+2λ=(λ+2)+2λ=3λ+2
⇔
λ4=3λ2+2λ=3(λ+2)+2λ=5λ+6
⇔
...
⇔
λm=k1λ+k2
Konstanta k1 dan k2 diperoleh dari substitusi λ1=−1 dan λ2=2
yaitu : k1=(2m−(-1)m)/3 , k2=(2m+(-1)m⋅2)/3 dan . Dengan
demikian :
λm=k1λ+k2 ⇔ Am =k1A+k2I
={(2m−(-1)m)/3}A+{(2m+(-1)m⋅2)/3}I
− 20 84
.
untuk m=6 (misalnya) diperoleh A 6 =
− 21 85
Matriks dan Determinan
15
3.5. Terapan
Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sistem Persamaan Linear adalah suatu sistem persamaan
linear yang terdiri dari n persamaan dan m peubah :
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
∂
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
SPL tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk perkalian matrik :
AX=B
dengan
a11 a12 L a1n
x1
b1
a 21 a 22 L a 2n
x2
b2
, X=
dan B =
A=
M
M
M
M
M
x
b
a
n
m
m1 a m2 L a mn
Teorema 10
Diketahui SPL dalam bentuk matriks AX=B, dengan matriks
a11 a12 L a1n
b1
x1
a 21 a 22 L a 2n
b2
x2
A mxn =
, X nx1 =
dan B mx1 =
M
M
M
M
M
b
x
a
L
a
a
m2
mn
m
n
m1
.
~
Diketahui pula A , matriks imbuhan (augmented matriks).
(a).
a11 a12 L a1n
~ a 21 a 22 L a 2n
A =
M
M
M
a
m1 a m2 L a mn
~
Jika Rank(A)=Rank( A ), maka SPL
b1
b2
M
b m
tersebut paling
sedikit mempunyai satu penyelesaian. Dalam hal ini
dikatakan SPL tersebut konsisten.
Matriks dan Determinan
16
(b).
~
Jika Rank(A)=Rank( A )=n, maka SPL tersebut
mempunyai penyelesaian tunggal.
(c).
Jika Rank(A)