Pengembangan Teori Probabilitas untuk Me
ISBN : 978 – 979 - 96152
MATEMATIKA: PENGEMBANGAN DAN APLIKASINYA
UNTUK MENDUKUNG PROSES
KEMANDIRIAN DAN KEBANGKITAN BANGSA
Surabaya, 13 Desember 2008
Gedung Pasca Sarjana ITS Surabaya
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA IV
Jurusan Matematika FMIPA–ITS
Kampus Keputih–Sukolilo
Sekretariat: Gedung U201
Telp. 031-5943354
Fax. 031-5996506
ISBN :978-979-96152
Susunan Panitia
x Steering Committee:
1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc
2. Prof. Hendra Gunawan, Ph.D
3. Prof. Dr. Sri Wahyuni, MS
4. Prof. Dr. Ketut Budayasa
5. Dr. Mardjono, M.Phil
6. Dr. Eridani, M.Si
7. Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
8. Dr. Mohammad Isa Irawan, MT
9. Dr. Subiono, M.Sc
10. Dr. Erna Apriliani, M.Si
11. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si
12. Dr. Toto Nusantara, M.Si
(ITS)
(ITB)
(UGM)
(Unesa)
(UB)
(Unair)
(USU)
(ITS)
(ITS)
(ITS)
(ITS)
(UM)
x Organizing Committee:
1.
2.
3.
4.
Ketua Pelaksana
Wakil Ketua Pelaks
Sekretaris
Bendahara
: Drs. Nurul Hidayat, M.Kom
: Drs. Kamiran, M.Si
: Valeriana, S.Si, MT
: Dra. Farida A.W., MS
EDITOR :
1. Drs. IG Ngurah Rai Usadha, M.Si
2. Pratita Ayu Inawati, S.Si
Artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan dalam Seminar Nasional
Matematika IV tahun 2008 pada 13 Desember 2008 di ITS Surabaya
DAFTAR ISI
Daftar Isi ............................................................................................................................ i
Makalah Seminar Nasional
Makalah Utama
Intelligent System for Sustainable Development, DR. Subchan...…......……….….
MU.1
Matematika, Globalisasi Dan Kemandirian Bangsa, oleh: Moch.Abduh................
MU.15
Makalah Sidang Paralel
Makalah Bidang Riset Operasi, Statistik Dan Pengolahan Data (RSP)
1. Optimasi Tingkat Stok Dasar pada Masalah Pengendalian Persediaan
Menggunakan Stochastic Approximation Method Oleh : Rully Soelaiman ,
Mahendrawathi ER & A M Krisnawati…………….......................................
RSP.1
2. Penentuan Jumlah Pemesanan yang Ekonomis Pada Inventori Banyak Jenis
dengan Menggunakan Metode Nonlinear Goal Programming, Oleh : Rully
Soelaiman, Wiwik Anggraeni & Rachmita Nura Fathma...........................
RSP.6
3. Validitas Dan Reliabilitas Indikator-Indikator Peubah Kebutuhan Fiskal Dan
Potensi Fiskal Dengan Structural Equation Modelling, Oleh: Ari Wardono,
Kresnayana Yahya & Akhmad Jaelani........................................................
RSP.14
4. Pendekatan Goal Programming dengan Parameter Fuzzy pada Optimasi
Alokasi Transportasi Sampah di Surabaya, Oleh: Valeriana, Kamiran &
Herny............................................................................................................. RSP.22
5. Estimator Yang Efisien Pada Tipe Censored Sampling Untuk Distribusi
Rayleigh, Oleh : Dra. Farida A.W M.S........................................................
RSP.35
6. Kajian Indeks Kemampuan Multiproses, Oleh: Sri Utami & Laksmi Prita... RSP.44
7. Pengembangan Teori Probabilitas Untuk Fusi Penginferensian Informasi,
Oleh: Arwin Datumaya, Wahyudi Sumari, Adang Suwandi Ahmad, Acik Ida &
Jaka Sembiring..........................................................................................
RSP.53
8. Model Kartu Menuju Sehat (Kms) Balita Dengan Pendekatan Spline
Polynomial Truncated, Oleh : Muh.Rifqy Syauqi & I Nyoman
Budiantara.................................................................................................
RSP.61
9. Prevalensi Dan Faktor Resiko Hiv Pada Generalized Epidemic Di Tanah
Papua Menggunakan Metode Regresi Logistik Dengan Stratifikasi,
Oleh: Bagas Susilo & Gantjang Amanullah.............................................
RSP.74
10. Pemilihan Model Terbaik Pada Analisis Regresi Logistik Multinomial Dan
Ordinal Dengan Mcfadden’s R2, Oleh: Ummiy Fauziyah Laili…............
RSP.83
11. Pengaruh Jenis Kelamin Terhadap Berat Badan Balita Di Kota Surabaya
Dengan Menggunakanpendekatan Spline, Oleh: Rida Trian Sds,
I Nyoman Budiantara, Madu Ratna..........................................................
RSP.93
12. Klasifikasi Angkatan Kerja Propinsi Bengkulu Berdasarkan Metode Cart ,
Oleh: Yuniarto, Sutikno & Hera Hendra Permana.................................
RSP.102
13. Analisis Jumlah Penumpang Dan Kargo Melalui Bandara Djalaludin Gorontalo
Dengan Model Intervensi Dan Arch-Garch, Oleh: Undich Sadewo Sunu,
Kresnayana Yahya & Sasmito Hadi Wibowo........................................
RSP.110
14. Analisis Beberapa Faktor Yang Berpengaruh Terhadap Volatilitas Cadangan
Devisa Indonesia Dengan Menggunakan Metode Arch/Garch Dan Var,
Oleh: Toto Abdul Fatah, Kresnayana Yahya & Budiasih...........................
RSP.118
15. Pengukuran Efisiensi Relatif Klaster Industri Inti:Suatu Analisis Stochastic
Frontier Oleh: Sunardi & Thoman Pardosi................................................
RSP.123
16. Model Variasi Spasial Pendapatan Rumah Tangga Menggunakan
Geographically Weighted Regression, Oleh: Sugeng Junaedi, Sony
Sunaryo, Hera Hendra Permana……...…………………………………..
RSP.131
17. Pendekatan Mars Untuk Ketepatan Klasifikasi Desa/Kelurahan Miskin
Serta Faktor-Faktor Komunitas Yang Berpengaruh Di Kalimantan Timur
Tahun 2005, Oleh: Siti Wahyuningrum, I Nyoman Budiantara &
Satwiko Darmesto…………………………………………………………..
RSP.139
18. Pemodelan Wanita Rawan Ekonomi Di Propinsi Nusa Tenggara Barat Dengan
Pendekatan Monte Carlo Markov Chain, Oleh: Rahayu Rachmawati, Nur Iriawan
& Sodikin Baidowi………………………………………………………......
RSP. 147
19. Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Produktivitas Kelapa Sawit Di
Provinsi Riau Dengan Metode Regresi Logistik, Oleh: Purwantono, Haryono &
Akhmad Jaelani…………………………………………………………….
RSP.153
20. Penskalaan Dimensi Ganda (Pdg) Metrik Terbobot (Studi Kasus
Pengelompokan Kabupaten/Kota Di Sulawesi Selatan), Oleh: Muhlison
Fatawi, Sony Sunaryo & Hera Hendra Permana..................................
RSP.160
DAFTAR ISI
Daftar Isi ............................................................................................................................ i
Makalah Seminar Nasional
Makalah Utama
Intelligent System for Sustainable Development, DR. Subchan...…......……….….
MU.1
Matematika, Globalisasi Dan Kemandirian Bangsa, oleh: Moch.Abduh................
MU.15
Makalah Sidang Paralel
Makalah Bidang Riset Operasi, Statistik Dan Pengolahan Data (RSP)
1. Optimasi Tingkat Stok Dasar pada Masalah Pengendalian Persediaan
Menggunakan Stochastic Approximation Method Oleh : Rully Soelaiman ,
Mahendrawathi ER & A M Krisnawati…………….......................................
RSP.1
2. Penentuan Jumlah Pemesanan yang Ekonomis Pada Inventori Banyak Jenis
dengan Menggunakan Metode Nonlinear Goal Programming, Oleh : Rully
Soelaiman, Wiwik Anggraeni & Rachmita Nura Fathma...........................
RSP.6
3. Validitas Dan Reliabilitas Indikator-Indikator Peubah Kebutuhan Fiskal Dan
Potensi Fiskal Dengan Structural Equation Modelling, Oleh: Ari Wardono,
Kresnayana Yahya & Akhmad Jaelani........................................................
RSP.14
4. Pendekatan Goal Programming dengan Parameter Fuzzy pada Optimasi
Alokasi Transportasi Sampah di Surabaya, Oleh: Valeriana, Kamiran &
Herny............................................................................................................. RSP.22
5. Estimator Yang Efisien Pada Tipe Censored Sampling Untuk Distribusi
Rayleigh, Oleh : Dra. Farida A.W M.S........................................................
RSP.35
6. Kajian Indeks Kemampuan Multiproses, Oleh: Sri Utami & Laksmi Prita... RSP.44
7. Pengembangan Teori Probabilitas Untuk Fusi Penginferensian Informasi,
Oleh: Arwin Datumaya, Wahyudi Sumari, Adang Suwandi Ahmad, Acik Ida &
Jaka Sembiring..........................................................................................
RSP.53
8. Model Kartu Menuju Sehat (Kms) Balita Dengan Pendekatan Spline
Polynomial Truncated, Oleh : Muh.Rifqy Syauqi & I Nyoman
Budiantara.................................................................................................
RSP.61
9. Prevalensi Dan Faktor Resiko Hiv Pada Generalized Epidemic Di Tanah
Papua Menggunakan Metode Regresi Logistik Dengan Stratifikasi,
Oleh: Bagas Susilo & Gantjang Amanullah.............................................
RSP.74
10. Pemilihan Model Terbaik Pada Analisis Regresi Logistik Multinomial Dan
Ordinal Dengan Mcfadden’s R2, Oleh: Ummiy Fauziyah Laili…............
RSP.83
11. Pengaruh Jenis Kelamin Terhadap Berat Badan Balita Di Kota Surabaya
Dengan Menggunakanpendekatan Spline, Oleh: Rida Trian Sds,
I Nyoman Budiantara, Madu Ratna..........................................................
RSP.93
12. Klasifikasi Angkatan Kerja Propinsi Bengkulu Berdasarkan Metode Cart ,
Oleh: Yuniarto, Sutikno & Hera Hendra Permana.................................
RSP.102
13. Analisis Jumlah Penumpang Dan Kargo Melalui Bandara Djalaludin Gorontalo
Dengan Model Intervensi Dan Arch-Garch, Oleh: Undich Sadewo Sunu,
Kresnayana Yahya & Sasmito Hadi Wibowo........................................
RSP.110
14. Analisis Beberapa Faktor Yang Berpengaruh Terhadap Volatilitas Cadangan
Devisa Indonesia Dengan Menggunakan Metode Arch/Garch Dan Var,
Oleh: Toto Abdul Fatah, Kresnayana Yahya & Budiasih...........................
RSP.118
15. Pengukuran Efisiensi Relatif Klaster Industri Inti:Suatu Analisis Stochastic
Frontier Oleh: Sunardi & Thoman Pardosi................................................
RSP.123
16. Model Variasi Spasial Pendapatan Rumah Tangga Menggunakan
Geographically Weighted Regression, Oleh: Sugeng Junaedi, Sony
Sunaryo, Hera Hendra Permana……...…………………………………..
RSP.131
17. Pendekatan Mars Untuk Ketepatan Klasifikasi Desa/Kelurahan Miskin
Serta Faktor-Faktor Komunitas Yang Berpengaruh Di Kalimantan Timur
Tahun 2005, Oleh: Siti Wahyuningrum, I Nyoman Budiantara &
Satwiko Darmesto…………………………………………………………..
RSP.139
18. Pemodelan Wanita Rawan Ekonomi Di Propinsi Nusa Tenggara Barat Dengan
Pendekatan Monte Carlo Markov Chain, Oleh: Rahayu Rachmawati, Nur Iriawan
& Sodikin Baidowi………………………………………………………......
RSP. 147
19. Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Produktivitas Kelapa Sawit Di
Provinsi Riau Dengan Metode Regresi Logistik, Oleh: Purwantono, Haryono &
Akhmad Jaelani…………………………………………………………….
RSP.153
20. Penskalaan Dimensi Ganda (Pdg) Metrik Terbobot (Studi Kasus
Pengelompokan Kabupaten/Kota Di Sulawesi Selatan), Oleh: Muhlison
Fatawi, Sony Sunaryo & Hera Hendra Permana..................................
RSP.160
Seminar Nasional Matematika IV (SemNasMat4)
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 13 Desember 2008
PENGEMBANGAN TEORI PROBABILITAS UNTUK
METODA FUSI PENGINFERENSIAN INFORMASI
1
1,2
Arwin Datumaya Wahyudi Sumari, 2Adang Suwandi Ahmad
2
Aciek Ida Wuryandari, 2Jaka Sembiring
Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung
Gedung Labtek VIII Jl. Ganeca 10, Bandung 40175 – Jawa Barat
1
Departemen Elektronika, Akademi Angkatan Udara
Jl. Laksda Adisutjpto, Yogyakarta 55002– D.I. Yogyakarta
e-mail : 1 daemon@students.itb.ac.id, 2 asaisrg@pusat.itb.ac.id
2
aciek@lskk.ee.itb.ac.id, 2 jaka@depkominfo.go.id
Abstrak. Penginferensian (inferencing) adalah satu kesimpulan yang dicapai
melalui penalaran dan merupakan salah satu kehebatan manusia. Manusia
melakukan inferensi agar dapat menjelaskan fenomena-fenomena yang diindera
oleh panca inderanya. Suatu fenomena akan dapat dijelaskan dengan lengkap bila
inferensi tunggal yang berasal dari setiap indera difusikan oleh otak menjadi satu
inferensi terfusi yang mencakup semua informasi yang berasal dari panca indera
tersebut. Mekanisme ini disebut dengan fusi penginferensian informasi (information
inferencing fusion).
Agar dapat mengemulasikan kehebatan manusia dalam melakukan fusi
penginferensian informasi pada sistem-sistem berbasis komputer, diperlukan satu
metoda yang sesuai. Di dalam makalah ini, kami mengajukan satu metoda fusi
penginferensian informasi yang disebut dengan metoda Maximum Score of the Total
Sum of Joint Probabilities (MSJP). Metoda MSJP adalah pengembangan dari kasus
istimewa dalam teori probabilitas yakni metoda Bayes. Kami akan memperlihatkan
keunggulan metoda MSJP terhadap metoda Bayes melalui pengembangan
alternatif-alternatif implementasi metoda inferensi Bayes.
Kata Kunci : Bayes, fusi penginferensian informasi, informasi, MSJP,
penginferensian, probabilitas
1.
Pendahuluan
Salah satu kehebatan manusia adalah kemampuannya dalam melakukan inferensi dari informasi yang
diperoleh dari panca inderanya guna menghasilkan satu penginferensian yang digunakan sebagai dasar
untuk pengambilan keputusan atau melakukan satu tindakan terhadap fenomena yang sedang ia amati
atau sedang terjadi. Di samping itu, hasil inferensi juga dapat digunakan sebagai dasar untuk melakukan
prediksi atau estimasi terhadap situasi yang mungkin dapat terjadi di masa depan. Dalam melakukan
inferensi, informasi yang diperoleh dari satu indera hanya cukup untuk memberikan potongan deskripsi
dari fenomena yang sedang terjadi. Dengan mengombinasikan atau memfusikan informasi yang
diperoleh dari indera-indera lainnya, deskripsi mengenai fenomena tersebut akan dapat dipresentasikan
lebih lengkap. Mekanisme yang terjadi pada proses inferensi ini disebut dengan fusi penginferensian
informasi (information inferencing fusion) sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.
Perkembangan teknologi informasi dan komunikasi telah mendorong keinginan untuk mengemulasikan
kehebatan manusia dalam fusi penginferensian informasi pada sistem-sistem berbasis komputer guna
mendukung pengambil keputusan agar dapat menetapkan satu keputusan atau tindakan seakurat dan
secepat mungkin. Kita memahami bahwa manusia adalah makhluk yang kompleks dan penuh dengan
pertimbangan dalam membuat satu pilihan dihadapkan pada fakta-fakta atau indikasi-indikasi yang
ditemui di lingkungannya. Pola ini menunjukkan bahwa manusia berpikir secara probabilistik. Dengan
pertimbangan ini, salah satu pendekatan untuk memodelkan mekanisme fusi penginferensian informasi
pada manusia adalah melalui pendekatan teori probabilitas. Salah satu kasus khusus dalam teori
probabilitas adalah metoda inferensi Bayes dan merupakan metoda yang telah banyak digunakan pada
komunitas fusi data selama bertahun-tahun [1]. Guna memperoleh satu metoda fusi penginferensian
informasi baru, diajukan metoda Maximum Score of the Total Sum of Joint Probabilities (MSJP) yang
merupakan perbaikan dari metoda inferensi Bayes [2].
Gambar 1. Sistem fusi penginferensian informasi manusia [3].
Makalah ini diawali oleh Bagian 1 yang berisi latar penulisan makalah. Teori-teori fundamental yang
berkaitan dengan inti makalah akan disampaikan pada Bagian 2. Bagian 3 menjelaskan teknik-teknik
alternatif implementasi metoda inferensi Bayes yang menjadi pendorong bagi munculnya metoda fusi
penginferensian informasi MSJP yang akan dipaparkan pada Bagian 4. Makalah ditutup oleh beberapa
catatan penutup pada Bagian 5.
2.
Teori-Teori yang Berkaitan
2.1 Konsep Probabilitas
( x, Α, Ρ x ) , dimana keluaran x adalah nilai dari suatu
variabel acak yang mengambil satu dari sekumpulan kemungkinan nilai Α = { Ai } dengan i = 1,…,n
Ρ x = { p1 , p2 ,..., pi ,..., pn } ,
dengan
P ( x = Ai ) = pi , pi ≥ 0 dan
memiliki
probabilitas
∑ A ∈Α P ( x = Ai ) = 1 .
• Ensemble [4]. Ensemble X adalah sebuah triple
• Joint Ensemble. Joint ensemble XY adalah sebuah ensemble dimana setiap keluarannya adalah
sebuah pasangan terurut (ordered pair) x ∈ Α = { Ai } dan y ∈ Β = { B j } dengan j = 1,…,m.
i
P ( x = Ai , y = B j ) adalah probabilitas gabungan (joint probability) dari x = Ai dan y = B j .
• Probabilitas Marjinal. Probabilitas marginal P(x ) dan P ( y ) dari probabilitas gabungan P(x, y )
dinyatakan oleh Persamaan (1) dan Persamaan (2).
P ( x = Ai ) ≡ ∑ P ( x = Ai , y )
P ( y = Bj ) ≡ ∑ P ( y = Bj , x)
y∈Β
(1)
x∈Α
(2)
• Probabilitas Bersyarat. Dinyatakan dengan Persamaan (3).
P ( x = Ai | y = B j ) ≡
P ( x = Ai , y = B j )
P ( y = Bj )
jika P ( y = B j ) ≠ 0
(3)
Jika P ( y = B j ) = 0 maka P ( x = Ai | y = B j ) tidak dapat didefinisikan. Notasi P ( x = Ai | y = B j )
dilafalkan sebagai “probabilitas bahwa x sama dengan Ai diketahui y sama dengan B j ”.
• Aturan Perkalian Probabilitas (Product Rule). Aturan ini adalah generalisasi untuk probabilitas
irisan dari dua kejadian P ( x = Ai , y = B j ) = P ( x = Ai ∩ y = B j ) = P ( x = Ai & y = B j ) yang
didefinisikan oleh Persamaan (4).
P ( x = Ai , y = B j ) = P ( x = Ai | y = B j ) P ( y = B j )
= P ( y = B j | x = Ai ) P ( x = Ai )
(4)
Dengan demikian Persamaan (4) dapat ditulis ulang menjadi Persamaan (5) dan Persamaan (6).
P ( x = Ai | y = B j ) =
P ( y = B j | x = Ai ) =
P ( y = B j | x = Ai ) P ( x = Ai )
P ( y = Bj )
(5)
P ( x = Ai )
(6)
P ( x = Ai | y = B j ) P ( y = B j )
2.2 Metoda Inferensi Bayes
Metoda, inferensi, aturan atau teorema Bayes ini diperkenalkan oleh Thomas Bayes melalui makalah
ilmiahnya yang diterbitkan pada tahun 1763. Metoda ini memperbarui kemungkinan (likelihood) satu
hipotesa dengan diberikannya satu estimasi kemungkinan sebelumnya dan fakta-fakta atau observasiobservasi tambahan atau baru. Proses inferensi Bayes adalah sebagai berikut, andaikan A1 , A2 ,..., Ai
merepresentasikan hipotesa-hipotesa saling bebas (mutually exclusive) dan lengkap (exhaustive) yang
dapat menjelaskan satu indikasi B dari suatu observasi, maka relasi antara hipotesa, Ai dan indikasi, B
diformulasikan dalam Persamaan (7).
P ( Ai B ) =
dan
P ( B)
∑ P( A ) =1
i
2.2.1
P ( B Ai ) P ( Ai )
i
(7)
(8)
Keterbatasan Metoda Inferensi Bayes
Keterbatasan-keterbatasan teorema Bayes adalah [5] :
•
kualitas keluaran proses sangat bergantung kepada kualitas masukan, yakni probabilitas-probabilitas
a priori,
•
kesulitan dalam menentukan probabilitas a priori sehingga principle of indifference harus
diberlakukan,
persyaratan-persyaratan bahwa hipotesa-hipotesa bersifat saling bebas,
•
•
kekurangan kemampuan untuk menyatakan ketidak pastian umum,
•
kompleksitas ketika terdapat multi-hipotesa dan multi-indikasi bersyarat.
Berkaitan dengan keterbatasan terakhir, manusia sering dihadapkan pada permasalahan-permasalahan
yang bersifat multi-hipotesa dan multi-indikasi dalam kehidupan sehari-hari.
3.
Teknik-Teknik Alternatif Implementasi Metoda Bayes [3]
3.1 Teknik Alternatif I – Hipotesa Tunggal dengan Multi-Indikasi
Jika dinyatakan sebuah hipotesa, A, dan dari penginderaan diperoleh multi-indikasi B j dengan j = 1,…,m,
maka dengan menggeneralisasi Persamaan (7), probabilitas bersyarat hipotesa, A diberikan indikasiindikasi B j diekspresikan pada Persamaan (9).
(
)
P A Bj =
P ( B j A) P ( A)
(
P ( Bj )
(9)
)
P ( B j ) = ∑ P B j' A P ( A)
dimana
m
j ' =1
(10)
adalah faktor pembobotan.
(
)
Probabilitas a posteriori menunjukkan probabilitas hipotesa A dengan adanya multi-indikasi B j . Nilai
P A Bj
merepresentasikan keyakinan (certainty) dari hipotesa A.
Kami menyebutnya sebagai
Derajat Keyakinan (Degree of Certainty, DoC). Secara alami, semakin besar DoC semakin tinggi nilai
keyakinan hipotesa tersebut dengan mengetahui indikasi-indikasi yang diberikan. Probabilitas marjinal
P ( B j ) berperan sebagai faktor pembobotan untuk memarjinalisasi nilai DoC agar nilai maksimumnya
adalah sama dengan 1. Mekanisme ini diperlihatkan dalam Gambar 2.
Gambar 2. Ilustrasi teknik alternatif I PKov (MEO) [3].
Teknik alternatif I dapat diterjemahkan “diketahui multi-indikasi B j , seberapa besarkah keyakinan
hipotesa A adalah benar”. Kami menyebut mekanisme ini adalah Probabilitas Konvergensi (PKov)
atau Probabilitas Many-to-Estimated One (MEO). Tabel 1 memperlihatkan mekanisme teknik PKov
atau MEO.
Table 1. Ilustrasi teknik PKov (MEO)
A
Bj
MultiIndikasi
Hipotesa, A
1
…
P ( A B1 )
…
(
j
Bj
P A Bj
)
…
P ( A Bm )
…
m
PKov
(MEO)
( (
max P A B j
j =1,..., m
))
3.2 Teknik Alternatif II – Multi-Hipotesa dengan Indikasi Tunggal
Jika multi-hipotesa, Ai dengan i = 1,…,n dinyatakan dengan diberikan indikasi tunggal B, maka
probabilitas bersyarat multi-hipotesa Ai diberikan indikasi tunggal B, diperlihatkan oleh Persamaan (11).
P ( Ai B ) =
P ( B Ai ) P ( Ai )
P ( B)
(11)
dengan P ( B ) sebagai faktor pembobotan. Persamaan (11) identik dengan Persamaan (7). Hipotesa yang
terbesar. Normalnya, kita akan memilih P ( Ai B ) dengan nilai DoC terbesar sebagai hasil inferensi.
paling memungkinkan adalah hipotesa Ai yang memiliki nilai Maximum A Posteriori (MAP) atau DoC
Mekanisme ini diperlihatkan pada Gambar 3.
Gambar 3. Ilustrasi teknik alternatif II OMEO [3].
Teknik alternatif II dapat diterjemahkan “diberikan indikasi tunggal B, seberapa besarkah keyakinan
hipotesa Ai dari satu koleksi multi-hipotesa Α adalah benar”. Kami menamakan mekanisme ini sebagai
Probabilitas One-to-Many-to-Estimated-One (OMEO), yakni diberikan indikasi tunggal yang telah
diolah akan diperoleh informasi mengenai DoC dari multi-hipotesa yang tersedia yang akan mengarahkan
ke satu hipotesa yang memiliki nilai DoC terbesar. Karena hanya terdapat indikasi tunggal, maka
hipotesa dengan DoC terbesar dianggap sebagai hasil inferensi dari fenomena yang diobservasi. Tabel 2
memperlihatkan mekanisme OMEO.
Tabel 2. Ilustrasi teknik OMEO
Α
B
Indikasi Tunggal B
OMEO
P ( A1 B )
1
Multi-Hipotesa, Α
…
i
…
…
P ( Ai B )
(
max P ( Ai B )
i =1,..., n
)
…
P ( An B )
n
3.3 Teknik Alternatif III – Multi-Hipotesa dengan Multi-Indikasi
Jika diketahui multi-hipotesa, Ai dengan i = 1,…,n dan diberikan multi-indikasi B j dengan j = 1,…,m,
maka probabilitas-probabilitas a posteriori multi-hipotesa Ai diberikan multi-indikasi B j diperoleh
dengan menggunakan Persamaan (12).
(
)
P Ai B j =
=
P ( B j Ai ) P ( Ai )
P ( Bj )
P ( B j Ai ) P ( Ai )
∑ P(B
n
i =1
=
j'
)
Ai P ( Ai )
(12)
P ( B j Ai ) P ( Ai )
P ( B j A1 ) P ( A1 ) + ... + P ( B j An ) P ( An )
dimana P ( B j ) adalah probabilitas marjinal sebagai faktor pembobotan.
Probabilitas-probabilitas a posteriori memperlihatkan nilai-nilai probabilitas dari multi-hipotesa Ai
dengan diberikan multi-indikasi B j . Hipotesa yang paling memungkinkan adalah hipotesa Ai yang
(
memiliki nilai DoC terbesar. Sekali lagi, kita akan memilih P Ai B j
)
dengan nilai DoC terbesar.
Mekanisme ini diperlihatkan dalam Gambar 4.
Gambar 4. Ilustrasi teknik alternatif III MMEO [5].
Teknik alternatif III dapat diterjemahkan “diberikan multi-indikasi Β , seberapa besarkah keyakinan
hipotesa Ai dari satu koleksi multi-hipotesa Α adalah benar”. Kami menamakan mekanisme yang
berlaku pada teknik ini sebagai Probabilitas Many-to-Many-to-Estimated-One (MMEO), yakni
diberikan multi-indikasi yang telah diolah akan diperoleh informasi mengenai DoC dari multi-hipotesa
yang tersedia yang akan mengarahkan ke satu hipotesa yang memiliki nilai DoC terbesar. Hipotesa
dengan DoC terbesar dapat dianggap sebagai hasil inferensi dari fenomena yang diobservasi. Tabel 3
memperlihatkan mekanisme MMEO.
Tabel 3. Ilustrasi teknik MMEO
Α
Β
Multi-Indikasi
1
1
P ( A1 B1 )
Multi-Hipotesa, Α
…
i
…
P ( Ai B1 )
...
…
n
P ( An B1 )
Β
…
j
…
m
(
…
P A1 B j
)
…
P ( A1 Bm )
…
P Ai B j
)
max
…
…
( P ( A B ))
i
P ( An Bm )
…
…
P ( Ai Bm )
…
…
i =1,..., n ; j =1,...,.
MMEO
4.
(
…
…
…
P ( An Bm )
…
…
j
Metoda Maximum Score of the Total Sum of Joint Probabilities [2]
Metoda fusi penginferensian informasi MSJP adalah perbaikan dari metoda fusi informasi Bayes dengan
teknik MAP sebagaimana diperlihatkan oleh Persamaan (12). Metoda fusi penginferensian informasi
MSJP diperlihatkan pada Persamaan (13).
P ( Ai B1 & ...& B j )
(
estimated
)
⎛ n m
⎞
max ⎜ ∑∑ P Ai B j ⎟
i =1,..., n
⎝ i =1 j =1
⎠
=
j
(13)
(
)
dengan i = 1,…,n adalah jumlah hipotesa yang diletakkan secara kolom dan j = 1,…,m adalah jumlah
indikasi yang diletakkan secara baris. Kata “estimated” bermakna P Ai B j
terpilih adalah hipotesa
estimasi terbaik atau yang paling memungkinkan dari multi-hipotesa yang tersedia.
Notasi
P ( Ai B1 & ...& B j ) merepresentasikan probabilitas terfusi (gabungan) dari semua nilai probabilitas a
posteriori yang diperoleh dari hasil penghitungan.
Kata “probabilitas gabungan (joint probability)” dalam metoda MSJP tidak merepresentasikan
probabilitas gabungan sebagaimana disampaikan dalam Bagian 2.1, namun fusi atau gabungan atau
kombinasi dari semua nilai probabilitas a posteriori multi-hipotesis dengan diberikan multi-indikasi.
Istilah “total sum of joint probabilities” dipresentasikan oleh operasi
∑ ∑
n
i =1
m
j =1
(
P Ai B j
).
Faktor
pembobotan j adalah jumlah multi-indikasi a priori Β yang mempengaruhi nilai-nilai probabilitas multihipotesa Α .
4.1 Mekanisme Fusi Penginferensian Informasi pada Metoda MSJP
Mekanisme fusi penginferensian informasi metoda MSJP cukup sederhana. Pertama, cantumkan semua
nilai informasi a posteriori atau nilai-nilai multi-hipotesa secara baris yang mana jumlah dari semua nilai
informasi tersebut harus sama dengan 1, sedangkan jumlah semua nilai informasinya secara kolom tidak
harus sama dengan 1. Jumlahkan semua nilai informasi a posteriori dalam setiap kolom dan pilih nilai
kolom terbesar. Nilai terbesar ini adalah hipotesa estimasi terbaik dan telah mencakup semua nilai
informasi yang kecil. Mekanisme ini diperlihatkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Mekanisme fusi penginferensian informasi metoda MSJP [2].
Untuk mendapatkan probabilitas gabungan a posteriori dari setiap hipotesa, bagi masing-masing hasil dari
penjumlahan kolom dengan jumlah indikasi yang tersedia yakni elemen j sebagaimana diperlihatkan pada
Persamaan (13). Elemen ini adalah faktor pembobotan guna memarjinalisasi nilai-nilai multi-hipotesis
pada setiap kolom agar nilai maksimumnya sama dengan 1. Tabel 4 mengilustrasikan mekanisme metoda
MSJP.
Table 4. Ilustrasi mekanisme metoda MSJP
1
P ( A1 B1 )
1
MultiIndikasi
Β
Inferensi
Hipotesa
…
j
…
m
(
…
P A1 B j
i =1
m
j =1
MSJP
5.
)
…
P ( A1 Bm )
∑ ∑
j
(
…
…
P Ai B j
Multi-Hipotesa, Α
i
P ( Ai B1 )
(
…
…
)
…
…
…
P Ai B j
i =i
m
j =1
(
P Ai B j
(
…
)
…
P ( Ai Bm )
∑ ∑
...
…
…
…
)
…
)
⎛ ∑ n ∑ m P Ai B j ⎞
i =1
j =1
⎟
max ⎜
i =1,..., n ⎜
⎟
j
⎝
⎠estimated
j
n
P ( An B1 )
P ( An Bm )
…
…
P ( An Bm )
∑ ∑
i=n
m
j =1
(
P Ai B j
)
j
Catatan-Catatan Penutup
Teori probabilitas adalah pendekatan yang dianggap paling tepat untuk memodelkan cara manusia
melakukan inferensi yang bersifat probabilistik guna memperoleh deskripsi lengkap mengenai suatu
fenomena. Deskripsi lengkap diperoleh dengan melakukan fusi penginferensian informasi. Metoda yang
telah banyak diaplikasikan adalah metoda inferensi Bayes dipadukan dengan teknik MAP. Kombinasi
metoda-teknik ini memiliki keterbatasan ketika dihadapkan pada permasalahan-permasalahan yang
bersifat multi-hipotesa multi-indikasi yang sering dihadapi oleh manusia dalam kehidupan nyata.
Untuk meminimalkan keterbatasan tersebut diajukan satu metoda fusi penginferensian informasi baru
yang disebut dengan metoda Metoda Maximum Score of the Total Sum of Joint Probabilities (MSJP).
Dengan melakukan penjumlahan total probabilitas-probabilitas a posteriori kemungkinan kemunculan
hipotesa-hipotesa dengan nilai DoC terbesar dapat diminimalkan sehingga akan diperoleh satu
penginferensian dengan DoC terbesar sebagai hasil inferensi yakni informasi lengkap mengenai suatu
fenomena. Inferensi adalah proses hirarkis sehingga nilai-nilai probabilitas a posteriori akan menjadi
nilai-nilai probabilitas a priori pada hirarki berikutnya dan mekanisme ini dapat menghindarkan
penerapan principle of indifference.
References
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Ahmad, Adang Suwandi, dan Sumari, Arwin D.W., Multi-Agent Information Inferencing Fusion in Integrated
Information System, Seri “Information Science and Computing”, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika,
Institut Teknologi Bandung, Penerbit ITB, Indonesia, 2008.
Sumari, Arwin D.W., Desain dan implementasi system fusi informasi multi-agent untuk mendukung
pengambilan keputusan dalam perencanaan operasi udara, Tesis Magister Teknik, Institut Teknologi Bandung,
2008.
Sumari, Arwin D.W, Pemodelan matematika metoda fusi penginferensian informasi A3S (Arwin-AdangAciek-Sembiring), Laporan Teknis, Institut Teknologi Bandung, 2008.
MacKay, David J.C., Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Cambridge University Press,
United Kingdom, 2003.
D.L. Hall, Mathematical Techniques in Multisensor Data Fusion, Artech House, USA, 1992.
MATEMATIKA: PENGEMBANGAN DAN APLIKASINYA
UNTUK MENDUKUNG PROSES
KEMANDIRIAN DAN KEBANGKITAN BANGSA
Surabaya, 13 Desember 2008
Gedung Pasca Sarjana ITS Surabaya
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA IV
Jurusan Matematika FMIPA–ITS
Kampus Keputih–Sukolilo
Sekretariat: Gedung U201
Telp. 031-5943354
Fax. 031-5996506
ISBN :978-979-96152
Susunan Panitia
x Steering Committee:
1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc
2. Prof. Hendra Gunawan, Ph.D
3. Prof. Dr. Sri Wahyuni, MS
4. Prof. Dr. Ketut Budayasa
5. Dr. Mardjono, M.Phil
6. Dr. Eridani, M.Si
7. Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
8. Dr. Mohammad Isa Irawan, MT
9. Dr. Subiono, M.Sc
10. Dr. Erna Apriliani, M.Si
11. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si
12. Dr. Toto Nusantara, M.Si
(ITS)
(ITB)
(UGM)
(Unesa)
(UB)
(Unair)
(USU)
(ITS)
(ITS)
(ITS)
(ITS)
(UM)
x Organizing Committee:
1.
2.
3.
4.
Ketua Pelaksana
Wakil Ketua Pelaks
Sekretaris
Bendahara
: Drs. Nurul Hidayat, M.Kom
: Drs. Kamiran, M.Si
: Valeriana, S.Si, MT
: Dra. Farida A.W., MS
EDITOR :
1. Drs. IG Ngurah Rai Usadha, M.Si
2. Pratita Ayu Inawati, S.Si
Artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan dalam Seminar Nasional
Matematika IV tahun 2008 pada 13 Desember 2008 di ITS Surabaya
DAFTAR ISI
Daftar Isi ............................................................................................................................ i
Makalah Seminar Nasional
Makalah Utama
Intelligent System for Sustainable Development, DR. Subchan...…......……….….
MU.1
Matematika, Globalisasi Dan Kemandirian Bangsa, oleh: Moch.Abduh................
MU.15
Makalah Sidang Paralel
Makalah Bidang Riset Operasi, Statistik Dan Pengolahan Data (RSP)
1. Optimasi Tingkat Stok Dasar pada Masalah Pengendalian Persediaan
Menggunakan Stochastic Approximation Method Oleh : Rully Soelaiman ,
Mahendrawathi ER & A M Krisnawati…………….......................................
RSP.1
2. Penentuan Jumlah Pemesanan yang Ekonomis Pada Inventori Banyak Jenis
dengan Menggunakan Metode Nonlinear Goal Programming, Oleh : Rully
Soelaiman, Wiwik Anggraeni & Rachmita Nura Fathma...........................
RSP.6
3. Validitas Dan Reliabilitas Indikator-Indikator Peubah Kebutuhan Fiskal Dan
Potensi Fiskal Dengan Structural Equation Modelling, Oleh: Ari Wardono,
Kresnayana Yahya & Akhmad Jaelani........................................................
RSP.14
4. Pendekatan Goal Programming dengan Parameter Fuzzy pada Optimasi
Alokasi Transportasi Sampah di Surabaya, Oleh: Valeriana, Kamiran &
Herny............................................................................................................. RSP.22
5. Estimator Yang Efisien Pada Tipe Censored Sampling Untuk Distribusi
Rayleigh, Oleh : Dra. Farida A.W M.S........................................................
RSP.35
6. Kajian Indeks Kemampuan Multiproses, Oleh: Sri Utami & Laksmi Prita... RSP.44
7. Pengembangan Teori Probabilitas Untuk Fusi Penginferensian Informasi,
Oleh: Arwin Datumaya, Wahyudi Sumari, Adang Suwandi Ahmad, Acik Ida &
Jaka Sembiring..........................................................................................
RSP.53
8. Model Kartu Menuju Sehat (Kms) Balita Dengan Pendekatan Spline
Polynomial Truncated, Oleh : Muh.Rifqy Syauqi & I Nyoman
Budiantara.................................................................................................
RSP.61
9. Prevalensi Dan Faktor Resiko Hiv Pada Generalized Epidemic Di Tanah
Papua Menggunakan Metode Regresi Logistik Dengan Stratifikasi,
Oleh: Bagas Susilo & Gantjang Amanullah.............................................
RSP.74
10. Pemilihan Model Terbaik Pada Analisis Regresi Logistik Multinomial Dan
Ordinal Dengan Mcfadden’s R2, Oleh: Ummiy Fauziyah Laili…............
RSP.83
11. Pengaruh Jenis Kelamin Terhadap Berat Badan Balita Di Kota Surabaya
Dengan Menggunakanpendekatan Spline, Oleh: Rida Trian Sds,
I Nyoman Budiantara, Madu Ratna..........................................................
RSP.93
12. Klasifikasi Angkatan Kerja Propinsi Bengkulu Berdasarkan Metode Cart ,
Oleh: Yuniarto, Sutikno & Hera Hendra Permana.................................
RSP.102
13. Analisis Jumlah Penumpang Dan Kargo Melalui Bandara Djalaludin Gorontalo
Dengan Model Intervensi Dan Arch-Garch, Oleh: Undich Sadewo Sunu,
Kresnayana Yahya & Sasmito Hadi Wibowo........................................
RSP.110
14. Analisis Beberapa Faktor Yang Berpengaruh Terhadap Volatilitas Cadangan
Devisa Indonesia Dengan Menggunakan Metode Arch/Garch Dan Var,
Oleh: Toto Abdul Fatah, Kresnayana Yahya & Budiasih...........................
RSP.118
15. Pengukuran Efisiensi Relatif Klaster Industri Inti:Suatu Analisis Stochastic
Frontier Oleh: Sunardi & Thoman Pardosi................................................
RSP.123
16. Model Variasi Spasial Pendapatan Rumah Tangga Menggunakan
Geographically Weighted Regression, Oleh: Sugeng Junaedi, Sony
Sunaryo, Hera Hendra Permana……...…………………………………..
RSP.131
17. Pendekatan Mars Untuk Ketepatan Klasifikasi Desa/Kelurahan Miskin
Serta Faktor-Faktor Komunitas Yang Berpengaruh Di Kalimantan Timur
Tahun 2005, Oleh: Siti Wahyuningrum, I Nyoman Budiantara &
Satwiko Darmesto…………………………………………………………..
RSP.139
18. Pemodelan Wanita Rawan Ekonomi Di Propinsi Nusa Tenggara Barat Dengan
Pendekatan Monte Carlo Markov Chain, Oleh: Rahayu Rachmawati, Nur Iriawan
& Sodikin Baidowi………………………………………………………......
RSP. 147
19. Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Produktivitas Kelapa Sawit Di
Provinsi Riau Dengan Metode Regresi Logistik, Oleh: Purwantono, Haryono &
Akhmad Jaelani…………………………………………………………….
RSP.153
20. Penskalaan Dimensi Ganda (Pdg) Metrik Terbobot (Studi Kasus
Pengelompokan Kabupaten/Kota Di Sulawesi Selatan), Oleh: Muhlison
Fatawi, Sony Sunaryo & Hera Hendra Permana..................................
RSP.160
DAFTAR ISI
Daftar Isi ............................................................................................................................ i
Makalah Seminar Nasional
Makalah Utama
Intelligent System for Sustainable Development, DR. Subchan...…......……….….
MU.1
Matematika, Globalisasi Dan Kemandirian Bangsa, oleh: Moch.Abduh................
MU.15
Makalah Sidang Paralel
Makalah Bidang Riset Operasi, Statistik Dan Pengolahan Data (RSP)
1. Optimasi Tingkat Stok Dasar pada Masalah Pengendalian Persediaan
Menggunakan Stochastic Approximation Method Oleh : Rully Soelaiman ,
Mahendrawathi ER & A M Krisnawati…………….......................................
RSP.1
2. Penentuan Jumlah Pemesanan yang Ekonomis Pada Inventori Banyak Jenis
dengan Menggunakan Metode Nonlinear Goal Programming, Oleh : Rully
Soelaiman, Wiwik Anggraeni & Rachmita Nura Fathma...........................
RSP.6
3. Validitas Dan Reliabilitas Indikator-Indikator Peubah Kebutuhan Fiskal Dan
Potensi Fiskal Dengan Structural Equation Modelling, Oleh: Ari Wardono,
Kresnayana Yahya & Akhmad Jaelani........................................................
RSP.14
4. Pendekatan Goal Programming dengan Parameter Fuzzy pada Optimasi
Alokasi Transportasi Sampah di Surabaya, Oleh: Valeriana, Kamiran &
Herny............................................................................................................. RSP.22
5. Estimator Yang Efisien Pada Tipe Censored Sampling Untuk Distribusi
Rayleigh, Oleh : Dra. Farida A.W M.S........................................................
RSP.35
6. Kajian Indeks Kemampuan Multiproses, Oleh: Sri Utami & Laksmi Prita... RSP.44
7. Pengembangan Teori Probabilitas Untuk Fusi Penginferensian Informasi,
Oleh: Arwin Datumaya, Wahyudi Sumari, Adang Suwandi Ahmad, Acik Ida &
Jaka Sembiring..........................................................................................
RSP.53
8. Model Kartu Menuju Sehat (Kms) Balita Dengan Pendekatan Spline
Polynomial Truncated, Oleh : Muh.Rifqy Syauqi & I Nyoman
Budiantara.................................................................................................
RSP.61
9. Prevalensi Dan Faktor Resiko Hiv Pada Generalized Epidemic Di Tanah
Papua Menggunakan Metode Regresi Logistik Dengan Stratifikasi,
Oleh: Bagas Susilo & Gantjang Amanullah.............................................
RSP.74
10. Pemilihan Model Terbaik Pada Analisis Regresi Logistik Multinomial Dan
Ordinal Dengan Mcfadden’s R2, Oleh: Ummiy Fauziyah Laili…............
RSP.83
11. Pengaruh Jenis Kelamin Terhadap Berat Badan Balita Di Kota Surabaya
Dengan Menggunakanpendekatan Spline, Oleh: Rida Trian Sds,
I Nyoman Budiantara, Madu Ratna..........................................................
RSP.93
12. Klasifikasi Angkatan Kerja Propinsi Bengkulu Berdasarkan Metode Cart ,
Oleh: Yuniarto, Sutikno & Hera Hendra Permana.................................
RSP.102
13. Analisis Jumlah Penumpang Dan Kargo Melalui Bandara Djalaludin Gorontalo
Dengan Model Intervensi Dan Arch-Garch, Oleh: Undich Sadewo Sunu,
Kresnayana Yahya & Sasmito Hadi Wibowo........................................
RSP.110
14. Analisis Beberapa Faktor Yang Berpengaruh Terhadap Volatilitas Cadangan
Devisa Indonesia Dengan Menggunakan Metode Arch/Garch Dan Var,
Oleh: Toto Abdul Fatah, Kresnayana Yahya & Budiasih...........................
RSP.118
15. Pengukuran Efisiensi Relatif Klaster Industri Inti:Suatu Analisis Stochastic
Frontier Oleh: Sunardi & Thoman Pardosi................................................
RSP.123
16. Model Variasi Spasial Pendapatan Rumah Tangga Menggunakan
Geographically Weighted Regression, Oleh: Sugeng Junaedi, Sony
Sunaryo, Hera Hendra Permana……...…………………………………..
RSP.131
17. Pendekatan Mars Untuk Ketepatan Klasifikasi Desa/Kelurahan Miskin
Serta Faktor-Faktor Komunitas Yang Berpengaruh Di Kalimantan Timur
Tahun 2005, Oleh: Siti Wahyuningrum, I Nyoman Budiantara &
Satwiko Darmesto…………………………………………………………..
RSP.139
18. Pemodelan Wanita Rawan Ekonomi Di Propinsi Nusa Tenggara Barat Dengan
Pendekatan Monte Carlo Markov Chain, Oleh: Rahayu Rachmawati, Nur Iriawan
& Sodikin Baidowi………………………………………………………......
RSP. 147
19. Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Produktivitas Kelapa Sawit Di
Provinsi Riau Dengan Metode Regresi Logistik, Oleh: Purwantono, Haryono &
Akhmad Jaelani…………………………………………………………….
RSP.153
20. Penskalaan Dimensi Ganda (Pdg) Metrik Terbobot (Studi Kasus
Pengelompokan Kabupaten/Kota Di Sulawesi Selatan), Oleh: Muhlison
Fatawi, Sony Sunaryo & Hera Hendra Permana..................................
RSP.160
Seminar Nasional Matematika IV (SemNasMat4)
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 13 Desember 2008
PENGEMBANGAN TEORI PROBABILITAS UNTUK
METODA FUSI PENGINFERENSIAN INFORMASI
1
1,2
Arwin Datumaya Wahyudi Sumari, 2Adang Suwandi Ahmad
2
Aciek Ida Wuryandari, 2Jaka Sembiring
Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung
Gedung Labtek VIII Jl. Ganeca 10, Bandung 40175 – Jawa Barat
1
Departemen Elektronika, Akademi Angkatan Udara
Jl. Laksda Adisutjpto, Yogyakarta 55002– D.I. Yogyakarta
e-mail : 1 daemon@students.itb.ac.id, 2 asaisrg@pusat.itb.ac.id
2
aciek@lskk.ee.itb.ac.id, 2 jaka@depkominfo.go.id
Abstrak. Penginferensian (inferencing) adalah satu kesimpulan yang dicapai
melalui penalaran dan merupakan salah satu kehebatan manusia. Manusia
melakukan inferensi agar dapat menjelaskan fenomena-fenomena yang diindera
oleh panca inderanya. Suatu fenomena akan dapat dijelaskan dengan lengkap bila
inferensi tunggal yang berasal dari setiap indera difusikan oleh otak menjadi satu
inferensi terfusi yang mencakup semua informasi yang berasal dari panca indera
tersebut. Mekanisme ini disebut dengan fusi penginferensian informasi (information
inferencing fusion).
Agar dapat mengemulasikan kehebatan manusia dalam melakukan fusi
penginferensian informasi pada sistem-sistem berbasis komputer, diperlukan satu
metoda yang sesuai. Di dalam makalah ini, kami mengajukan satu metoda fusi
penginferensian informasi yang disebut dengan metoda Maximum Score of the Total
Sum of Joint Probabilities (MSJP). Metoda MSJP adalah pengembangan dari kasus
istimewa dalam teori probabilitas yakni metoda Bayes. Kami akan memperlihatkan
keunggulan metoda MSJP terhadap metoda Bayes melalui pengembangan
alternatif-alternatif implementasi metoda inferensi Bayes.
Kata Kunci : Bayes, fusi penginferensian informasi, informasi, MSJP,
penginferensian, probabilitas
1.
Pendahuluan
Salah satu kehebatan manusia adalah kemampuannya dalam melakukan inferensi dari informasi yang
diperoleh dari panca inderanya guna menghasilkan satu penginferensian yang digunakan sebagai dasar
untuk pengambilan keputusan atau melakukan satu tindakan terhadap fenomena yang sedang ia amati
atau sedang terjadi. Di samping itu, hasil inferensi juga dapat digunakan sebagai dasar untuk melakukan
prediksi atau estimasi terhadap situasi yang mungkin dapat terjadi di masa depan. Dalam melakukan
inferensi, informasi yang diperoleh dari satu indera hanya cukup untuk memberikan potongan deskripsi
dari fenomena yang sedang terjadi. Dengan mengombinasikan atau memfusikan informasi yang
diperoleh dari indera-indera lainnya, deskripsi mengenai fenomena tersebut akan dapat dipresentasikan
lebih lengkap. Mekanisme yang terjadi pada proses inferensi ini disebut dengan fusi penginferensian
informasi (information inferencing fusion) sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.
Perkembangan teknologi informasi dan komunikasi telah mendorong keinginan untuk mengemulasikan
kehebatan manusia dalam fusi penginferensian informasi pada sistem-sistem berbasis komputer guna
mendukung pengambil keputusan agar dapat menetapkan satu keputusan atau tindakan seakurat dan
secepat mungkin. Kita memahami bahwa manusia adalah makhluk yang kompleks dan penuh dengan
pertimbangan dalam membuat satu pilihan dihadapkan pada fakta-fakta atau indikasi-indikasi yang
ditemui di lingkungannya. Pola ini menunjukkan bahwa manusia berpikir secara probabilistik. Dengan
pertimbangan ini, salah satu pendekatan untuk memodelkan mekanisme fusi penginferensian informasi
pada manusia adalah melalui pendekatan teori probabilitas. Salah satu kasus khusus dalam teori
probabilitas adalah metoda inferensi Bayes dan merupakan metoda yang telah banyak digunakan pada
komunitas fusi data selama bertahun-tahun [1]. Guna memperoleh satu metoda fusi penginferensian
informasi baru, diajukan metoda Maximum Score of the Total Sum of Joint Probabilities (MSJP) yang
merupakan perbaikan dari metoda inferensi Bayes [2].
Gambar 1. Sistem fusi penginferensian informasi manusia [3].
Makalah ini diawali oleh Bagian 1 yang berisi latar penulisan makalah. Teori-teori fundamental yang
berkaitan dengan inti makalah akan disampaikan pada Bagian 2. Bagian 3 menjelaskan teknik-teknik
alternatif implementasi metoda inferensi Bayes yang menjadi pendorong bagi munculnya metoda fusi
penginferensian informasi MSJP yang akan dipaparkan pada Bagian 4. Makalah ditutup oleh beberapa
catatan penutup pada Bagian 5.
2.
Teori-Teori yang Berkaitan
2.1 Konsep Probabilitas
( x, Α, Ρ x ) , dimana keluaran x adalah nilai dari suatu
variabel acak yang mengambil satu dari sekumpulan kemungkinan nilai Α = { Ai } dengan i = 1,…,n
Ρ x = { p1 , p2 ,..., pi ,..., pn } ,
dengan
P ( x = Ai ) = pi , pi ≥ 0 dan
memiliki
probabilitas
∑ A ∈Α P ( x = Ai ) = 1 .
• Ensemble [4]. Ensemble X adalah sebuah triple
• Joint Ensemble. Joint ensemble XY adalah sebuah ensemble dimana setiap keluarannya adalah
sebuah pasangan terurut (ordered pair) x ∈ Α = { Ai } dan y ∈ Β = { B j } dengan j = 1,…,m.
i
P ( x = Ai , y = B j ) adalah probabilitas gabungan (joint probability) dari x = Ai dan y = B j .
• Probabilitas Marjinal. Probabilitas marginal P(x ) dan P ( y ) dari probabilitas gabungan P(x, y )
dinyatakan oleh Persamaan (1) dan Persamaan (2).
P ( x = Ai ) ≡ ∑ P ( x = Ai , y )
P ( y = Bj ) ≡ ∑ P ( y = Bj , x)
y∈Β
(1)
x∈Α
(2)
• Probabilitas Bersyarat. Dinyatakan dengan Persamaan (3).
P ( x = Ai | y = B j ) ≡
P ( x = Ai , y = B j )
P ( y = Bj )
jika P ( y = B j ) ≠ 0
(3)
Jika P ( y = B j ) = 0 maka P ( x = Ai | y = B j ) tidak dapat didefinisikan. Notasi P ( x = Ai | y = B j )
dilafalkan sebagai “probabilitas bahwa x sama dengan Ai diketahui y sama dengan B j ”.
• Aturan Perkalian Probabilitas (Product Rule). Aturan ini adalah generalisasi untuk probabilitas
irisan dari dua kejadian P ( x = Ai , y = B j ) = P ( x = Ai ∩ y = B j ) = P ( x = Ai & y = B j ) yang
didefinisikan oleh Persamaan (4).
P ( x = Ai , y = B j ) = P ( x = Ai | y = B j ) P ( y = B j )
= P ( y = B j | x = Ai ) P ( x = Ai )
(4)
Dengan demikian Persamaan (4) dapat ditulis ulang menjadi Persamaan (5) dan Persamaan (6).
P ( x = Ai | y = B j ) =
P ( y = B j | x = Ai ) =
P ( y = B j | x = Ai ) P ( x = Ai )
P ( y = Bj )
(5)
P ( x = Ai )
(6)
P ( x = Ai | y = B j ) P ( y = B j )
2.2 Metoda Inferensi Bayes
Metoda, inferensi, aturan atau teorema Bayes ini diperkenalkan oleh Thomas Bayes melalui makalah
ilmiahnya yang diterbitkan pada tahun 1763. Metoda ini memperbarui kemungkinan (likelihood) satu
hipotesa dengan diberikannya satu estimasi kemungkinan sebelumnya dan fakta-fakta atau observasiobservasi tambahan atau baru. Proses inferensi Bayes adalah sebagai berikut, andaikan A1 , A2 ,..., Ai
merepresentasikan hipotesa-hipotesa saling bebas (mutually exclusive) dan lengkap (exhaustive) yang
dapat menjelaskan satu indikasi B dari suatu observasi, maka relasi antara hipotesa, Ai dan indikasi, B
diformulasikan dalam Persamaan (7).
P ( Ai B ) =
dan
P ( B)
∑ P( A ) =1
i
2.2.1
P ( B Ai ) P ( Ai )
i
(7)
(8)
Keterbatasan Metoda Inferensi Bayes
Keterbatasan-keterbatasan teorema Bayes adalah [5] :
•
kualitas keluaran proses sangat bergantung kepada kualitas masukan, yakni probabilitas-probabilitas
a priori,
•
kesulitan dalam menentukan probabilitas a priori sehingga principle of indifference harus
diberlakukan,
persyaratan-persyaratan bahwa hipotesa-hipotesa bersifat saling bebas,
•
•
kekurangan kemampuan untuk menyatakan ketidak pastian umum,
•
kompleksitas ketika terdapat multi-hipotesa dan multi-indikasi bersyarat.
Berkaitan dengan keterbatasan terakhir, manusia sering dihadapkan pada permasalahan-permasalahan
yang bersifat multi-hipotesa dan multi-indikasi dalam kehidupan sehari-hari.
3.
Teknik-Teknik Alternatif Implementasi Metoda Bayes [3]
3.1 Teknik Alternatif I – Hipotesa Tunggal dengan Multi-Indikasi
Jika dinyatakan sebuah hipotesa, A, dan dari penginderaan diperoleh multi-indikasi B j dengan j = 1,…,m,
maka dengan menggeneralisasi Persamaan (7), probabilitas bersyarat hipotesa, A diberikan indikasiindikasi B j diekspresikan pada Persamaan (9).
(
)
P A Bj =
P ( B j A) P ( A)
(
P ( Bj )
(9)
)
P ( B j ) = ∑ P B j' A P ( A)
dimana
m
j ' =1
(10)
adalah faktor pembobotan.
(
)
Probabilitas a posteriori menunjukkan probabilitas hipotesa A dengan adanya multi-indikasi B j . Nilai
P A Bj
merepresentasikan keyakinan (certainty) dari hipotesa A.
Kami menyebutnya sebagai
Derajat Keyakinan (Degree of Certainty, DoC). Secara alami, semakin besar DoC semakin tinggi nilai
keyakinan hipotesa tersebut dengan mengetahui indikasi-indikasi yang diberikan. Probabilitas marjinal
P ( B j ) berperan sebagai faktor pembobotan untuk memarjinalisasi nilai DoC agar nilai maksimumnya
adalah sama dengan 1. Mekanisme ini diperlihatkan dalam Gambar 2.
Gambar 2. Ilustrasi teknik alternatif I PKov (MEO) [3].
Teknik alternatif I dapat diterjemahkan “diketahui multi-indikasi B j , seberapa besarkah keyakinan
hipotesa A adalah benar”. Kami menyebut mekanisme ini adalah Probabilitas Konvergensi (PKov)
atau Probabilitas Many-to-Estimated One (MEO). Tabel 1 memperlihatkan mekanisme teknik PKov
atau MEO.
Table 1. Ilustrasi teknik PKov (MEO)
A
Bj
MultiIndikasi
Hipotesa, A
1
…
P ( A B1 )
…
(
j
Bj
P A Bj
)
…
P ( A Bm )
…
m
PKov
(MEO)
( (
max P A B j
j =1,..., m
))
3.2 Teknik Alternatif II – Multi-Hipotesa dengan Indikasi Tunggal
Jika multi-hipotesa, Ai dengan i = 1,…,n dinyatakan dengan diberikan indikasi tunggal B, maka
probabilitas bersyarat multi-hipotesa Ai diberikan indikasi tunggal B, diperlihatkan oleh Persamaan (11).
P ( Ai B ) =
P ( B Ai ) P ( Ai )
P ( B)
(11)
dengan P ( B ) sebagai faktor pembobotan. Persamaan (11) identik dengan Persamaan (7). Hipotesa yang
terbesar. Normalnya, kita akan memilih P ( Ai B ) dengan nilai DoC terbesar sebagai hasil inferensi.
paling memungkinkan adalah hipotesa Ai yang memiliki nilai Maximum A Posteriori (MAP) atau DoC
Mekanisme ini diperlihatkan pada Gambar 3.
Gambar 3. Ilustrasi teknik alternatif II OMEO [3].
Teknik alternatif II dapat diterjemahkan “diberikan indikasi tunggal B, seberapa besarkah keyakinan
hipotesa Ai dari satu koleksi multi-hipotesa Α adalah benar”. Kami menamakan mekanisme ini sebagai
Probabilitas One-to-Many-to-Estimated-One (OMEO), yakni diberikan indikasi tunggal yang telah
diolah akan diperoleh informasi mengenai DoC dari multi-hipotesa yang tersedia yang akan mengarahkan
ke satu hipotesa yang memiliki nilai DoC terbesar. Karena hanya terdapat indikasi tunggal, maka
hipotesa dengan DoC terbesar dianggap sebagai hasil inferensi dari fenomena yang diobservasi. Tabel 2
memperlihatkan mekanisme OMEO.
Tabel 2. Ilustrasi teknik OMEO
Α
B
Indikasi Tunggal B
OMEO
P ( A1 B )
1
Multi-Hipotesa, Α
…
i
…
…
P ( Ai B )
(
max P ( Ai B )
i =1,..., n
)
…
P ( An B )
n
3.3 Teknik Alternatif III – Multi-Hipotesa dengan Multi-Indikasi
Jika diketahui multi-hipotesa, Ai dengan i = 1,…,n dan diberikan multi-indikasi B j dengan j = 1,…,m,
maka probabilitas-probabilitas a posteriori multi-hipotesa Ai diberikan multi-indikasi B j diperoleh
dengan menggunakan Persamaan (12).
(
)
P Ai B j =
=
P ( B j Ai ) P ( Ai )
P ( Bj )
P ( B j Ai ) P ( Ai )
∑ P(B
n
i =1
=
j'
)
Ai P ( Ai )
(12)
P ( B j Ai ) P ( Ai )
P ( B j A1 ) P ( A1 ) + ... + P ( B j An ) P ( An )
dimana P ( B j ) adalah probabilitas marjinal sebagai faktor pembobotan.
Probabilitas-probabilitas a posteriori memperlihatkan nilai-nilai probabilitas dari multi-hipotesa Ai
dengan diberikan multi-indikasi B j . Hipotesa yang paling memungkinkan adalah hipotesa Ai yang
(
memiliki nilai DoC terbesar. Sekali lagi, kita akan memilih P Ai B j
)
dengan nilai DoC terbesar.
Mekanisme ini diperlihatkan dalam Gambar 4.
Gambar 4. Ilustrasi teknik alternatif III MMEO [5].
Teknik alternatif III dapat diterjemahkan “diberikan multi-indikasi Β , seberapa besarkah keyakinan
hipotesa Ai dari satu koleksi multi-hipotesa Α adalah benar”. Kami menamakan mekanisme yang
berlaku pada teknik ini sebagai Probabilitas Many-to-Many-to-Estimated-One (MMEO), yakni
diberikan multi-indikasi yang telah diolah akan diperoleh informasi mengenai DoC dari multi-hipotesa
yang tersedia yang akan mengarahkan ke satu hipotesa yang memiliki nilai DoC terbesar. Hipotesa
dengan DoC terbesar dapat dianggap sebagai hasil inferensi dari fenomena yang diobservasi. Tabel 3
memperlihatkan mekanisme MMEO.
Tabel 3. Ilustrasi teknik MMEO
Α
Β
Multi-Indikasi
1
1
P ( A1 B1 )
Multi-Hipotesa, Α
…
i
…
P ( Ai B1 )
...
…
n
P ( An B1 )
Β
…
j
…
m
(
…
P A1 B j
)
…
P ( A1 Bm )
…
P Ai B j
)
max
…
…
( P ( A B ))
i
P ( An Bm )
…
…
P ( Ai Bm )
…
…
i =1,..., n ; j =1,...,.
MMEO
4.
(
…
…
…
P ( An Bm )
…
…
j
Metoda Maximum Score of the Total Sum of Joint Probabilities [2]
Metoda fusi penginferensian informasi MSJP adalah perbaikan dari metoda fusi informasi Bayes dengan
teknik MAP sebagaimana diperlihatkan oleh Persamaan (12). Metoda fusi penginferensian informasi
MSJP diperlihatkan pada Persamaan (13).
P ( Ai B1 & ...& B j )
(
estimated
)
⎛ n m
⎞
max ⎜ ∑∑ P Ai B j ⎟
i =1,..., n
⎝ i =1 j =1
⎠
=
j
(13)
(
)
dengan i = 1,…,n adalah jumlah hipotesa yang diletakkan secara kolom dan j = 1,…,m adalah jumlah
indikasi yang diletakkan secara baris. Kata “estimated” bermakna P Ai B j
terpilih adalah hipotesa
estimasi terbaik atau yang paling memungkinkan dari multi-hipotesa yang tersedia.
Notasi
P ( Ai B1 & ...& B j ) merepresentasikan probabilitas terfusi (gabungan) dari semua nilai probabilitas a
posteriori yang diperoleh dari hasil penghitungan.
Kata “probabilitas gabungan (joint probability)” dalam metoda MSJP tidak merepresentasikan
probabilitas gabungan sebagaimana disampaikan dalam Bagian 2.1, namun fusi atau gabungan atau
kombinasi dari semua nilai probabilitas a posteriori multi-hipotesis dengan diberikan multi-indikasi.
Istilah “total sum of joint probabilities” dipresentasikan oleh operasi
∑ ∑
n
i =1
m
j =1
(
P Ai B j
).
Faktor
pembobotan j adalah jumlah multi-indikasi a priori Β yang mempengaruhi nilai-nilai probabilitas multihipotesa Α .
4.1 Mekanisme Fusi Penginferensian Informasi pada Metoda MSJP
Mekanisme fusi penginferensian informasi metoda MSJP cukup sederhana. Pertama, cantumkan semua
nilai informasi a posteriori atau nilai-nilai multi-hipotesa secara baris yang mana jumlah dari semua nilai
informasi tersebut harus sama dengan 1, sedangkan jumlah semua nilai informasinya secara kolom tidak
harus sama dengan 1. Jumlahkan semua nilai informasi a posteriori dalam setiap kolom dan pilih nilai
kolom terbesar. Nilai terbesar ini adalah hipotesa estimasi terbaik dan telah mencakup semua nilai
informasi yang kecil. Mekanisme ini diperlihatkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Mekanisme fusi penginferensian informasi metoda MSJP [2].
Untuk mendapatkan probabilitas gabungan a posteriori dari setiap hipotesa, bagi masing-masing hasil dari
penjumlahan kolom dengan jumlah indikasi yang tersedia yakni elemen j sebagaimana diperlihatkan pada
Persamaan (13). Elemen ini adalah faktor pembobotan guna memarjinalisasi nilai-nilai multi-hipotesis
pada setiap kolom agar nilai maksimumnya sama dengan 1. Tabel 4 mengilustrasikan mekanisme metoda
MSJP.
Table 4. Ilustrasi mekanisme metoda MSJP
1
P ( A1 B1 )
1
MultiIndikasi
Β
Inferensi
Hipotesa
…
j
…
m
(
…
P A1 B j
i =1
m
j =1
MSJP
5.
)
…
P ( A1 Bm )
∑ ∑
j
(
…
…
P Ai B j
Multi-Hipotesa, Α
i
P ( Ai B1 )
(
…
…
)
…
…
…
P Ai B j
i =i
m
j =1
(
P Ai B j
(
…
)
…
P ( Ai Bm )
∑ ∑
...
…
…
…
)
…
)
⎛ ∑ n ∑ m P Ai B j ⎞
i =1
j =1
⎟
max ⎜
i =1,..., n ⎜
⎟
j
⎝
⎠estimated
j
n
P ( An B1 )
P ( An Bm )
…
…
P ( An Bm )
∑ ∑
i=n
m
j =1
(
P Ai B j
)
j
Catatan-Catatan Penutup
Teori probabilitas adalah pendekatan yang dianggap paling tepat untuk memodelkan cara manusia
melakukan inferensi yang bersifat probabilistik guna memperoleh deskripsi lengkap mengenai suatu
fenomena. Deskripsi lengkap diperoleh dengan melakukan fusi penginferensian informasi. Metoda yang
telah banyak diaplikasikan adalah metoda inferensi Bayes dipadukan dengan teknik MAP. Kombinasi
metoda-teknik ini memiliki keterbatasan ketika dihadapkan pada permasalahan-permasalahan yang
bersifat multi-hipotesa multi-indikasi yang sering dihadapi oleh manusia dalam kehidupan nyata.
Untuk meminimalkan keterbatasan tersebut diajukan satu metoda fusi penginferensian informasi baru
yang disebut dengan metoda Metoda Maximum Score of the Total Sum of Joint Probabilities (MSJP).
Dengan melakukan penjumlahan total probabilitas-probabilitas a posteriori kemungkinan kemunculan
hipotesa-hipotesa dengan nilai DoC terbesar dapat diminimalkan sehingga akan diperoleh satu
penginferensian dengan DoC terbesar sebagai hasil inferensi yakni informasi lengkap mengenai suatu
fenomena. Inferensi adalah proses hirarkis sehingga nilai-nilai probabilitas a posteriori akan menjadi
nilai-nilai probabilitas a priori pada hirarki berikutnya dan mekanisme ini dapat menghindarkan
penerapan principle of indifference.
References
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Ahmad, Adang Suwandi, dan Sumari, Arwin D.W., Multi-Agent Information Inferencing Fusion in Integrated
Information System, Seri “Information Science and Computing”, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika,
Institut Teknologi Bandung, Penerbit ITB, Indonesia, 2008.
Sumari, Arwin D.W., Desain dan implementasi system fusi informasi multi-agent untuk mendukung
pengambilan keputusan dalam perencanaan operasi udara, Tesis Magister Teknik, Institut Teknologi Bandung,
2008.
Sumari, Arwin D.W, Pemodelan matematika metoda fusi penginferensian informasi A3S (Arwin-AdangAciek-Sembiring), Laporan Teknis, Institut Teknologi Bandung, 2008.
MacKay, David J.C., Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Cambridge University Press,
United Kingdom, 2003.
D.L. Hall, Mathematical Techniques in Multisensor Data Fusion, Artech House, USA, 1992.