MELALUI FISIKA: FORWARD RATES DAN HEDGING DALAM KAJIAN TEORI MEDAN KUANTUM

INVESITIGASI FINANSIAL DAN EKONOMI MELALUI FISIKA:
FORWARD RATES DAN HEDGING DALAM KAJIAN TEORI MEDAN
KUANTUM
Oleli:

Arif Insun Hidayut dan

IYon SuYunu

Jurusan Pendidikan Fisika FPMIPA
Universitas Pendid ikan Indonesia

ABSTRAKSI
'Ieori Medan Kuantum dalam fisika digunakzin untuk memodelkan

pasar flnansial

sekunder. Berbeda dengan deskripsi stokastik, perumusan menggunaktrn teori
medan kuantum menekankan pada pentingnya aktitltas perdagangan daliur

menentukan


nilai dari suiltu

sekuritas. Semutr kenrungkinan yang dapat

mempengaruhi investor dan keuangan merupakan basis dalam Runga Hilbert dari
keadaan pasar. Asimptotis volatilitas menun jukkan probabilitas.jangka panlang dari
saham dan produk derivatifyang diperdagangkan. Makalah ini membahas nrengenai
volatilitas la.iu kontrak tbrrvard (forv*ard ralas) dalam pasar sekunder. Yolatililas
yang
Jbrward rates pada teori sebelumnya telah ditiniau sebagai sLratu variabel

deterministik.

-I'eori nedan kuantum dalan.r paper

ini

kernudian dika.ii


generalisasinya untuk kasus volatilitas yang stokastik.

Kata kunci: volatilitas./orward rttles, teori medan kuantum, hedgittg.

PENDAHULUAN
Terdapat tujuh instrumen dalam pasar modal yaitr"r sahatr, obligasi. obligasi
konverlibel, rights, warran, reksadana, serta aset back securities. Disamping itu ada
pula instrumel deriatifnya meliputi options (baik yang berbasif ./orward ataLtpun
yang berbasisfutures) sefta swap. Makalah ini akari nenekankartkepadaforward
valula asing. Kontrak Jbrward di pasar valuta asing terjadi antara suatLl banl(
dengan nasabahnya (urungkin juga sesama bank) untuk mensepakati pengirirnan
pada tanggal tertentu, sejurnlah mata uang, dan kursnya ditetapkan pada waktu
kontrak disepakati.
Semakin besar nilai valuta (aset) yang di-forward-kan maka akan semakin
tinggi kemungkinan perbedaan dengan harga eksekusi (baik itu naik atauplnl
turun;, inilah yang keniudian banyak disebr-rt sebagai volatilitas. Volatilitas paling
sering menjadi referensi dalam hal standar devasi dari perubahan nilai instrumen
keuangan terliadap waktu. Volatilitas juga dapat menggambarkan tingkat resiko
keuangan pada suatu masa teftentu. Untuk instrumen yang mengikuti Gaussian
Random Walk dan Proses Weiner maka volatilitas akan naik seiring dengan

55

66

.lunral Penga.jaran MIPA. Volunre 13, Nomor I, April 2009, hlm. 55-66

DAFTAR PUSTAKA
D Heath, R Jarrow dan A Mofton. Bond Pricing and The Term Structure of Interest

Rates:

A neu) Methodology -fo,

Econometric a 60,

7

I

Contingent Clairns Valuation.


(1992)

D.P. Kennedy. Characterizing Gaussian Model of The Term Structure of Interest
Rales. Mathematical Finance 7 (1997) 107- 1 1 B
P. Goldstein. The Terrn Slrutcture of Interest Rates as a Randont Field. Prepint,
Ohio State University (1991)
P. Santa-Claradan D Sornette. The Dynanics of The Forward Interest Rates Curve

with

Stochastic String Shocks. http://xxx.lanl.gov/cond-mat/9801321

(1ee7)

D. Sornette. String Formulation o.f The dynantics
Cttrye . http: I I xxx. lan l.gov/cond-rnat/9

7


o-f The Forwctrd Interest Rate

02136

J-P. Boirchaud and D Somette, J. Phys.l France 4 (1994) 836-881; J,PhysJ
(r996) 167-t7s

6

R.N Mantegna dan H.E Stanley. Introduction to Econophysics. Cambridge
University Press
J.P. Boirclraud dan

( I 999)

M. Potters. Theory of Financial

Risks. Cambridge University

Press (2000)


M. Otto

to Price

Using Path Integrals

http://xxx.lanl. gov/cond-rnat/98

1

1

Interest Rale Derivatives.

23 I 8

M. Rosa-Clot dan S Taddei. A Path Integral Approach to Derivative
F o r m a I i s m an d A n a Iy t i c al


Re

s

Pricing;

ul t s . http I I xxx.lanl. gov I c ond- matl 9 9 0 1 27 7
:

C. Chiarella dan N. El-Hassan. Evaluation of Derivative Security Prices in The
Healh-Jarrow-Morton Framework as Path Integrals Using Fast Fourier
Transfornt Techniques. Journalof Financial Engineering Vol 6, no2 (1996)

B.E Baaquie. A Path Integral Approach to Option Pricing with

Stochastic

Volatili4t: Some Exact Result. Journal de Physique I, 7 no 12 (1997):1733I 7 53

; http I I xxx. IanI. gov/cond-mat/970


8

1

78

B. E Baaquie, L.C. Kwek dan S, Marakani. Sinulation of Stochastic Volatility
LIsing Path Integratins: Smiles and Frowns. http://xxx.lanl.gov/condrnat/O008327

Arif Insan Hitlaltat dan llott suyana,lnvesitigasi Finansral

dan Ekonomi Melalui Fisika: Forrvard Rates
dan Hedging dalanr Ka.jian Teori Medan Kuanturn

6l

1) Volatilitas sebagai Fungsi Forwurcl Rutes
Dalarn (8. E Baaquie, L.c. Kwek dan S, Marakani) telah diindikasikan bahwa
volatilitas sebenamya merupakan fungsi dari fbrward rates. Model standar

menggunakan per-rdekatan ini dengan persamaall volatilitas secara ringkas

diberikan oleh

:

oQ,r) , fQ,r) = ooQ,*) -f'Q,*)

(10)

dengan
o o Q,

karena volatilitas

r) adalah fungsi deterministik

o(t,x)> 0, maka

(4), diperoleh:


fQ,*)=

ftordQ.,)

rQ,i

>o ;

(li)

juga >0, berlawanan dengan persamaan

-co<

Qft,x) 0 karenaforward rates di pasar finansial selalu positif dan hal
ini
akan dipakai dalatn perhitungan sera'jutnya. Dengan lirnit
0
dalam

1t ->
dengan

persamaalr (10) akan menghasilkan cakupan volatilitas model HJM.

Adapr-rn pandangan-pandangan empiris volatilitas sebelumnya menurr-rt
L.c. Kwek dan S, Marakani] diberikan dararn tabel 1. berikut:

Baaquie,

Tabel

l.

[8.

E

Berbagai Rumusan Volatilitas

Model
Ho dan Lee (1986)

crR (198s)

Volatilitas
oQ,r, J'(r,"))= on
oQ, *, 1Q, *))= o o

Courtadon (1982)

Vasicek (1997)

Heath-Jarow-Morton I HJM (t992)

.f,

Q,

*)

o(t, x, .1(t, x))= c o fQ, x)

oQ,x, 1ft,x))=oo exp(oQ, x,

f

Q,

x))=

2[J

[', *;reJt76t]

Makalah ini akan membahas bentLrk umlrffr Lagrangian dalan-r persarnaap (3)
untuk kasus forward rates yang selalLr positip. Interpretasi Lagrangian dalin
persamaan (3) akan valid jika semua
forward rates rnendekati nilai tertentu
./0.

Oleh karena itu menghasilkan persamaan:
(

l3)

56

Jurnal Penga.jaran MIPA, Volunre 13, Nontor l, April 2009, hlnr. 55-66

bertambahnya waktu. Secara konsep, hal ini terjadi karena seiring beftambahlya
waktu maka beftatrrbah pula keniungkinan harga instrurnen keuangan itu bergerak
menjauh dari harga mula-mula.

Foru,ard rates, dengan volatilitasnya, merupakan salah satu aspek yang esensi
dalanr pasar hutang (debt ntarket) sefta banyak di pakai dalarn hal finansial,
terutartra untuk kontrak finansialjangka panjang sampai masa jatLrh tempo teftentu
(nraturitas) dan juga digunakan dalam mekanisme hedging (lindung nilai). Model
metrgenai forward rates yang digLrnakan ulnulr selama ini adalah rnodel HeathJarrout-Morton (HJM) (D Heath, R Jarrow dan A Morton), dan pada
perkembangannya ada sejumlah cara dimana model HJM ini digeneralisasi. Dalam
referensi (D.P. Kennedy) dan (P. Goldstein) telah diperkenalkan mengenai horelasi
antara forward rates dengan maturitas yang bervariasi, dan pada (p. Santa-Clara
dari D Sornette), (D. Sornette) forward rates dimodelkan sebagai suatu string
stokastik.

Penerapan teknik-teknik fisika dalam finansial (J-p. Boucliaud and D
(R.N Mantegna dan H.E Stanley) telah dibuktikan bermanfaat dalam

SonTette)

aplikasinya, khususnya penggLrnaarl teknik integral lintasan dalam berbagai
masalah finarrsial (.1.P. Bouchaud dan M. Potters). Dalam (M. otto), teknik integral
lintasarr telah dapat diterapkan dalarn mempelajari suatu produk sekuritas dengan
volati Iitas stohasti k.
Volatilitas forward rotes rnerupakan suatu perhitungan yang sentral guna
nrenerrtul (3 1)

{- r,,| o, oQ',.)j *O(:,r, p) 1zz1
I

KESIMPULAN
Kita telah melakukan generalisasi model teori medan kuantum r"rntuk forward
rates dengan volatilitas stokastik dan Integral Lintasan Feynman dapat secara baik
dikernbangkan untuk rnenghitung volatilitas stokastik.
Untuk kasus volatilitas yang deterministik, telah diterlukan dalam (M. RosaClot dan S Taddei) bahwa efek teori medan kuantutn 2 dimensi direduksi menjadi
teori medan kuantum satu dimensi selama memecahkan sifat-sifat Lagrangian'
Bagaimalapun, ketika memperlakukar-r volatilitas sebagai suatu medan kualttum,
teoii ini tetap dalam 2 dirnensi dan tak dapat direduksi lagi, dan dari sini sifat-sifat
teori medan kuantum berlaku.
Model forward rates dengan volatilitas stokastik memiliki sejumlah parameter
bebas yang hanya dapat ditentukan dengan mempelajari pasar.

64

.lLrrnal Penga.jaran MIPA, Volunre 13, Nomor

l, April 2009, hlm. 55-66

disini perlu ulltlrk rlenspesifikasi syarat batas bagi sistem yang

berinteraksi.

I(ondisi awal dan akhir dari forward rates .fQ,r)yang diberikarr oleh persamaan
(5) tetap diperlahankan untuk kasus sistenr yang berinteraksi, dan untuk medan
volatilitas syarat batasnya mirip, sebagai berikut
:

a.

Syarat Batas Terikat Dirichlet (awal dari akhir)

Nilai awal dispesifikasi dari data sebagai berikut:
T

Vr) < .rr < +71,1q, o(T,,x),oVr,*)

(23)

yang berlaku khusus kurva volatlitas awal dan akhir.

Syarat batas dalam arah sumbu x untuk forward rates fQ,x)sebagaimana dalam
persalnaan (6) tetap dipertahankan pada kasus sistem yang berinteraksi, dan untuk
medan volatilitas syaratnya sebagai berikut :

b.

Syarat Batas Bebas Neumann

r, < x