1. A hatványfüggvény - A1 04 fuggv elmelet
Elemi függvények
Tétel :
Ha az x = ϕ (y) függvény az y = f (x) függvény inverze, akkor x = ϕ (y)
függvény grafikonja az y = f (x) függvény képéből az y = x egyenesre való
tükrözéssel nyerhető.
Tétel :
Minden szigorúan monoton függvénynek van inverz függvénye.
Bizonyítás : Ha a függvény például szigorúan monoton, növekvő, akkor az x1 <
< x2 feltevésből f (x1 ) < f (x2 ) következik. Ebből látható, hogy egy függvényértéket a függvény csak egy helyen vehet fel, tehát a hozzárendelés egyértelmű,
ezért megfordítható.
Megjegyzés :
A szigorú monotonitás az inverz függvény létezésének elegendő, de nem szükséges feltétele. Könnyű olyan függvényt találni, amely nem monoton, mégis van
inverze.
Nevezetes függvények
1. A hatványfüggvény
Definíció :
Az y = xn függvényt hatványfüggvénynek nevezzük, ha n tetszőleges, nullától
különböző állandó.
1.1. Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvény
Értelemszerűen itt n ∈ Z+ .
Tulajdonságok :
– Értelmezési tartomány : Df = (−∞, +∞).
– Értékkészlet : Rf = [0, +∞), ha n páros ; illetve Rf = (−∞, +∞), ha n
páratlan.
– Folytonosság : a hatványfüggvények az értelmezési tartományukon folytonos függvények.
1
4
n=2
3
y
n=4
n=1
2
1
0
x
−1
−2
−3
n=3
−4
−4
−3
−2
−1
0
1
3
2
4
1. ábra. Hatványfüggvények képe pozitív egész kitevő esetén
1.2. Negatív egész kitevőjű hatványfüggvény
y = x−n =
1
alakúak, ahol n ∈ Z+ .
xn
Tulajdonságok :
– Értelmezési tartomány : Df = (−∞, +∞) \ {0}.
– Értékkészlet : Rf = [0, +∞), ha n páros ; illetve Rf = (−∞, +∞), ha n
páratlan.
– Folytonosság : Folytonos, monoton részekből állnak.
1.3. Törtkitevőjű hatványfüggvények
p
tört számláq
lójának és nevezőjének páros vagy páratlan voltát kell megvizsgálni. Gyakorlati
√
1
szempontból legfontosabb az y = x 2 = x függvény.
√
Tulajdonságok : (Az y = ± x függvényre)
p
Teljes tárgyalásuk sok apró vizsgálatot igényel. y = x q esetén a
– Értelmezési tartomány : Df = [0, +∞).
– Értékkészlet : y =
Rf = (−∞,0].
√
√
x függvényre Rf = [0, +∞) ; y = − x függvényre
2
−2
y
←− n = 1
−3
−4
x
←− n = 3
4
3
−4
−2
−3
−1
0
1
2
2. ábra. Hatványfüggvények képe negatív egész, páratlan kitevő esetén
6
y
5
←− n = 2
4
3
2
1
←− n = 4
0
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
3. ábra. Hatványfüggvények képe negatív egész, páros kitevő esetén
– Folytonosság : folytonos, monoton függvények.
2. A polinomfüggvény
y = Px (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an függvény, ahol n ∈ N ; a0 6= 0,
a1 , a2 , . . . , an tetszőleges valós számok. (n-edfokú polinom.)
3
2
y
y=
√
x
1
0
x
−1
√
y=− x
−2
0
1
2
3
4
4. ábra. A négyzetgyök függvény és ellentettje
Az egész számegyenesen értelmezett folytonos függvény, mivel folytonos
függvények lineáris kombinációja.
Viselkedése a ∞-ben :
(
+∞, ha a0 > 0
.
lim Pn (x) =
x→∞
−∞, ha a0 < 0
Ez akkor látszik legegyszerűbben, ha kiemeljük az összes első tagját az összes
többiből :
a1
a2
an
n
Pn (x) = a0 x 1 +
.
+
+ ... +
a0 x a0 x 2
a0 x n
Ebben az felírásban x → ∞ esetében a zárójelben lévő összeg 1-hez konvergál.
3. A racionális törtfüggvény
Nem egyszerűsíthető törtfüggvény, amely a0 , a1 , a2 ,. . . , an és b0 , b1 , b2 ,. . . , bm
valós számokkal a következő alakban írható fel :
f (x) =
a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an
.
b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm
Tulajdonságok :
– Értelmezési tartomány : a nevező zérushelyei kivételével az egész számegyenes. (Tehát legfeljebb m helyen nem értelmezett.)
4
– Határértékek : Az általános felírásban a számlálóban és a nevezőben lévő
legmagasabb fokszámú tagot kiemelve :
a0 xn 1 + aa10 x1 + aa02 x12 + . . . + aan0 x1n
.
f (x) =
b0 xm 1 + bb01 x1 + bb02 x12 + . . . + bbm0 x1m
Ebben a kifejezésben x → ∞ esetén a zárójelben lévő kifejezések határértéke 1, ezért a függvény határértéke n és m értékeitől, illetve a0 és b0
előjelétől függ.
Az egyes lehetséges eseteket külön vizsgáljuk.
a0 n−m
x
. Ennek hab0
tárértéke +∞, ha a0 és b0 azonos előjelű, −∞, ha a0 és b0 különböző
előjelű.
1. n > m esetén xm -nel egyszerűsítve a kifejezés :
A −∞-ben vett határérték az a0 és b0 előjelén kívül még (n − m)
páros vagy páratlan voltától is függ. Nevezetesen:
•
Ha a0 és b0 azonos előjelű, akkor a határérték +∞, ha n − m
páros ; a határérték −∞, ha n − m páratlan.
Ha a0 és b0 különböző előjelű, akkor fordított a helyzet.
a0
2. n = m esetén lim f (x) = .
x→±∞
b0
3. Ha n < m, akkor egyszerűsítés után a nevezőben xm−n → ∞ miatt
lim f (x) = 0.
•
x→±∞
4. Az exponenciális függvény
Alakja y = ax , ahol a ∈ R+ .
Tulajdonságok :
– Értelmezési tartomány : Df = R.
– Értékkészlet : Rf = [0, +∞).
– Monotonitás, folytonosság : Ha a > 1, akkor a függvény szigorúan monoton
növekvő. Ha 0 < a < 1, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő. A
függvény az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos. Ha a >
> 1, akkor lim ax = 0, míg ha 0 < a < 1, akkor lim ax = 0. Az
x→−∞
x→+∞
exponenciális függvénynek az x tengely aszimptotája. (Ha a = 1, akkor a
konstans, 1 értékű függvény adódik.)
5
8
y
6
0 1 és 0 < a < 1 esetén
5. A logaritmus függvény
Az x = ay exponenciális függvény inverzét logaritmus függvénynek nevezzük :
y = loga x
a>0.
4
y
2
a>1
0
x
0
Tétel :
Ha az x = ϕ (y) függvény az y = f (x) függvény inverze, akkor x = ϕ (y)
függvény grafikonja az y = f (x) függvény képéből az y = x egyenesre való
tükrözéssel nyerhető.
Tétel :
Minden szigorúan monoton függvénynek van inverz függvénye.
Bizonyítás : Ha a függvény például szigorúan monoton, növekvő, akkor az x1 <
< x2 feltevésből f (x1 ) < f (x2 ) következik. Ebből látható, hogy egy függvényértéket a függvény csak egy helyen vehet fel, tehát a hozzárendelés egyértelmű,
ezért megfordítható.
Megjegyzés :
A szigorú monotonitás az inverz függvény létezésének elegendő, de nem szükséges feltétele. Könnyű olyan függvényt találni, amely nem monoton, mégis van
inverze.
Nevezetes függvények
1. A hatványfüggvény
Definíció :
Az y = xn függvényt hatványfüggvénynek nevezzük, ha n tetszőleges, nullától
különböző állandó.
1.1. Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvény
Értelemszerűen itt n ∈ Z+ .
Tulajdonságok :
– Értelmezési tartomány : Df = (−∞, +∞).
– Értékkészlet : Rf = [0, +∞), ha n páros ; illetve Rf = (−∞, +∞), ha n
páratlan.
– Folytonosság : a hatványfüggvények az értelmezési tartományukon folytonos függvények.
1
4
n=2
3
y
n=4
n=1
2
1
0
x
−1
−2
−3
n=3
−4
−4
−3
−2
−1
0
1
3
2
4
1. ábra. Hatványfüggvények képe pozitív egész kitevő esetén
1.2. Negatív egész kitevőjű hatványfüggvény
y = x−n =
1
alakúak, ahol n ∈ Z+ .
xn
Tulajdonságok :
– Értelmezési tartomány : Df = (−∞, +∞) \ {0}.
– Értékkészlet : Rf = [0, +∞), ha n páros ; illetve Rf = (−∞, +∞), ha n
páratlan.
– Folytonosság : Folytonos, monoton részekből állnak.
1.3. Törtkitevőjű hatványfüggvények
p
tört számláq
lójának és nevezőjének páros vagy páratlan voltát kell megvizsgálni. Gyakorlati
√
1
szempontból legfontosabb az y = x 2 = x függvény.
√
Tulajdonságok : (Az y = ± x függvényre)
p
Teljes tárgyalásuk sok apró vizsgálatot igényel. y = x q esetén a
– Értelmezési tartomány : Df = [0, +∞).
– Értékkészlet : y =
Rf = (−∞,0].
√
√
x függvényre Rf = [0, +∞) ; y = − x függvényre
2
−2
y
←− n = 1
−3
−4
x
←− n = 3
4
3
−4
−2
−3
−1
0
1
2
2. ábra. Hatványfüggvények képe negatív egész, páratlan kitevő esetén
6
y
5
←− n = 2
4
3
2
1
←− n = 4
0
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
3. ábra. Hatványfüggvények képe negatív egész, páros kitevő esetén
– Folytonosság : folytonos, monoton függvények.
2. A polinomfüggvény
y = Px (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an függvény, ahol n ∈ N ; a0 6= 0,
a1 , a2 , . . . , an tetszőleges valós számok. (n-edfokú polinom.)
3
2
y
y=
√
x
1
0
x
−1
√
y=− x
−2
0
1
2
3
4
4. ábra. A négyzetgyök függvény és ellentettje
Az egész számegyenesen értelmezett folytonos függvény, mivel folytonos
függvények lineáris kombinációja.
Viselkedése a ∞-ben :
(
+∞, ha a0 > 0
.
lim Pn (x) =
x→∞
−∞, ha a0 < 0
Ez akkor látszik legegyszerűbben, ha kiemeljük az összes első tagját az összes
többiből :
a1
a2
an
n
Pn (x) = a0 x 1 +
.
+
+ ... +
a0 x a0 x 2
a0 x n
Ebben az felírásban x → ∞ esetében a zárójelben lévő összeg 1-hez konvergál.
3. A racionális törtfüggvény
Nem egyszerűsíthető törtfüggvény, amely a0 , a1 , a2 ,. . . , an és b0 , b1 , b2 ,. . . , bm
valós számokkal a következő alakban írható fel :
f (x) =
a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an
.
b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm
Tulajdonságok :
– Értelmezési tartomány : a nevező zérushelyei kivételével az egész számegyenes. (Tehát legfeljebb m helyen nem értelmezett.)
4
– Határértékek : Az általános felírásban a számlálóban és a nevezőben lévő
legmagasabb fokszámú tagot kiemelve :
a0 xn 1 + aa10 x1 + aa02 x12 + . . . + aan0 x1n
.
f (x) =
b0 xm 1 + bb01 x1 + bb02 x12 + . . . + bbm0 x1m
Ebben a kifejezésben x → ∞ esetén a zárójelben lévő kifejezések határértéke 1, ezért a függvény határértéke n és m értékeitől, illetve a0 és b0
előjelétől függ.
Az egyes lehetséges eseteket külön vizsgáljuk.
a0 n−m
x
. Ennek hab0
tárértéke +∞, ha a0 és b0 azonos előjelű, −∞, ha a0 és b0 különböző
előjelű.
1. n > m esetén xm -nel egyszerűsítve a kifejezés :
A −∞-ben vett határérték az a0 és b0 előjelén kívül még (n − m)
páros vagy páratlan voltától is függ. Nevezetesen:
•
Ha a0 és b0 azonos előjelű, akkor a határérték +∞, ha n − m
páros ; a határérték −∞, ha n − m páratlan.
Ha a0 és b0 különböző előjelű, akkor fordított a helyzet.
a0
2. n = m esetén lim f (x) = .
x→±∞
b0
3. Ha n < m, akkor egyszerűsítés után a nevezőben xm−n → ∞ miatt
lim f (x) = 0.
•
x→±∞
4. Az exponenciális függvény
Alakja y = ax , ahol a ∈ R+ .
Tulajdonságok :
– Értelmezési tartomány : Df = R.
– Értékkészlet : Rf = [0, +∞).
– Monotonitás, folytonosság : Ha a > 1, akkor a függvény szigorúan monoton
növekvő. Ha 0 < a < 1, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő. A
függvény az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos. Ha a >
> 1, akkor lim ax = 0, míg ha 0 < a < 1, akkor lim ax = 0. Az
x→−∞
x→+∞
exponenciális függvénynek az x tengely aszimptotája. (Ha a = 1, akkor a
konstans, 1 értékű függvény adódik.)
5
8
y
6
0 1 és 0 < a < 1 esetén
5. A logaritmus függvény
Az x = ay exponenciális függvény inverzét logaritmus függvénynek nevezzük :
y = loga x
a>0.
4
y
2
a>1
0
x
0