View of PERHITUNGAN INTEGRAL FUNGSI REAL MENGGUNAKAN TEKNIK RESIDU

PERHITUNGAN INTEGRAL FUNGSI REAL MENGGUNAKAN TEKNIK RESIDU
Warsito (warsito@mail.ut.ac.id)
Universitas Terbuka
ABSTRACT
A function f ( x) 

1
is bounded and continuous in (, ) , so the improper
(1  x 2 ) 2


dx
should be have a value according to
2 2
(1

x
)


integral of rational real function 

Integrability Theorem. But, how to find it? Working with the real functions it will not esay,
because it is difficult to find antiderivative of f ( x ) . This paper will discuss how to solve the


value of the improper integral of rational real function
complex function.

dx
by using residu of
(1  x 2 ) 2




Keywords: complex function, integral, real function, residu.

Fungsi f(x) =

1

(1  x 2 ) 2

merupakan fungsi real yang yang terbatas dan kontinu pada


dx
ada nilainya atau f(x) terintegralkan. Dalam
(1  x 2 )2

kenyataannya tidak mudah menemukan F(x) yaitu anti turunan f(x) ataupun dengan menggunakan

dx
teknik integral yang lain, sehingga 
dapat dihitung dalam sistem bilangan atau fungsi
(1  x 2 )2

real.
Sistem bilangan real merupakan subbagian dari sistem bilangan kompleks, jadi masih ada
harapan integral fungsi real tesebut dapat dihitung dengan sistem bilangan atau fungsi kompleks.
Tulisan ini bertujuan menghitung integral fungsi real yang tidak dapat diselesaikan dalam

sistem bilangan real tersebut dengan teknik residu dalam sistem bilangan kompleks.
  x   , sehingga mestinya



METODOLOGI
Bahasan makalah ini secara berurutan diawali dengan teori residu, cara menghitung residu,
penggunaan residu untuk menghitung integral fungsi kompleks, kaitan antara integral fungsi real dan
integral fungsi kompleks dan terakhir penggunaan residu untuk menghitung integral fungsi real.

Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 8, Nomor 1, Maret 2007, 31 - 40

Teori Residu
Sebelum sampai pada teori residu akan disajikan beberapa definisi terlebih dahulu untuk
mendukung teori residu tersebut.
Definisi 1. Fungsi w  f ( z ) dikatakan analitik di z0 , jika f ( z ) ada di z0 dan ada pada suatu

lingkungan dari z0 .
Definisi 2. Titik z  a disebut titik singular dari fungsi f ( z ) , jika f ( z ) tidak dapat diturunkan di
z  a , tetapi setiap lingkungan dari a memuat titik di mana f ( z ) dapat diturunkan.

Ada dua macam titik singular yaitu titik singular tak terpencil dan titik singular terpencil. Titik
a disebut singular tak terpencil jika dan hanya jika setiap lingkungan a memuat paling sedikit satu
titik singular selain a . Titik singular tak terpencil tidak dibahas lebih lanjut karena kurang relevan
dengan tulisan ini. Sedangkan, titik a disebut titik singular terpencil jika dan hanya jika ada
lingkungan a yang tanpa a itu sendiri f ( z ) analitik. Ada tiga macam atau kasus titik singular
terpencil, yaitu pertama f ( z ) tidak memiliki pangkat negatif ( x  a) , kedua f ( z ) memiliki berhingga
pangkat negatif ( x  a) dan ketiga f ( z ) memiliki tak berhingga pangkat negatif ( x  a) .
Selanjutnya yang akan dibahas hanya titik singular terpencil kasus kedua yang akan berkaitan
dengan titik pole.
Definisi 3. Jika f ( z ) memiliki berhingga pangkat negatif ( z  a ) :

cm
cm1
c
f ( z) 
bn ( z  a ) n ; cm  0


...




m
m1
( z  a)
( z  a)
( z  a ) n0
maka titik a disebut titik pole derajat m . Untuk m = 1, titik pole yang berkaitan disebut
titik pole sederhana.
Apabila f ( z ) analitik pada suatu lingkungan z  a maka



f ( z )dz  0 untuk setiap

C

lengkungan tertutup C di dalam lingkungan a tersebut , Gambar 1. Tetapi, apabila f ( z ) memiliki titik
pole di z  a yang berada pada interior C maka pada umumnya nilai  f ( z )dz  0 , Gambar 2.
C

C

C

.a

.a

Gambar 1.

Gambar 2.

32

Warsito, Perhitungan Integral Fungsi Real Menggunakan Teknik Residu

Fungsi f ( z ) memiliki titik pole di z  a maka ia dapat diuraikan ke dalam deret Laurent

c

c2
f ( z )   bn ( z  a ) n  1 
 ...
z  a ( z  a)2
n0


cn
  bn ( z  a ) n  
n
n 0
n1 ( z  a )
yang konvergen pada 0 | z  a |  R dimana R jarak titik a ke titik singular f ( z ) terdekat
f ( z)
1
cn 
dz .

2πi C ( z  a) n1

1
1
(1)
adalah c1 
f ( z )dz
za
2πi C
menurut Teorema Laurent dengan pengintegralan melawan arah jarum jam pada lengkungan C.
Bilangan c1 disebut residu f ( z ) di z  a dan ditulis sebagai
Re s[ f , a ]  c1
(2)
Sehingga dari (1) dan (2), kita dapat menghitung nilai integral dengan cara menentukan nilai residu,
yaitu
 f ( z )dz  2πi Re s[ f , a]

Koefisien

C

Menguraikan suatu fungsi ke dalam deret Laurent pada umumnya sukar, sehingga nilai residu

1
Re s[ f , a ]  c1 yaitu koefisien
juga tidak mudah ditentukan. Oleh karena itu untuk
za
menghitung nilai residu Re s[ f , a ] harus dicari dengan cara lain.
Menghitung Residu
a. Di Pole Sederhana (derajat 1) di z  a
Misal f ( z ) memiliki titik pole derajat 1 di z  a , sehingga dapat diuraikan menjadi deret
Laurent
c1
f ( z) 
 b0  b1 ( z  a )  b2 ( z  a )2  ... ; (0 | z  a | R ; c1  0)
( z  a)
Kemudian, kedua ruas dikalikan dengan (z – a) maka diperoleh


 c1

( z  a) f ( z)  ( z  a) 
 b0  b1 ( z  a)  b2 ( z  a) 2  ...





 ( z  a)



 c1  ( z  a ) b0  b1 ( z  a)  b2 ( z  a ) 2  ...

Apabila z menuju a, maka ( z  a) b0  b1 ( z  a)  b2 ( z  a ) 2  ...  0 sehingga diperoleh
lim( z  a ) f ( z )  c1  Re s[ f , a]
za

atau dapat ditulis sebagai
Re s[ f , a ]  lim( z  a ) f ( z )

(3)

za

33

Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 8, Nomor 1, Maret 2007, 31 - 40

Sebagai ilustrasi perhitungan nilai residu pada pole sederhana, misalnya menghitung nilai residu
z2
f ( z) 
di titik pole z  3 berikut ini.
( z  3)

z2
mempunyai titik pole di z  3 berderajat 1 sehingga menurut persamaan
( z  3)
(3) kita dapat menghitung,
 z 2 
  lim z 2  9
Re s[ f ,3]  lim( z  3) f ( z )  lim( z  3) 
 ( z  3)  z3
z 3
z 3
f ( z) 

Dengan demikian nilai residu f ( z ) 

z2
ditik titik pole z  3 sebesar 9.
( z  3)

b. Di Pole Derajat m
Misal f ( z ) memiliki pole di z  a berderajat m, sehingga uraian deret Laurent f ( z ) adalah
cm
cm1
c1
f ( z) 

 ... 
 b0  b1 ( z  a )1  ... ; cm  0
(4)
m
m1
( z  a)
( z  a)
( z  a )1
yang konvergen pada suatu lingkungan z  a kecuali di a sendiri. Apabila kedua ruas pada
persamaan (4) dikalikan ( z  a) m maka diperoleh
( z  a )m f ( z )  cm  cm1 ( z  a) m  ...  c1 ( z  a ) m1  b0 ( z  a)m  b1 ( z  a) m1  ...
 g ( z)

Residu f ( z ) yaitu c 1 pada uraian deret Taylor fungsi g ( z )  ( z  a )m f ( z ) merupakan koefisien
dari ( z  a ) m 1 . Menurut Teorema Taylor, c1 

g ( m1) (a )
. Jadi, apabila f ( z ) memiliki titik pole di
(m 1)!

z  a berderajat m maka residunya
 d m1


1
Re s[ f , a] 
lim  n1 ( z  a ) m f ( z ) 
(5)


(m 1)! za  dz


Sebagai ilustrasi berikut ini akan disajikan perhitungan residu pada pole berderajat 3.
z
memiliki pole di z  1 derajat 3, sehingga menurut persamaan (5)
Fungsi f ( z ) 
3
( z 1) ( z  1)
dapat dihitung,
 d 31


1
Re s[ f ,1] 
lim  31 ( z  a )3 f ( z ) 

1
z

 dz

(3 1)!


 d 2 


z
1

lim  2 ( z 1)3

3
2! z1  dz 
( z 1) ( z  1)  


2






1
d
z 

 lim  2 

1
z

 dz  ( z  1)  
2





34

Warsito, Perhitungan Integral Fungsi Real Menggunakan Teknik Residu


1
d  d  z 

 lim  

2 z1 dz  dz  ( z  1) 



1
d (1)( z  1)  z (1) 
 lim 

2 z1 dz 
( z  1) 2

 2 
1
d  1  1
1
 lim 
  lim 
  
2
3
z

1
z

1



2
dz  ( z  1)  2
8
 ( z  1) 
z
1
di titik pole z  1 sebesar  .
Jadi nilai residu f ( z ) 
3
( z 1) ( z  1)
8
Menghitung Integral
Bagian berikut ini akan menjelaskan perhitungan integral fungsi real dengan residu. Karena
perhitungan integral didasari integral fungsi kompleks, maka terlebih dahulu akan dibahas integral
fungsi kompleks dengan menggunakan residu.
a. Integral Fungsi Kompleks.
Pole Derajat 1 (sederhana)
Fungsi f ( z ) analitik kecuali di titik z  a , Gambar 3, ia memiliki residu
1
Re s [ f , a]  c1 
f ( z )dz menurut Teorema Laurent, sehingga persamaan ini dapat diubah
2πi C
menjadi



(6)

f ( z )dz  2πi Re s[ f , a ]

C

dimana Re s[ f , a ] dihitung menggunakan persamaan (3).
C
.a
Gambar 3

Selanjutnya akan dibahas contoh menghitung nilai


C

1
dz dengan C : z  2  2 ,
z 3

seperti yang terlihat pada Gambar 4.
1
f ( z) 
mempunyai pole di z  3 derajat 1, maka menurut persamaan (3)
z 3
1
Re s[ f , 3]  lim( z  3)
 lim1  1
z 3
( z  3) z3

35

Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 8, Nomor 1, Maret 2007, 31 - 40

Jadi, menurut persamaan (6),


C

Dengan demikian nilai

1
dz  (2πi ) Re s[ f ,3]  (2πi )(1)  2πi
z 3

1
dz dengan C : z  2  2 adalah 2πi .
z 3


C

y

C
2

0

1

2

3

x

Gambar 4

Pole Derajat m
Misal f ( z ) analitik di dalam lengkungan C dan pada C kecuali pada a1 , a2 ,..., am di dalam
C. Menurut Teorema Cauchy maka


C

f ( z )dz   f ( z )dz   f ( z )dz  ...   f ( z )dz  0 ;
C1

C2

Cm

C melawan arah jarum jam sedangkan C1 , C2 ,...., Cm searah jarum jam, Gambar 5.

C1
. a1

C2
. a2

C

C1
. a1

Cm
. am

C2
. a2

Gambar 5

C

Cm
. am

Gambar 6

Apabila C melawan arah jarum jam dan C1 , C2 ,...., Cn juga melawan arah jarum jam,
Gambar 6, maka bentuk integral menjadi  f ( z )dz   f ( z )dz   f ( z )dz  ...   f ( z )dz  0
C

Atau dapat ditulis


C

C1

C2

Cm

f ( z )dz   f ( z )dz   f ( z )dz  ...   f ( z )dz
C1

C2

Cm

 2πi Re s[ f , a1 ]  2πi Re s[ f , a2 ]  ...  2πi Re s[ f , am ]
Jadi,


C

m

f ( z )dz  2πi  Re s[ f , ak ]

(7)

k 1

36

Warsito, Perhitungan Integral Fungsi Real Menggunakan Teknik Residu

y
C
-1

0

1

2

3

x

Gambar 7
Sebagai contoh, akan dihitung nilai


C

z 1
3
dz dengan C :| z 1| , lihat Gambar 7.
2
z ( z 1)
2
3

1
z 1
z 1
 3
f ( z)  3 2
 3
z ( z 1) z ( z  1)( z 1) z ( z  1)
Sehingga fungsi f ( z ) mempunyai titik pole di z  0 derajat 3 dan di z  1 derajat 1.

1
1
d 31 

Re s[ f , 0] 
lim 31  z 3 3
(3 1)! z0 dz  z ( z  1) 

d2  1 
1

 lim 2 
2 z0 dz  z 1
1
d  1 

 lim 
2 z0 dz  ( z  1) 2 

 2( z  1)  1
 2 
1


 1
lim
 lim 

2 z0  ( z  1) 4  2 z0  ( z  1)2 
Titik pole z  1 terletak diluar C (batas integrasi), Gambar 7, maka Re s[ f ,1) tidak
perlu dihitung karena tidak digunakan untuk menghitung nilai integral.
z 1
Jadi,  3 2
dz  2πi Re s[ f , 0]  2πi (1)  2πi
z
(
z

1)
C
Integral Fungsi Real
Selanjutnya akan dibahas integral tak wajar fungsi rasional real dengan derajat penyebut
minimal 2 lebih besar dari derajat pembilang yaitu yang berkaitan dengan permasalahan tulisan ini.


Bentuk integral tak wajar fungsi rasional real



f ( x)dx dapat ditulis sebagai








0



f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x)dx  lim


0

a

Apabila nilai limit ruas kanan masing-masing ada maka,

37

0


a

b

f ( x )dx  lim  f ( x)dx
b

0

Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 8, Nomor 1, Maret 2007, 31 - 40

R





f ( x)dx  lim

R





(8)

f ( x)dx

R

(fungsi rasional disini derajat penyebut sekurang-kurangnya harus 2 lebih besar dari derajat
pembilang).
C = C1 + C2

C1

-R C2

0

R

Gambar 7



f ( z )dz

Selanjutnya tinjau integral fungsi kompleks berikut,
; C  C 1  C 2 dengan :

C

- C1 = setengah lingkaran
- C 2  R  x  R
seperti terlihat pada Gambar 7.
Jari-jari R dapat dibuat cukup besar sehingga semua titik pole berada di dalam C, jadi menurut
teorema residu berlaku


C

R

n

R

k 1

f ( z )dz   f ( z )dz   f ( x)dx  2πi  Re s[ f , z k ]
C1

(9)

untuk setiap z1 , z2 ,..., zk di dalam C.
Misalkan z  R e it maka setengah lingkaran C1 dinyatakan oleh | z |  R ; 0  t  π
Karena derajat penyebut sekurang-kurangnya 2 lebih besar dari pembilang maka
K
f ( z )  2 , (| z | R  R0 ) untuk K cukup besar dari R0 ,
|z|
sehingga



C1

f ( z )dz 

K
Kπ
πR 
2
R
R

Apabila R menuju tak hingga maka

Kπ
menuju 0 sehingga
R

Jadi dari persamaan (8) dan (9) diperoleh :






n

f ( x)dx   f ( z )dz  2πi  Re s[ f , z k ]
C

k 1

38



f ( z )dz  0 .

C1

(10)

Warsito, Perhitungan Integral Fungsi Real Menggunakan Teknik Residu

Selanjutnya pembahasan mengenai cara menghitung nilai integral dari permasalahan utama

dx
dalam tulisan ini yaitu mengitung 
sebagai berikut. Permasalahan ini merupakan
(1  x 2 ) 2

integral fungsi rasional real yang akan dihitung dengan residu rumus (10), adapun perhitungannya
sebagai berikut.
dz
dz
dz
 f ( z )dz   (1  z 2 ) 2   (i  z )(i  z ) 2   (i  z ) 2 (i  z ) 2
C
C
C
C
Fungsi f ( z ) mempunyai titik pole di z  i derajat 2 dan di z  i derajat 2, sehingga

1
1
d 

lim  (i  z ) 2
2
2
(2 1)! zi dz 
(i  z ) (i  z ) 
1
d  1 

 lim 
1! zi dz  (i  z ) 2 
 0  (1)(2)(i  z ) 

 1 lim 
4

z i 
i

z
(
)


 2   2  1

  
 lim 
 8i  4i
z i  (i  z ) 3 



Re s[ f , i ] 

C = C1 + C2

C1

i
-R C2

0

-i
Gambar 8

R

Titik pole z  i di luar C seperti yang terlihat pada Gambar 8 sehingga tidak perlu dihitung

1 π
dx
 2πi Re s[ f , i ]  2πi    .
residunya. Jadi, 
2 2
 4i  2
(1  x )

π
merupakan bilangan real. Dengan demikian integral tak wajar fungsi real menghasilkan
2
nilai real juga walaupun perhitungannya dengan menggunakan perantaraan sistem bilangan dan
fungsi kompleks.

hasilnya

39

Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 8, Nomor 1, Maret 2007, 31 - 40

PENUTUP
Integral tak wajar fungsi rasional real yang memiliki derajat penyebut minimal 2 lebih besar

dx
dari derajat pembilang, misalnya 
, dapat dihitung nilainya dengan cara menghitung
2 2
(1

)
x

nilai residu fungsi kompleks yang berkaitan. Dengan demikian kita telah dapat menghitung nilai
itegral fungsi real dengan cara lebih mudah yaitu dengan menggunakan teknik residu pada fungsi
kompleks.
REFERENSI
Ansjar, M. (1969). Fungsi kompleks. Bandung: ITB.
Kreyzig, E. (1979). Advanced engineering Mathematics. New York: John Wiley & Son.
Osborn, A.D. (1999). Complex variables and their applications. Harlow, England: Addison Wesley
Longman.
Paliouras, J.D. (1975). Complex variables for scientists and engineers. New York: Macmillan
Publishing Company, Inc.
Sardi, H. (2006). Fungsi kompleks. Jakarta: Universitas Terbuka.

40