Limit Fungsi yang tidak punya nilai dan Limit tak hingga

Limit Fungsi yang tidak punya nilai
dan Limit tak hingga
Beberapa fungsi tidak mempunyai nilai di titik tertentu, maka hasil limitnya
=
Contoh 3 hal 331 : Selidikilah limitx3 1/(x – 3) baik kiri maupun kanan !
x

2,9

2,99

2,999

2,9999

3,1

3,01

3,00
1

3,000
1

F(x)

-10

-100

-1000

-10000

10

100

1000

1000
0

Jadi sebelah kiri limx3- 1/(x – 3) = –  dan sedangkan
sebelah kanan limx3+ 1/(x – 3) =  Hal ini dapat
dilihat dari gambar grafk fungsi f(x) yang di titik x = 3
Beberapa
fungsi pada titik yang tak terhingga , nilai limitnya
tidak terdefsinisikan
akan mencapai angka tertentu
Contoh 6 hal 333 : Selidikilah nilai limit dari 2x / (x – 2) di titik
tak hingga
!
x
100
1000
10000 100000 10000 100000
F(x)

2,04

2,004

2,0004 2,00004

Jadi lim x 2x/(x – 2) = 2

00

00

2,0000
04

2,00000
04

Teorema Limit
Teorema 1 : Untuk sembarang k bilangan real maka
limxa k = k

Teorema 2 : Limxa x = a
Teorema 3 : Untuk sembarang k , maka lim
limxa x = ka

xa

Teorema 4 : Untuk sembarang k , maka limx
0

kx = k
k/xn =

Teorema 5 : Limxa { f(x) + g(x)} = limxa f(x)
Limxa g(x)
g(x)

Limxa { f(x) – g(x)} = Limxa f(x) – Limxa

+

Menyelesaikan Limit dengan teknik Aljabar
Mencari nilai limit untuk fungsi dapat dilakukan dengan teknik
Aljabar seperti penfaktoran, pembagian aljabar, rationalisasi
(perkalian dengan lawan akar), dan lainnya. Beberapa bentuk tak
tentu seperti 0/0 dan 1/0 dapat diselesaikan
x 2 1 dengan cara demikian
lim x  0 2
Contoh 9a hal 339 : Tentukan nilai dari
x  3x  2
( x 1)( x 1)

Dengan teknik faktorisasi didapat
lim x  1

( x 1)( x  2)
2) = (1+1) /(1 – 2) = - 2

lim x 1 (x+1)/(x-

2x

lim

Contoh 10 hal 340 : Tentukan nilai xdari
0
2  4  4x
Deengan teknik rasionalisasi
lim :

x 0

lim x 0

2x
2  4  4x


2  4  4x 2  4  4x

4x  2x 4  4x
4x  2x 4  4x

2  4  4x 2  2
 lim x 0
 lim x 0

2
4  (4  4 x)
4x
2
2

Limit Bentuk Tak Tentu Tak Hingga
Limit bentuk tak hingga dapat diselesaikan dengan
cara membagi dengan pangkat tertinggi karena 1/
0

=

2

3x  4 x  6

lim x 
Contoh 11a & c hal 341 : Tentukan nilai
2x2  x  5
dan

lim x 

x3  4 x 2  6
3 x 2  2 x 1

3
2yaitu x 2,
2
Pembilang
dan
penyebut
dibagi
dengan
pangkat
tertinggi

x  4x  6
x
4x 6
jadi : 3 2  2  2 3  0  0 3
3
1 0  0
x
x
x
x
lim


lim x  


x 
2
2
3 x  2 x 1 0  0  0

2x
x
5
2 0 0 2
 2 2
2
x3
x
x
x
x 1
lim x  
Contoh 12c hal 343 : Tentukan nilai
4 x 2  x  x 2  x 1

Pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu x
x 1
atau x2,
1
1

x
lim x  


4 1 3
4x2  x
x 2  x 1

x2
x2

Bentuk    dan k/0  c/0
Beberapa bentuk    dapat diselesaikan dengan
rasionalisasi perkalian dengan lawan akar lalu diikuti dengan
pembagian dengan pangkat tertinggi.
2
2
lim
4
x

x

1

4
x
 7x  3
x  nilai
Contoh 14b hal 345 : Tentukan
da
lim x 

2



4 x  x 1 
2

lim x 



2

4x  7x  3 

2

4 x  x 1 

2

4 x  x 1 

2

4 x  x 1  ( 4 x  7 x  3)


4 x 2  x 1 

2

4x  7 x  3

 lim x 



4x2  7x  3
2

4x  7x  3



8x  4
x
4 x 2  x 1
4x2  7x  3

x2
x2

8 0
8

2
22
4 0 0  4 0 0

1
6x
Untuk bentuk k/0  c/0 diselesaikan
dengan
penyamaan
lim

Contoh
15
hal
346
:
Tentukan
nilai
x 2
penyebut & penfaktoran.
x  2 x2  4

lim x 2

x 2
6x
2x  4
2( x  2)
2
1


lim

lim


x 2
x 2
x2  4 x2  4
x2  4
( x  2)( x  2) (2  2) 2

Limit sebagai Dasar Turunan (Diferensial)
Untuk mendapatkan turunan dari fungsi, limit digunakan dengan
berdasarkan selisih nilai yang mendekati 0. Biasanya dimasukkan nilai
x dan x + h dimana h mendekati 0 ke dalam rumus fungsinya.
f ( x  h)  f
Bentuk umum turunan fungsi f(x) dari limit fungsi :

lim h 0

h

Contoh 17 : Jika f(x) = x3 + 2x + 1 , tentukan turunannya !
lim h 0

( x  h)3  2( x  h) 1  ( x 3  2 x 1)

h

x 3  3hx 2  3h 2 x  h 3  2 x  2h 1  x 3  2 x 1
lim h 0

h
3hx 2  3h 2 x  h 3  2h
lim h 0

h
lim h 0  3 x 2  3hx  h 2  2  3 x 2  2

( x)

Basic & Further Trigonometry Formula
Tan = sin  / cos 

90