Rataan Varians dan Momen Satu Peubah Aca
Pertemuan 8
Rataan, Varians, dan Momen
Satu Peubah Acak
RATAAN
Definisi 1 : RATAAN DISKRIT
Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari X di x adalah
p(x), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai :
E ( X )=∑ x . p ( x)
x
Contoh 1.
Jika Sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang, maka tentukan rataan dari
munculnya angka pada mata dadu itu.
Solusi :
Misalnya peubah acak X menunjukkan munculnya angka pada mata dadu. Jadi,
nilai-nilai yang mungkin adalah {x : x = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, dengan masing-masing
nilai mempunyai peluang yang sama yaitu 1/6
6
Jadi, E(X) =
∑ x . P ( x )=∑ x . 16 = 16 ( 1+2+3+4 +5+6 )=3,5
x
x=1
()
Definisi 2 : RATAAN KONTINU
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dari X di x adalah
f(x), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai :
∞
E ( X )= ∫ x . f ( x ) dx
−∞
Contoh 2.
Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk :
f(x) = 20x3 (1 – x); 0 < x < 1
=0
; x lainnya
Hitunglah E(X)
Solusi :
∞
E(X) =
∫ x . f ( x ) dx
−∞
∞
x . f ( x ) dx+ ¿∫ x . f ( x ) dx
1
1
x . f ( x ) dx +¿∫ ¿
=
0
0
∫¿
−∞
∞
x .20 x 3 ( 1− x ) dx +¿ ∫ x .0 dx
1
1
x .0 dx +¿∫ ¿
=
0
0
∫¿
−∞
1
4
5
20∫ ( x −x ) dx
=
0
2
3
=
Rataan dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu biasanya
dinotasikan dengan
μ , sehingga apabila peubah acaknya X, maka
μ=E (X ) .
Nilai rataan dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu tidak
selalu ada, artinya nilai rataan tersebut bisa mempunyai nilai atau juga tidak
mempunyai nilai. Nilai rataan dari sebuah peubah acak itu ada, jika hasil
penjumlahannya atau pengintegralannya ada. Begitu sebaliknya.
Contoh 3.
Misalkan peubah acak X mempunyai nilai-nilai 0!, 1!, 2!, … dengan peluangnya
sebagai berikut.
p ( x ) =P ( X=x ! )=
e−1
; x=0,1, 2, …
x!
Tentukan nilai rataan dari X, E(X).
Solusi :
E(X) =
∑ x ! . p(x )
x
∞
=
e−1
∑ x !. x!
x=0
∞
=
∑ e−1
x=0
∞
=
e−1 ∑ 1
x=0
=
e−1 ( 1+1+1+… )
=
∞
Jadi nilai E(X) tidak ada.
Contoh 4.
Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk :
g ( x) =
1
; 1< x
Rataan, Varians, dan Momen
Satu Peubah Acak
RATAAN
Definisi 1 : RATAAN DISKRIT
Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari X di x adalah
p(x), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai :
E ( X )=∑ x . p ( x)
x
Contoh 1.
Jika Sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang, maka tentukan rataan dari
munculnya angka pada mata dadu itu.
Solusi :
Misalnya peubah acak X menunjukkan munculnya angka pada mata dadu. Jadi,
nilai-nilai yang mungkin adalah {x : x = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, dengan masing-masing
nilai mempunyai peluang yang sama yaitu 1/6
6
Jadi, E(X) =
∑ x . P ( x )=∑ x . 16 = 16 ( 1+2+3+4 +5+6 )=3,5
x
x=1
()
Definisi 2 : RATAAN KONTINU
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dari X di x adalah
f(x), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai :
∞
E ( X )= ∫ x . f ( x ) dx
−∞
Contoh 2.
Misalnya fungsi densitas dari X berbentuk :
f(x) = 20x3 (1 – x); 0 < x < 1
=0
; x lainnya
Hitunglah E(X)
Solusi :
∞
E(X) =
∫ x . f ( x ) dx
−∞
∞
x . f ( x ) dx+ ¿∫ x . f ( x ) dx
1
1
x . f ( x ) dx +¿∫ ¿
=
0
0
∫¿
−∞
∞
x .20 x 3 ( 1− x ) dx +¿ ∫ x .0 dx
1
1
x .0 dx +¿∫ ¿
=
0
0
∫¿
−∞
1
4
5
20∫ ( x −x ) dx
=
0
2
3
=
Rataan dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu biasanya
dinotasikan dengan
μ , sehingga apabila peubah acaknya X, maka
μ=E (X ) .
Nilai rataan dari sebuah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu tidak
selalu ada, artinya nilai rataan tersebut bisa mempunyai nilai atau juga tidak
mempunyai nilai. Nilai rataan dari sebuah peubah acak itu ada, jika hasil
penjumlahannya atau pengintegralannya ada. Begitu sebaliknya.
Contoh 3.
Misalkan peubah acak X mempunyai nilai-nilai 0!, 1!, 2!, … dengan peluangnya
sebagai berikut.
p ( x ) =P ( X=x ! )=
e−1
; x=0,1, 2, …
x!
Tentukan nilai rataan dari X, E(X).
Solusi :
E(X) =
∑ x ! . p(x )
x
∞
=
e−1
∑ x !. x!
x=0
∞
=
∑ e−1
x=0
∞
=
e−1 ∑ 1
x=0
=
e−1 ( 1+1+1+… )
=
∞
Jadi nilai E(X) tidak ada.
Contoh 4.
Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk :
g ( x) =
1
; 1< x