022 Matriks Materi Kuliah Matematika I | Blog Mas'ud Effendi

MATRIKS
Matematika
FTP – UB
Mas’ud Effendi
Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•

Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•

Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Transpos Suatu Matriks

• Jika sebuah matriks disalingtukarkan antara
baris dan kolomnya, maka matriks baru yang
terbentuk disebut transpos dari matriks aslinya.
Sebagi contoh:

 4 6
 4 7 2
A   7 9  then AT  

6
9
5


 2 5



Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•

Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Matriks Khusus
• Matriks bujursangkar
– Matriks dengan orde m x m

– Matriks bujursangkar dikatakan simetrik jika aij=aji 
1
A=AT
2 5 


2

5


8
9

9 


4 

– Matriks bujursangkar dikatakan simetrik-miring jika

aij= -aji  A=-AT  0
2 5


 2

 5


0

9


9 

0 

Matematika

Matriks Khusus
• Matriks diagonal
– Matriks bujursangkar yang semua elemennya nol
kecuali elemen yang berada pada diagonal utamanya
5


0

0


0 0 
2 0 

0


7 

Matematika

Matriks Khusus
• Matriks satuan/identitas (I)
– Matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal
utamanya semuanya satu
– Hasil kali antara A dengan I akan menghasilkan A
A.I=A=I.A
1

I   0

0


0 0 

1 0 


0 1 

Matematika

Matriks Khusus
• Matriks nol
– Matriks yang semua elemennya adalah nol
dan dinyatakan dengan 0
0

0   0

0


0 0 
0 0 
0



0 

– Maka A.0=0
– Tetapi jika A.B=0, kita tidak dapat
mengatakan A=0 atau B=0
Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•

Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier

Nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Determinan Suatu Matriks
Bujursangkar
• Determinan yang memiliki elemen yang sama dengan
elemen matriksnya
5 2 1
5 2 1


 0 6 3   0 6 3  150
8 4 7
8 4 7



• Determinan matriks bujursangkar memiliki nilai yang
sama seperti nilai determinan matriks transposnya

5 0 8
5 2 1 5 0 8

 

 0 6 3    2 6 4   2 6 4  150
8 4 7 1 3 7
1 3 7

 


• Matriks yang determinannya nol disebut matriks singular
Matematika

Determinan Suatu Matriks
Bujursangkar
• Kofaktor
– Jika A=(aij) adalah suatu matriks bujursangkar, setiap
elemen menghasilkan kofaktor, minor dari elemen
dalam determinan beserta ‘tanda tempatnya’
5 2 1
5 2 1


A   0 6 3   det A  A  0 6 3  150
8 4 7
8 4 7


kofaktor
5  (42  12)  30
2  (0  24)  24
Matematika

Determinan Suatu Matriks
Bujursangkar
• Adjoin suatu matriks bujursangkar
– Misal matriks bujursangkar C dibentuk dari
matriks bujursangkar A dimana elemenelemen C secara respektif merupakan
kofaktor dari elemen A, maka:

A   aij  and Aij is the cofactor of aij then C   Aij 




– Transpos dari C disebut adjoin A, dinotasikan
adj A.
Matematika

Determinan Suatu Matriks
Bujursangkar

Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•

Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Invers Suatu Matriks Bujursangkar
• Jika setiap elemen adjoin matriks bujursangkar
A dibagi dengan determinan A, yaitu |A|, maka
matriks yang dihasilkan disebut invers A dan
dinyatakan dengan A-1.


1
A 

1
adjA 

det A

• Note: jika det A=0 maka invers tidak ada
Matematika

Invers Suatu Matriks Bujursangkar

Matematika

Invers Suatu Matriks Bujursangkar
• Hasil kali suatu matriks bujursangkar
dengan inversnya, dengan urutan
manapun faktor-faktornya ditulis, ialah
matriks satuan dengan orde matriks yang
sama:
-1
-1
A.A = A .A = I

Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•

Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Set n persamaan linier simultan dengan n
bilangan tidak diketahui
a11x1  a12 x2  a13 x3   a1n xn  b1
a 21x1  a 22 x2  a 23 x3   a 2n xn  b2
a n1x1  a n2 x2  a n3 x3 

 a nn xn  b1

• Dapat ditulis dalam bentuk matriks:
 a11
a
 21


 a n1

a12

a13

a 22

a 23

a n2

a n3

a1n  x1   b1 
a 2n  x2   b2 
     that is A.x = b
   

  

a nn  xn   bn 

Matematika

Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Karena:
A.x = b then
A1.Ax = A1.b that is
I.x = A1.b and I.x = x

• Solusi:

x = A1.b

Matematika

Penyelesaian Set Persamaan
Linier

Matematika

Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Metode eliminasi Gauss untuk penyelesaian set
persamaan linier
• Diberikan:  a a a
a  x  b
a
 21


 a n1
11

12

13

a 22

a 23

a n2

a n3

a 2n 



a nn 

1n



 1
x2   b2 
 
  
  
xn   bn 
1

• Buat matriks augmen B, dimana:
 a11

a
B   21


 a n1


a12

a13

a1n

a 22

a 23

a 2n

a n2

a n3

a nn

Matematika

b1 

b2 


bn 


Penyelesaian Set Persamaan
Linier
Eliminasi elemen-elemen selain a11 dari kolom
pertama dengan mengurangkan a21/a11 kali
baris pertama dari baris kedua dan a31/a11 kali
baris pertama dari baris ketiga, dst
Matriks baru yang terbentuk:
 a11 a12

 0 c22


 0 cn2


a13

a1n

c23

c2n

cn3

cnn

Matematika

b1 

d2 


dn 


Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Proses ini kemudian diulangi untuk
mengeliminasi ci2 dari baris yang ketiga dan
yang berikutnya sampai diperoleh matriks dalam
bentuk berikut:
 a11

 0
 0

 0


a1,n 2

a1,n 1

a1n

pn 3,n 2

pn 2,n 1

pn 2,n

0
0

0

pnn

pn 1,n 1

pn 1,n

Matematika

b1 

q2 


qn 


Penyelesaian Set Persamaan
Linier
• Matriks segitiga yang telah terbentuk dari
matriks augmen, kita pisahkan kolom kanan
kembali ke posisi semula
 a11
 0

 0

 0

a1,n 2

pn 3,n 2

a1,n 1

pn 2,n 1

0

pn 1,n 1

0

0

a1n  x1   b1 
pn 2,n  x2   q2 
    
pn 1,n    
   
pnn 
 xn   qn 

• Hasil ini memberikan solusi :
pnn xn  qn so xn 

qn
pnn
Matematika

Penyelesaian Set Persamaan
Linier

Matematika

Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•

Transpos suatu matriks
Matriks khusus
Determinan suatu matriks bujursangkar
Invers suatu matriks bujursangkar
Penyelesaian set persamaan linier
Nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen
A.x  x

• Persamaan dalam bentuk:
• Dimana A adalah matriks bujursangkar
dan  adalah bilangan (skalar) yang punya
solusi non-trivial, yakni (x  0), untuk x
disebut vektor-eigen atau vektor
karakterisik A.
• Nilai  disebut nilai-eigen, nilai
karakteristik atau akar laten dari matriks A.
Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Dinyatakan sebagai set persamaan yang
terpisah:
 a11
a
 21


 a n1

a12

a13

a 22

a 23

a n2

a n3

a1n  x1 
 x1 
x 
a 2n  x2 
     2 
 
 
 
 
a nn 
x
 n 
 xn 

• yakni

Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi:
 a11 
 a
 21


 a n1

• sehingga:

a 22 

a 23

a n2

a n3

a12

a13

 x1   0 
a 2n  x2   0 
    
   
   
a nn  
 xn   0 
a1n

 AI .x  0

• Yang berarti, solusi non-trivial:
A  I  0

Determinan karakteristik A
Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Nilai-eigen

– Untuk mencari nilai-eigen dari:
4
A 
3

1
2 

– Selesaikan persamaan karakteristik |A-λI|=0:
4
3

2
1

0

– sehingga: ( 1)(  5)  0
– Nilai-eigen 1 1; 2  5
Matematika

Nilai-eigen dan Vektor-eigen
• Vektor-eigen
– Untuk mencari vektor-eigen dari
– Selesaikan persamaan A.x  x
– Untuk nilai-eigen  = 1 dan  = 5

4
A 
3

1
2 

For  =1
 4 1   x1   x1 
 k 



1
and
so
3
giving
eigenvector
x
x
 3 2  x   x 
 3k 
2
1
2
2

   



For  =5
 x1 
 4 1   x1 
k
5
and
so
giving
eigenvector


x
x
x 
 3 2  x 
k
2
1
2
2

 
 
 

Matematika

Hasil Pembelajaran
•
•
•
•
•
•
•

Memperoleh transpos suatu matriks
Mengenali jenis-jenis matriks khusus
Memperoleh determinan, kofaktor, dan adjoin matriks bujursangkar
Memperoleh invers matriks non-singular
Menggunakan matriks untuk menyelesaikan set persamaan linier
dengan matriks invers
Menggunakan metode eliminasi Gauss unntuk menyelesaikan set
persamaan linier
Menentukan nilai-eigen dan vektor-eigen

Matematika

Referensi
• Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika
Teknik. Erlangga. Jakarta

Matematika