Interpretasi Kombinatorial Bilangan Eu- Ler.
INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN EULER
TESIS
Oleh
REKTOR SIANTURI
127021033/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN EULER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
REKTOR SIANTURI
127021033/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN
EULER
Nama Mahasiswa : Rektor Sianturi
Nomor Pokok
: 127021033
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 22 Desember 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal : 22 Desember 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang
3. Dr. Esther Nababan, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN EULER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Desember 2014
Penulis,
Rektor Sianturi
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Kombinatorial bilangan Euler ialah suatu proses yang menghitung banyaknya alternatif permutasi dari himpunan bilangan dengan jumlah genap. Interpretasi kombinatorial bilangan Euler membutuhkan pemahaman dasar mengenai penurunan (descent) dan kenaikan (ascent) dalam permutasi. Beberapa artikel dan buku membahas tentang bilangan Euler, kombinatorial bilangan Euler, barisan bilangan Euler,
bentuk umum bilangan Euler dengan berbagai metode. Dalam penelitian ini akan
membahas lebih lanjut bagaimana bentuk umum interpretasi kombinatorial bilangan Euler yang didefinisikan pada progres aritmatika umum {a, a + d, a + 2d, . . .}
kemudian membentuk algoritmanya.
Kata kunci: Bilangan Euler, Kombinatorial, Permutasi.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Combinatorial of Euler numbers is a process that count permutation alternative of
a set which has even numbers. Interpretation of combinatorial Euler numbers need
a basic knowledge about descent and ascent in permutation. Some articles had explained about Euler traditional number, Euler number sequence, and general Euler
number in several method. In this research will explain why general combinatorial
Euler number in general aritmethic {a, a + d, a + 2d, . . .} needed and then make an
algorithm of the process.
Keywords: Euler number, Combinatorial, Permutation.
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan kesempatan, kesehatan dan keselamatan yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN EULER. Penulis menyampaikan terima kasih kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera
Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus sebagai Pembanding I yang telah
memberikan kesempatan serta saran kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus Pembimbing I yang telah
memberikan bimbingan dan arahan terhadap penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang telah memberikan
bimbingan dan arahan terhadap penulisan tesis ini.
Ibu Dr. Esther Nababan, M.Sc selaku Pembanding-II yang memberikan saran dan
kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang
telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Seluruh keluarga, khususnya ibunda tercinta Selma Silitonga yang senantiasa mendukung dan mendoakan untuk keberhasilan penulis dalam menyelesaikan pendidikan
ini.
Kepada semua teman teman serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan
satu persatu penulis ucapkan terimakasih atas bantuan dan dorongan yang telah
diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat waktu.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis
mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat
bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan,
Desember 2014
Penulis,
Rektor Sianturi
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pansur pada tanggal 26 mei 1981, sebagai anak keenam
dari 7 bersaudara dari ayah almarhum Mustar Sianturi dan ibu Selma Silitonga.
Penulis menamatkan Sekolah Dasar Inpres Pansur pada tahun 1993, Sekolah Menengah Pertama Swasta HKBP Tanah Jawa pada tahun 1996, Sekolah Menengah
Atas Swasta Dharma Bakti pada tahun 1999, dan pada tahun 1999 melanjutkan
pendidikan di Universitas HKBP Nommensen, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Jurusan Pendidikan Matematika dan lulus pada tahun 2004. Dari tahun
2005 sampai dengan sekarang, penulis menjadi staf pengajar di Yayasan Pendidikan
Teladan Pematangsiantar dan pada tahun 2010 sampai sekarang, penulis menjadi
staf pengajar di Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Pematangsiantar. Pada tahun
2013 penulis mengikuti pendidikan pada program studi Magister Matematika Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
BAB 3 KOMBINATORIAL DAN BILANGAN EULER
6
3.1 Teori Kombinatorial
6
3.1.1 Kaidah dasar menghitung kombinatorial
7
3.1.2 Prinsip inklusi-eksklusi
8
3.1.3 Permutasi
9
3.1.4 Kombinasi
10
3.1.5 Interpretasi kombinasi
10
3.1.6 Permutasi dan kombinasi bentuk umum
11
3.1.7 Penurunan (Descent)
11
vii
Universitas Sumatera Utara
3.1.8 Bilangan Euler
13
3.1.9 Fungsi pembangkit dan bilangan Euler
17
3.1.10 Barisan bilangan Euler
17
BAB 4 KOMBINATORIAL BILANGAN EULER DAN INTERPRETASINYA 19
4.1 Kombinatorial Bilangan Euler
19
4.1.1 Interpretasi kombinatorial bilangan Euler umum
20
4.2 Hasil Penelitian
26
4.3 Algoritma Interpretasi Kombinatorial Bilangan Euler
27
BAB 5 KESIMPULAN
29
DAFTAR PUSTAKA
30
viii
Universitas Sumatera Utara
TESIS
Oleh
REKTOR SIANTURI
127021033/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN EULER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
REKTOR SIANTURI
127021033/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN
EULER
Nama Mahasiswa : Rektor Sianturi
Nomor Pokok
: 127021033
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 22 Desember 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal : 22 Desember 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang
3. Dr. Esther Nababan, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN EULER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Desember 2014
Penulis,
Rektor Sianturi
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Kombinatorial bilangan Euler ialah suatu proses yang menghitung banyaknya alternatif permutasi dari himpunan bilangan dengan jumlah genap. Interpretasi kombinatorial bilangan Euler membutuhkan pemahaman dasar mengenai penurunan (descent) dan kenaikan (ascent) dalam permutasi. Beberapa artikel dan buku membahas tentang bilangan Euler, kombinatorial bilangan Euler, barisan bilangan Euler,
bentuk umum bilangan Euler dengan berbagai metode. Dalam penelitian ini akan
membahas lebih lanjut bagaimana bentuk umum interpretasi kombinatorial bilangan Euler yang didefinisikan pada progres aritmatika umum {a, a + d, a + 2d, . . .}
kemudian membentuk algoritmanya.
Kata kunci: Bilangan Euler, Kombinatorial, Permutasi.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Combinatorial of Euler numbers is a process that count permutation alternative of
a set which has even numbers. Interpretation of combinatorial Euler numbers need
a basic knowledge about descent and ascent in permutation. Some articles had explained about Euler traditional number, Euler number sequence, and general Euler
number in several method. In this research will explain why general combinatorial
Euler number in general aritmethic {a, a + d, a + 2d, . . .} needed and then make an
algorithm of the process.
Keywords: Euler number, Combinatorial, Permutation.
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan kesempatan, kesehatan dan keselamatan yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: INTERPRETASI KOMBINATORIAL BILANGAN EULER. Penulis menyampaikan terima kasih kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera
Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus sebagai Pembanding I yang telah
memberikan kesempatan serta saran kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus Pembimbing I yang telah
memberikan bimbingan dan arahan terhadap penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang telah memberikan
bimbingan dan arahan terhadap penulisan tesis ini.
Ibu Dr. Esther Nababan, M.Sc selaku Pembanding-II yang memberikan saran dan
kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang
telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Seluruh keluarga, khususnya ibunda tercinta Selma Silitonga yang senantiasa mendukung dan mendoakan untuk keberhasilan penulis dalam menyelesaikan pendidikan
ini.
Kepada semua teman teman serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan
satu persatu penulis ucapkan terimakasih atas bantuan dan dorongan yang telah
diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat waktu.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis
mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat
bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan,
Desember 2014
Penulis,
Rektor Sianturi
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pansur pada tanggal 26 mei 1981, sebagai anak keenam
dari 7 bersaudara dari ayah almarhum Mustar Sianturi dan ibu Selma Silitonga.
Penulis menamatkan Sekolah Dasar Inpres Pansur pada tahun 1993, Sekolah Menengah Pertama Swasta HKBP Tanah Jawa pada tahun 1996, Sekolah Menengah
Atas Swasta Dharma Bakti pada tahun 1999, dan pada tahun 1999 melanjutkan
pendidikan di Universitas HKBP Nommensen, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Jurusan Pendidikan Matematika dan lulus pada tahun 2004. Dari tahun
2005 sampai dengan sekarang, penulis menjadi staf pengajar di Yayasan Pendidikan
Teladan Pematangsiantar dan pada tahun 2010 sampai sekarang, penulis menjadi
staf pengajar di Sekolah Menengah Atas Negeri 5 Pematangsiantar. Pada tahun
2013 penulis mengikuti pendidikan pada program studi Magister Matematika Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
BAB 3 KOMBINATORIAL DAN BILANGAN EULER
6
3.1 Teori Kombinatorial
6
3.1.1 Kaidah dasar menghitung kombinatorial
7
3.1.2 Prinsip inklusi-eksklusi
8
3.1.3 Permutasi
9
3.1.4 Kombinasi
10
3.1.5 Interpretasi kombinasi
10
3.1.6 Permutasi dan kombinasi bentuk umum
11
3.1.7 Penurunan (Descent)
11
vii
Universitas Sumatera Utara
3.1.8 Bilangan Euler
13
3.1.9 Fungsi pembangkit dan bilangan Euler
17
3.1.10 Barisan bilangan Euler
17
BAB 4 KOMBINATORIAL BILANGAN EULER DAN INTERPRETASINYA 19
4.1 Kombinatorial Bilangan Euler
19
4.1.1 Interpretasi kombinatorial bilangan Euler umum
20
4.2 Hasil Penelitian
26
4.3 Algoritma Interpretasi Kombinatorial Bilangan Euler
27
BAB 5 KESIMPULAN
29
DAFTAR PUSTAKA
30
viii
Universitas Sumatera Utara