Interpretasi Kombinatorial Bilangan Eu- Ler.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Bilangan Euler pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler yang dimulai dengan
deret geometri
∞
X
xk =
k=1
x
,
1−x
(2.1)
konvergen untuk semua |x| < 1. Jika dilakukan diferensial berulang dan mengalikannya dengan x maka akan memberikan barisan identitas
∞
X
k xk =
k=1
∞
X
x
(1)
(1 − x)2
k 2 xk =
k=1
∞
X
k m xk =
k=1
x
(1 + x)
(1 − x)3
..
.
m−1
X
x
E(m, n) xn .
m+1
(1 − x)
n=0
Oleh karena itu, penjabaran rumus tersebut menunjukkan bahwa bilangan Euler
memiliki banyak aplikasi dalam kombinatorial.
Kombinatorial bilangan Euler ialah suatu proses yang menghitung banyaknya alternatif permutasi dari himpunan bilangan dengan jumlah genap. Interpretasi
kombinatorial bilangan Euler membutuhkan pemahaman dasar mengenai penurunan
(descent) dan kenaikan (ascent) dalam permutasi. Beberapa artikel dan buku membahas tentang bilangan Euler, kombinatorial bilangan Euler, barisan bilangan Euler,
bentuk umum bilangan Euler dengan berbagai metode.
Sebelum adanya bilangan Euler, Bernoulli (1713) telah memperkenalkan bilangan Bernoulli B2r (B2r+1 − 0 untuk r ≥ 1) untuk mengevaluasi jumlah pangkat n
dari m bilangan bulat pertama. Dua dekade kemudian, Euler (1736) mempelajari
m
P
penjumlahan alternatif (−1)i in hingga membentuk suatu polinomial yang disebut
i=1
dengan polinomial Euler (Xiong et al., 2013).
4
Universitas Sumatera Utara
5
Penelitian tentang bilangan Euler kemudian dikembangkan oleh Carlitz (1954)
yang mempelajari bilangan Bernoulli dan bilangan Euler. Penelitiannya dilanjutkan
dengan meneliti kombinatorial sifat q-bilangan Euler.
Selanjutnya Stanley (1996) mengeluarkan buku yang berisi tentang prinsipprinsip dasar dalam kombinatorik enumerasi yang memiliki kendala pada perhitungan banyaknya himpunan berhingga disusul oleh Bona (2004) yang mengulas
kombinatorial dari permutasi-permutasi. Dalam buku yang ditulis Bona terdapat
penjabaran mengenai descent, permutasi dan bilangan Euler.
Tiga tahun belakangan, Khattri dan Witkowski (2012), (Xiong et al., 2013),
dan (Xiong et al., 2014) masing-masing mengembangkan penelitian tentang bilangan
Euler. Khattri dan Witkowski (2012) melakukan investigasi pada beberapa rata-rata,
interpolasi antara aritmatika, geometrik, dan rata-rata harmonik serta mencari suatu
perubahan konvergen yang terbaik dari bilangan Euler. (Xiong et al., 2013) mencari
bentuk umum bilangan Euler dan polinomial Euler. Setahun kemudian (Xiong et
al.,(2014) menjabarkan bentuk kombiatorial bilangan Euler kemudian memberikan
interpretasi terhadap kombinatorial bilangan Euler tersebut.
Penelitian ini berhubungan dengan penelitian yang dilakukan oleh (Xiong et
al.,(2013, 2014). Penelitian dilakukan dengan mengulas bentuk kombinatorial bilangan Euler terlebih dahulu, bagaimana proses pembentukan kombinatorial bilangan
Euler kemudian mengulas interpretasi bilangan Euler. Oleh karena itu, penelitian ini
juga bertujuan agar pembaca memahami bagaimana kombinatorial bilangan Euler
dan interpretasinya.
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
Bilangan Euler pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler yang dimulai dengan
deret geometri
∞
X
xk =
k=1
x
,
1−x
(2.1)
konvergen untuk semua |x| < 1. Jika dilakukan diferensial berulang dan mengalikannya dengan x maka akan memberikan barisan identitas
∞
X
k xk =
k=1
∞
X
x
(1)
(1 − x)2
k 2 xk =
k=1
∞
X
k m xk =
k=1
x
(1 + x)
(1 − x)3
..
.
m−1
X
x
E(m, n) xn .
m+1
(1 − x)
n=0
Oleh karena itu, penjabaran rumus tersebut menunjukkan bahwa bilangan Euler
memiliki banyak aplikasi dalam kombinatorial.
Kombinatorial bilangan Euler ialah suatu proses yang menghitung banyaknya alternatif permutasi dari himpunan bilangan dengan jumlah genap. Interpretasi
kombinatorial bilangan Euler membutuhkan pemahaman dasar mengenai penurunan
(descent) dan kenaikan (ascent) dalam permutasi. Beberapa artikel dan buku membahas tentang bilangan Euler, kombinatorial bilangan Euler, barisan bilangan Euler,
bentuk umum bilangan Euler dengan berbagai metode.
Sebelum adanya bilangan Euler, Bernoulli (1713) telah memperkenalkan bilangan Bernoulli B2r (B2r+1 − 0 untuk r ≥ 1) untuk mengevaluasi jumlah pangkat n
dari m bilangan bulat pertama. Dua dekade kemudian, Euler (1736) mempelajari
m
P
penjumlahan alternatif (−1)i in hingga membentuk suatu polinomial yang disebut
i=1
dengan polinomial Euler (Xiong et al., 2013).
4
Universitas Sumatera Utara
5
Penelitian tentang bilangan Euler kemudian dikembangkan oleh Carlitz (1954)
yang mempelajari bilangan Bernoulli dan bilangan Euler. Penelitiannya dilanjutkan
dengan meneliti kombinatorial sifat q-bilangan Euler.
Selanjutnya Stanley (1996) mengeluarkan buku yang berisi tentang prinsipprinsip dasar dalam kombinatorik enumerasi yang memiliki kendala pada perhitungan banyaknya himpunan berhingga disusul oleh Bona (2004) yang mengulas
kombinatorial dari permutasi-permutasi. Dalam buku yang ditulis Bona terdapat
penjabaran mengenai descent, permutasi dan bilangan Euler.
Tiga tahun belakangan, Khattri dan Witkowski (2012), (Xiong et al., 2013),
dan (Xiong et al., 2014) masing-masing mengembangkan penelitian tentang bilangan
Euler. Khattri dan Witkowski (2012) melakukan investigasi pada beberapa rata-rata,
interpolasi antara aritmatika, geometrik, dan rata-rata harmonik serta mencari suatu
perubahan konvergen yang terbaik dari bilangan Euler. (Xiong et al., 2013) mencari
bentuk umum bilangan Euler dan polinomial Euler. Setahun kemudian (Xiong et
al.,(2014) menjabarkan bentuk kombiatorial bilangan Euler kemudian memberikan
interpretasi terhadap kombinatorial bilangan Euler tersebut.
Penelitian ini berhubungan dengan penelitian yang dilakukan oleh (Xiong et
al.,(2013, 2014). Penelitian dilakukan dengan mengulas bentuk kombinatorial bilangan Euler terlebih dahulu, bagaimana proses pembentukan kombinatorial bilangan
Euler kemudian mengulas interpretasi bilangan Euler. Oleh karena itu, penelitian ini
juga bertujuan agar pembaca memahami bagaimana kombinatorial bilangan Euler
dan interpretasinya.
Universitas Sumatera Utara