Interpretasi Kombinatorial Bilangan Eu- Ler.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam teori bilangan, bilangan Euler merupakan sebarisan bilangan bulat En yang
didefinisikan melalui ekspansi deret Taylor:
X En
1
2
= t
=
.tn ,
cosh t
e + e−t
n!
n=0
∞
(1.1)
dengan cosh t adalah kosinus hiperbolik. Bilangan Euler pada umumnya muncul
sebagai suatu nilai khusus dari polinomial Euler. Selain itu, bilangan Euler juga
muncul dalam bentuk kombinatorik.
Kombinatorial (Combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari
pengaturan objek-objek tanpa harus mengenumerasi terlebih dahulu. Solusi yang
ingin diperoleh adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. Pengaturan yang dimaksud adalah bagaimana objek-objek dapat dikombinasikan dalam bebagai susunan atau urutan yang menghasilkan output yang
berbeda. Konsep kombinatorial yang digunakan dalam penelitian ini salah satunya
adalah permutasi.
Permutasi adalah salah satu bentuk umum dari kombinatorial. Permutasi r
dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari
n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan
tidak ada elemen yang sama. Selain itu, terdapat pula bentuk permutasi yang lebih
khusus yaitu kombinasi. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah
jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.
Dalam kaitannya dengan kombinatorik, bilangan Euler muncul khusus ketika
menghitung banyaknya alternatif permutasi dari himpunan bilangan dengan jumlah
genap. Interpretasi kombinatorial bilangan Euler dapat diperoleh setelah memahami
pengertian penurunan (descent) dalam permutasi. Misalkan p = p1 , p2 , p3 , . . . , pn
adalah sebuah permutasi, i dikatakan suatu penurunan (descent) dari p jika pi >
1
Universitas Sumatera Utara
2
pi+1 , hal yang sama juga berlaku i dikatakan naik (ascent) jika pi < pi+1 . Descent
menotasikan posisi p bukan entri dari p (Bona, 2004).
Dalam Xiong et al., 2014, jika diberikan n bilangan bulat positif, Ωn didefinisikan sebagai himpunan semua permutasi [n] = {1, 2, . . . , n}. Untuk sebuah permutasi
π = p1 p2 p3 . . . pn ∈ Ωn , i dikatakan menaik (ascent) dari π jika pi < pi+1 ; i disebut
terlampau lemah dari π jika pi ≥ i.
Bilangan Euler kuno, An,k telah dikenal sebagai banyaknya permutasi π ∈ Ωn
yang memiliki k lampauan lemah dan An,k memenuhi rekurensi berikut (Xiong et
al., 2014):
An,1 = 1, (n ≥ 1), An,k = 0(k > n),
An,k = kAn−1,k + (n + 1 − k)An−1,k−1
(1.2)
Sejak tahun 1950an, Carlitz [3, 4] dan timnya telah melakukan hasil generalisasi bilangan Euler ke dalam q-barisan {1, q, q 2, q 3, . . . }. Peneliti bertujuan ingin
mengulas penelitian yang dilakukan oleh Xiong et al., (2014) yang menggeneralisasi
bilangan Euler ke dalam bentuk progres aritmatika
{a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . }.
(1.3)
Berdasarkan persamaan (1.3), penelitian ini mengulas bagaimana bentuk kombinatorial bilangan Euler dan cara menginterpretasikannya sesuai penelitian terdahulu yang dilakukan oleh Xiong et al., (2014). Oleh karena penelitian terdahulu masih
sulit untuk dipahami bagaimana proses interpretasi kombinatorial bilangan Euler
secara jelas, peneliti juga mengajukan suatu rangkaian algoritma sebagai solusinya.
1.2 Perumusan Masalah
Pada penelitian terdahulu interpretasi kombinatorial bilangan Euler masih sangat
sulit dipahami, karena itu peneliti mengajukan sebuah algoritma interpertasi kombinatorial bilangan Euler.
Universitas Sumatera Utara
3
1.3 Tujuan Penelitian
Menguraikan proses dan membentuk algoritma interpretasi kombinatorial bilangan
Euler.
1.4 Manfaat Penelitian
Memperkaya literatur tentang kombinatorial dengan adanya kombinatorial bilangan
Euler. Selain itu, pembaca mampu memahami bagaimana proses dan interpretasi
kombinatorial bilangan Euler.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan
informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai
berikut:
1. Menguraikan prinsip-prinsip dasar kombinatorial khususnya permutasi.
2. Mengulas proses kombinatorial bilangan Euler.
3. Memberikan interpretasi kombinatorial bilangan Euler.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam teori bilangan, bilangan Euler merupakan sebarisan bilangan bulat En yang
didefinisikan melalui ekspansi deret Taylor:
X En
1
2
= t
=
.tn ,
cosh t
e + e−t
n!
n=0
∞
(1.1)
dengan cosh t adalah kosinus hiperbolik. Bilangan Euler pada umumnya muncul
sebagai suatu nilai khusus dari polinomial Euler. Selain itu, bilangan Euler juga
muncul dalam bentuk kombinatorik.
Kombinatorial (Combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari
pengaturan objek-objek tanpa harus mengenumerasi terlebih dahulu. Solusi yang
ingin diperoleh adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. Pengaturan yang dimaksud adalah bagaimana objek-objek dapat dikombinasikan dalam bebagai susunan atau urutan yang menghasilkan output yang
berbeda. Konsep kombinatorial yang digunakan dalam penelitian ini salah satunya
adalah permutasi.
Permutasi adalah salah satu bentuk umum dari kombinatorial. Permutasi r
dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari
n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan
tidak ada elemen yang sama. Selain itu, terdapat pula bentuk permutasi yang lebih
khusus yaitu kombinasi. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah
jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen.
Dalam kaitannya dengan kombinatorik, bilangan Euler muncul khusus ketika
menghitung banyaknya alternatif permutasi dari himpunan bilangan dengan jumlah
genap. Interpretasi kombinatorial bilangan Euler dapat diperoleh setelah memahami
pengertian penurunan (descent) dalam permutasi. Misalkan p = p1 , p2 , p3 , . . . , pn
adalah sebuah permutasi, i dikatakan suatu penurunan (descent) dari p jika pi >
1
Universitas Sumatera Utara
2
pi+1 , hal yang sama juga berlaku i dikatakan naik (ascent) jika pi < pi+1 . Descent
menotasikan posisi p bukan entri dari p (Bona, 2004).
Dalam Xiong et al., 2014, jika diberikan n bilangan bulat positif, Ωn didefinisikan sebagai himpunan semua permutasi [n] = {1, 2, . . . , n}. Untuk sebuah permutasi
π = p1 p2 p3 . . . pn ∈ Ωn , i dikatakan menaik (ascent) dari π jika pi < pi+1 ; i disebut
terlampau lemah dari π jika pi ≥ i.
Bilangan Euler kuno, An,k telah dikenal sebagai banyaknya permutasi π ∈ Ωn
yang memiliki k lampauan lemah dan An,k memenuhi rekurensi berikut (Xiong et
al., 2014):
An,1 = 1, (n ≥ 1), An,k = 0(k > n),
An,k = kAn−1,k + (n + 1 − k)An−1,k−1
(1.2)
Sejak tahun 1950an, Carlitz [3, 4] dan timnya telah melakukan hasil generalisasi bilangan Euler ke dalam q-barisan {1, q, q 2, q 3, . . . }. Peneliti bertujuan ingin
mengulas penelitian yang dilakukan oleh Xiong et al., (2014) yang menggeneralisasi
bilangan Euler ke dalam bentuk progres aritmatika
{a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . }.
(1.3)
Berdasarkan persamaan (1.3), penelitian ini mengulas bagaimana bentuk kombinatorial bilangan Euler dan cara menginterpretasikannya sesuai penelitian terdahulu yang dilakukan oleh Xiong et al., (2014). Oleh karena penelitian terdahulu masih
sulit untuk dipahami bagaimana proses interpretasi kombinatorial bilangan Euler
secara jelas, peneliti juga mengajukan suatu rangkaian algoritma sebagai solusinya.
1.2 Perumusan Masalah
Pada penelitian terdahulu interpretasi kombinatorial bilangan Euler masih sangat
sulit dipahami, karena itu peneliti mengajukan sebuah algoritma interpertasi kombinatorial bilangan Euler.
Universitas Sumatera Utara
3
1.3 Tujuan Penelitian
Menguraikan proses dan membentuk algoritma interpretasi kombinatorial bilangan
Euler.
1.4 Manfaat Penelitian
Memperkaya literatur tentang kombinatorial dengan adanya kombinatorial bilangan
Euler. Selain itu, pembaca mampu memahami bagaimana proses dan interpretasi
kombinatorial bilangan Euler.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan
informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai
berikut:
1. Menguraikan prinsip-prinsip dasar kombinatorial khususnya permutasi.
2. Mengulas proses kombinatorial bilangan Euler.
3. Memberikan interpretasi kombinatorial bilangan Euler.
Universitas Sumatera Utara