8teknikpegnintegralan stt

9. TEKNIK
PENGINTEGRALAN

MA1114 KALKULUS I

1

9.1 Integral Parsial
Formula Integral Parsial :

u dv  uv  v du
Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhana
x
x
e
Contoh : Hitung  dx

misal u = x, maka du=dx

dv e x dx  v e x dx e x
sehingga

x
x
x
e
dx

x
e



x
x
x
e
dx

x
e


e
C


MA1114 KALKULUS I

2

Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali
Contoh
Hitung
Jawab
(i) Misal

2

2
x
sin
x

dx


x
cos x  2 x cos xdx


u x 2

dv = sinxdx
(ii)Misal w = x
dr = cosx dx



Integral parsial

du = 2xdx
V=-cosx
dw = dx

 x 2 cos x  2( x sin x  sin x dx)
 x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C

r = sinx

MA1114 KALKULUS I

3

Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan
Contoh Hitung

Integral parsial

x
x
e
cos
xdx


e
sin x 


Jawab :

(i) Misal

x
e
 cos xdx

u e x

dv=cosxdx
x

x

du e dx
v=sinx

x
e
 sin xdx

e x sin x  ( e x cos x  e x cos xdx)  C *

e x sin x  e x cos x  e x cos xdx  C *

x

dw e dx
(ii) Misal w e
r=-cosx
dr = sinxdx
x

x

Integral yang
dicari ,bawa
keruas kiri
x

2e cos xdx e sin x  e cos x  C *

e

x

x
x
1
2
MA1114 KALKULUS I

cos xdx  (e sin x  e cos x)  C
4

Soal latihan
Hitung
e

1.

ln x dx
1

2.

x ln xdx

3.

2
ln(
1


x
)dx


4.
5.
6.

sin

1

tan

1

xdx
xdx

x tan

1

7.

 x cos xdx

8.

2 x
x
 e dx

9.

x
e
 sin xdx

10.

2
x
 ln xdx

xdx
MA1114 KALKULUS I

5

9.2 Integral Fungsi Trigonometri
Bentuk :cosn x dx & sin n x dx
* Untuk n ganjil, Tuliskan :
n
n 1
sin n x sin x sin n  1 x dan cos x cos x cos x

sin 2 x  cos2 x 1
dan gunakan identitas
* Untuk n genap, Tuliskan :

sin n x sin 2 x sin n  2 x dan cosn x cos2 x cosn  2 x
2

2

cos 2 x  2 cos x  1 1  2 sin x
dan gunakan identitas

MA1114 KALKULUS I

6

Contoh Hitung
1.

3
sin
 x dx

2.

4
sin
 x dx

Jawab
1.
2.

3
2
3
2
1






1

cos
x
d
cos
x


cos
x

cos
x C
sin
x
dx

sin
x
sin
x
dx
3



4
2
2
sin
x
dx

sin
x
sin
x dx  (



1  cos 2 x 1  cos 2 x
)(
) dx
2
2

1
2
1
1  cos 4 x
(
1

2
cos
2
x

cos
2
x
)
dx

(
dx

2
cos
2
x
dx

dx)



4
4
2
3
1
1
1
1
1
1
 x  sin 2 x  x  sin 4 x  C  x  sin 2 x  sin 4 x  C
8
4
32
4
4
8
32



MA1114 KALKULUS I

7

Tentukan
2
cos
 x dx
3
cos
 x dx

4
cos
 x dx

MA1114 KALKULUS I

8



Bentuk sin

m

x cosn x dx

a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan
sin 2 x  cos2 x 1
gunakan identitas
m

n

sin x dan cos x
b). Untuk m dan n genap, tuliskan
menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan
2
2
cos
2
x

2
cos
x

1

1

2
sin
x
identitas
Contoh :





2
2
3
2
2
2


1

cos
x
cos
x d  cos x 
sin
x
cos
x
dx

sin
x
cos
x
sin
x
dx








 cos 2 x  cos 4 x d  cos x 

1
1
5
3
 cos x  cos x  C
5
3
MA1114 KALKULUS I

9

1  cos 2 x 1  cos 2 x
2
2
sin
x
cos
x
dx

dx

 2
2



1
2
(1

cos
2 x) dx

4



3
1
dx

cos 4 x dx


4
8



3
1
x  sin 4 x  C
4
32



1
1  cos 4 x
(1 
dx)
4
2

MA1114 KALKULUS I

10

Bentuk

m
n
m
n
tan
x
sec
x
dx
dan
cot
x
csc
xdx



Gunakan identitas

tan 2 x sec 2 x  1 , cot 2 x csc 2 x  1
serta turunan tangen dan kotangen
2
,
d
(cot
x
)


csc
x dx
d (tan x) sec x dx
2

.

Contoh
4
tan
xdx  tan 2 x tan 2 x dx  tan 2 x(sec 2 x  1)dx
a. 


2

2

 tan x sec xdx 
 tan 2 xd (tan x) 
3
1
3
MA1114 KALKULUS I

tan

2

xdx

2
(sec
 x  1)dx

 tan x  tan x  x  C
11

b.

2
4
2
2
2
tan
x
sec
x
dx

tan
x
sec
x
sec
xdx



2

2

tan x(1  tan x)d (tan x)





  tan 2 x  tan 4 x d  tan x 
1
1
5
 tan x  tan 3 x  C
5
3

MA1114 KALKULUS I

12

Soal Latihan
Hitung
1.

4
5
sin
x
cos
x dx


 /4

2.

4
2
tan
t
sec
t dt

0

4
sec
x dx
3. 

2
4
cot
w
csc
w dw
4. 

5.

3
csc
 x dx

MA1114 KALKULUS I

13

9.3 Substitusi Trigonometri
a. Integran memuat bentuk a 2  x 2 ,misal
Contoh Hitung
2


Misal

25  x
dx
2
x

x 5 sin t

dx = 5 cost dt
5
t
25  x 2



x a sin t

25  x 2
dx
2
x




25  25 sin 2 t 5 cos t dt
25 sin 2 t
25(1  sin 2 t )
5 sin 2 t

cos 2 t
2
cos tdt   2 dt  cot t dt
sin t

(csc 2 t  1)dt  cot t  t  c
x



25  x 2
1 x
 sin ( )  C
x
5

MA1114 KALKULUS I

14

b. Integran memuat bentuk a 2  x 2
Contoh Hitung

x

x
Misal

25  x 2

1
2

25  x

2

dx

x 5 tan t

dx 5 sec 2 t dt
x
tan t 
5

1
2

25  x

2

,misal

x a tan t

dx

5 sec 2 t dt


25 tan 2 t 25  25 tan 2 t

1
sec 2 t dt
1 cos t
1 d (sin(t ))
  2

dt  
25 tan t sec t 25 sin 2 t
25
sin 2 t

1

 C 
25 sin t

25  x 2
C
25 x

x

t
5

MA1114 KALKULUS I

15

c. Integran memuat bentuk x 2  a 2
Contoh Hitung

x

x
Misal

1
2

2

x  25

1
2

dx

x 5 sec t

dx 5 sec t tan t dt
x
sec t 
5

x

2

x  25

,misal

x a sec t

dx

5 sec t tan t dt


25 sec 2 t 25 sec 2 t  25

1 sec t tan t dt
1 sec t
1
 
  2 dt  cos t dt
25 sec 2 t tan t
25 sec t
25

1
 sin t  C
25

x 2  25

C
25 x

x 2  25

t
5

MA1114 KALKULUS I

16

Soal Latihan
Hitung
1.
2.
3.
4.

5.

x2

 9 x



2

2x  3
4  x2

dx
dx

8.

dx

x x2  9



7.







dx

x2 4  x2



6.

dx

9.



dx
3/ 2
2
x 9



3x dx
x 2  2x  5

5  4 x  x 2 dx

2x  1

x 2  2x  2 dx

x 2 x 2  16
MA1114 KALKULUS I

17

Substitusi Bentuk Akar
Integran memuat n ax  b

,misal

u  n ax  b

dx
Contoh Hitung
22 x



Jawab :

Misal u  x

dx
22 x



u 2 x

Dengan diferensialnya:
2udu=dx

2udu
u


du
2  2u
u 1
1
u 1  1

(
1

)du

du

u 1
u 1
u  ln(u  1)  C





 x  ln 1  x  C
MA1114 KALKULUS I

18

Soal
Latihan
Hitung
1.

x 3 x  4

dx

x 2  2x
dx
2. 
x 1

t
3. t  1 dt
4.
5.
6.

x x  1 dx
t
 3t  4 dt
2/3
x
(
1

x
)
dx


MA1114 KALKULUS I

19

9.4 Integral Fungsi Rasional


P x 
Integran berbentuk fungsi rasional : f  x 
, P(x) dan Q(x)
Q x
polinom, der (P)< der(Q)



Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :
1. Faktor linear tidak berulang.
2. Faktor linear berulang.
3. Faktor kuadratik tidak berulang. Faktor
kuadratik
4. Faktor kuadratik berulang.
definit



Kasus 1 ( linier tidak berulang )
Misal Q x  a1 x  b1 a2 x  b2 ... an x  bn





 



P  x
A1
A2
An


 ... 
Q  x
a1 x  b1
a2 x  b2
a n x  bn

maka,
dengan A1 ,

A2 , ... , An

konstanta yang dicari.

MA1114 KALKULUS I

20

Contoh Hitung
Jawab

x 1
x 2  9 dx

Faktorkan penyebut :x 2

 9 ( x  3)( x  3)

x 1
A
B
A( x  3)  B( x  3)



x 2  9  x3  x 3
( x  3)( x  3)
 x  1A x 3 B x3  A B  x    3A3B 
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan
A +B =1 x3
-3A+3B=1 x1
Sehingga

3A +3B=3
-3A+3B=1 +
6B=4

B=2/3,A=1/3

1
2
x 1
3 dx 
3 dx  1 ln | x  3 |  2 ln | x  3 | C
dx

x 2  9  x3  x 3
3
3
MA1114 KALKULUS I

21

Kasus 2 Linear berulang
Misal Q x   ai x  bi p



Maka



Ap  1
Ap
P x 
A1
A2


...

2
p 1
Q x   ai xbi   ai xbi 
 ai xbi 
 ai xbi  p

A1 , A2 ,..., Ap  1 , Ap

dengan konstanta
Contoh Hitung 

1
2

 x  2   x  1

akan dicari

dx

Jawab

1

 x2 2  x 1



A
B
C


 x2  x 2 2  x 1
MA1114 KALKULUS I

22

A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2

2
 x2  x 1
 x 2 2  x 1
1

Penyebut ruas kiri =
penyebut ruas
1( A  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  (4C  2 A  B) kanan

1 A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2

A+C=0
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1

A+B+4C=0
-2A-B+4C=1 +
-A+8C=1

A+C=0
-A+8C=1

+

9C=1

B=-1/3
A=-1/9
C=1/9

1

1
1
1
1
1
1
 x2 2  x 1 dx 9  x2 dx 3  x 2 2 dx  9  x 1 dx



1
1
1
ln | x  2 | 
 ln | x  1 | C
9
3( x  2) 9

MA1114 KALKULUS I

23

Kasus 3 Kuadratik tak berulang
Misal



Q x   a1 x 2  b1 x  c1



 

a2 x 2  b2 x  c2 ... an x 2  bn x  cn

Faktor kuadrat, berarti definit, maka

P  x
A1 x  B1
A2 x  B2
An x  Bn


 ... 
2
2


Q x
a1 x  b1 x  c1
a2 x  b2 x  c2
an x 2  bn x  cn
Dengan A1 , A2 ,..., An , dan

B1 , B2 ,...,Bnkonstanta yang akan dicari

MA1114 KALKULUS I

24



dx
Contoh Hitung  2
x x  1

Jawab

1
A B xC
  2
2
x x 1 x
x 1











1  A x 2  1  ( Bx  c) x
A+B=0
C=0
A=1



A x 2  1  ( Bx  c) x

x x 2 1





1 ( A  B) x 2  cx  A

B=-1

1
1
dx

x x 2  1 x dx 

x
 x 2  1 dx

x
x d ( x 2  1)
 x 2  1 dx x 2  1 2 x





1 d ( x 2  1)
  2
2
x 1

1
ln | x |  ln( x 2  1)  C
2
MA1114 KALKULUS I

25

Kasus 4 Kuadratik berulang



Misal Q x   ai x 2  bi x  ci



p

Maka

Ap  1 xB p  1
Ap xB p
P x 
A1 xB1
A2 xB2
 2

...

2
p 1
2
2
Q x  ai x bi xci ai x bi xci
ai x bi xci
ai x 2 bi xci



Dimana

 





A1 , A2 ,..., Ap  1 , Ap dan B1 , B2 ,...,B p  1,B p

MA1114 KALKULUS I







p

konstanta yang akan dicari

26

Contoh Hitung 
Jawab :

6 x 2  15x  22



2
x  3 x2  2





6x 2  15 x 22

 x3 x

2

2



2





dx

A
B xC DxE
 2 
 x3 x 2 x 2 2 2







 

2







A x 2 2  ( B xC ) x 2 2  x3  ( DxE )( x  3)

 x3 x 2 22

6 x  15 x  22 A x 2  ( B xC ) x 2 2 x3  ( DxE )( x  3)
2

2

2

6 x 2  15x  22 ( A  B) x 4  (3B  C ) x 3  (4 A  2 B  3C  D) x 2 

(6 B  2C  3D  E ) x  (4 A  6C  3E )

MA1114 KALKULUS I

27

Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh
A+B=0
3B+C=0
4A+2B+3C+D=1
6B+2C+3D+E=-15
4A+6C+3E=22
Sehingga

6x 2  15 x22

 x3 x 2
2

2

Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3
D=-5, E=0

1
x 3
x
dx   2 dx  5
dx
2
 x3
x 2
x 2 2

dx 









dx
1
2x
dx
5
2x

 2
dx  3 2
  2
dx
2
x 3 2 x 2
x  2 2 ( x  2)
ln | x  3 | 

1
3
5
 x 
ln( x 2  2) 
tan  1 
 C.

2
2
2
 2  2( x  2)

MA1114 KALKULUS I

28

Catatan jika der ( P ( x)) der (Q( x)) , bagi terlebih
dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga
P( x)
S ( x) , der ( S ( x))  der (Q( x))
 H ( x) 
Q( x)
Q( x)
Contoh Hitung

x3  2x 2  x  4
 x 2  4 dx

Der(P(x))=3>der(Q(x))=2

Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)
x +2
2

x  4

x3  2 x 2  x  4
x3  4x
2 x 2  5x  4

x3  2x 2  x  4
5x  4
x  2  2
2
x  4
x  4

2x 2  8

5x+4

MA1114 KALKULUS I

29

5x  4
5x  4
A
B



2
x  4 ( x  2)( x  2) ( x  2) ( x  2)


A( x  2)  B ( x  2)
( x  2)( x  2)

5 x  4  A( x  2)  B ( x  2………………………..(*)
)
Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk
Untuk x=2 dan x=-2
Untuk x = 2

5.2+4=A(2+2)

5.(-2)+4=B(-2-2)
Untuk x = -2
Dengan menggunakan hasil diatas :

A=7/2
B=3/2

x3  2 x 2  x  4
7
1
3
1
dx

(
x

2
)
dx

dx

dx
 x2  4



2 x 2
2 x2

1 2
7
3
 x  2 x  ln | x  2 |  ln | x  2 | C
2
2
2
MA1114 KALKULUS I

30

Soal Latihan
Hitung

dx
5.  2
x(x  1) 2

2x 1
dx
1.  2
x  6 x  16

5

1
2. ( x  5) 2 ( x  1) dx

x 2  2x
dx
3
2

6.
2 x  3x  4

5 x 2  3x  2
dx
3.  3
2
x  2x

x3  x2
dx
7.  2
x  5x  6

4.





2 x 2  3 x  36



2 x  1 x2  9



dx

MA1114 KALKULUS I

31

Integral Fungsi Rasional dalam sin dan cos

f (cos x, sin x)dx ?, f fungsi rasional
Cara :
Gunakan subsitusi

dt
2 x 1
sec ( 2 )
dx
2

tan 2x t, dari sini dapat diperoleh
2
dx 
dt
2
1 t

2
dx 
dt
2 x
1  tan ( 2 )

1
sin
2
2 x
1
1
sin x 2 sin 2 x cos 2 x 2
cos
cos 12 x

x
2

tan 2x
2 tan 2x
2t
2


sec 2 2x 1  tan 2 2x 1  t 2
MA1114 KALKULUS I

32

cos x 2 cos 2 12 x  1 
1 t 2

1 t 2

2
sec 2

x
2

1

2
2


1

1
2 x
2
1  tan 2
1 t

Contoh Hitung

dx
1  sin x  cos x
Jawab
Gunakan substitusi diatas diperoleh

1
1
1 t2


2
1  sin x  cos x
1 t
2t
1  t 2  1  t 2  2t
1

2
1 t
1 t2

1 t2

2(1  t )

dx
1 t2
2
1
1  sin x  cos x 2(1  t ) 1  t 2 dt 1  t dt ln | 1  t | C ln | 1  tan 2x | C
MA1114 KALKULUS I

33

Soal Latihan
Hitung
1.

dx
1  sin x  cos x

2.

dx
3  5 sin x

3.

cos x
1  cos x dx

4.

dx
sin x  tan x

5.

cot x
1  sin x

MA1114 KALKULUS I

34