6integral-stt

6. 1 Integral Tak Tentu

F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila

Contoh

dan adalah anti turunan dari karena F’(x) = f(x).

Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatu bilangan konstan.

Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu. Notasi :

I

x

x

f

x

F

'

(

)



(

)





3

3

1

)

(

x

x

F



2

)

(

x

x

f



C

x

x

F



3



3

1

)

(

f x dx

( )



F x

( )



C

6.2 Sifat-sifat integral tak tentu

A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan











C

r

x

dx

x

r r

1

.

1

1



sin

x

dx





cos

x



C

.

2

, r  -1



cos

x

dx



sin

x



C

.

3



sec

x

dx



tan

x



C

.

4

2



csc

x

dx





cot

x



C

.

B.

Sifat Kelinieran

C. Integral dengan substitusi

Misal

u

=

g

(

x

) , , dan

F

suatu anti turunan dari

f

,

maka

Contoh : Hitung

Misal u = 2x + 1





sehingga



a f x

( )



bg x dx

( )





a f x dx b g x dx



( )





( )





f

(

g

(

x

))

g

'

(

x

)

dx





f

(

u

)

du



F

(

u

)



c



F

(

g

(

x

))



c





sin 2

x



1

dx



dx

x

g

du



'

(

)

dx

du



2

_dx

_

₂1

_du





_



x



dx



sin

u

du

2

1

1

2

sin



x



C

C

u















cos

2

1

2

1

cos

2

1

Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran

(fungsi yang diintegralkan) hanya fungsi dari u

Contoh : Hitung

1

3





x

u

₃

_x

2

dx

du



₂

3

x

du

dx



Jawab : Misal

Maka



(

x

3



1

)

10

x

5

dx



(

x

3



1

)

10

x

5

dx

3

x









u

x

du

x

du

x

u

10 5 ₂ 10 3

3

1

3

Integran fungsi dr u dan x

3

x

Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta

substitusi _{dengan menggunakan hubungan}

_u

_

_x

3

_

₁

x

3

_

u

_

1

sehingga







(

x

3



1

)

10

x

5

dx



1

/

3

u

10

(

u



1

)

du



1

/

3

u

11



u

10

du



u

12



₃₃1

u

11



C

361

C

x

x











3 12 ₃₃1 3 11

Soal Latihan

A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila

5

10

3

)

(

x



x

2



x



f

)

6

7

20

(

)

(

_x

_

_x

2

_x

7

_

_x

5

_

f

f x

x

x

( )



1

₃



6

₇

f x x x x

( ) 2  3 1

3 2 2

f x

( )



x

 34

1. 2. 3. 4. 5.



x

2



4 2



3

x dx





x

2



3

x



2



2



2

x



3



dx



3

x

3

x

2



7

dx





5x2 1 5



x3  3x  2 dx



3

2 2 5

y y

dy







cos

4

2

x







2

sin

2

x dx





Selesaikan integral tak tentu berikut

6. 7. 8. 9.

10. 11.







2

x

2



25

5

x

3

dx

6.3 Notasi Sigma (



)

Notasi sigma ( jumlah ) :

Sifat dan rumus sigma

dan

...

2 1 1 n n i

i

a

a

a

a













k

k

k

k

nk

n suku i n

   







_

_

_

...

_

_

1











      n i n i n i i i i

i lb k a l b

a k

1 1 1

. 1



   n i n n i 1 2 ) 1 ( . 2



    n i n n n i 1 2 6 ) 1 2 )( 1 ( . 3



       n i n n i 1 2 3 2 ) 1 ( . 4

Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan

induksi matematika

6.4 Integral Tentu

Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang

menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [ a,b ].

b

x

x

x

a



₀



₁



...



_n



a _b

Langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang

dengan titik pembagian

}

,...,

,

,

{

a

x

₀

x

₁

x

₂

b

x

_n

P







disebut partisi dari [a,b]. 2. Definisikan panjang partisi P,

sebagai

1

1

|

|,

||

||

_















_{k k k k}

n

k

x

x

x

x

Maks

P

]

,

[

_{k 1 k}

k

x

x

c



_

3. Pilih k = 1, 2, ..., n

1

x

x

k1

x

k

k

x



k

a _b

2

x

x

k1

x

k

k

x



k

c

4. Bentuk jumlah Riemann







n k

k

k

x

c

f

1

)

(

0

||

||

P











n P

k k k

x

c

f

1 0 ||

||

lim

(

)

Jika , maka diperoleh limit jumlah

Riemann

























n

k

f

c

k

x

k

n

b

a

n

k

f

c

k

x

k

P

dx

x

f

1

(

)

lim

1

(

)

0

||

|

lim

)

(

Jika limit ini ada, maka dikatakan

f

terintegralkan Riemann pada selang [

a,b

], dan

ditulis sbg

) (c_k f

Contoh Hitung

_



2

0

2

dx

x

Jawab : Langkah

(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang

n

x



2



0 2

x

 x

x



x



1

x

x

₂ xi1

x

_i

x

n1

sehingga

0

0  x

n

x

x

₁



0







2

n.

x

x₂ 0 2 2 2

ni

i

i

x

x



0







2

……… ………

(ii) Pilih

c

_i



x

_i

(iii) Bentuk jumlah reiman

 









 







n i n

i n n

i i i

x

c

f

1 1 2

2

₂













n i n n i 1 4 4

2





    n i n i n i

n2 _{1 1}1

4 4

n

n

n

)

n

(

n

n

2

2

4

2

1

4

2



_





















(iv) Jika

n























  2 0 2

₂

2

2

_n n

lim

dx

x

Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b]

maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah

yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x

antara garis x = a dan x = b

Sifat integral tentu



p f x

q g x dx



p f x dx q g x dx

a

b

a

b

a

b

( )



( )



( )



( )







1. Sifat linear

2. Jika a < b < c, maka

f x dx

f x dx

f x dx

a

c

a

b

b

c

( )

( )

( )

f x dx

a a

( ) 



0 f x dx  f x dx

a b

b a

   ( )

3. dan

4. Bila f(x) ganjil , maka

_





a

a

dx x

f ( ) 0

5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dx

a a

a

( )  _ ( )





2

0 Contoh Hitung









3 3

2

4

_x

₇

_dx

x

x

Jawab

7 )

( )

( )

(_{ x  x  x} 4 _{  x} 2 _

f  x x4  x2 7  f (x) f(x) ganjil

0 7

3

2 4

 



Latihan

 Jika diketahui:

2 )

(

2 1





g x dx ( ) 4

0 1

 



g x dx ( ) 3

2 0





f x dx

g(x) fungsi ganjil, sedangkan f(x) fungsi genap

Hitung:



2 0

) (x dx g





2 2

) (x dx g





2 0

)] ( 5 ) ( 3

[ g x f x dx





2 2

) (x dx f





0 2

) (x dx f







2 2

)] ( 8 ) ( 6

6.6 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

6.6.1 TDK I

Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x). Maka

Contoh Selesaikan integral tentu

Jawab : Misal u = 2x  du = 2 dx. Maka

Sehingga

f x dx F b F a

a b

( )  ( )  ( )



 

sin 2

2

x dx







 



cos

2

cos



1

2

1

2

cos

2

1

2

sin

2 /

2





















  



x

dx

x

c x dx

x  



cos2

2 1 2

Contoh hitung





5 1

| 2

| x dx

Jawab :

  

 



 

 



2 2

2 2

2

x , ) x

(

x , x

| x

| ) x ( f























 

5

1

2

1

5

2

2

2

2

|

dx

x

dx

x

dx

x

|

5

2 2

2 1 2 1 2

21

x



2

x



x



2

x





= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) ) = ½+9/2 = 5

6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)

 Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],

maka Secara umum

)

(

'

))

(

(

)

(

) (

x

u

x

u

f

dt

t

f

D

x u a

x

_



















)

(

)

(

t

dt

f

x

f

D

x

a

x

_



















)

(

'

))

(

(

)

(

'

))

(

(

)

(

) ( ) (

x

u

x

u

f

x

v

x

v

f

dt

t

f

D

x v x u

x

_























 

2

4

3

1 )

(

x

dt t

x G







x

dt t x

G

1

3

1 )

(

.

Contoh Hitung G’(x) dari

a. b.

Jawab

a.

_f

₍

_t

₎

_

₁

_

_t

3

_G

_'

₍

_x

₎

₁

_x

3





b.

_f

₍

_t

₎



₁



_t

3

2

)

(

x

x

u



) ( )

( 1 )

(

' _{x x}2 3 _{Dx x}2

G  

6

1

2

x



x



B. Untuk soal 1 s/d 4 hitungf x dx( )

0 5



f x

x

x

x

x

( )

,

,





 



 







2 0

2

6

2

5

f x

x x

x

x x

( )

, , ,



   

  

    

0 1

1 1 3

4 3 5

1.

2.

3. f(x) = |x -1|

3 1 3

4

2

)

(

x

x

x

f





Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut

3 2 3 1 1

0

x x  dx





8 7 2 2 3

3

t  t dt





x

x x

dx

2 3 1

3 ₁

3  



sin cos

/

2 0

2

3x 3x dx









2

0

sin

x

dx

dx x

x

  

8 0

8 6

2

5. 6.

7.

8. 9.

Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari

_G

_'

₍

_x

₎

G x

t dt

x

( ) 





1

1 2 1

G x

t dt

x x

( ) 





1 1

2

2

G x t dt

x

( )  sin





2 2

1

2



x s ds

x G



) 2 tan( )

(

dt

t

x

G

x



_



3

0

1

3

1

)

(

11.

12.

13. 14.

16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dt t

t x

f

x



_



0

2

1 1 )

(

Jika f kontinu pada tentukan f(4). 

_

 

2

0

) 1 (cos

) ( dan

] , 0 [

x

x x

dt t

f



17.

dt t x x

f

x



_{ }

 

2

4 2 2

3 1

) ( dan ]

, 2

[ f '(2)

Jika f kontinu pada , tentukan

.

18.

Hitung

_





x

x

t

dt

t

x

₀ 4

2 3

0

6

1

1

lim

6.6.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)

 Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],

maka Secara umum

)

(

'

))

(

(

)

(

) (

x

u

x

u

f

dt

t

f

D

x u a

x

_



















)

(

)

(

t

dt

f

x

f

D

x

a

x

_



















)

(

'

))

(

(

)

(

'

))

(

(

)

(

) ( ) (

x

u

x

u

f

x

v

x

v

f

dt

t

f

D

x v x u

x

_





















19



 

2

4

3

1 )

(

x

dt t

x G



 

x

dt t x

G

1

3

1 )

(

.

Contoh Hitung G’(x) dari

a. b.

Jawab

a.

_f

₍

_t

₎

_

₁

_

_t

3

_G

_'

₍

_x

₎

₁

_x

3





b.

_f

₍

_t

₎



₁



_t

3

2

)

(

x

x

u



) ( )

( 1 )

(

' _{x x}2 3 _{Dx x}2

G  

6

1

2

x



x

B. Untuk soal 1 s/d 4 hitungf x dx( )

0 5



f x

x

x

x

x

( )

,

,





 



 







2 0

2

6

2

5

f x

x x

x

x x

( )

, , ,



   

  

    

0 1

1 1 3

4 3 5

1.

2.

3. f(x) = |x -1|

3 1 3

4

2

)

(

x

x

x

f





21

Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut

3 2 3 1 1

0

x x  dx





8 7 2 2 3

3

t  t dt





x

x x

dx

2 3 1

3 ₁

3

 



sin cos

/

2 0

2

3x 3x dx









2

0

sin

x

dx

dx x

x

   8

0

8 6

2

5. 6.

7.

8. 9.

Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari

_G

_'

₍

_x

₎

G x

t dt

x

( ) 





1

1 2 1

G x

t dt

x x

( ) 





1

1

2

2

G x t dt

x

( )  sin





2

2 1

2



x s ds

x G



) 2 tan( )

(

dt

t

x

G

x



_



3

0

1

3

1

)

(

11.

12.

13. 14.

23

16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dt

t t x

f

x



_

 0

2

1 1 )

(

Jika f kontinu pada tentukan 

_

  f(4).

2

0

) 1 (cos

) ( dan

] , 0 [

x

x x

dt t

f



17.

dt t x x

f

x



_{ }

 

2

4 2

2

3 1

) ( dan ]

, 2

[ f '(2)

Jika f kontinu pada , tentukan

.

18.

Hitung

_





x

x

t

dt

t

x

₀ 4

2 3

0

6

1

1

lim