4turunan-stt

(1)

(2)

4.1 Konsep Turunan

c

x

c

f

x

f

m

_PQ





(

)

(

)

4.1.1 Turunan di satu titik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

a. Garis Singgung

Kemiringan tali busur PQ adalah :

f(c) P

f(x) Q

x-c

f(x)-f(c)

Jika x  c , maka tali busur PQ akan

berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

c

x

f(c)

f(x)

(3)

 b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

 Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

c+h

Perubahan waktu Perubahan

posisi

f(c) f(c+h)

c f h c f

(4)

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:

bila limit diatas ada

c f h

c f v

h rata rata h

) ( )

( lim lim

0 0

  



 



c

x

f(c)

f(x)

v







lim

) ( ' c f

c

x

f(c)

f(x)

c

f







lim

)

(

'

(5)

Notasi lain :

Contoh : Diketahui tentukan

) ( ' , ) (

c y dx

c df

x ) x (

f 1









3 x

)

f(

f(x)

lim

)

f'(

x 3

3 1 1

lim

3 _



 x









x(x

)

x

3 lim

9

1

3

1 lim









x

)

3 (

'

f

)

x(x

x

3 )

3 (

lim



(6)

4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika

sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

)

c

(

f

)

c

(

f

_'



_'

c x

c f x

f c

x 

 



 

) ( )

( lim )

(

c

x

f(c)

f(x)

(c)

f

c x '











lim

)

(

'

c

f

)

c

(

f

)

c

(

f

)

c

(

'f



_{_}'



_'

dan

(7)

Contoh : Diketahui















1 ,

2

1 ,

3 )

(

x

f

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1

Jika ya, tentukan

Jawab :

Jadi, f diferensiabel di x=1.

dan

f

(

1 )



1 .

) 1 ( ' f 1 1 1 1       x ) ( f ) x ( f lim ) ( f x ' 1 1 2 1 3 2 1        x ) ( x x lim x 1 2 1     x x x lim

x 1 1

1 1      x ) x ( x lim x 1 1 1 1       x ) ( f ) x ( f lim ) ( f x ' 1 1 2 1 2 1 1       x ) ( x lim x 1 2 2 1     x x lim x 1 1 1 1 2 1     

 ( x )( x )

x lim

(8)

 Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c _f kontinu di c.  Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

 Perhatikan bahwa

 _Maka

 Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c,

maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

)

(

)

(

lim

f

x

f

c

x



c x c x c x c f x f c f x

f  

    ( ) ( ) ( ).( ) , ) (









 

(

)

(

)

(

)

(

lim

)

(

lim

x

c

x

c

f

x

f

c

f

x

f

c x c x

)

(

lim

.

)

(

)

(

lim

)

(

lim

x

c

x

c

f

x

f

c

f

c x c x c







   0 ). ( ' )

(c f c

f 

(9)

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab

Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

  

 

 



0 ,

| | ) (

x x

)

x

(

f

lim

x0

0  



 ( x )

lim

)

x

(

f

lim

x0

0 



 x

lim

_lim

₍

₎

₀





f

x

) 0 ( )

( lim

0 f x f

x 

f(0) = 0

 



(10)

0 0 0

0 

 



 

) ( f ) x ( f lim )

( f

' 0 ₁

0 

 

  



 x

x lim x

x lim

x x

0 0 0

0 

 



 

) ( f ) x ( f lim )

( f

' _.

x x lim x

x lim

x 1

0  

 

 

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0

1 )

0 ( )

0 (

1  '  ' 

 f_ f_

Karena

(11)

Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1 ;

  

  



1 ,

) (

x ax

x b

x x

). ( lim )

( lim )

1 (

1 f x f x f

x x_   _ 



Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)

b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup)

f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau

1 1

lim lim

1 2

1         





 x b ax a b a b a

x x

(12)

1 )

1 (

)

(

lim

)

1 (

1 '





  

x

f

x

f

x 2 ) 1 ( ) 1 ( ' '    _

 f a

Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.

1

2 1









x

a

b

x

lim

1

2 1









x

a

)

a

(

x

lim

x 1 1 2 1     x x lim x 1 1 1 1      x ) x )( x ( lim



lim

_₁

x



1 

2

1 )

1 (

)

(

lim

)

1 (

1 '





  

x

f

x

f

x ₁  1

   x a ax lim

x x a

x lim a

x  

 

 1

(13)

Soal Latihan

f x a x x

x bx x

( ) ;

;

   

 

  

3 0 1

f x ax b x

x x

( ) ;

;

  

 

  

2 2 1 2

f x x x

ax b x

( ) ;

;

  

 

   

2 ₁ ₃

2 3

Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan.

, x = 1 ,x = 2

,x = 3 1.

(14)

4.2 Aturan Pencarian Turunan

 Fungsi Turunan Pertama

 Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan

pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

 atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

 Notasi lain , bentuk dikenal

sebagai notasi Leibniz.

   

 

 t x x

x f t

f x

t ,

) ( )

( lim )

   

 

 h x

x f h

x f x

h ,

) ( )

( lim )

) ( ,

, ) ( ,

,' D y D f x

dx x df dx dy

y _x _x

dx dy

)

(

'

x

f

(15)

 Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan

untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka 2.

5. dengan g(x) 0.

 

_r_x _r _R

dx x

d r _r



 1 ;





_f _(x) _g _(x)

g(x) f(x)

d  _ ' _ '





) ( )

( )

( ) ( )

( )

( _' _'

x g x f x

g x f dx

x g x f d

 





)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

' '

) ( ) (

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

d

f x _g _x

_



_

0 )

(

'

x



f

(16)

Bukti aturan ke-4 Misal h(x) = f(x)g(x)

h x h h x h x h h ) ( ) ( lim ) ( ' 0     h x g x f h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0      h x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0                         h x f h x f h x g h x g h x g h x f h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 h x f h x f h x g h x g h x g h x f h h h h ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( lim 0 0 0 0             ) ( ' ) ( ) ( ' )

(x g x g x f x

f  

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

x

g

x

f

x

g

x

f



(17)

1 3 ) ( ₂    x x x f 2 2 2 2 1 2 6 1 ) x ( x x x      2 2 2 1 3 2 1 1 ) x ( ) x ( x ) x .( ) x ( ' f     

3.Tentukan turunan pertama dari

. ) x ( x x 2 2 2 1 1 6      Contoh

1. Tentukan turunan pertama dari _f (_x) __x3 _3_x2 _4

Jawab : 0 2 . 3 3 ) ( ' 2  

 x x

f _3x2 _ 6x

2. Tentukan turunan pertama dari _f (_x) _(_x3 _1)(_x2 _2_x_3)

Jawab : ) 2 2 )( 1 ( ) 3 2 ( 3 ) (

' 2 2 3

 

  

 x x x x x

x f 2 2 2 2 9 6

3 4 _ 3 _ 2 _ 4 _ 3 _ _

 x x x x x x

2 2

9 8

5 4 _ 3 _ 2 _ _

 x x x x

(18)

Soal Latihan

Tentukan fungsi turunan pertama dari

)

1

2 (

)

1 (

)

(

x



x



x



x



f

1 )

(







x

f

1 )

(

₂





x

f

1 )

(

₂







x

f

1 )

(

x



x

1/2



x



f

(19)

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Bukti:

a. Misal f(x) = sin x maka

x

f

x

f

a

.

(

)



sin



'

(

)



cos

x

f

x

f

b

.

(

)



cos



'

(

)





sin

x t

x f

t _

 



sin sin

lim )

( '

) 2 (

) 2 sin( lim

). 2 cos( lim

2 t x

x t x

t 

 



  

x t

x t x

t _

   

   

  

   



2 sin

2 cos 2 lim

. cos 1

cos x  x

(20)

b. Misal f(x) = cos x maka

h

x

h

x

f

cos

)

cos(

lim

)

(

'







 h x x x h cos sinh sin cosh cos lim 0     h x x h sinh sin ) 1 (cosh cos lim 0     h x h h x h sinh sin ) 2 sin ( cos lim 2 0     ) sinh sin 4 ) 2 / ( ) 2 sin ( cos ( lim ₂ 2

0 h x h

h h x h     h x h h h x h h sinh lim sin 4 2 / ) 2 / sin( lim cos 0 2 0 ) 2 / (  _         x x

x.0 sin sin

cos  

(21)

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan

menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

_

_

_

_

dx

d

dx

x

d

c

cos sin

tan

.



x 2 _x x

2 2

cos sin cos  

x 2

cos 1



_

_sec

_x









dx d

dx x d

d x

sin cos

cot

. 

x x

2 2

sin

cos

sin 

 

sin 1 



_

_

csc

x









dx d dx

x d

e. sec  1cosx

x x

2 cos

sin



x x

cos 1 cos

sin



tan

x

sec

x









dx d dx

x d

f . csc  1sinx _sin2 _xx

cos

 

x x

sin 1 sin

cos



(22)

4.4 Aturan Rantai



Andaikan

y

=

f

(

u

) dan

u

=

g

(

x

). Jika dan ada

,

maka

Contoh : Tentukan dari Jawab :

Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena

dan

maka

dx du du dy dx



du

dy

dx

du

dy _sin( 2 ₁₎



 x

1 _



x

u

x dx

2 

u

y



sin

u

du

dy

cos



)

1 cos(

2 



x

dx

dy

2 )

1 cos(





(23)

dx dv dv du du dy dx





Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dx dv dv

du du

, _{Ada, maka}

Contoh : Tentukan

dx

dy

4₍ 3 ₅₎

 Sin x

y dari

5 



x

v

_dx

dv



3 x

Jawab :

Misal



u = Sin v __cos_v __cos(_x3 _₅₎

dv du

u

y



₄ 3 ₄ 3₍ 3 ₅₎

 

 u Sin x du



sehingga

) 5 (

12 .

. 2 3 3 3

 



 x Sin x Cos x

dx dv dv du du dy dx

(24)

 Contoh : Tentukan

jawab :

0 ,

1 ))

(

)

(

'

_f

_x

_

_x

_

_x

_

dx

d

jika

x

f

2 2 ₎₎ __x _

x ( f ( dx

x x x

2 1 )

( '

2 2 _  

1

2 _

_

(25)





y



2 x



3 y



sin

3 x



x



y



cos

4 

1 







x

y

Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x2_{+ 1 ]}

Soal Latihan

y

x









2 2

2

5

2

3 



)) d(f(cos(x

3

2 jika

)),

(cos(x

f'

Tentukan



(26)

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

 Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

 Turunan pertama  Turunan kedua  Turunan ketiga  Turunan ke-n

 Contoh : Tentukan dari  Jawab :

 

f x df x dx ' ( ) 

 

2 2

) ( "

dx x f d x

f 

 

3 3

) ( ' "

dx x f d x

f 

 

n n n

dx x f d x

f ( ) 



(

)



)

(

( 1)

)

(

_f

_x

dx

d

x

f

n n



x

y



4 

sin

x

y

'



12 

cos

maka

y

'



24 x



sin

x

''

y

(27)





y



sin 2

x



1 



y  2x  3 4

y

x





1  

y



cos



x

f "( )c 0

_{f x}

_{( )}

_

_x

_

₃

_x

_

₄₅

_x

_

₆

g x

( )



ax



b x c



3 ) 1 (

' 

g _g _''₍₁₎ __ ₄ A.Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan

Soal Latihan 1.

(28)

4.6 Turunan Fungsi Implisit

 Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam

bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

 Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan

aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10 .

1 x

y



x



y



1 )

sin(

.

(29)

Jawab ) 10 ( ) ( ) ( )

( 3 2 2

x x

x x y D x D y D

D   

0 ' 2 ) ' 2 3

( 2 2 3

 



 x y y x y

y x

2 2 3 ₁₎ _' ₂ ₃

( x y  y  x x y

1 2 3 2 ' ₃ 2 2     y x y x x y ) 10 ( ) ( .

1 3 2 2

x x x y x y D

D   

0 ' 2 2 ) ' ( )

cos(xy y  xy  x  yy 

) cos( 2 ' ) 2 ) cos(

(x xy  y y  x  y xy

y xy x xy y x y 2 ) cos( ) cos( 2 '     ) 1 ( ) ) sin( ( .

2 _D _xy __x2 __D _y2 _ x

10 .

1 x3y2  x2  y  2. sin( ) 2 2 1

   x y

(30)

y

 

y



sin

xy



1 x

3 

3 x y y

2 

2 

0

Tentukan turunan pertama ( ) dari bentuk implisit

tan ( x y ) - 2 y = 0

Soal Latihan

x

y

xy

x

sin(

)





(31)

4.7 Garis singgung dan garis normal



Persamaan garis singgung fungsi

y

=

f

(

x

) di titik (

x

₀

,

y

₀

)

dengan kemiringan

m a

dalah

y – y

=

m

(

x

–

x

).



Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut

dengan garis normal.



Persamaan garis normal di titik (x

₀

,y

₀

) adalah

).

(

1 x

m

y







(32)

4

2 .

4

2 .

3 )

6 ,

2 (

'

4

3 '



x



x



y







y

2

4 



x

y

)

2 (

4

6 



x

y

2

1

4

1

6 )

2 (

4

1

6 















x

y

x

y

. 2 13 4

1  

 x

y Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal

fungsi di (2,6).

2 2

3 _ _

x x

(33)

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

0

6 _y

_

_xy

_

_

x

di titik dengan absis( x) = 1

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

0

6 



y



₍

y



₃

₎₍

y



₂

₎



₀

) 0 ( )

6 ( 2 2

x x y xy D

D   

_

y = 3 dan y = -2 Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan

persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu

y

'

dengan menggunakan turunan fungsi implisit

0 )

'

(

'

2 xy



x

yy



y



xy





0 '

2

(34)

₎

_'

₂

2 (

x

y



x

y



y



xy

x y x

xy y

 

 ₂

2 2 '

Di titik (1,3)

3 5

15 1

3 . 1 . 2

9 . 1 . 2 3

|'₍₁_,₃₎   

 

Persamaan garis singgung

3 3 )

1 ( 3

3   

 x x

6 3x y 

Persamaan garis normal

3 1 3 1 ) 1 ( 3 1

3   

 x x

3 

 y x

(35)

Di titik (1,-2)

2 5

10 1

) 2 .( 1 . 2

4 . 1 . 2 2

|'₍₁_, ₂₎ 

   

   



Persamaan garis singgung

2 )

1 (

2 









x

y

4

2 x



y



Persamaan garis normal

2 1 2

1 )

1 (

2 1

2    

 x x

3

2 





y

(36)

4.8 Diferensial dan Hampiran

 4.8.1 Diferensial

 Jika ada, maka

Untuk sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni ,

 Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka

Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah

x y x

x f x

x _

 

    

  

 0 lim0

) ( )

( lim )

( '

x xx x

 f x y f x x

x y

 

 

) ( ' ,

) ( '

x dx 

dx x f

dy '( )

) ( ' x f

(37)

4.8.2 Hampiran

 Perhatikan kembali gambar sebelumnya,

 Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x

ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri oleh

dy .

 Jadi , (*)

 Contoh : Hampiri

 Jawab : Pandang,

Dengan pers (*)

x

f

x

f

dy

x

f

x

f

(





)



(

)





(

)



'

(

)



₂₈

3 27 27

) 27 ( )

( ₃ 3

1 3

 

 

x f

x f

27 1 )

3 ( 3 1 )

27 ( 3 1 ) 27 ( ' 3

1 )

(

' 3

2 3 3

2 3

 

 

 x f  

x f

) 27 28

)( 27 ( ' )

27 ( )

(  f  f 

(38)

Soal Latihan

 

y



sin

xy



1

1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di(,1)

10

2. Gunakan diferensial untuk menghampiri a.

3 ) 0 ( ' , 0 ) 0 ( , 2 ) 0 (

'  g  g 

f ( f  g)'(0).

(1)

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

0

6 _y

_

_xy

_

_

x

di titik dengan absis( x) = 1

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

0

6 



y



₍

y



₃

₎₍

y



₂

₎



₀

)

0 (

)

6 (

2 2

x

y

xy

D





_

y

= 3 dan

y

= -2

Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan

persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah

(1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu

y

'

dengan menggunakan turunan fungsi implisit

0 )

'

(

'

2 xy



x

yy



y



xy





0 '

2

(2)

₎

_'

₂

2 (

x

y



x

y



y



xy

x

y

x

xy

y





₂

2 '

Di titik (1,3)

3 5

15 1

3 . 1 . 2

9 . 1 . 2 3

|'₍₁_,₃₎   

 

Persamaan garis singgung

3 3 )

1 ( 3

3   

 x x

6 3x y 

Persamaan garis normal

3 1 3 1 ) 1 ( 3 1

3   

 x x

8 3   y x

(3)

Di titik (1,-2)

2

5

10

1 )

2 .(

1 .

2

4 .

1 .

2 |'

₍₁_, ₂₎













y

Persamaan garis singgung

2 )

1 (

2 









x

y

4

2 x



y



Persamaan garis normal

2 1 2

1 )

1 (

2 1

2    

 x x

3

2 





y

(4)

4.8 Diferensial dan Hampiran



4.8.1 Diferensial

 Jika ada, maka

Untuk sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni ,

 Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka

Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah

Diferensial dari y , dinyatakan dengan dy, adalah

x y x

x f x

x _

 

    

  

 0 lim0

) ( )

( lim )

( '

x xx x x



f

x

y

f

x

y











)

(

'

,

)

(

'

x

dx





dx

x

f

dy



'

(

)

) ( ' x f

(5)

4.8.2 Hampiran

 Perhatikan kembali gambar sebelumnya,

 Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x

ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri oleh

dy .

 Jadi , (*)  Contoh : Hampiri

 Jawab : Pandang,

Dengan pers (*)

x

f

x

f

dy

x

f

x

f

(





)



(

)





(

)



'

(

)



₂₈

3 27 27 ) 27 ( )

( ₃ 3

1 3 1    

x f

x f

27

1 )

3 (

3

1 )

27 (

3

1 )

27 (

'

3

1 )

(

'

3 2 3 3 2 3 2







x



f

 

x

f

)

27

28 )(

27 (

'

)

27 (

)

28 (



f



f



f

.

27

1

3 

(6)

Soal Latihan

 

y



sin

xy



1 1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di

(



,

1 )

10

33 2. Gunakan diferensial untuk menghampiri

a. b.

3 )

0 (

'

,

0 )

0 (

,

2 )

0 (

'



g



g



f

(

f



g

)'

(

0 ).