Baris dan deret aritmatika (2)

BARISAN DAN DERET
ARITMETIKA

By : Tri
Wahyuningsih
A 410 060 292

A. Barisan
Aritmetika

• Definisi

Barisan aritmetika adalah suatu
barisan bilangan yang selisih setiap
dua suku berturutan selalu
merupakan bilangan tetap (konstan).

• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda
dan dilambangkan dengan b.
• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan
berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 2, 8, 14, 20, ...
Barisan
Aritmetika
c. 30, 25, 20, 15, ...

Contoh :
a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
+3

+3

+3

+3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh
dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat
dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ...
+6

+6

+6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh
dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat
dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b =
6.

c. 30, 25, 20, 15, ...
–5

–5

–5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh

dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat
dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai
berikut.

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu
barisan aritmetika maka berlaku b
= Un – Un – 1.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika
1
dengan suku pertama
(U ) dilambangkan
dengan a dan beda dengan b dapat
ditentukan seperti berikut.

U =a
1
U 2 = U 1+ b = a + b
U3 = U 2+ b = (a + b) + b = a + 2b
U 4 = U 3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b
4
5
.
.
.
U = U + b = a + (n – 1)b
n 1
Jadi,n rumus suku ke-n dari barisan aritmetika
adalah
Keterangan: Un = suku ke-n
Un = a + (n –
a = suku
pertama
1)b
b = beda
n = banyak suku

Contoh 1 :
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3,

2, 7, 12, ....
Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan
bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :
Un= –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U
= –3 + (20 – 1)5 = 92.
20

Contoh 2 :
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Tentukan banyak suku barisan tersebut.
Jawab:
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–
2) = 3,dan
U = 40.

n
Rumus
suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;
n
40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah
15.

B. Deret Aritmetika
• Definisi
Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan
suku-suku dari suatu barisan aritmetika.
n
U1 + U2 + U3 + n... + U disebut deret
aritmetika, dengan U = a + (n – 1)b.
• Deret aritmetika adalah jumlah n suku
pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku

pertama dari suatu barisan bilangan
n
dinotasikan S . n
n
Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... +
U . Untuk
memahami langkah-langkah
n
menentukan rumus S , perhatikan contoh
berikut :

Contoh 1
:
Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,
14. Tentukan jumlah kelima suku barisan
tersebut.

Jawab:
Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat
dituliskansebagai berikut.

5
S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14
5 + 11 + 8 + 5 + 2
S = 14
2S 5= 16 + 16 + 16 + 16 + 16
5
2S =
5 x 16
S = 5

5 16
S 2= 40

5

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut
adalah 40.

Menentukan rumus umum untukn S
sebagai berikut. Diketahui rumus

umum suku ke-n dari barisan
aritmetika adalah
n
U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,
1
U2= a
= an
U = a + b = U – (a – 2)b
3
n
U = a + 2b
= U – (n – 3)b
.
.
.
.
.
.
.
.

.
n
n
U = a + (n – 1)b = U

Dengan demikian,
diperoleh ;
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)
= a + (Un – (n – 2) b) + (U
n
n – (n – 3) b) + ... + U
............ (1)
Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku
adalah b kurang dari suku berikutnya.
U n  1 = U n– b
U n  2 = U n  1– b = U n
– 2b
Un  3 = U n  2 – b = U n– 3b
Demikian seterusnya sehingga
S dapat dituliskan

n
Sn = a + (Un – (n – 1)b) + … + (U
– 2b) + n(U – b) +n
n
U
.......... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan,
diperoleh ;
S n = a + (U n – (n – 2)b) + (U n – (n – 3)b) + ... +Un
S n = U n + (U n– b) + (U n– 2b) + ... + a
2Sn = (a + Un ) + (a + Un )+ (a + Un ) + ... + (a +
U )
n suku

n

n

Dengan demikian, 2S = n(a + U )
S =

1
n
2n(a + U )

n
S =

1
2n(a + (a + (n – 1)b))

n
S =

1
2n(2a + (n – 1)b)

n

n

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama
deret aritmetika adalah

S = n(a + U) atau
S =n [2a + (n –
1)b]

Keterangan:
S = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
U = suku ke-n
n = banyak suku

Contoh 2:
Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4
+ 6 + 8 +....

Jawab:
Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
S 100=

1
x 100 {2(2) + (100 – 1)2}
2

= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut
adalah 10.100.

Contoh
3:

Hitunglah jumlah semua bilangan asli
kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100
adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh
a = 3, b = 3, dan U
n = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
Un = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99
n = 33
Jumlah dari deret tersebut adalah

1
S n=
n (a + U n)
2
1
S 33 =
x 33(3 + 99)
2
= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang
kurang dari 100 adalah 1.683