Fungsional Aditif Ortogonal pada W0(E) di dalam Rn | Riyadi | 7515 15884 1 SM
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Fungsional Aditif Ortogonal pada W0(E) di dalam Rn
Riyadi
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret
Abstract
This paper discusses about a representation theorem of an orthogonally additive functional
on W0(E) M(E), that is a collection of all McShane integrable functions on a cell E= a, b in
n
Euclidean space R , which satisfies some certain properties. This result is a generalization of Chew
result.
Key words : orthogonally additive functional, McShane integrable, Euclidean space Rn.
PENDAHULUAN
Penelitian yang membahas tentang fungsional linear dan fungsional aditif ortogonal
telah banyak dilakukan oleh para peneliti terdahulu, diantaranya telah dilakukan oleh
Hildebrandt (1966), Chew (1985), Paredes (1993) dan Aye dan Lee (2002a, 2002b,
2003). Chew (1985) dan Lee (1989) membahas tentang representasi fungsional linear
dan fungsional aditif orthogonal yang bekerja pada ruang fungsi yang terintegral
Henstock, yang didefinisikan pada interval [a,b] R. garis lurus. Sedangkan Paredes
(1993) berhasil menggeneralisasikan hasil-hasil yang diperoleh Chew dengan cara
mengembangkan ruang fungsi baru yang merupakan abstraksi dari ruang fungsi yang
telah didefinisikan Chew, namun ruang fungsi tersebut juga masih didefinisikan pada
interval [a,b] R.
Hildebrandt (1966) membahas tentang representasi fungsional linear kontinu pada ruang
BV[a,b], ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b]. Sedangkan, Aye dan
Lee (2002a, 2002b, dan 2003) membahas tentang fungsional aditif ortogonal yang bekerja pada
ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b].
Makalah ini merupakan generalisasi dari hasil Chew (1985), khususnya generalisasi tentang
representasi fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi W0 dengan :
119
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
1x
Wo = f m1, : f 0 untuk x
x1
yang semula didefinisikan pada ruang fungsi yang terintegral Lebesgue yang didefinisikan pada
interval [a,b] R digeneralisasikan untuk ruang fungsi yang terintegral McShane yang
didefinisikan pada sel a, b di dalam ruang Euclide Rn.
TEORI-TEORI DASAR
Fungsional T pada ruang fungsi X dikatakan aditif ortogonal jika T (f + g) = T (f) + T (g)
asalkan f, g X, f dan g mempunyai support yang saling asing. Support fungsi f X, ditulis supp(f)
didefinisikan supp(f)=x dom(f) :f(x) 0.
Berdasarkan pengertian ini diperoleh bahwa dua fungsi f dan g dikatakan mempunyai support
yang saling asing jika f(x)g(x)=0 untuk setiap x.
Dalam makalah ini, R menyatakan koleksi semua bilangan real, P(E) menyatakan koleksi
semua partisi Lebesgue pada E dan M(E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral
McShane pada sel E= a, b . Telah diketahui bahwa M(E) merupakan ruang linear dan ruang
integral mutlak.
Teorema 2.1.
Diketahui E= a, b sel dan M(E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral McShane
pada sel E. Jika f M(E) maka terdapat barisan fungsi sederhana s n pada E sehingga
sn x f x hampir di mana-mana pada E untuk n dan s n f untuk semua n.
Teorema 2.2.
Diketahui E= a, b sel dan f n , f : E R untuk setiap n. Jika :
120
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
(i)
f n f hampir di mana-mana untuk n dan f n M(E) untuk setiap n.
(ii)
f n M hampir di mana-mana pada E untuk setiap n dan suatu bilangan M0.
maka f M(E) dan lim
n
f
E
n
f .
E
HASIL DAN PEMBAHASAN
Karakteristik Ruang Fungsi Wo(E)
Di dalam makalah ini, Rn menunjukkan ruang Euclide dimensi n, R menunjukan sistem
bilangan real dan
R
menunjukan sistem bilangan real yang diperluas. Diketahui
b b1 , b2 , , bn Rn, b dikatakan menuju tak hingga, ditulis b , jika min bi .
Definisi 3.2.
McShane pada 1, b . Didefinisikan ruang W (E) sebagai berikut :
Diketahui E = 1, b Rn dengan b > 1 dan f : 1, b R fungsi terukur dan terintegral
0
b
1
f 0 .
b [ 1 , b ]
1
W0(E) = f M 1 , : lim
Teorema 3.3.
b
1
W0(E) merupakan ruang Banach terhadap norma f sup
:
f
b
1
.
[1 , b ] 1
Bukti : Dalam hal in hanya akan ditunjukkan bahwa W0(E) lengkap. Ambil sebarang barisan
Cauchy f n W0(E), yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N1 sehingga jika n,m
N1 berlaku f m f n <
.
2
Ambil sembarang x E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I , sehingga
x
merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi fm, fn M(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka
fm - fn M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka | fm - fn | M(E). Oleh karena itu
121
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
untuk setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E sehingga untuk setiap partisi McShane
pada E berlaku :
P = I ,
E
f x f x d P f f I < 2
m
m
m
n
E
1
1
f m x f m x d
P f m f n I <
E E
E
2
1
1
f m x f n x d + < + =
P f m f n I <
E E
2 2 2
E
Akibatnya berlaku
1
f m f n I < untuk setiap , I P(E), khususnya untuk
E
x, I P(E) berlaku: I
E
Hal ini berarti barisan
f m x f n x < atau f m x f n x <
E
untuk setiap > 0.
I
f n x merupakan barisan Cauchy di dalam R, oleh karena itu terdapat
fungsi f yang terintegral McShane pada 1, b dengan b > 1 sehingga f n f hampir di mana-
mana pada 1, b , yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N2 sehingga jika n > N2
berlaku : f n f , hal ini berakibat :
b
1
b
f n f < = 1, b , untuk setiap b > 1
1
b
1
sup
:
f
f
b
1
b
1
1 f = 0, hal ini berarti f Wo. Jadi Wo lengkap, oleh karena itu Wo
b [ 1 , b ]
0. Jadi lim
merupakan ruang Banach.
Teorema 3.4.
Diketahui E = 1, b Rn sel dengan b > 1 . Norma || . || pada ruang Wo(E) seperti
dimaksud pada Teorema 3.3.memenuhi sifat : Jika barisan
suatu fungsi f Wo(E) maka terdapat barisan bagian
f n Wo(E) konvergen norma ke
f f dan h W (E) sehingga
n i
o
n
f n i f hampir di mana-mana pada 1, b dan f n i h untuk setiap ni .
Bukti : Ambil sembarang barisan
f n Wo(E) sehingga f n konvergen norma ke suatu
fungsi f Wo(E), yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N 1 sehingga jika n N 1
berlaku : f n f < …..………..…... *
Ambil sembarang x E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I , sehingga
x
merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi fn, f M(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka fn
- f M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka | fn - f | M(E). Oleh karena itu untuk
setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E sehingga untuk setiap partisi McShane P
pada E berlaku:
= I ,
f x f x d P f f I
n
E
n
<
E
2
1
1
f n x f x d
P f n f I <
E E
E
2
1
1
f n x f x d +
< + =
P f n f I <
E E
2
2 2
E
123
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Akibatnya berlaku
1
f n f I < untuk setiap , I P(E), khususnya untuk
E
x, I berlaku : I
E
berarti barisan
f n
f n x f x < atau f n x f x <
E
untuk setiap > 0. Hal ini
I
konvergen titik demi titik ke fungsi f
hampir di mana-mana pada E
..……………………..……………. **
Berdasarkan (*),untuk setiap bilangan asli i terdapat bilangan asli N i sehingga jika n(i)
N i berlaku :
f n i f < 2 i untuk setiap i
Akibatnya diperoleh :
i 1
f n i f n i 1
i 1
f n i f +
<
2 i +
i 1
i 1
2
i 1
f n i 1 f
0 terdapat bilangan asli N2 sehingga jika i N2 berlaku
iN2
f n i f n i 1 < .
Selanjutnya dibentuk barisan-barisan
g m
dan hm dengan
g m f n i f n i 1 dan
m
i 1
m
hm f n i f n i 1 . Jelas bahwa g m , hm Wo(E) untuk setiap m. Selanjutnya ambil
i 1
sembarang m, n dan tanpa mengurangi arti dapat dianggap
gm gn =
f f f f
m
n i
i 1
n
m
i n 1
n i 1
n i
i 1
n i 1
m > n, diperoleh :
f f
m
=
n i
i n 1
n i 1
f n i f n i 1
Khususnya, jika m > n N2 berlaku :
124
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
m
gm gn
i n 1
f n i f n i 1
iN2
f n i f n i 1 < .
Hal ini berarti bahwa barisan g m merupakan barisan Cauchy di dalam Wo(E) yang lengkap. Jadi
f f
konvergen.
n i 1
n i
i 1
f f
f f f f
m
m
j i
n j 1
n j
cara
yang
sama
dapat
ditunjukkan
bahwa
juga konvergen. Oleh karena itu untuk setiap m dan setiap i m berlaku :
n n 1
n i
i 1
Dengan
j i
n j
n
j 1
f f
n j
n
j i
j 1
f f
n j
j 1
< .
n j 1
Ambil No = maks {N1, N2} maka berdasarkan (**) untuk setiap bilangan > 0 dan m No berlaku :
f f f f =
m
n j 1
n j
j i
n j
f n i f n i 1 f n i 1 f n m f n i f
= f n m1 f < .
Hal ini berarti bahwa untuk setiap i barisan
f f
m
n j 1
n j
j i
konvergen titik demi titik ke
fungsi f n i f hampir di mana-mana pada 1, b . Akibatnya :
f n i f
=
j i
f n i f
lim f n j f n j 1
m
=
m
j 1
f n j f n j 1 untuk setiap i , sehingga f n i
Ambil h =
f f
n j
j i
n j 1
m
lim
m
f f
n j
j 1
n j 1
f f
n j
j i
n j 1
+ | f | untuk setiap i .
+ | f | maka h Wo(E). Jadi terdapat barisan bagian f n i f n
dan h Wo(E) sehingga f n i f hampir di mana-mana pada 1, b dan f n i h untuk setiap
n i .
Representasi Fungsional Aditif Ortogonal pada W0 di dalam Rn
Lemma 4.1.
125
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Diketahui E = 1, b Rn sel dengan b > 1 . Jika F fungsional aditif ortogonal dan kontinu
terbatas pada ruang W0(E), maka terdapat fungsi k x , t : E R R sehingga k x , t
terintegral McShane terhadap x pada E untuk setiap t R dengan k x ,0 = 0 untuk hampir
semua x E dan berlaku :
F s = k x , sx dx untuk setiap fungsi sederhana s pada E.
E
Bukti : Karena F kontinu terbatas, untuk setiap bilangan >0 dan t terdapat bilangan , t
> 0 sehingga jika E < , t maka F t E < . Dengan kata lain F sebagai fungsi himpunan
kontinu mutlak terhadap ……………………
Selanjutnya, jika E
E
i
dengan Eio E oj = untuk i j , maka berlaku :
i 1
F t E
= lim F t n
n
Ei
i 1
n
F t Ei
= lim
n
i 1
= F t . Hal ini berarti F merupakan fungsi
i 1
Ei
himpunan yang aditif dan terhitung ….………….……....….
*
Dari (1) dan (2), maka menurut Teorema Radon-Nikodym terdapat fungsi k t x pada E sehingga
F t E k t* x dx untuk setiap E. Selanjutnya, didefinisikan fungsi k x , t = k t* x untuk
E
setiap x E dan t R. Jika t = 0 maka F t E F = 0, oleh karena itu
k x = 0 untuk
*
0
E
setiap E. Jadi k x ,0 = untuk hampir semua x E. Selanjutnya, ambil sembarang himpunan
sederhana s pada E dengan s x =
n
t x
i
i 1
sepasang saling asing dan E
Ei
dengan Ei himpunan terukur yang sepasang-
n
E
i
, maka diperoleh :
i 1
n
F s = F ti Ei =
i 1
n
n
k x , t dx = k x , sx dx = k x , sx dx .
i
i 1 Ei
i 1 Ei
E
126
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Lemma 4.2.
Diketahui E = 1, b Rn sel dengan b > 1 , F fungsional aditif ortognoal dan kontinu
terbatas pada ruang Wo(E), dan k x , t : E R R fungsi yang diperoleh pada Lemma 4.1. Jika
untuk setiap bilangan > 0 dan setiap interval tertutup terbatas P = [-d,d] dengan d > 0 dibentuk
bilangan-bilangan :
W ; P; E = sup k x , t1 k x , t 2 d : t1 , t 2 P dan t1 t 2 dan
E
W ; P
n
n
W ; P; E : E , E
= sup
i
i 1
i
i 1
i
E j untuk i j
maka lim W ; P 0 untuk setiap interval P.
0
Bukti : Jika 0 < 1 2 dan t1, t2 P dengan t1 t 2 1 maka t1 t 2 2 . Hal ini
berakibat jika 00. Berdasarkan definisinya, terdapat
0
n
himpunan
saling
asing
E1 , E2 ,, En
dengan
E
i
E
dan
bilangan-bilangan
i 1
t1i , t 2i , i 1, 2,, n sehingga t1i t 2i , t1i d, t 2i d dan
k x , t k x , t
n
i 1 Ei
i
1
i
2
> .
Selanjutnya untuk setiap i 1, 2,, n didefinisikan himpunan-himpunan :
Ei x Ei : k x , t1i k x , t 2i 0 dan Ei Ei Ei
dan juga didefinisikan fungsi-fungsi :
n
n
f t1i E t 2i E dan g t 2i E t1i E
i 1
i
i
i 1
i
i
Jelas bahwa f , g W0 E dan berlaku :
127
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
b
1
= sup
f
b
:
1
[ 1, b ] 1
f
n
1
t1i E t 2i E : E 1, b , b 1
i
i
E E i 1
= sup
n
1
i
i
t
:
E
1
,
b
,
b
1
t2
1
Ei
Ei
E E i 1
sup
1 n
1 n
d
d
:
E
1
,
b
,
b
1
Ei E
Ei
i 1 E
E i 1 Ei
i
sup
n
1
d E i : E 1 , b , b 1 = d
E i 1
= sup
Dengan cara yang sama diperoleh : g d . Lebih lanjut diperoleh :
t
n
f g =
i 1
i
1
t
n
=
i 1
i
1
Ei
t 2i E i
t
n
i 1
i
2
E t1i E
i
i
t 2i E t 2i t1i E
i
i
f g d. Karena F kontinu dan terbatas maka
Analog dengan cara di atas juga diperoleh :
F f F g < . Dari pihak lain diperoleh :
F f F g
=
n
=
n
n
n
k x , t1i E k x , t 2i E k x , t 2i E - k x , t1i E
i 1 Ei
i
i 1 Ei
i
i 1 Ei
i
i 1 Ei
i
k x , t k x , t k x , t k x , t
n
n
=
n i
n i
i
k
x
,
t
t
k
x , t 2 E t1i E
1 Ei
2 Ei
E
i
i
i 1
E i 1
i 1 Ei
i
1
Ei
i
1
Ei
i 1 Ei
i
2
Ei
i
2
Ei
128
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
k x , t
i
1
i 1 E
i
k x, t k x, t k x, t
n
n
=
Ei
i
2
n
Ei
n
i 1 E
i
i
1
k x , t1i k x , t 2i k x , t1i k x , t 2i
=
i 1 E
i
i
2
Ei
Ei
i 1 E
i
k x , t k x , t >
n
=
i
1
i 1 Ei
i
2
Kontradiksi, jadi pengandaian salah, oleh karena itu yang benar adalah lim W ; P 0 .
0
Lemma 4.3.
Diketahui E = 1, b Rn sel dengan b > 1 . Jika F fungsional aditif ortogoal dan kontinu
terbatas pada ruang Wo(E), maka fungsi k x , t : E R R fungsi yang diperoleh pada Lemma
1 kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas P R dan untuk setiap x E.
Bukti : Ambil sembarang x E dan sembarang interval tertutup terbatas P R. Menurut
Lemma 4.2. diperoleh lim W ; P = 0, yaitu :
0
n
W
;
P
;
E
:
Ei , Ei E j , i j
i
i 1
i 1
n
0 = lim sup
0
lim sup k x , t1 k x , t 2 d : t1 , t 2 P dan t1 t 2
0
E
lim k x , t1 k x , t 2 d : t1 , t 2 P dan t1 t 2
0
E
Hal ini berarti, jika t1, t2 P dengan t1 t 2 berlaku : lim
0
k x , t k x , t d
1
2
= 0, yaitu
E
untuk setiap bilangan >0 terdapat bilangan >0 sehinga jika t1, t2 P dengan t1 t 2
berlaku :
E
k x , t k x , t d < 2
1
2
E
129
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Ambil sembarang x E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I , sehingga
x
merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi k ,t1 , k ,t 2 M(E) dan M(E) merupakan ruang
linear maka k ,t1 - k ,t 2 M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka | k ,t1 -
k ,t 2 | M(E). Oleh karena itu untuk setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E
-fine pada E berlaku:
sehinga untuk setiap partisi McShane P = I ,
k x , t k x , t d P k , t k , t I
1
2
1
2
E
E
2
1
1
k x , t1 k x , t 2 d
P k , t1 k , t 2 I <
2
E E
E
<
1
P k , t1 k , t 2 I
E
<
1
k x , t1 k x , t 2 d +
E E
2
Didefinisikan bilangan 1 = inf x : x E , jelas bahwa 1 > 0 dan selanjutnya dipilih bilangan
o = min {, 1}, maka diperoleh :
1
P k , t1 k , t 2 I
E
Akibatnya berlaku
<
+
=
2 2
1
k , t1 k , t 2 I 0 terdapat bilangan o>0 sehinga jika t1, t2 P dengan
t1 t 2 0 berlaku k x , t1 k x , t 2 <
E
. Dengan kata lain fungsi k x , kontinu
I
seragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiap x E.
Teorema 4.4.
Diketahui E = 1, b Rn dengan b > 1. Fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas
pada ruang Wo(E) jika dan hanya jika terdapat fungsi Caratheodory k x , t : E R R dengan
130
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
k x ,0 = 0 untuk hampir semua x E sehingga k x , t terintegral McShane terhadap x pada E
untuk setiap t R dan berlaku : F f =
k x , f x dx untuk setiap fungsi f W (E).
o
E
Bukti : Syarat cukup. Jika f Wo(E), maka terdapat barisan fungsi sederhana s n pada E,
sehingga s n x f x hampir dimana-mana pada E untuk n dan s n x f x untuk
semua n. Menurut Lemma 4.3., fungsi k x , kontinu seragam pada setiap interval tertutup
terbatas PR dan untuk setiap x E, akibatnya: k x , s n x k x , f x hampir di mana-mana
pada E dan terdapat bilangan M0 sehinga k x , s n x M hampir di mana-mana pada E. Oleh
karena itu menurut Teorema Kekonvergenan Terdominasi lim k x , s n x terintegral McShane
n
dan berlaku :
lim k x , s n x dx = k x , f x dx
n
E
E
F lim s n
n
=
k x , f x dx
E
F f
=
k x , f x dx
E
Syarat perlu. Ambil sembarang f, g Wo(E) sehingga f g, yaitu f x g x = 0 hampir di
mana-mana pada E. Selanjutnya, dibentuk himpunan-himpunan :
A x E : g x 0, B x E : f x 0dan C x E : f x 0 dan g x 0,
diperoleh :
F f g =
k x , f g x dx
E
=
k x , f x g x dx
E
=
k x , f x dx + k x , g x dx
E
E
= F f + F g
Jadi F aditif orthogonal pada Wo(E).
131
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Selanjutnya, ambil sembarang f Wo(E) dan sembarang barisan f n Wo(E) sehinga f n
konvergen terbatas ke fungsi f hampir dimana-mana pada E, yaitu terdapat bilangan M 0
sehingga f n x M untuk setip n dan f n x f x hampir di mana-mana pada E. Karena
fungsi k x , kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiap x E,
maka
terdapat
bilangan
N0
sehingga
k x , f n x N
untuk
semua
n
dan
k x , f n x k x , f x hampir di mana-mana pada E. Oleh karena itu, menurut Teorema
Kekonvergenan Terdominasi berlaku :
lim k x , f n x dx =
n
E
k x , f x dx
E
lim F f n = F f . Dengan kata lain F kontinu
n
terbatas paada Wo(E).
PENUTUP
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa syarat perlu dan cukup agar
fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas pada ruang Wo(E) adalah adanya fungsi
Caratheodory k x , t : E R R yang mempunyai sifat k x ,0 = 0 untuk hampir semua x E
dan k x , t terintegral McShane terhadap x pada E untuk setiap t R.
DAFTAR PUSTAKA
Aye, K.K. dan Lee, P.Y., 2002a, Orthogonally additive Functional on BV, Singapura: Nanyang
Technological University.
Chew, T.S., 1985, Orthogonally additive Functional, Singapura: Universitas Nasional Singapura.
Darmawijaya, S, 2003, On Bounded Interval Functions, Yogyakarta : SEAM GMU.
132
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Hildebrandt, T.H., 1966, Linear Continuous Functionals on The Space (BV) with Weak Topologies,
Proc. Amer. Math. Soc 17, 658-664.
Indrati, C.R., 2002, Integral Henstock-Kurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi n, Yogyakarta:
Universitas Gadjah Mada.
Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Singapura: Wold Scientific.
Paredes, L.I., 1993, Orthogonally additive Functionals and Superposition Operators on wo( ),Ph.D.
Thesis, University of The Philippines.
Pfeffer, W.F., 1993, The Riemann Approach to Integration, New York: Cambridge University Press.
133
Fungsional Aditif Ortogonal pada W0(E) di dalam Rn
Riyadi
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret
Abstract
This paper discusses about a representation theorem of an orthogonally additive functional
on W0(E) M(E), that is a collection of all McShane integrable functions on a cell E= a, b in
n
Euclidean space R , which satisfies some certain properties. This result is a generalization of Chew
result.
Key words : orthogonally additive functional, McShane integrable, Euclidean space Rn.
PENDAHULUAN
Penelitian yang membahas tentang fungsional linear dan fungsional aditif ortogonal
telah banyak dilakukan oleh para peneliti terdahulu, diantaranya telah dilakukan oleh
Hildebrandt (1966), Chew (1985), Paredes (1993) dan Aye dan Lee (2002a, 2002b,
2003). Chew (1985) dan Lee (1989) membahas tentang representasi fungsional linear
dan fungsional aditif orthogonal yang bekerja pada ruang fungsi yang terintegral
Henstock, yang didefinisikan pada interval [a,b] R. garis lurus. Sedangkan Paredes
(1993) berhasil menggeneralisasikan hasil-hasil yang diperoleh Chew dengan cara
mengembangkan ruang fungsi baru yang merupakan abstraksi dari ruang fungsi yang
telah didefinisikan Chew, namun ruang fungsi tersebut juga masih didefinisikan pada
interval [a,b] R.
Hildebrandt (1966) membahas tentang representasi fungsional linear kontinu pada ruang
BV[a,b], ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b]. Sedangkan, Aye dan
Lee (2002a, 2002b, dan 2003) membahas tentang fungsional aditif ortogonal yang bekerja pada
ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b].
Makalah ini merupakan generalisasi dari hasil Chew (1985), khususnya generalisasi tentang
representasi fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi W0 dengan :
119
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
1x
Wo = f m1, : f 0 untuk x
x1
yang semula didefinisikan pada ruang fungsi yang terintegral Lebesgue yang didefinisikan pada
interval [a,b] R digeneralisasikan untuk ruang fungsi yang terintegral McShane yang
didefinisikan pada sel a, b di dalam ruang Euclide Rn.
TEORI-TEORI DASAR
Fungsional T pada ruang fungsi X dikatakan aditif ortogonal jika T (f + g) = T (f) + T (g)
asalkan f, g X, f dan g mempunyai support yang saling asing. Support fungsi f X, ditulis supp(f)
didefinisikan supp(f)=x dom(f) :f(x) 0.
Berdasarkan pengertian ini diperoleh bahwa dua fungsi f dan g dikatakan mempunyai support
yang saling asing jika f(x)g(x)=0 untuk setiap x.
Dalam makalah ini, R menyatakan koleksi semua bilangan real, P(E) menyatakan koleksi
semua partisi Lebesgue pada E dan M(E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral
McShane pada sel E= a, b . Telah diketahui bahwa M(E) merupakan ruang linear dan ruang
integral mutlak.
Teorema 2.1.
Diketahui E= a, b sel dan M(E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral McShane
pada sel E. Jika f M(E) maka terdapat barisan fungsi sederhana s n pada E sehingga
sn x f x hampir di mana-mana pada E untuk n dan s n f untuk semua n.
Teorema 2.2.
Diketahui E= a, b sel dan f n , f : E R untuk setiap n. Jika :
120
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
(i)
f n f hampir di mana-mana untuk n dan f n M(E) untuk setiap n.
(ii)
f n M hampir di mana-mana pada E untuk setiap n dan suatu bilangan M0.
maka f M(E) dan lim
n
f
E
n
f .
E
HASIL DAN PEMBAHASAN
Karakteristik Ruang Fungsi Wo(E)
Di dalam makalah ini, Rn menunjukkan ruang Euclide dimensi n, R menunjukan sistem
bilangan real dan
R
menunjukan sistem bilangan real yang diperluas. Diketahui
b b1 , b2 , , bn Rn, b dikatakan menuju tak hingga, ditulis b , jika min bi .
Definisi 3.2.
McShane pada 1, b . Didefinisikan ruang W (E) sebagai berikut :
Diketahui E = 1, b Rn dengan b > 1 dan f : 1, b R fungsi terukur dan terintegral
0
b
1
f 0 .
b [ 1 , b ]
1
W0(E) = f M 1 , : lim
Teorema 3.3.
b
1
W0(E) merupakan ruang Banach terhadap norma f sup
:
f
b
1
.
[1 , b ] 1
Bukti : Dalam hal in hanya akan ditunjukkan bahwa W0(E) lengkap. Ambil sebarang barisan
Cauchy f n W0(E), yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N1 sehingga jika n,m
N1 berlaku f m f n <
.
2
Ambil sembarang x E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I , sehingga
x
merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi fm, fn M(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka
fm - fn M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka | fm - fn | M(E). Oleh karena itu
121
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
untuk setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E sehingga untuk setiap partisi McShane
pada E berlaku :
P = I ,
E
f x f x d P f f I < 2
m
m
m
n
E
1
1
f m x f m x d
P f m f n I <
E E
E
2
1
1
f m x f n x d + < + =
P f m f n I <
E E
2 2 2
E
Akibatnya berlaku
1
f m f n I < untuk setiap , I P(E), khususnya untuk
E
x, I P(E) berlaku: I
E
Hal ini berarti barisan
f m x f n x < atau f m x f n x <
E
untuk setiap > 0.
I
f n x merupakan barisan Cauchy di dalam R, oleh karena itu terdapat
fungsi f yang terintegral McShane pada 1, b dengan b > 1 sehingga f n f hampir di mana-
mana pada 1, b , yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N2 sehingga jika n > N2
berlaku : f n f , hal ini berakibat :
b
1
b
f n f < = 1, b , untuk setiap b > 1
1
b
1
sup
:
f
f
b
1
b
1
1 f = 0, hal ini berarti f Wo. Jadi Wo lengkap, oleh karena itu Wo
b [ 1 , b ]
0. Jadi lim
merupakan ruang Banach.
Teorema 3.4.
Diketahui E = 1, b Rn sel dengan b > 1 . Norma || . || pada ruang Wo(E) seperti
dimaksud pada Teorema 3.3.memenuhi sifat : Jika barisan
suatu fungsi f Wo(E) maka terdapat barisan bagian
f n Wo(E) konvergen norma ke
f f dan h W (E) sehingga
n i
o
n
f n i f hampir di mana-mana pada 1, b dan f n i h untuk setiap ni .
Bukti : Ambil sembarang barisan
f n Wo(E) sehingga f n konvergen norma ke suatu
fungsi f Wo(E), yaitu untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan asli N 1 sehingga jika n N 1
berlaku : f n f < …..………..…... *
Ambil sembarang x E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I , sehingga
x
merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi fn, f M(E) dan M(E) merupakan ruang linear maka fn
- f M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka | fn - f | M(E). Oleh karena itu untuk
setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E sehingga untuk setiap partisi McShane P
pada E berlaku:
= I ,
f x f x d P f f I
n
E
n
<
E
2
1
1
f n x f x d
P f n f I <
E E
E
2
1
1
f n x f x d +
< + =
P f n f I <
E E
2
2 2
E
123
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Akibatnya berlaku
1
f n f I < untuk setiap , I P(E), khususnya untuk
E
x, I berlaku : I
E
berarti barisan
f n
f n x f x < atau f n x f x <
E
untuk setiap > 0. Hal ini
I
konvergen titik demi titik ke fungsi f
hampir di mana-mana pada E
..……………………..……………. **
Berdasarkan (*),untuk setiap bilangan asli i terdapat bilangan asli N i sehingga jika n(i)
N i berlaku :
f n i f < 2 i untuk setiap i
Akibatnya diperoleh :
i 1
f n i f n i 1
i 1
f n i f +
<
2 i +
i 1
i 1
2
i 1
f n i 1 f
0 terdapat bilangan asli N2 sehingga jika i N2 berlaku
iN2
f n i f n i 1 < .
Selanjutnya dibentuk barisan-barisan
g m
dan hm dengan
g m f n i f n i 1 dan
m
i 1
m
hm f n i f n i 1 . Jelas bahwa g m , hm Wo(E) untuk setiap m. Selanjutnya ambil
i 1
sembarang m, n dan tanpa mengurangi arti dapat dianggap
gm gn =
f f f f
m
n i
i 1
n
m
i n 1
n i 1
n i
i 1
n i 1
m > n, diperoleh :
f f
m
=
n i
i n 1
n i 1
f n i f n i 1
Khususnya, jika m > n N2 berlaku :
124
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
m
gm gn
i n 1
f n i f n i 1
iN2
f n i f n i 1 < .
Hal ini berarti bahwa barisan g m merupakan barisan Cauchy di dalam Wo(E) yang lengkap. Jadi
f f
konvergen.
n i 1
n i
i 1
f f
f f f f
m
m
j i
n j 1
n j
cara
yang
sama
dapat
ditunjukkan
bahwa
juga konvergen. Oleh karena itu untuk setiap m dan setiap i m berlaku :
n n 1
n i
i 1
Dengan
j i
n j
n
j 1
f f
n j
n
j i
j 1
f f
n j
j 1
< .
n j 1
Ambil No = maks {N1, N2} maka berdasarkan (**) untuk setiap bilangan > 0 dan m No berlaku :
f f f f =
m
n j 1
n j
j i
n j
f n i f n i 1 f n i 1 f n m f n i f
= f n m1 f < .
Hal ini berarti bahwa untuk setiap i barisan
f f
m
n j 1
n j
j i
konvergen titik demi titik ke
fungsi f n i f hampir di mana-mana pada 1, b . Akibatnya :
f n i f
=
j i
f n i f
lim f n j f n j 1
m
=
m
j 1
f n j f n j 1 untuk setiap i , sehingga f n i
Ambil h =
f f
n j
j i
n j 1
m
lim
m
f f
n j
j 1
n j 1
f f
n j
j i
n j 1
+ | f | untuk setiap i .
+ | f | maka h Wo(E). Jadi terdapat barisan bagian f n i f n
dan h Wo(E) sehingga f n i f hampir di mana-mana pada 1, b dan f n i h untuk setiap
n i .
Representasi Fungsional Aditif Ortogonal pada W0 di dalam Rn
Lemma 4.1.
125
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Diketahui E = 1, b Rn sel dengan b > 1 . Jika F fungsional aditif ortogonal dan kontinu
terbatas pada ruang W0(E), maka terdapat fungsi k x , t : E R R sehingga k x , t
terintegral McShane terhadap x pada E untuk setiap t R dengan k x ,0 = 0 untuk hampir
semua x E dan berlaku :
F s = k x , sx dx untuk setiap fungsi sederhana s pada E.
E
Bukti : Karena F kontinu terbatas, untuk setiap bilangan >0 dan t terdapat bilangan , t
> 0 sehingga jika E < , t maka F t E < . Dengan kata lain F sebagai fungsi himpunan
kontinu mutlak terhadap ……………………
Selanjutnya, jika E
E
i
dengan Eio E oj = untuk i j , maka berlaku :
i 1
F t E
= lim F t n
n
Ei
i 1
n
F t Ei
= lim
n
i 1
= F t . Hal ini berarti F merupakan fungsi
i 1
Ei
himpunan yang aditif dan terhitung ….………….……....….
*
Dari (1) dan (2), maka menurut Teorema Radon-Nikodym terdapat fungsi k t x pada E sehingga
F t E k t* x dx untuk setiap E. Selanjutnya, didefinisikan fungsi k x , t = k t* x untuk
E
setiap x E dan t R. Jika t = 0 maka F t E F = 0, oleh karena itu
k x = 0 untuk
*
0
E
setiap E. Jadi k x ,0 = untuk hampir semua x E. Selanjutnya, ambil sembarang himpunan
sederhana s pada E dengan s x =
n
t x
i
i 1
sepasang saling asing dan E
Ei
dengan Ei himpunan terukur yang sepasang-
n
E
i
, maka diperoleh :
i 1
n
F s = F ti Ei =
i 1
n
n
k x , t dx = k x , sx dx = k x , sx dx .
i
i 1 Ei
i 1 Ei
E
126
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Lemma 4.2.
Diketahui E = 1, b Rn sel dengan b > 1 , F fungsional aditif ortognoal dan kontinu
terbatas pada ruang Wo(E), dan k x , t : E R R fungsi yang diperoleh pada Lemma 4.1. Jika
untuk setiap bilangan > 0 dan setiap interval tertutup terbatas P = [-d,d] dengan d > 0 dibentuk
bilangan-bilangan :
W ; P; E = sup k x , t1 k x , t 2 d : t1 , t 2 P dan t1 t 2 dan
E
W ; P
n
n
W ; P; E : E , E
= sup
i
i 1
i
i 1
i
E j untuk i j
maka lim W ; P 0 untuk setiap interval P.
0
Bukti : Jika 0 < 1 2 dan t1, t2 P dengan t1 t 2 1 maka t1 t 2 2 . Hal ini
berakibat jika 00. Berdasarkan definisinya, terdapat
0
n
himpunan
saling
asing
E1 , E2 ,, En
dengan
E
i
E
dan
bilangan-bilangan
i 1
t1i , t 2i , i 1, 2,, n sehingga t1i t 2i , t1i d, t 2i d dan
k x , t k x , t
n
i 1 Ei
i
1
i
2
> .
Selanjutnya untuk setiap i 1, 2,, n didefinisikan himpunan-himpunan :
Ei x Ei : k x , t1i k x , t 2i 0 dan Ei Ei Ei
dan juga didefinisikan fungsi-fungsi :
n
n
f t1i E t 2i E dan g t 2i E t1i E
i 1
i
i
i 1
i
i
Jelas bahwa f , g W0 E dan berlaku :
127
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
b
1
= sup
f
b
:
1
[ 1, b ] 1
f
n
1
t1i E t 2i E : E 1, b , b 1
i
i
E E i 1
= sup
n
1
i
i
t
:
E
1
,
b
,
b
1
t2
1
Ei
Ei
E E i 1
sup
1 n
1 n
d
d
:
E
1
,
b
,
b
1
Ei E
Ei
i 1 E
E i 1 Ei
i
sup
n
1
d E i : E 1 , b , b 1 = d
E i 1
= sup
Dengan cara yang sama diperoleh : g d . Lebih lanjut diperoleh :
t
n
f g =
i 1
i
1
t
n
=
i 1
i
1
Ei
t 2i E i
t
n
i 1
i
2
E t1i E
i
i
t 2i E t 2i t1i E
i
i
f g d. Karena F kontinu dan terbatas maka
Analog dengan cara di atas juga diperoleh :
F f F g < . Dari pihak lain diperoleh :
F f F g
=
n
=
n
n
n
k x , t1i E k x , t 2i E k x , t 2i E - k x , t1i E
i 1 Ei
i
i 1 Ei
i
i 1 Ei
i
i 1 Ei
i
k x , t k x , t k x , t k x , t
n
n
=
n i
n i
i
k
x
,
t
t
k
x , t 2 E t1i E
1 Ei
2 Ei
E
i
i
i 1
E i 1
i 1 Ei
i
1
Ei
i
1
Ei
i 1 Ei
i
2
Ei
i
2
Ei
128
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
k x , t
i
1
i 1 E
i
k x, t k x, t k x, t
n
n
=
Ei
i
2
n
Ei
n
i 1 E
i
i
1
k x , t1i k x , t 2i k x , t1i k x , t 2i
=
i 1 E
i
i
2
Ei
Ei
i 1 E
i
k x , t k x , t >
n
=
i
1
i 1 Ei
i
2
Kontradiksi, jadi pengandaian salah, oleh karena itu yang benar adalah lim W ; P 0 .
0
Lemma 4.3.
Diketahui E = 1, b Rn sel dengan b > 1 . Jika F fungsional aditif ortogoal dan kontinu
terbatas pada ruang Wo(E), maka fungsi k x , t : E R R fungsi yang diperoleh pada Lemma
1 kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas P R dan untuk setiap x E.
Bukti : Ambil sembarang x E dan sembarang interval tertutup terbatas P R. Menurut
Lemma 4.2. diperoleh lim W ; P = 0, yaitu :
0
n
W
;
P
;
E
:
Ei , Ei E j , i j
i
i 1
i 1
n
0 = lim sup
0
lim sup k x , t1 k x , t 2 d : t1 , t 2 P dan t1 t 2
0
E
lim k x , t1 k x , t 2 d : t1 , t 2 P dan t1 t 2
0
E
Hal ini berarti, jika t1, t2 P dengan t1 t 2 berlaku : lim
0
k x , t k x , t d
1
2
= 0, yaitu
E
untuk setiap bilangan >0 terdapat bilangan >0 sehinga jika t1, t2 P dengan t1 t 2
berlaku :
E
k x , t k x , t d < 2
1
2
E
129
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Ambil sembarang x E, selanjutnya dibentuk partisi McShane P =
I , sehingga
x
merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi k ,t1 , k ,t 2 M(E) dan M(E) merupakan ruang
linear maka k ,t1 - k ,t 2 M(E), dan karena M(E) ruang integral mutlak maka | k ,t1 -
k ,t 2 | M(E). Oleh karena itu untuk setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positip pada E
-fine pada E berlaku:
sehinga untuk setiap partisi McShane P = I ,
k x , t k x , t d P k , t k , t I
1
2
1
2
E
E
2
1
1
k x , t1 k x , t 2 d
P k , t1 k , t 2 I <
2
E E
E
<
1
P k , t1 k , t 2 I
E
<
1
k x , t1 k x , t 2 d +
E E
2
Didefinisikan bilangan 1 = inf x : x E , jelas bahwa 1 > 0 dan selanjutnya dipilih bilangan
o = min {, 1}, maka diperoleh :
1
P k , t1 k , t 2 I
E
Akibatnya berlaku
<
+
=
2 2
1
k , t1 k , t 2 I 0 terdapat bilangan o>0 sehinga jika t1, t2 P dengan
t1 t 2 0 berlaku k x , t1 k x , t 2 <
E
. Dengan kata lain fungsi k x , kontinu
I
seragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiap x E.
Teorema 4.4.
Diketahui E = 1, b Rn dengan b > 1. Fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas
pada ruang Wo(E) jika dan hanya jika terdapat fungsi Caratheodory k x , t : E R R dengan
130
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
k x ,0 = 0 untuk hampir semua x E sehingga k x , t terintegral McShane terhadap x pada E
untuk setiap t R dan berlaku : F f =
k x , f x dx untuk setiap fungsi f W (E).
o
E
Bukti : Syarat cukup. Jika f Wo(E), maka terdapat barisan fungsi sederhana s n pada E,
sehingga s n x f x hampir dimana-mana pada E untuk n dan s n x f x untuk
semua n. Menurut Lemma 4.3., fungsi k x , kontinu seragam pada setiap interval tertutup
terbatas PR dan untuk setiap x E, akibatnya: k x , s n x k x , f x hampir di mana-mana
pada E dan terdapat bilangan M0 sehinga k x , s n x M hampir di mana-mana pada E. Oleh
karena itu menurut Teorema Kekonvergenan Terdominasi lim k x , s n x terintegral McShane
n
dan berlaku :
lim k x , s n x dx = k x , f x dx
n
E
E
F lim s n
n
=
k x , f x dx
E
F f
=
k x , f x dx
E
Syarat perlu. Ambil sembarang f, g Wo(E) sehingga f g, yaitu f x g x = 0 hampir di
mana-mana pada E. Selanjutnya, dibentuk himpunan-himpunan :
A x E : g x 0, B x E : f x 0dan C x E : f x 0 dan g x 0,
diperoleh :
F f g =
k x , f g x dx
E
=
k x , f x g x dx
E
=
k x , f x dx + k x , g x dx
E
E
= F f + F g
Jadi F aditif orthogonal pada Wo(E).
131
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Selanjutnya, ambil sembarang f Wo(E) dan sembarang barisan f n Wo(E) sehinga f n
konvergen terbatas ke fungsi f hampir dimana-mana pada E, yaitu terdapat bilangan M 0
sehingga f n x M untuk setip n dan f n x f x hampir di mana-mana pada E. Karena
fungsi k x , kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas PR dan untuk setiap x E,
maka
terdapat
bilangan
N0
sehingga
k x , f n x N
untuk
semua
n
dan
k x , f n x k x , f x hampir di mana-mana pada E. Oleh karena itu, menurut Teorema
Kekonvergenan Terdominasi berlaku :
lim k x , f n x dx =
n
E
k x , f x dx
E
lim F f n = F f . Dengan kata lain F kontinu
n
terbatas paada Wo(E).
PENUTUP
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa syarat perlu dan cukup agar
fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas pada ruang Wo(E) adalah adanya fungsi
Caratheodory k x , t : E R R yang mempunyai sifat k x ,0 = 0 untuk hampir semua x E
dan k x , t terintegral McShane terhadap x pada E untuk setiap t R.
DAFTAR PUSTAKA
Aye, K.K. dan Lee, P.Y., 2002a, Orthogonally additive Functional on BV, Singapura: Nanyang
Technological University.
Chew, T.S., 1985, Orthogonally additive Functional, Singapura: Universitas Nasional Singapura.
Darmawijaya, S, 2003, On Bounded Interval Functions, Yogyakarta : SEAM GMU.
132
JMEE Volume I Nomor 2, Desember 2011
Hildebrandt, T.H., 1966, Linear Continuous Functionals on The Space (BV) with Weak Topologies,
Proc. Amer. Math. Soc 17, 658-664.
Indrati, C.R., 2002, Integral Henstock-Kurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi n, Yogyakarta:
Universitas Gadjah Mada.
Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, Singapura: Wold Scientific.
Paredes, L.I., 1993, Orthogonally additive Functionals and Superposition Operators on wo( ),Ph.D.
Thesis, University of The Philippines.
Pfeffer, W.F., 1993, The Riemann Approach to Integration, New York: Cambridge University Press.
133