Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya

J. Math. and Its Appl.
ISSN: 1829-605X
Vol. 2, No. 1, May. 2005, 37–45

Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional
Aditif Dan Kontinunya
Sadjidon
Jurusan Matematika
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

Abstrak
Pada paper ini dibahas tipe lain ruang barisan Orlicz selisih, ℓϕ (∆),
yang didefinisikan sebagai: ℓϕ (∆) := {x = (xk ) : ∆x ∈ ℓϕ } dengan ∆x =
(∆xk ) = (xk − xk−1 ). Selanjutnya, ruang yang dilengkapi dengan norma
kxk = |x1 | + k∆xkℓϕ merupakan ruang bernorma-F yang lengkap dan juga
mempunyai sifat AK. Berdasarkan pengertian fungsional aditif dan kontinu
pada ruang barisan Orlicz, ℓϕ , dibahas fungsional aditif dan kontinu pada
ruang barisan Orlicz selisih.
Kata kunci: Ruang bernorma-F yang lengkap, Sifat AK, Ruang barisan
Orlicz selisih, Fungsional aditif dan kontinu

1. Pendahuluan.
Representasi fungsional aditif orthogonal pada beberapa ruang barisan telah
banyak dibicarakan antara lain dalam [1]. Sedangkan untuk ruang barisan, khususnya ruang barisan Orlicz [3][4] telah membahasnya secara lengkap. Lebih lanjut
[3] membahas fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan Orlicz. Sementara
itu [2] memperkenalkan beberapa ruang barisan selisih antara lain ℓ∞ (∆), c0 (∆).
Berdasarkan [2] ini serta memperhatikan hasil-hasil penelitian dari [4] , maka dicoba mengkontruksi suatu ruang barisan selisih yang lain yaitu ruang barisan Orlicz
37

38

Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya

sesilih. Disamping itu dengan memperhatikan hasil-hasil dari [2] dapat dikonstruksi pula fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan Orlicz selisih.

2. Ruang Bernorma-F
Diberikan X ruang barisan bilangan real yang merupakan ruang vektor atas R.
Jika X dilengkapi dengan norma-F yaitu norma k.k yang memenuhi :
(i) kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇐⇒ x = 0
(ii) kxk = k − xk
(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk untuk semua x, y ∈ X

(iv) kαn x(n) − αxk → 0 jika αn → α dan kx(n) − αxk → 0
maka X disebut ruang barisan bernorma-F . Jika X ruang barisan bernorma-F
yang lengkap, maka X disebut ruang Frechet.
Selanjutnya, ruang Frechet X dikatakan ruang F K jika untuk setiap k, fungsi
Pk : X → R. dengan Pk (x) = xk kontinu.
Barisan blok {z n } di dalam ruang barisan X adalah suatu barisan dengan
elemen ke-n yaitu :
z n = {0, · · · , 0, zi(n−1)+1 , · · · , zi(n) , 0, · · · }
dengan i(0) = 0 dan {i(n)} adalah suatu barisan naik dari bilangan asli.
Misalkan X suatu ruang barisan bernorma-F , maka X dikatakan mempunyai Gliding Hump Property (GHP ), jika untuk setiap barisan blok {z n } dengan
kz n k → 0 untuk n → ∞, terdapat suatu barisan bagian bilangan asli {n(k)}
∞
P
sehingga
z n(k) ∈ X.
k=1

Mudah dipahami bahwa setiap ruang barisan bernorma-F yang lengkap mempunyai GHP .

3. Ruang Barisan Orlicz Selisih

Diberikan ϕ fungsi kontinu bernilai real naik pada [0, ∞) dengan ϕ(0) = 0 dan
ϕ(t) = ϕ(|t|) untuk semua t. Fungsi ini disebut fungsi Orlicz. Suatu himpunan
Orlicz dinotasikan dengan ℓϕ adalah himpunan semua x = {xk } sehingga
(
)
∞
∞
X
X
ρ(x) =
< +∞ atau
ℓϕ = x = {xk };
ϕ(xk ) < +∞
k=1

k=1

Sadjidon

39

Mudah ditunjukkan bahwa himpunan Orlicz ℓϕ merupakan himpunan konvex.
Suatu fungsi ϕ dikatakan memenuhi kondisi δ2 jika terdapat α > 0 dan β > 0
sehingga
ϕ(2t) ≤ αϕ(t)
untuk
|t| ≤ β
Fungsi Orlicz ϕ ternyata memenuhi kondisi δ2 , sehingga himpunan Orlicz ℓϕ
merupakan ruang linier.
Selanjutnya, didefinisikan suatu norma pada ℓϕ dengan:
½
µ ¶
¾
x
kxk = inf ξ > 0; ρ
≤ξ
ξ
untuk setiap x ∈ ℓϕ . Ruang ℓϕ yang dilengkapi dengan norma di atas merupakan
ruang bernorma-F yang lengkap atau ruang Frechet dan disebut ruang barisan
Orlicz.

Sekarang akan diberikan pengertian ruang barisan Orlicz selisih. Seperti halnya ruang barisan Orlicz, himpunan barisan Orlicz selisih didefinisikan sebagai:
ℓϕ (∆) = {x = (xk ); ∆x ∈ ℓϕ } dengan ∆x = (∆xk ) = (xk − xk−1 ). Bahwa ruang
ℓϕ (∆) merupakan ruang linier.
Selanjutnya, didefinisikan suatu norma pada ℓϕ (∆) dengan kxk = |x1 | +
k∆xkℓϕ . Dengan norma ini, akan ditunjukkan bahwa ℓϕ (∆) merupakan ruang
bernorma yang lengkap. Hal ini akan dijabarkan dalam teorema berikut.
Teorema 3.1 Ruang ℓϕ (∆)merupakan ruang bernorma-F dengan norma kxk =
|x1 | + k∆xkℓϕ .
Bukti.

Diambil sebarang x, y ∈ ℓϕ (∆)

(i) Jelas bahwa kxk = |x1 | + k∆xkℓϕ ≥ 0.
kxk = |x1 | + k∆xkℓϕ = 0

⇐⇒ |x1 | = 0 dan k∆xk = 0
⇐⇒ x1 = 0 dan ∆x = xk − xk−1 = 0
⇐⇒ x1 = · · · = xk−1 = xk = 0, untuk setiap k
⇐⇒ x = θ

(ii)
k − xk

=

| − x| + k∆(−x)kℓvarphi

=

| − x| + k − ∆xkℓvarphi

=

|x| + k∆xkℓvarphi

=

kxk

40

Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya

(iii) Akan ditunjukkan kx + yk =≤ kxk + kyk .
kx + yk = |x1 + y1 | + k∆x + ∆ykℓvarphi
≤ |x1 | + |y1 | + k∆xkℓvarphi + ∆ykℓvarphi
≤ |x1 | + k∆xkℓvarphi + |y1 | + ∆ykℓvarphi
≤ kxk + kyk
Dengan demikian kx + yk =≤ kxk + kyk.
(iv)
kαn x(n) − αxk =

kαn x(n) − αn x + αn x − αxk

≤ kαn x(n) − αn xk + kαn x − αxk
≤ |αn |kx(n) − xk + |αn − α|kxk

Jika αn → α dan kx(n) − xk → 0, maka kαn x(n) − αxk → 0
Dengan demikian terbukti bahwa ruang barisan Orlicz selisih merupakan ruang
bernorma-F .

¤
Teorema 3.2 Ruang ℓϕ (∆) yang dilengkapi dengan norma kxk = x1 | + k∆xkℓϕ
merupakan ruang bernorma-F yang lengkap atau ruang Frechet dan disebut ruang
barisan Orlicz selisih.
Bukti.
Tinggal membuktikan bahwa ℓϕ (∆) adalah lengkap.
Diberikan {x(n) } adalah barisan di ℓϕ (∆) sedemikian hingga
kx(n) − x(m) k → 0,

untuk

n, m → ∞

Oleh karena itu
(n)

(m)

kx(n) − x(m) k = |x1 − x1 | + k∆x(n) − ∆x(m) kℓϕ → 0,

untuk

n, m → ∞

Dengan demikian diperoleh :
(n)

(m)

a. |x1 − x1 | → 0, untuk n, m → ∞
b. k∆x(n) − ∆x(m) kℓϕ → 0 untuk n, m → ∞
(n)
(n)
(m)
(n)
atau k(xk − xk−1 ) − (xk − xk−1 )k → 0, untuk n, m → ∞
(n)

(n)

(m)

atau kxk − xk−1 kℓϕ → 0 dan kxk

(n)

− xk−1 kℓϕ → 0, untuk n, m → ∞

41

Sadjidon

Karena ϕ kontinu dan naik pada [0, ∞), maka untuk setiap k diperoleh
(n)

(m)

|xk − xk | → 0,

untuk n, m → ∞

(n)

Akibatnya untuk setiap k barisan {xk }k≥1 adalah barisan Cauchy di R yang
lengkap, artinya untuk setiap k terdapat xk ∈ R sedemikian hingga
(n)

xk

→ xk

untuk n → ∞

Selanjutnya dibentuk x = {xk }. Akan dibuktikan
i. kx(n) − xk → 0, untuk n → ∞
(n)

kx(n) − xk = |x1 − x1 | + k∆x(n) − ∆xkℓϕ
(n)

(n)

(n)

= |x1 − x1 | + k(xk − xk−1 ) − (xk − xk−1 )kℓϕ
(n)

(n)

(n)

≤ |x1 − x1 | + kxk − xk kℓϕ + kxk−1 − xk−1 kℓϕ
Sehingga untuk n → ∞ diperoleh
(n)

a. |x1 − x| → 0
(n)

b. kxk − xk k → 0, untuk n → ∞
Dengan demikian kx(n) − xk → 0, untuk n → ∞.
ii. Akan ditunjukkan x ∈ ℓϕ (∆) berarti menunjukkan bahwa ∆x ∈ ℓϕ . Terdapat
bilangan bulat positip N sehingga sedemikian hingga
∞
X

ϕ(∆xN − ∆x) < 1 < ∞

k=1

sehingga ∆xN − ∆x ∈ ℓϕ dengan ℓϕ adalah linier, maka ∆x ∈ ℓϕ .
Dengan demikian i dan ii dipenuhi. Jadi ℓϕ (∆) lengkap. ¤
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa ℓϕ (∆) mempunyai sifat AK yaitu kxN −
xkℓϕ → 0 untuk N → ∞. Untuk menunjukkan ini, diberikan
ρ

µ

∆(xN − x)
ε

¶

=

∞
X

k=N +1

ϕ

µ

xk − xk−1
ε

¶

=

∞
X

k=N +1

ϕ

µ

∆x
ε

¶

Karena µ∆x ∈ ¶ ℓϕ (∆), maka terdapat bilangan bulat
¶
µ P ,N sehingga
P∞
∆x
∆(x − x)
≥
ϕ
≤
ε
,
untuk
setiap
N
≥
P
.
Dengan
demikian
ρ
k=N +1
ε
ε
ε untuk setiap N ≥ P .

42

Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya

Oleh karena itu kxN − xk ≤ ε untuk N ≥ P . Dengan kata lain kxN − xk →
0 untuk N → ∞. Dari penjabaran di atas bahwa ruang barisan Orlicz selisih
merupakan ruang Frechet, sehingga mempunyai GHP dan mempunyai sifat AK
yaitu kxN − xkℓϕ → 0 untuk N → ∞, dengan xN = {x1 , x2 , · · · , xN , 0, · · · } dari
setiap barisan x = (xk ) ∈ ℓϕ (∆).
Maka ruang barisan Orlicz selisih memenuhi sifat kxN k ≤ kxk, untuk setiap
x ∈ ℓϕ (∆).

4. Fungsional Aditif dan Kontinu
pada Ruang Barisan Orlicz Selisih
Sekarang akan dijabarkan tentang Fungsional aditif dan kontinu pada ruang
barisan orlicz selisih. Sebelumnya akan dibahas teorema-teorema yang akan digunakan untuk mengkonstruksi fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan
Orlicz selisih sebagai berikut.

Teorema 4.1 Diberikan X ruang barisan yang mempunyai sifat AK. Jika f
∞
P
adalah fungsional aditif dan kontinu pada X, maka f (x) =
g(k, xk ) ada, untuk
k=1

setiap x = {xk } ∈ X. Dengan g(k, 0) = 0 dan g(k, .) kontinu, untuk setiap k ∈ N

Bukti.
Diberikan ek yaitu barisan dengan elemen ke-k sama dengan 1 dan
0 untuk yang lain. Karena X mempunyai sifat AK, maka untuk setiap dan X
memuat semua barisan berhingga, kxN k ≤ kxk → 0 , untuk N → ∞. Oleh karena
f aditif dan kontinu maka
kf (xN − x)k → 0,

untuk N → ∞

atau
kf (xN ) − f (x)k → 0,

untuk N → ∞

43

Sadjidon

atau
f (x) =
=

=
=
=

lim f (xN )
ÃN
!
X
k
xk e
lim f

N →∞

N →∞

lim

N →∞

k=1

N
X

k=1

¡
¢
f xk ek

∞
X
¡
¢
f xk ek

k=1
∞
X

g(k, xk )

k=1

dengan g(k, t) = f (tek ) dan g(k, t) adalah fungsi kontinu untuk setiap k ∈ N .
Teorema 4.2 Diberikan X ruang barisan yang mempunyai GHP yang memuat
semua barisan berhingga dan kxN k ≤ kxk, dan diberikan f adalah fungsional pada
X, jika g(k, 0) = 0 dan g(k, .) kontinu untuk setiap k ∈ N sehingga
f (x) =

∞
X

g(k, xk )

ada, ∀x = {xk } ∈ X

k=1

maka f adalah fungsional aditif dan kontinu.
Bukti.
Akan dibuktikan f adalah kontinu. Sekarang andaikan f tidak kontinu
di x ∈ X, maka terdapat barisan {y(i)} ∈ X sedemikian hingga ky (i) − xk → 0
untuk i → ∞.
∞
∞
P
P
Tetapi |
g(k, y (i) ) −
g(k, xk )| > ε untuk semua i.
k=1

k=1

Akan disusun dua barisan dari bulat positip sebagai berikut :
Ambil n(0) = 0 ; m(1) = 1 dan dipilih n(1) sedemikian hingga
¯
¯
¯
¯ n(1)
n(1)
X
¯
¯ X
(m(1))
¯
g(k, xk )¯¯ > ε
g(k, yk
)−
¯
¯k=n(0)+1
¯
k=1

karena g(k, .) adalah kontinu untuk k = 1, 2, · · · , n(1), maka terdapat m(2) >
m(1) sedemikian hingga
¯
¯
¯
¯n(1)
n(1)
X
¯ ε
¯X
(m(2))
¯
g(k, xk )¯¯ ≤
)−
g(k, yk
¯
¯ 2
¯ k=1
k=1

44

Ruang Barisan Orlicz Selisih Dengan Fungsional Aditif Dan Kontinunya

selanjutnya terdapat n(2) > n(1) sedemikian hingga
¯
¯
¯
¯n(2)
n(2)
X
¯
¯X
(m(2))
¯
g(k, xk )¯¯ > ε
g(k, yk
)−
¯
¯
¯ k=1
k=1

Dari kedua pertidaksamaan diatas didapat
¯
¯
¯ n(2)
¯
n(2)
X
¯ ε
¯ X
(m(2))
¯
¯
g(k,
x
)
g(k,
y
)
−
k ¯>
k
¯
¯ 2
¯k=n(1)+1
k=n(1)+1

Secara umum dapat diperoleh barisan naik dari dua bulat positip {n(i)} dan
{m(i)} sedemikian hingga
¯
¯
¯
¯ n(2)
n(i)
X
X
¯ ε
¯
(m(i))
¯
¯
g(k,
x
)
g(k,
y
)
−
k ¯>
k
¯
¯ 2
¯k=n(i−1)+1
k=n(i−1)+1
, untuk setiap i = 1, 2, 3, · · ·

Sekarang didefinisikan barisan blok {z i } di X dengan
(m(i))

(m(i))

z i = {0, · · · , 0, yn(i−1)+1 − xn(i−1)+1 , · · · , yn(i)

− xn(i) , 0, · · · }

untuk i = 1, 2, 3, · · ·
Mengingat asumsi bahwa kxN k ≤ kxk diperoleh
kz i k ≤ 2ky (m(i)) − xk → 0,

untuk i → ∞

karena X mempunyai GHP , maka terdapat sub barisan {i(k)} sedemikian
hingga
∞
X
z=
xi(k) ∈ X
k=1

Oleh karena itu

∞
P

g(k, zk + xk ) −

k=1

∞
P

g(k, xk ) adalah konvergen.

k=1

Yang kontradiksi dengan pengandaian diatas. Dengan demikian f adalah kontinu di x untuk setiap x ∈ X
Akibat dari Teorema 4.1 dan Teorema 4.2 serta memperhatikan sifat-sifat dari
ruang barisan Orlicz selisih yang telah dijabarkan di atas, maka dapat dikontruksi
fungsional aditif dan kontinu pada ruang barisan Orlicz selisih yang diberikan
dalam teorema berikut.
Teorema 4.3 Fungsional f : ℓϕ (∆) → R aditif dan kontinu jika dan hanya jika
∞
P
g(k, xk ) ada, untuk setiap x = {xk } ∈ ℓϕ (∆) dengan g(k, 0) = 0 dan
f (x) =
k=1

g(k, .) kontinu untuk setiap k ∈ N .

Sadjidon

45

Bukti.
Karena ruang barisan Orlicz selisih merupakan ruang Frechet, maka
mempunyai GHP serta mempunyai sifat AK dan juga memenuhi sifat kxN k ≤
kxk, untuk setiap x ∈ ℓϕ (∆) serta akibat dari Teorema 4.1 dan Teorema 4.2.

Pustaka
[1] Chew, T. S., 1985, Orthogonally Additive Functionals, PhD. Disertation, national University of Singapore.
[2] Colak, R and Mikail ET, 1997, On some generalized difference sequence spaces
and related matrix transformations, Hokkaido mathematical Journal, Vol 26
(p.483 - 492) Japan.
[3] Lee, P.Y, 1993, Sequence Space and the Gliding Hump Property , SEA Bull,
Math. 17, 65-72
[4] Sadjidon dan Sri Daru , 2002, Ruang Barisan Orlicz, Makalah Thesis UGM.