Materi Matematika I ina Materi Matematika I ina Materi Matematika I ina

MATEMATIKA I

MATERI:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Ketidaksamaan
Koordinat Cartesian
Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal
Diffrential
Limit
Aplikasi Integral
Integral tak tentu

REFRERENSI
KALKULUS JILID 1, EDISI 8, PURCELL, ERLANGGA.

KALKULUS DIFFRENTIAL DAN INTEGRAL – FRANK AYRES, JR
PENILAIAN:
UTS, UAS , TUGAS/Kuis

SISTEM BILANGAN YG DIGUNAKAN ADALAH BILANGAN REAL (R).
N  Z Q  R

DIMANA:
N = HIMPUNAN BILANGAN ASLI

Z = HIMPUNAN BILANGAN BULAT
Q = HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL ( ), dimana q
R = HIMPUNAN BILANGAN REAL.

I.
KETAKSAMAAN
Adalah permasalahan yang menggunakan tanda-tanda sbb:
CONTOH : 3x  4 0
TUJUANNYA: Menentukan semua himpunan X yang memenuhi
ketidaksaman tersebut.

PENYELESAIAN SOAL DI ATAS
3 x  4
1.
4
-4/3
3
4


 4 
HP =  x / x  3 , x  R atau x   3 ,  
4 x  7  3x  5
x  12  0
x  12
x 

2.

HP =

 x / x  12, x  R atau

12

x    ,12 

Langkah2 utk ketidaksamaan dalam bentuk pecahan
1.
2.
3.
4.
5.

RUAS KANAN 0
FAKTORKAN
BUAT GARIS BILANGAN
MASUKKAN TANDA + ATAU –
TENTUKAN HIMPUNAN JAWAB

Contoh :

x 2
2
1.
x4
x 2
 20
x4
x  2  2 x  4
0
x4
 x  10
0
x4
x1  10 ; x 2  4

HP :

X   10 atau x   4

x    , 10     4, 

-10

-4

3x 2  5 x  2
0
4x  5

2.

 3x  1 x  2 0

4x  5
1
5
x1  , x 2 2, x3 
3
4

HP :
3.

- -5/4+

-1/3
2+

1
 5
,    2, 

3
 4

2 x  4 6  7 x 3x  6

Jawab :
I. 2 x  4 6 

7x
10
9 x 10; x 
9
0

10/9

II. 6  7 x 3 x  6
 10 x 0, x 0

Irisan dari hasil I dan II adalah

 10 
x  0, 
 9

TIPS: UNTUK MENGGAMBAR GARIS BILANGAN
1. Masukkan semua nilai yang didapat didalam garis bilangan.
2. Berilah tanda + , - , + , - secara bergantian apabila titiknya

tunggal mulai dari sebelah kanan.
3. Apabila titiknya ada yang sama dan yg sama, dan jumlah yang
sama genap. Maka tanda akan mengikuti tanda sebelumnya.
4. Carilah Titik pembuat nol ( x1,x2,..... )
5. Tentukan himpunan jawab.
Soal : Selesaikan ketidaksamaan berikut :
1.

3x  2 10  6 x  2 x  5

2.

x 3  x  1  4  x 
0
5  8x

3.

2

x

2

3

 4 9  x 2 
0
8 x  3 7

4.
5.

I.2

1
2

x  1 3x  1
4

2
 3  7
x
x

NILAI MUTLAK
Definisi

 x, Jika x 0
x 
  x, Jika x  0

SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK:
1.
2.
3.
4.
KETAKSAMAAN DALAM NILAI MUTLAK
1.
2.

3.
Contoh

Selesaikan soal2 berikut :

1.
2.
3.
4.
5. 2 < I 3x +4I < 6
II & III. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS
Dari suatu titik P ditulis (x,y)
Q
P

- Menggambar grafik y= ax + b, y = x² , y = x³.
- Persamaan garis yg melalui titik (a,b) dengan gradient m
adalah y-b = m (x-a)
- Persamaan garis yang melalui titik P(x1,y1) dan Q (x2,y2)
adalah

y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1

- Dua garis yang sejajar gradiennya sama (m1=m2)
- Dua garis tegak lurus perkalian gradiennya -1 (m1.m2=-1)
Contoh: Tentukan nilai k sehingga garis kx-3y = 10,
a. Sejajar dengan garis y= 4x + 3
b. Tegak lurus dengan garis y=-2x-5.
c. Tentukan persamaan garis yg melalui titik (4,6) dengan
kemiringan pd soal b

IV. DIFERENSIAL / TURUNAN
 Fungsi Eksplisit Y = F(X), DITULIS
dy/ dx = f ’(X)
dy
dx

y  f (x )

dy
dx

y  f (u ), u  f ( x)

1. x m

m.x m  1

um

m.u m 1 .u '

2. e x

ex

eu

e u .u '

3. ln x

1
x

ln u

1 '
.u
u

4. Sinx

Cosx

Sinu

Cosu.u '

5. Cosx

 Sinx

Cosu

 Sinu.u '

6. Tgx

Sec 2 x

Tgu

Sec 2 u.u '

7. Ctgx

 Co sec 2 x

Ctgu

 Co sec 2 u.u '

8. Secx

Secx.Tgx

Secu

Secu.Tgu.u '

9. Co sec x

 Co sec x.Ctgx Co sec u

 Co sec u.Ctgu.u '

Aturan umum turunan:
1. Jika y = u. v
maka dy/dx = u ‘ v + v ‘ u
2. Jika y = u. v.w maka dy/dx = u ‘ v w + v ‘ u w + u v w ‘
3. Jika y = u /v
maka dy /dx = (u ‘ v - v ‘ u) / v²
4. Aturan Rantai
Jika y = f (g (x)) maka dy/dx = dy/df . df/dg . dg/dx
5. Fungsi Parameter
Jika y = y(t) dan x=x(t) maka dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

Menentukan turunan fungsi invers trigonometri ( arc sin x, arc
cos x, arc cotg x)
Contoh: y = arc cos 2x
2x = cos y
1
Y
2x

2 dx = - sin y dy
dy / dx = -2/sin y = -2 / (

)

 FUNGSI IMPLISIT
Bentuk Umum F(x,y)=0
Menentukan dy/ dx dg cara menurunkan secara total fungsi x
dan y, ( differensial parsial) sbb:
∂F/∂x . dx + ∂F/∂y . dy = 0
∂F/∂y . dy = - ∂F/∂x . dx
dy/dx = - [∂F/∂x] / [ ∂F/∂y]
Soal-soal: Tentukan dy/dx dari soal- soal berikut
1. y ln Cos 2 x 
2. y 4 x  7   2 x  1
2

2

3.

 2x  3 
y  2

 2x  4 

5.

Sinx Cosy  Cosx Siny 1

7. 5y = arc cosec2x

4.
6.

3

4

y e  2 x  Sin 2 x  Cos 2 x 

4 xy 4  3 x y 

8.

3

6
5 x
xy

1  Sin3 x
y
1  Sin3 x

IV. LIMIT DAN KEKONTINUAN
L

Y=f(x)
a

Definisi:
Limitx→a f(x) = L adalah jika x →a (menuju a) maka grafik
y = f(x) → L (menuju L).
Limit Sepihak
- Limit kiri adalah Lim x→a- f(x) adalah jika x menuju a dari
kiri ( x →a- )
- Limit kanan adalah Lim x→a+f(x)

adalah jika x menuju a

dari kanan( x →a+ )
Jika Limx→a- f(x) = Limx→a+f(x)

maka Limx→a f(x) ada atau f(x)

mempunyai limit di titik x = a.
Akibatnya jika nilai limit kiri ≠ limit kanan maka f(x) tidak
mempunyai limit di titik tersebut.
Kekontinuan Limit
F(x) kontinu di titik x=a Jika Limx→a- f(x) = Limx→a+f(x) =f(a)
Jika salah 1 syarat tdk dipenuhi maka f(x) disebut diskontinu
Contoh:
Jika
a.
b.
c.
d.

Gambarkan grafik
Apakah f (x) mempunyai limit di titik x = 2
Apakah f (x ) kontinu di titik x = 2
Buktikan f (x) tidak kontinu di titik x = 4

VI. APLIKASI DIFERENSIAL
 Teorema L’Hospital
Digunakan untuk menghitung limit-limit yang berbentuk
0/0 atau ~/~)

=

, stop

berbentuk 0/0 atau ~/~).
Contoh :

1.

2.

3.

4.

Menghitung limit pangkat (

)

Penyelesaian menggunakan Pemisalan.
1

x x 1
Contoh : xlim
 1

 Bentuk 1 

PENYELESAIAN :



sampai limit tidak

1

Misal y  x x  1
ln y  ln x

1
x 1

1
ln x
x 1

ln y 

ln x
x 1



lim ln y  lim
x  1

x  1

ln x  0 
 
x 1  0

1
lim ln y  lim x  1
x  1
x  1 1

lim y  e1

x  1

lim x

1
x 1

 e1 e

x  1

Contoh:
1.

1

2.

lim x x  1
x  1

e  3x 
3. lim
x  0
x





1
x

5.
7.

 8x  3 
lim 

x  
 3x  7 

x  0

x  0

1

 Cosx  x
4. lim
x  0

3x

lim Sinx 2

lim x Sinx

6.
5x

lim  Cosx 


x 
2

Tgx


-

Menggambar grafik y = f(x)
Menentukan perpotongan dengan sumbu x dan sumbu y
Menentukan Titik Kritis/ Titik Belok (Syarat Y’=0)
Titik Kritis Maksimum jika Y”0
- Cari Persamaan garis assymtot jika ada
- Menggunakan titik bantu jika diperlukan
Contoh: Gambarkan grafik
Tentukan :
a. Selang naik dan turun
b. Titik maksimum atau minimum
c. Titik Belok
Soal :
Gambarkan grafik2 berikut :
1. y 2 x  6 x  1
2.
3

3.

x2  3
y
x 1

4.

y x 4  2x 3

x2  4
y 2
x 9

VII. INTEGRAL TAK TENTU/ ANTI TURUNAN
DEFINISI :
JIKA f(x) fungsi kontinu dan
F’(x)= f(x) dan C konstanta.
Tabel umum integral tak tentu

, dimana

Rumus Integral
1. dxd  f ( x) dx  f ( x)  C
2.  u  v  dx  udx  vdx
3. audx a udx, a kons tan ta
4. u

m

du  m11 u m 1  C , m  1

5. duu ln u  C
u

6. a u du  lna a  C , a  0, a 1
7.

u
u
e du e  c

8. Sinudu  Cosu  C
9. Cosudu Sinu  C
10.

tgudu ln Secu  C

11.

Ctgudu ln Sinu  C

12 Secudu ln Secu  tgu  C
13 Co sec udu ln Co sec u  Ctgu  C
14. Sec 2 udu tgu  C
15. Co sec 2 udu  Ctgu  C
16. Secutgudu Secu  C
17. Co sec uCtgudu  Co sec u  C
18.



du
2

a  u

2

arcSin

u
C
a

du
1
u
 arctg  C
2
a
a
a u

19.



20.



21.



22.



23.



24.



25.

2
2
2
2
2
 a  u du  u a  u  a arcsin  C

26.

2
2
2
2
2
2
2
 u  a du  u u  a  a ln(u  u  a   C

27.

2
2
2
2
 u  a du  u u  a 

2

du
2

u u  a

2

1
u
 arcSec  C
a
a

du
1
u a
 ln
C
2
2a u  a
u  a
2

du
1
a u
 ln
C
2
2a a  u
a  u
2

du
2

u a

2

du
2

2

u  a

ln(u  u 2  a 2  C

ln(u  u 2  a 2  C

1
2

1
2

1
2

1
2

u
a

1
2

1 2
a ln u  u 2  a 2  C
2

METODA INTEGRAL
1. Substitusi
Definisi :
Soal2:
1. x

2

3 x 3  2 dx

4x

disubstitusi menjadi
2. Sin

3. x 2  5 dx
5. Tg 2 x dx

4. x

7. 2 x

4 x 3  5 dx

8. 

2x  3
dx
 12 x  8

10. 

5

9. 9 x

2

3

x Cos x dx

dx
1  ln x

6. Tgx Sec

2

x dx

x 2  2x  2
dx
x2
x 3
5  4x  x 2

2. Parsial
Bentuk umum : jika u(x) dan v(x) fungsi maka
Soal2:

.

dx

1.

5. arcSin 2 x

2.
3.

4.

dx